中考圆的概念定义及习题专练

中考圆的定义及习题专练

◆考点聚焦

知识点

直线和圆的位置关系、切线的判定和性质、三角形的内切圆、切线长定理、弦切角的定理、相交弦、切割线定理

1.点P与圆O的位置关系(设P是一点，则PO是点到圆心的距离)： P在⊙O外，PO>r;P 在⊙O上，PO=r;P在⊙O内，PO

2.圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。逆定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧

同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径

与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的内心，三角形叫做圆的外切三角形。三角形的内心是三角形三条角平分线的交点

三角形有外接圆，其他的图形不一定有外接圆，三角形的外接圆圆心是任意两边的垂直平分线的交点，三角形外接圆圆心叫外心。外接圆圆心到三角形各个顶点的线段长度相等。

圆与圆的位置关系(设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为P)：外离P>R+r;外切P=R+r;相交R-r 内切内含

圆与直线的关系：

相切相交相离

切线的定义及性质：

经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线

判定一条直线是圆的切线的三种方法：

(1)根据切线定义判定．即与圆有唯一公共点的直线是圆的切线。

(2)根据圆心到直线的距离来判定，即与圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线．

(3)根据切线的判定定理来判定．

其中(2)和(3)本质相同，只是表达形式不同．解题时，灵活选用其中之一．

切线长定理：是指从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连

线，平分两条切线的夹角

弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角度数的一半。等于它所夹的弧的圆周角度数。

与圆相切的直线，同圆内与圆相交的弦相交所形成的夹角叫做弦切角。

相交弦定理：是指圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

大纲要求

1.理解并掌握利用圆心到直线的距离和半径之间的关系来判断直线和圆的位置关系．

2.能灵活运用圆的切线的判定定理和性质定理以及切线长定理解决有关问题，这也是本节的重点和中考热点，而综合运用这些定理则是本节的难点．

3.能由两圆位置关系写出圆心距与两圆半径之和或差的关系式以及利用两圆的圆心距与两圆半径之和及差的大小关系判定两圆的位置关系．

考查重点和常考题型

1．判断基本概念、基本定理等的正误。在中考题申常以选择题或填空题的形式考查学生对基本概念和基本定理的正确理解.

2．考查两圆位置关系中的相交及相切的性质，可以以各种题型形式出现，多见于选择题或填空题，有时在证明、计算及综合题申也常有出现。

3．证明直线是圆的切线。证明直线是圆的切线在各省市中考题中多见，重点考查切线的判断定理及其它圆的一些知识。证明直线是圆的切线可通过两种途径证明。

4．论证线段相等、三角形相似、角相等、弧相等及线段的倍分等。此种结论的证明重点考查了金等三角形和相似三角形判定，垂径定理及其推论、圆周角、圆心角的性质及切线的性质，弦切角等有关圆的基础知识。

◆备考兵法

1．确定点与圆的位置关系就是确定该点到圆心的距离与半径的大小关系，?涉及点与圆的位置关系的问题，如果题目中没有明确点与圆的位置关系，应考虑点在圆内、上、外三种可能，即图形位置不确定时，应分类讨论，利用数形结合进行解决．

2.判断直线与圆的位置关系的方法有两种：一是根据定义看直线和圆的公共点的个数；二是根据圆心到直线的距离d与圆的半径r的关系．

3．证明一条直线是圆的切线的方法有两种：（1）当直线与圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连结起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“作半径，证垂直”；（2）当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，?再证圆心到直线的距离等于半

径，简称“作垂线，证半径．” ◆ 课前热身

1.如图，⊙O 的半径为5，弦AB ＝8，M 是弦AB 上的动点，则OM 不可能为（ ） A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

2.已知⊙O 的半径r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，当d ＝r 时，直线l 与 ⊙O 的位置关系是（ ）

A ．相交

B ．相切

C ．相离

D ．以上都不对 3.如图，已知AB 是⊙O 的直径，PB 是⊙O 的切线，PA 交 ⊙O 于C ，AB ＝3cm ，PB ＝4cm ，则BC ＝ .

