组合数学(西安电子科技大学(第二版))习题6
习题六（Polya 定理）
1．一张卡片分成42?个方格，每格用红蓝两色涂染，可有多少种方法？ 解：如图所示将卡片的八个格进行编号，则对应集合{1,2,,8}S = ，用红蓝两色
涂染，卡片只能旋转，不能翻转，则可得S 上的置换群12{,}Q p p =， 其中，1(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)p =，2(18)(27)(36)(45)p =， 现在用两种颜色进行涂染，则不同的涂染方案有：
841
(22)1362L =+=（种）
? 若卡片还能翻转，但同一个格子对应的正反面要求同色，
则除了上述两个置换外，还有沿着横、竖两个对称轴翻转的置换
()()()()317283546p =，()()()()412345678p = 从而可知不同的染色方案有：
()8421
223764
L =+?=（种）
? 若同一个格子对应的正反面不要求同色，且卡片既能旋转，又能翻转，
则相应的置换为：
()()()()()()1128q A B H = ，2(18)(27)(36)(45)()()()()q A H B G C F D E = ()()()()()()()()312345678q G H E F C D A B =， ()()()()()()()()412345678q B A D C F E H G =
其中,,,A B H 是卡片的背面分别依序与1,2,,8 对应的格子。 那么，此时的染色方案有
()16831
223165764L =+?=（种）
2．一根木棍等分成n 段，用m 种颜色涂染，问有多少种染法？ 当2n m ==和3n m ==时各有多少种方法？ 解：如图给木棍的每段依次编号为1,2,,n ，
则对应集合{1,2,,}S n = ，用m 中颜色进行涂
染，当n 为偶数时，可得S 上的置换群112{,}Q p p =，其中
1(1)(2)()p n = ，2(1)(21)(1)22
n n
p n n =-+ ，（木棍只能翻转180 ） 用m 种颜色进行涂染，则不同的染色方案有：211()2
n
n
L m m =+；
1 2 …… 1n - n
当n 为奇数时，可得S 上的置换群213{,}Q p p =，其中
3111
(1)(21)(
2)()222
n n n p n n --+=-+ ，
则不同的染色方案有：1221()2
n n
L m m +=+。
综上所述，不同的染色方案有：21
()2
n n L m m ??
????=+。
当2n m ==时，不同的染色方案有：2111
(22)32L =+=
当3n m ==时，不同的染色方案有：3221
(33)182
L =+=
3．正五角星的五个顶点各镶嵌一个宝石，若有m 种颜色的宝石可供选择， 问可以有多少种方案？
解：该问题即：用m 种颜色给正五边形的五个d 顶点染色，有多少种方案。
如图所示的正五边形，可绕其中心O 旋转
0,72,144,216,288
，以及过11'-，22'-，…，55'-等5条轴翻转，从而得到置换群Q 所含的
置换如下：
1(1)(2)(3)(4)(5)p =，2(54321)p =，
3(14253)p =，4(13524)p =， 5(12345)p =，6(1)(25)(34)p =， 7(2)(13)(45)p =，8(3)(15)(24)p =， 9(4)(35)(12)p =，10(5)(14)(23)p =，
根据Polya 定理，不同的染色方案有：
531
(45)10L m m m =++
4．有一个正方形木筐，用漆刷4边。现有三种不同颜色的漆， 可有多少种不同的涂法？
解：如图所示正方形，用三种颜色对正方形的四条边进行涂染。正方形可绕其中
心逆时针旋转0,90,180,270
，及关于两条对角线
和中线进行翻转，于是可得到置换群Q 所包含的置换如下：
1(1)(2)(3)(4)p =，2(1234)p =，3(13)(24)p =，
4(4321)p =，5(14)(23)p =，6(12)(34)p =， 7(1)(24)(3)p =，8(13)(2)(4)p =
根据Polya 定理，不同方案有：412122331
(33333333)218
L =+++++++=（种）
5．一个圆分成6个相同的扇形，分别涂以三色之一，可有多少种涂法？ 解：如图所示，用三个颜色对圆的六个扇形进行涂染，圆可以绕其圆心逆时针旋
转0,60,120,180,240,300 ，于是可以得到置换群Q 所包含的置换如下：
1(1)(2)(3)(4)(5)(6)p =，2(123456)p =， 3(135)(246)p =，4(14)(25)(36)p =， 5(153)(264)p =，6(654321)p =， 根据Polya 定理，则不同的染色方案有：
61231
(323233)1306L =+?+?+=（种）
