重庆理工大学高数A2习题册答案

习题一

一 正确; 不正确 二 C ; A

三 1 导数,常; 2 阶 ; 3初始; 4 xy 四

1

c

y

x y y

y c x dy y y dx x x dy y y dx x x =+-+='+--+=-+=-??1)1(1ln 1ln 1

121

1222222

2 2 2

1

22

1

2)1()1(1

2

122

2

22

,2,10,ln )1(110;1

1x x e

y c y x ce

y y y c x dy y

dx x x

y dy y dx x x --===-====+-=--

≠=

--

??

3 cx

e y cx y y y c x dy y

y dx x y dy y y dx x ====+=≠=??,ln 1,ln ln ln ln 111,ln 111 4

2=+'x y y

5

at

at e T T t ce T c at T adt

dT T T t a T a dt dT

8020100,0,20)20ln(201

100,0,0),20(1+====-+=-=-==<-=??

习题三

一 正确; 正确 二 C 三 1

cx

x y x

c x y x c u c x u dx x du u u dx x du u u u u dx du x u u dx du x u dx du x

u dx dy ux y x y u x

y x y xy y x dx dy -=-==-+=--=-=--=

+=++===+=

+=??332

32313323223

232

3

2

3

3

21

1)(2,121ln 21ln 2

1

1

213,1213321,31,,)(3)(13 2

cx

x

y

cx u c x u dx x

udu dx x udu u

u dx

du x u dx du x u dx dy ux y x y u ==+===+=++===

??)sin(,sin ln sin ln 1

cot ,1cot tan ,,1

3

cx x

y

cx u c x u dx x du u u dx x du u u u

u dx du x u dx du x u dx dy ux y =-=-+=-=-=-=++==??1ln

,1ln ln 1ln ln 1

)1(ln 1,1)1(ln 1ln ,

1

4

36

ln 236,6,1,ln 2ln 2

12,2,

222222122

+====+=+==+=++==x x y c y x c x x y c x u dx

x udu u u dx du x u dx du x u dx dy ux y 5

0ln ln 2

1

1

1,1,,22212=+++=-=-=--=++===

??c y y x c y u dy

y udu dy

y

udu u u dy du y u dy du y u dy dx uy x y x u 习题二

一 C; C; B 二 1

)

()()(,2)(2

22

22c x e

c dx e e e y e x Q x x P x dx

x x dx x x

+=+??===----?

2

x

c x c dx x x

e

c dx xe e y x

x Q x x P x

dx

x dx x cos )(cos 2)

cos 2sin ()

2sin (2sin )(,tan )(2cos ln tan tan +-=+=+??===?

?-

3

)

24(2,2,0),4()

8()

8(2

2

2

2

2

222-=-===+=+=+??=----??x x x x x x dx

x dx x e e y c y x c e e c dx xe e c dx xe e y

4

)

322(3,1,0),22()

()

()(,1)(22222+---====+---=+=+?

?==-=--------??y y y y y y y y y y dy

dy

e y e y e e x c x y c e y e y e e c dy e y e c dy e y e x y y Q y P

5

cx

x x c x x c dx xe

e

z x z x

dx dz x

y x y dx dz y dx dz y dx dy dx dy y dx dz y z dx

x dx

x +-=+-=+?-?=-=-=+--=-==?-

--221

1

22221)(ln ])(ln [)

ln 2(ln 21

ln 2,, 习题

一B; A; A 二 1

y x

Q x y y P 222=??≠+=?? 2

c

y x x x y dy

dx y x y dy y Q dx y x P y x u x

Q

y x y P y

x y

x

=-+-=-+=+=??=-=??????sin cos )sin sin (),0(),(),(cos sin 0

00

习题四

1

??++-=+-=+-=

+='213

1212

sin 6

1)cos 21(cos 2

1)sin (c x c x x dx c x x y c x x dx x x y

2

2

1211211

1

ln 4

1

21)21(1)(11

,c x c x y x x c c x x c dx e

e

p p x

dx dp dx

dp y p y dx

x dx

x ++-=-='