4.已知⊙O 1与⊙O 2的半径分别为5cm 和3cm ，圆心距020=7cm ，则两圆的位置关系为（ ） A ．外离 B ．外切 C ．相交 D ．内切

5.若1O ⊙与2O ⊙相切，且125O O =，1O ⊙的半径12r =，则2O ⊙的半径2r 是（ ） A ． 3 B ． 5 C ． 7 D ． 3 或7 【参考答案】 1. A 2. B 3.12

5

4.C

5. D ◆ 典例精析

例1（山西省太原）如图AB 、AC 是O ⊙的两条弦，A ∠＝30°，过点C 的切线与OB 的延长线交于点D ，则D ∠的度数为 ．

例2(辽宁本溪)如图所示，AB 是O ⊙直径，OD ⊥弦BC 于点F ，且交O ⊙于点E ，若

AEC ODB ∠=∠．

（1）判断直线BD 和O ⊙的位置关系，并给出证明； （2）当108AB BC ==，时，求BD 的长．

【点评】圆的切线有三种判定方法：①和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；②到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；③过半径外端且和这条半径垂直的直线是圆的切线．在证明时一定要根据题目已知条件合理选择．

例4（广西河池）如图1，在⊙O 中，AB 为⊙O 的直径，AC 是弦，4OC =，60OAC ∠=o

． （1）求∠AOC 的度数；

（2）在图1中，P 为直径BA 延长线上的一点，当CP 与⊙O 相切时，求PO 的长； （3） 如图2，一动点M 从A 点出发，在⊙O 上按逆时针方向运动，当MAO CAO S S =△△时，求动点M 所经过的弧长．

【答案】解：（1）∵ 在△ACO 中，60OAC ∠=o

，OC =OA ∴ △ACO 是等边三角形 ∴ ∠AOC =60°

（2）∵ CP 与⊙O 相切，OC 是半径．

∴ CP⊥OC

∴ ∠P =90°-∠AOC =30° ∴ PO =2CO =8 . （3）如图2，

① 作点C 关于直径AB 的对称点1M ，连结1AM ，OM 1 ．

易得1M AO CAO S S ??=，160AOM ∠=o

∴ ?14π460π1803

AM =

?=o

o ∴ 当点M 运动到1M 时，MAO CAO S S =△△， 此时点M 经过的弧长为

4

π3

． ② 过点1M 作12M M ∥AB 交⊙O 于点2M ，连结2AM ，2OM ，易得2M AO CAO S S =△△．

∴ 112260AOM M OM BOM ∠=∠=∠=o

∴?24π82π33AM =

?= 或 ?24π8120π1803

AM =?=o

o ∴ 当点M 运动到2M 时，MAO CAO S S =△△，此时点M 经过的弧长为

8

π3

． ③ 过点C 作3CM ∥AB 交⊙O 于点3M ，连结3AM ，3OM ，易得3M AO CAO S S =△△

∴ 360BOM ∠=o

，

∴?234π16240π1803AM M =

?=o o

或 ?238π162π33

AM M =?= ∴ 当点M 运动到3M 时，MAO CAO S S =△△，此时点M 经过的弧长为 16

π3

． ④ 当点M 运动到C 时，M 与C 重合，MAO CAO S S =△△， 此时点M 经过的弧长为

4π20300π1803?=o

o

或 16π4π20π333

+=．

【点评】运动过程中出现多种情况，在分类讨论时一定要注意不重不漏． ◆ 迎考精炼 一、 选择题

1．（湖北十堰）如图，△ABC 内接于⊙O ，连结OA 、OB ，若∠ABO＝25°，则∠C 的度数为（ ）．

A ．55°

B ．60° C．65° D．70°

2．（甘肃白银）如图，⊙O的弦AB＝6，M是AB上任意一点，且OM最小值为4，则⊙O的半径为（）

A．5 B．4 C．3 D．2

3.（浙江绍兴）如图，在平面直角坐标系中，⊙P与x轴相切于原点O，平行于y轴的直线交⊙P于M,N两点．若点M的坐标是(2,-1)，则点N的坐标是（）

A．(2,-4) B. (2,-4.5) C.(2,-5) D.(2,-5.5)

这类题设x 算出半径

e于C，若4.（湖北襄樊）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切O

∠．则D

A=o

25

∠等于（）

A．40?B．50?C．60? D．70?