6．两个变量的布尔函数(,)f x y 的全体关于变量下标可以进行置换时， 其等价类的个数为多少？写出其布尔表达式。
解：设2个输入变量为：12{,}X x x =，其变换群为：12{,}H h h =，
112()()h x x =，212()h x x =，
设12,x x 的状态集合为0123{00,01,10,11}S a a a a =====，则对应于集合
12{,}X x x =的置换i h 必得S 的某个置换i q ，由此可以得到S 的置换群Q 为：
10123()()()()q a a a a =，20123()()()q a a a a =
求不同布尔函数的问题，就相当于求服从群Q 的变换的4个顶点0123
,,,a a a a 用2种颜色（相当于布尔函数的0、1状态）进行染色的方案数。
由Polya 定理可知，其等价类的个数为：431
(22)122
L =+=（个）。
下表给出了由两个变量定义的16个布尔函数，其中的等价类可划分如下（同一括号中的两个函数等价）：
()0f ，()1f ，()24,f f ，()35,f f ，()6f ，()7f ，
()8f ，()9f ，()1012,f f ，()1113,f f ，()14f ，()15f
7．红、蓝、绿三种颜色的珠子，每种充分多，取出4颗摆成一个圆环， 可有多少种不同的摆法？
解： 该问题可等价于从无穷多的珠子中取出四
个摆成一个圆环，然后再用三种颜色对珠子进行着色，问有多少种不同的着色方案。
如图所示，使之重合的运动有逆时针旋转
0,90,180,270 ，及绕四条对称轴翻转，于是可以得到置换群128{,,,}Q p p p = ，其中：
1(1)(2)(3)(4)p =，2(1234)p =，3(13)(24)p =，4(4321)p =， 5(14)(23)p =，6(12)(34)p =，7(13)(2)(4)p =，8(1)(24)(3)p =，
根据Polya 定理，不同排法有：41231
(3233323)218
L =+?+?+?=（种）
8．某物质分子由5个A 原子和3个B 原子组成，8个原子构成一个正立方体， 问最多可能有几类分子？
解：该问题即：用两种颜色a 、b 对正立方体的八个顶点进行着色，求5个顶点
着a 颜色，5个顶点着b 颜色的方案数。
见P140页例6.4.2图6.4.3。使正立方体重合的关于顶点的置换群Q 如下： （1）单位元：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)，格式为8(1)；
（2）绕轴'xx （面-面中心连线）旋转90± 的置换分别为：(1234)(5678)
和(4321)(8765)，格式为2(4)，同类置换共有6个；
（3）绕轴'xx 旋转180 的置换为：(13)(24)(57)(68)，格式为4(2)，
同类共有3个；
（4）绕轴'yy （棱中－棱中）旋转180 的置换为：(17)(26)(35)(48)，
格式为4(2)，同类置换有6个；
（5）绕轴'zz （对角线）旋转120± 的置换分别为：(136)475)(2)(8)和
(136)(574)(2)(8)，格式为22(1)(3)，同类置换共有8个。
则群Q 的轮换指标为：82422
12814
2131(,,,)(698)24
Q P x x x x x x x x =+++ ， 令k k k x a b =+，代入上式得：
844222423321()6()9()8()()24
Q P a b a b a b a b a b ??=
++++++++?? 其中，53a b 的系数为：521
82218324
C C C ??+?=??，即最多可能有3类分子。
9．验证下列函数对于运算(())f g f g x = 是一个群： 1()f x x =，21()f x x =，3()1f x x =-，41()1f x x =-，51()x f x x -=，6()1x
f x x =-
解：设126{,,,}G f f f = ，画出其运算表，便可得以下四条。 （1）封闭性。对任意的,f g G ∈，有(())f g f g x G =∈ ； （2）结合性。对任意的,,f g h G ∈，有()()f g h f g h = ，
函数复合运算本身就满足结合性；
（3）单位元。显然对任意的f G ∈，有11()()()ff x f f x f x ==，
故1f x =是么元。
（4）逆元。22211
()()()f f x f x f x x
===，3331()(1)1(1)()f f x f x x x f x =-=--==，
454111
()(
)()11x f f x f x f x x x x
-====--，
545111
11()()()111x f f x f x f x x x --====--，66611()()()111