+-=

+?-?=-=+=

''='?-

3

2

32123,1)1(,210,1)1(,,,22221121

22-

=-

=-=+=='=='+±='+====

''='x y c y c x y x

y c y c x y c x p xdx pdp p x

dx dp dx

dp y p y

4

2

2122

1

,0,ln ln ln ,1

100,0,c cy y cy p p c y p dy y

dp p y p p dy

dp

yp

dy

dp

p dx dy dy dp y p y +===+==≠≠=-==''='

5

x

y c y x c x y x

x p x x p c p x c x p c x p dx dp p p dx dp

dx

dp

y p y y y sin 0,0,0,sin cos )2

sin(,cos )2

sin(2,1,0,arcsin ,arcsin ,111,1

)0(,0)0(221112

2====+==+

-==+

====+-=+==--±==

''='='=ππ

π

习题六

一

D; D; D 二

1 2

2

21x x xe c e c y +=; 2 x xe x e c e c y x x x

ln 22

21++++=

三 1

x

x

e

c e

c y r r r r 32212123,2,06+==-==---

2

x

e x c c y r r r r 621212)(603612-+=-===++

3

)

sin cos (2,205212212x c x c e y i r i r r r x +=+-=--==++-

4

x

x

e x y c c y y x e x c c y r r r r 221221212)12(2,1,4,1,0,)(2

,2,044---==-=='-==+=-=-==++

5

x

c x c c y i r i r r r r sin cos ,,003213213++=-====+

习题七

一

1 )(2

3

d cx bx ax x +++; 2 )sin cos (213x c x c

e x

+; 3 x

ce b ax x -++)(

二 1

x

x x x e x x e c e c y b a e b ax x r r r r 323213212)16

3

81(163

,81,)(3,1,032+++==

=+=-==--- 2

x

x x

e x e x c c y a e ax r r r r 32321322123)(3

,3

,3,096++=====+-

3

x

x x c x c y b a x b x a x i

r i r r 2cos 8

1

)2sin 2cos (0,81

),2sin 2cos (2,2,

0421212-+==-=+-===+

4

x

x x x

x e x c x c x c e c y i r i r r x e x x x dt t x x e x 2

1sin cos )(2

1,*,,011

)0(,1)0(),()()

()()()(32112120

++==

=-===+='=-=''--+='??????????

复习题

一

不正确; 正确 二

C; A; C 三

1 2

2

21x x xe c e c y +=; 2 32212

1

c e x c x c y x +-+=

-; 3 1)1()1(2

21+-+-=x c x c y ; 4

x

N

y M ??=??

5 x

cxe b ax x y 4)(*-++=

四 1

2

1ln

arctan 2ln ,1,0)1ln(arctan ,12112

22

2x y c x y c x y dx x

x

dy y +=-===++=+=+ 2

333sin

,sin ln ln sin ln 3cot ,tan 3,cx x

y

cx u c x u dx

x udu u u dx du x u dx du x u dx dy ux y ==+==+=++== 3

2

222111)2()2(22,22221x

x

x x x d x

dx x ce y ce c dx xe e c dx xe e z x xz dx

dz

dx dz y dx dy dx

dy y dx dz y z +=

+=+-=+?-?=-=--=-==??---- 4

)

cos (sin 1,1),cos sin (2

,1,0232212121212x x e e c e c y a a x a x a e y r r r r x x x x

+-+=-=-=+====+-

习题八

一．??? √√√√ 二．A D C

三．xoy 面 (-2,3,0) -2a a b + a b -

yoz 坐标面

四．11cos ,cos 222αβγ-=

==

（11,222

-）

五．（－3,15,12）

六．（1）（－1，3，3） （2

） （3

）cos 333

αβγ=

== 习题九

一．????√√√ 二．C D D

三．1．（－4，2，－4） 2。－10,2 3.7 4。4π 5。6

π

6. 四．15

2

S =

五．（5，－8，2） 习题十

一．?√? 二．CDDCC

三．1．2± 2。2

2

2

3x y z ++= 3。22

5y z x += 4。

3

π 四．1．由xoz 面上的曲线2

2z x =绕z 轴旋转得到的

2．由xoy 面上的曲线22

194

x y +=绕x 轴旋转得到的 五．圆心为（1

11,,333

--

）

六．投影曲线方程：22

(12)126013

0x y z ?-+=?