5.（浙江台州）大圆半径为6，小圆半径为3，两圆圆心距

为10，则这两圆的位置关系为（）

A．外离B．外切Ｃ．相交

D．内含

二、填空题

1.(四川成都)如图，△ABC内接于⊙O，AB＝BC，∠ABC＝120°，AD为⊙O的直径，AD＝6，那么BD＝_________．

A

B

C

D

O

2.(贵州安顺)如图，⊙O的半径OA＝10cm，P为AB上一动点，则点P到圆心O的最短距离为___________cm。

3．(甘肃定西)如图，在△ABC中，5cm

AB AC

==，cosB

3

5

=．如果⊙O的半径为10cm，且经过点B、C，那么线段AO＝cm．

4．（年湖南怀化）如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，点E是⊙O上一点，且ο

60

=

∠AEB，则=

∠P__ ___度．

5．（广西崇左）如图，正方形ABCD中，E是BC边上一点，以E为圆心.EC为半径的半圆与以A为圆心，AB为半径的圆弧外切，则sin EAB

∠的值为．

D C

E

B

A

6.（山东威海）如图，⊙O 1和⊙O 2的半径为1和3，连接O 1O 2，交⊙O 2于点P ，O 1O 2=8，若将⊙O 1绕点P 按顺时针方向旋转360°，则⊙O 1与⊙O 2共相切_______次．

7.（ 年黑龙江大兴安岭）已知相切两圆的半径分别为cm 5和cm 4，这两个圆的圆心距是 ． 三、 解答题

1.(四川内江)如图，四边形ABCD 内接于圆，对角线AC 与BD 相交于点E 、F 在AC 上，AB ＝AD ，∠BFC ＝∠BAD ＝2∠DFC.

求证：（1）CD ⊥DF ； （2）BC ＝2CD

2.（湖北仙桃）如图，AB 为⊙O 的直径，D 是⊙O 上的一点，过O 点作AB 的垂线交AD 于点E ，交BD 的延长线于点C ，F 为CE 上一点，且FD ＝FE ． (1)请探究FD 与⊙O 的位置关系，并说明理由； (2)若⊙O 的半径为2，BD ＝3，求BC 的长．

3.（湖南衡阳）如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC ＝2cm ，∠ABC ＝60o． （1）求⊙O 的直径；

（2）若D 是AB 延长线上一点，连结CD ，当BD 长为多少时，CD 与⊙O 相切；

（3）若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以1cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为)20)((<

4．（甘肃兰州）如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，AB 经过圆心O ，且与小圆相交于点

A .与大圆相交于点

B ．小圆的切线A

C 与大圆相交于点

D ，且CO 平分∠ACB ．

(1)试判断BC 所在直线与小圆的位置关系，并说明理由； (2)试判断线段AC .AD .BC 之间的数量关系，并说明理由； (3)若8cm 10cm AB BC ==，，求大圆与小圆围成的圆环的面积．（结果保留π）

参考答案： 一、选择题

1.C

2.A

3.B

4.A

5.A

6. C 二、填空题

1.33

2.6

3.5

4.A

5.3

5

6.3

7.cm 1或cm 9 三、解答题

1.证：（1）设∠DFC ＝θ，则∠BAD ＝2θ 在△ABD 中，∵AB ＝AD ， ∴∠ABD ＝∠ADB

∠ABD＝12（180°-∠BAD）＝90°-θ

又∠FCD＝∠ABD＝90°-θ

∴∠FCD+∠DFC＝90°

∴CD⊥DF

（2）过F作FG⊥BC于G

在△FGC和△FDC中，∠FCG＝∠ADB＝∠ABD＝∠FCD

∠FGC＝∠FDC＝90°,FC＝FC

∴△FGC≌△FDC

∴GC＝CD且∠GFC＝∠DFC

又∠BFC＝2∠DFC

∴∠GFB＝∠GFC

∴BC＝2GC，∴BC＝2CD.

