倒立摆稳定性分析(极点配置)

倒立摆稳定性分析（极点配置）

三、分析系统的稳定性—李雅普诺夫稳定性及其线性定常系统的特征值判据

1. 平衡状态：

李雅普诺夫关于稳定性的研究均针对平衡状态而言，对于所有的t ，满足

(),0e e x f x t ==

的状态称为平衡状态。

对线性定常系统x Ax =，其平衡状态满足0e Ax =，当A 为非奇异矩阵是，系统只有唯一的零解，即只存在一个位于状态空间原点的平衡状态。若A 为奇异矩阵，则系统存在有无穷多个平衡状态。

2. 李雅普诺夫意义下的稳定性：

设系统初始状态位于以平衡状态e x 为球心，δ为半径的闭球域()S δ内，即

00,e x x t t δ-≤=

若能使系统方程的解()00;,x t x t 在t →∞的过程中，都位于以e x 为球心、任意规定的半径为ε的闭球域()S ε内，即

()0000;,,x t x t x t t ε-≤≥

则称系统的平衡状态e x 在李雅普诺夫意义下是稳定的。

3. 渐近稳定性

若系统的平衡状态e x 不仅具有李雅普诺夫意义下的稳定性，且有

()00lim ;,0e t x t x t x →∞

-= 则称此平衡状态是渐近稳定的。这时，从()S δ出发的轨迹不仅不会超出()S ε，且当t →∞时收敛于e x ，显见经典控制理论中的稳定性定义与此处的渐近稳定性对应。对于严格的线性系统，如果它是稳定的，则必定是大范围稳定的。

4. 线性定常系统的特征值判据

定理：对于线性定常系统0,(0),0x Ax x x t ==≥，有

1）.系统的每一平衡状态是在李雅普诺夫意义下的稳定的充分必要条件是，A 的所有特征值均具有非正（负或零）实部，且具有零实部的特征值为A 的最小多项式的单根.。

2）.系统的唯一平衡状态0e x =是渐近稳定的充分必要条件是，A 的所有特征值

均具有负实部。

由以上定理可知，原倒立摆系统是不稳定的，根据系统的具体要求，将系统的闭环极点配置第一组：

P=[-1+i*3 -1-i*3 -7+i -7-i]

所以程序如下：

A=[0 1 0 0;20.6 0 0 0;0 0 0 1;-0.49 0 0 0]

B=[0; -1; 0; 0.5]

C=[0 0 1 0;1 0 0 0]

D=[0;0]

P=[-1+i*3 -1-i*3 -7+i -7-i]

k=place(A,B,P)

T=0:0.1:10

U=0.25*ones(size(T));

[Y,X]=lsim(A-B*k,B,C,D,U,T)

plot(T,Y)

TITLE('STEP RESPONSE')

XLABEL('TIME-SEC');

YLABEL('STEP RESPONSE')

grid;

运行后的阶跃响应图如下：

然后系统闭环极点配置第二组：

P=[-2+i*2*3^(1/2) -2-i*2*3^(1/2) -10+i -10-i]

所以程序如下：

A=[0 1 0 0;20.6 0 0 0;0 0 0 1;-0.49 0 0 0]

B=[0; -1; 0; 0.5]

C=[0 0 1 0;1 0 0 0]

D=[0;0]

P=[-2+i*2*3^(1/2) -2-i*2*3^(1/2) -10+i -10-i]

k=place(A,B,P)

T=0:0.1:9;

U=0.25*ones(size(T));

[Y,X]=lsim(A-B*k,B,C,D,U,T)

plot(T,Y)

TITLE('STEP RESPONSE');

XLABEL('TIME-SEC');

YLABEL('STEP RESPONSE')

GRID;

运行的系统阶跃响应图像为：

通过比较分析，明显看出第二种方案的超调量比第一种方案的小，调整时间也比第一种方案小，震荡周期也小，幅值也小，所以第二种方案比第一种方案优越。第二种方案经过大约2.5秒就可以达到稳定，