??=?

，中心（12,0，0）

长半轴为，

习题十一

一．?√? 二．BDB 三．1．点（417,33-

-）

，过点（417

,,033

--）平行于z 轴的直线 2．221

,(0,0,3),13

x y z ?+=?

=? 3

．4．2±

5.2

2

1,||,||x y z x z y +≤≥≥

6．2(1)21

y x z x ?=-?=-?

四．3sin x y z ααα?=??

?

=??

?=??

五．在xoy 平面的投影曲线221

0x y x y z ?+++=?=?

在yoz 平面的投影曲线22(1)0

x y z z

x ?+--=?=?

在xoz 平面的投影曲线22(1)0

x x z z

y ?+--=?=?

习题十二

一．DCC

二．1。375140x y z -+-= 2。（1，－1,3） 3。92y z -+=-

4。

103 5。1

7

- 6。－4,3 三．78120x y z +++= 四．93160x y z -+-=

五．面方程：330y x x y =+= 或

习题十三

一． D B A C

二．1．123

010x y z ---== 2。

111

213

x y z ---==-，参数方程：12,1,13x t y t z t =-=+=+ 3．－1 三．直线方程：

111

925

x y z ---==- 四．510x y z ++-=

五．(0,2,7)

第九章 复习题

一．?√√?? 二．ABBBA

三．1． 0 2。2

2

2

(3)(1)(1)21x y z -+++-= 3。2

2

()(1)3/2x y z +++=

4。 2 5。1± 6. 2 7。2

2

4

2

2

,x z y z x y =+=+ 8．

231122023x y z ---==

9。2290x y z +-+= 10。31

(,1,)22

- 五． (1,6,3)- a r c

5

α= 16

3

132

x y z +--==

六．(2,9,6)

七．2

2

2

(1)(2)(1)49x y z ++-+-=

习题十四

一．

? √ ?

二、D C 三、

1、 (,)f x y x y =

2、 0

3、 22{(,)sin()10}x y x y +-=

4、 22{(,)11}x y x y +-≤ 四、 1、 13 2、 6 3、 不存在 4、不存在

五、由于(,)(0,0)

0lim

lim 02

x y x y x

xy x

x y →→===+， 2

(,)(0,0)0

lim

lim(1)1x y x y x x

xy

x x y →→=-=-=-+ 所以极限不存在

习题十五

一．

? ?

二、D B 三、1、 8-

2、 0 四、

1、222

334323cot ; cot z x x z x x x y y y y y

??==-??

2、

0z z x y

??==?? 3

、z z x y ??==??4、

2

2

2

2

22

2

2

12

23

2ln 2ln ;

; y y y z z z u y u y x u y x x x x x z y z z z -???===-??? 五、1、322

222

222ln();

()z x z xy x x y x x y x y x y ??=++=?+??+ 2、由于

2231226(1); ln ln 6(31)ln(1)y z

xy x y x z

xy y x y x

-?=+??=+-+?，

故2222312

22(31)6(1)[ +3ln(1)]1y z x y xy x y x y x y y x y

-?-=+++??+ 习题十六

一．

? ?

二、D C

三、1

、2dz dt =2、1ln ln yz yz yz du yzx dx zx xdy yx xdz -=++

3、22322

321()

x x dz x e dx x e +=++ 四、 1、

5

(,)(,);420.125

z f x x y y f x y dz ?=+?+?-=-=-

2、222;

6z z

xf yg xy f g yg x x y

??'''''''=+=++??? 3、

224222222222 2(22)62 [4412(3)()]4()z z z dz du dv dx u v x

ux xdx ydy v xdx u dx

x x y x x x y dx xy x y dy

???=

++???=+++=+++++++

4、令2, 32u x y v x y =+=-则

13213223ln 2(32)(2)3(2)ln(2)

v v x y x y z z u z v vu u u

x u x v x

x y x y x y x y ----?????=+=+?????=-++++ 5、

2112111221111

; []u u x f f f f x y x y y z y y

??''''''==--??? 五、证明：

[()()][()] ()()() z z y

x

y x y F u F u y x F u x y x

xy xF u yF u xy yF u z xy

??''+=+-++??''=+-++=+ 习题十七

一、 1.×2. × 二、 D B C

三、 1.3 2.1u

y e + 3.32322z xy z e x y - 4.2222(2()ln )()u x x y u x x y -++ 四、 1.223363cos 4x