x x
x f f x f x f x x x x -====---，
故1236,,,f f f f 的逆元为其自身，45,f f 互为逆元素。
10．用,,,g r b y 四种颜色涂染正方体的六个面，求其中两个面用色g ，两个面用
色y ，其余一面用b ，一面用r 的方案数。
解：见P147例6.6.4图6.6.3，使正方体的面重合的刚体运动群有以下几种情况： （1）不动置换：即单位元(1)(2)(3)(4)(5)(6)，格式为6(1)；
（2）绕过16-面中心的轴AB 旋转90± 的置换分别为：(1)(2345)(6)和
(1)(5432)(，格式为21(1)(4)，类似置换共有6个；
（3）绕轴AB 旋转180 的置换为：(1)(24)(35)(6)，格式为22(1)(2)， 类似置换共有3个；
（4）绕轴CD 旋转180 的置换为：(16)(25)(34)，格式为3(2)， 因为正方体对角线位置的平行棱有6对，故同类置换有6个；
（5）绕对角线EF 旋转120± 的置换分别为：(152)(346)和(643)(251)， 格式为2(3)，同类置换共有8个。
所以轮换指标 622232
12611412231(,,,)636824Q P x x x x x x x x x x ??=++++?? ， 令k k k k k x g r b y =+++代入上式，得：
624444
22222222223333321()6()()24
3()()6()8()Q P g r b y g r b y g r b y g r b y g r b y g r b y g r b y ?=
++++++++++??+++++++++++++++?
则所求的方案数即22g rby 的系数： 62213821120110100124????
????+?=?? ? ???????????
。
11．对一正六面体的八个顶点，用y 和r 两种颜色染色，使其中6个顶点用色y ，其余2个顶点用色r ，求其方案数。
解：见P140页例6.4.2图6.4.3。使正立方体重合的关于顶点的置换群Q 如下： （1）单位元：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)，格式为8(1)； （2）绕轴'xx 旋转90± 的置换分别为：(1234)(5678)和
(4321)(8765)，格式为2(4)，同类置换共有6个；
（3）绕轴'xx 旋转180 的置换为：(13)(24)(57)(68)，格式为4(2)，
同类共有3个；
（4）绕轴'yy 旋转180 的置换为：(17)(26)(35)(48)，格式为4(2)，
同类置换有6个；
（5）绕轴'zz 旋转120± 的置换分别为：(136)475)(2)(8)和
(136)(574)(2)(8)，格式为22(1)(3)，同类置换共有8个。
则群Q 的轮换指标为：82422
12814
2131(,,,)(698)24
Q P x x x x x x x x =+++ ， 令k k k x y r =+，代入上式得：
84422242332
1()6()9()8()()24
Q P y r y r y r y r y r ??=
++++++++?? 则所求的方案数即62y r 的系数：6302
8422198324
C C C C ??+?+?=??。
12．由,,b r g 三种颜色的5颗珠子镶成圆环，共有几种不同的方案？
解：如图所示，使之重合的运动有关于圆心逆时针旋转0,72,144,216,288 ，
及过五条对称轴翻转，故有置换群
1210{,,,}Q p p p = ，其中
1(1)(2)(3)(4)(5)p =，2(12345)p =， 3(135241)p =，4(14253)p =，
5(54321)p =，6(1)(25)(34)p =， 7(13)(2)(45)p =，8(15)(24)(3)p =，
9(12)(35)(4)p =，10(14)(23)(5)p =，
根据Polya 定理，不同的方案数有：
5131
(34353)3910
L =+?+?=（种）
13．一个圆圈上有n 个珠子，用n 种颜色对这n 个珠子着色，问所用颜色数目不少于n 的着色方案数是多少？
解：该问题即：每个珠子用不同的颜色进行着色，求方案数。 用Burnside 引理求解。
n 个珠子用n 种颜色涂染，每个珠子颜色不同，应有!n 种方案。 其中经过旋转和翻转而重合的两个方案只算1种方案。
可以知道，n 个珠子的运动群Q 共有n 个旋转置换和n 个翻转置换， 从而相应于!n 种方案集合的置换群也有2n 个置换，考察在这2n 个置换下方案集12!,,,n f f f ，则
（1）恒等置换：112!()()()n p f f f = ，故11()!p n λ=；
（2）由于所有的珠子颜色均不同，故在其他21n -个置换下，没有一个方案i f