2.解：（1）FD与⊙O相切，理由如下：

连接OD.∵OC⊥AB，∴∠AOC＝90°，∴∠3+∠A＝90°.∵FE＝FD，

∴∠1＝∠2.又∵∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，又∵OA＝OD，∴∠A＝∠4.

∴∠1+∠4＝90°，∴FD与⊙O相切.

（2）∵⊙O的半径为2，∴OB＝2，AB＝4，又∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°.∵OC⊥AB，∴∠ADB＝∠BOC＝90°，又∵∠B＝∠B，∴Rt△AB D∽Rt△CBO

∴AB CB

BD BO

=，即

2

3

CB

=，∴

83

3

BC=.

3.解：（1）∵AB是⊙O的直径（已知）

∴∠ACB＝90o（直径所对的圆周角是直角）

∵∠ABC＝60o（已知）

∴∠BAC＝180o－∠ACB－∠ABC＝ 30o（三角形的内角和等于180o）

∴AB＝2BC＝4cm（直角三角形中，30o锐角所对的直角边等于斜边的一半）即⊙O的直径为4cm．

（2）如图（1）CD切⊙O于点C，连结OC，则OC＝OB＝1/2·AB＝2cm．

∴CD⊥CO（圆的切线垂直于经过切点的半径）

∴∠OCD＝90o（垂直的定义）

∵∠BAC＝ 30o（已求）

∴∠COD ＝2∠BAC ＝ 60o（在同圆或等圆中一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）

∴∠D ＝180o－∠COD －∠OCD ＝ 30o（三角形的内角和等于180o） ∴OD ＝2OC ＝4cm （直角三角形中，30o锐角所对的直角边等于斜边的一半） ∴BD ＝OD －OB ＝4－2＝2（cm ） ∴当BD 长为2cm ，CD 与⊙O 相切． （3）根据题意得：

BE ＝（4－2t ）cm ，BF ＝tcm ；

如图（2）当EF ⊥BC 时，△BEF 为直角三角形，此时△BEF ∽△BAC ∴BE ：BA ＝BF ：BC 即：（4－2t ）：4＝t ：2 解得：t ＝1

如图10（3）当EF ⊥BA 时，△BEF 为直角三角形，此时△BEF ∽△BCA ∴BE ：BC ＝BF ：BA 即：（4－2t ）：2＝t ：4 解得：t ＝1.6

∴当t ＝1s 或t ＝1.6s 时，△BEF 为直角三角形． 4.解：（1）BC 所在直线与小圆相切， 理由如下：过圆心O 作OE BC ⊥，垂足为E ，

AC Q 是小圆的切线，AB 经过圆心O ，

OA AC ∴⊥，又Q CO 平分ACB OE BC ∠⊥，．OE OA ∴=． BC ∴所在直线是小圆的切线．

（2）AC+AD=BC 。理由如下：连接OD ．AC Q 切小圆O 于点A ，BC 切小圆O 于点E ，

CE CA ∴=．

Q 在Rt OAD △与Rt OEB △中，90OA OE OD OB OAD OEB ==∠=∠=o ，，，

Rt Rt OAD OEB ∴△≌△（HL ），EB AD ∴=．BC CE EB =+Q ， BC AC AD ∴=+．（3）90BAC ∠=o Q ，8106AB BC AC ==∴=，，． BC AC AD =+Q ，4AD BC AC ∴=-=．

Q 圆环的面积)(2222OA OD OA OD S -=-=πππ

又222OD OA AD -=Q ， 2

2164cm S ππ==