x y e y x y

--

2.2

22222xy x z z y e z x ye --+=-+ 2

242z x y

y z

e x y e

z x y e

----=+ 3.22ln ln x xyz z yz z xyz x x y -=- 2l n l n ln y

z x xz z

z xy yz x

-=-

习题十八

一、 × × 二、 B D A

三、 1．23140x y z +-+=

2．610170x y z ++-= 四、 1．3412412y z x ---

==- 11

41202

x y z +--=

2

．112

x y π

-

+=-=

40

2x y z π+--= 3．1218300x y z ++-=

1112181

x y z

--== 4

．cos 101

θ=

习题十九

一、 × × 二、 C C

三、 1． 2．(3,12.6)-- 3．1

(1,2,3)18

-

四、 1．

50

2461)e --+

3．32- 4．0 5、11

习题二十

一、 × ∨

二、 B A D

三、 1．36 2．18

四、 1．10 2．1

4e --- 3．816

(,)55

4. 6, 2-极大值极大小值 五、 6,6,3x y z ===

复习

一、 ∨ × 二、 D C

三、 1．xy 2．2

2

sin()10x y +-= 3．{}

2222(,)165x y x y x y ≤+<+≠且 4．0

四、 1．

312322u

xy zf yf xf x

?'''=++? 23362

43

311121

312222u x y f x y z f x y f x y f

x

?'''''''=+++? 2．322222

1

d [(22)d (43)d 34z x xz z yz y y x z y z

=

--++

35

16)e --

4．117

习题二十一

一、 1．3

23

R π 2．0 3．6π 4. 0 二、 A B

三、 1．2

0I π≤≤ 2．36100I ππ≤≤

习题二十二

一、 1.

2340 2．916 3. 24320- 4．8(1cos1)3- 5、1

4

二、 1．2

2

d (,)d y

y f x y x ?

? 2

．1

(,)d (,)d x x f x y y x f x y y +?

习题二十三

一、 1．1

(1)e π-- 2．322

()323

R π- 二、 1．4

14a 2．3

32()3

b a π- 三、 (1cos1)π- 四、 43

32

a π

习题二十四

一、 1．2

2a π 2．0 二、 1

．

00

d (,,)d R

x y f x y z z ?

2．1

10

d d (,,)d x

xy x y f x y z z -??

?

3

．2

2

2

1

21

2d (,,)d x x y x y f x y z z --+?

?

三、 1．

15(ln 2)28- 2．1445

四、 64π

习题二十五

一、1、

2110

(cos sin )d d dz πρ

θρρθρθρ+?

?? 2、2320

sin a

d d r dr ππθ???

??

二、1、原式=2cos 1

2

220

2

16

9

z d d dz d d z dz π

θπρρθθρρ-Ω

==

?????

?

2、原式=2222

3310

2

163

d d dz d d dz πρ

π

ρρθθρρΩ

==

?????? 三、原式

=422cos 3

3

40

8sin sin (158

a a r drd d d d r dr π

π?

π??θθ??Ω

==-????

??

四、1、原式=2cos 3

32

00

sin 10

r drd d d d r dr π

π?

π

??θθ?Ω

==

????

??

2、原式

=2

22

1

2

283

z d d dz d d dz π

ρπ

ρρθθρρΩ

==

?????? 习题二十六

一、D

D D

A d d ρθ=

==??

=2

1)6

d d π

π

θρ=

??

二、

1

1

2cos 3

330

1

922cos sin 2cos sin 8

D

D D M x y dxdy xydxdy d d d d π

θ

ρθθρθθρθθρ=====

????????

三、将扇形顶点放在坐标原点，取y 轴为中心轴，则质心为(0,)y

22

322

20211,222sin sin sin 3

D

a

D

D

y ydxdy A a a A a ydxdy d d z d d dz d d π

απα

ααρθρθρρθθρθρα

+-Ω

=

=?=====???????????

2sin 3a y αα=

， 质心为2sin (0, )3a α

α

四、4

2cos 23

2

3

2

20

2

5cos cos 4

R y D

D R I x dxdy d d d d π

θ

ππρ

θρθθρθρ-=

===??????

五、（1）4

2

2

2

2

8()()3a

a

a a D

a V x y dxdy dx x y dy --=+=+=????

（2）222

01170,0,15

a a x y a a a x y z zdv dx dy zdz V V +--Ω=====

?????? 质心为2

7(0,0, )15

a

（3）22

22

226

112()()45

a a

x y z a

a

I x y dv dx dy x y dz a ρρρ+--Ω

=+=+=

??????

第十一章 复习题

一、 1

、1

102(,)y dy f x y dx -??

2、

1

2e e -+- 3、5

415

R π 4、34R π 5

、0

x dx π

π

+??

二、B C A

三、原式=2

3

40

1

16

D

d d d d ππθρθθθρ==

????

四、原式=25

24

8

3

3

10

02

43d d dz d d dz π

ρρρθθρρπΩ

==????

??

五、D

D

A ===六、原式

=4

2

4240

4

sin cos sin sin cos sin 15

r drd d d d dr π

π

??θ?θθ???θΩ

==

?????

习题二十七

一、1、23

2

(1)a t t dt π

+? 2

3

、1

?

二、B A

三、1、原式

112+= 2、 原式

=222

01)22t

t

dt e e ==-?

? 3、原式

=1

1

()()()1OA

AB

OB

x y ds x y ds x y ds xdx ydy +++++==?????4、原式=22212n n n L

R ds R s R π+==?

5、AB 的方程为

001

x y z

==，即参数方程为0,0,x y z t === 同理可得,BC CD 的参数方程分别为

,0,2x t y z === 1,,2

x y t z === 3

2220

0029AB

BC

CD

I x yzds x yzds x yzds tdt =++=++=????

6

、椭圆的参数方程为2cos ,x t y t ==

ds == 原式

=

20(236)sin 3603624(24)

L xy ds t s π

??+=+=+=-????习题二十八

一、1、39

4

-

2、1320

(10592)t t t dt +++?，323 3、？ 4、222815

AB

x j x dy

x dy

---?

二、C

C

三、1、（1）原式=1

021xdx =? （2）原式=1

22

0()()21x x x x x dx ??++-?=?

?? （3）原式=110

(1)1xdx y dy +-=?? （4）原式=11

(0)(1)1y dy x dx -++=??

2、圆弧的参数方程为：cos ,sin x t y t == 原式=220cos sin cos cos sin (sin )4t t t t t t dt π

π

??--=??? 3、圆的参数方程为：cos ,sin x a a t y a t =+= 原式=220(1cos )sin (sin )a t a t t dt a π

π-+-=?

4、L 的方程为：cos ,sin x a t y a t ==

[]22201

()()1(cos sin )(sin )(cos sin )(cos )2L I x y dx x y dy a a t t a t a t t a t dt a π

π=

+--=+---=-?? 习题二十九

一、1、

(3)(2)24L

D

x y dx y x dy

dxdy

π++---?

??

2、F F

x

y y x

??=?? 二、

41x D x

+

三、1、22,P x y Q y x ==

22322(

)()(sin cos )D

D D

Q P

I d y x d d d x y σσρθθρθ??=-=-=-???????? 2cos 32220

2

(sin cos )d d π

θ

πθρθθρπ-=-=-??

2、22

2

211

2

22L

D

I xdy ydx d R R R R

σππ=

-=

=

?=?

?? 3、24,356P x y Q x y =-+=+-

(

)4412D

D

Q P

I d d x y σσσ??=-===?????? 四、222cos sin ,2cos sin P x y y x Q y x x y =-=-

2sin 2sin ,2sin 2sin P Q x y y x y x x y y x

??=--=--?? P Q

y x

??=??，∴积分与路径无关 原式=23

2

(2cos24sin )9cos24cos3xdx y y dy +-=+??

习题三十

一、1

、4

15 2、22220()D

x y ds

ρ∑

+??

二、

D D

三、1、

∑的方程为：4

423

z x y =--

ds ==