能保持不变，即1213121()()()0n p p p λλλ-==== ；
由Burnside 引理知，不同的方案数为：
11
(!000)(1)!22L n n n =++++=-
14．若已给两个r 色的球，两个b 色的球，用它装在正六面体的顶点，
试问有多少种不同的方案？
解：将没有装球的顶点看为装y 色球，则该问题等价于：
用r 、b 、y 三色给正六面体的8个顶点着色，求两个顶点着r 色，两个顶点
着b 色，四个顶点着y 色的方案数。
见P140页例6.4.2图6.4.3。使正立方体重合的关于顶点的置换群Q 如下： （1）单位元：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)，格式为8(1)； （2）绕轴'xx 旋转90± 的置换分别为：(1234)(5678)和
(4321)(8765)，格式为2(4)，同类置换共有6个；
（3）绕轴'xx 旋转180 的置换为：(13)(24)(57)(68)，格式为4(2)，
同类共有3个；
（4）绕轴'yy 旋转180 的置换为：(17)(26)(35)(48)，格式为4(2)，
同类置换有6个；
（5）绕轴'zz 旋转120± 的置换分别为：(136)475)(2)(8)和
(136)(574)(2)(8)，格式为22(1)(3)，同类置换共有8个。
则群Q 的轮换指标为：82422
12814
2131(,,,)(698)24
Q P x x x x x x x x =+++ ，
令k k k k x r b y =++，代入上式得：
84442222423332
1()6()9()8()()24
Q P r b y r b y r b y r b y r b y ??=+++++++++++++?? 则所求的方案数即22
4
r b y 的系数：84192222411224????
??+?=?? ? ???????
。
15．试说明群5S 的不同格式及其个数。 解：参见例6.3.2，6.3.5。
5S 的格式是满足方程12345123455λλλλλ++++= 的全部非负整数解组。因为5分解拆成最大数不超过5的数的和为多项式
234524345(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x ++++++++++中5x 的系数。其为
2345678934578
(1223322)(1)x x x x x x x x x x x x x x x x
++++++++++++++++ 故5x 的系数为111121317?+?+?+?=，这说明共有7种不同的格式。 根据定理，不同格式中的个数为：
35
12412345123455!
(,,,,)!!!!!12345
D λλλλλλλλλλλλλλλ=
所以，5S 的不同格式及其个数如下表所示：
16．将一正方形均分为4个格子，用两种颜色对4个格子着色，问能得到多少种不同的图像？其中认为两种颜色互换后使之一致的方案属同一类。 解：用Burnside 引理求解。
4个格子用两种颜色着色，不同的染色方案有16种，
设方案集为1216{,,,}N f f f = ，（参见P135例6.3.10图6.3.1）， 其中两种颜色互换后一致的方案认为是同一个方案。则
12{,}G p p =构成群，其中11216()()()p f f f = 为恒等置换，11()16p λ=，
212374859610111213151416()()()()()()()()p f f f f f f f f f f f f f f f f =，12()0p λ=，
根据Burnside 引理知，不同的图像有：1
(160)82
L =+=（种）
? 若正方形允许旋转，即旋转后吻合的方案认为是同一个方案，
则此时不等价的方案有6种（参见P135例6.3.10图6.3.1），即
12371113{,,,,,}H f f f f f f =，若再考虑两种颜色互换后一致的方案认为是同一个方案，可得到H 上的置换群34'{,}G p p =，其中：
312371113()()()()()()p f f f f f f =，13()6p λ=， 412371113()()()()p f f f f f f =，14()2p λ=，
由根据Burnside 引理知，不同的图像有：1
(62)42
L =+=（种）
17．在正四面体的每个面上都任意引一条高，有多少种方案？ 解：如图所示，使正四面体的面重合的运动群为：
（1）单位元(1)(2)(3)(4)，格式为4(1)；
（2）绕过轴AB （顶点-对面中心连线）旋转120±
的置换分别为(123)(4)和(321)(4)，格式为
11(1)(3)，类似的置换共8个；
（3）绕轴CD （棱中-棱中）旋转180 的置换为：
(13)(24)，格式为：2(2)，类似置换共有3个。
除绕顶点－对面中心轴旋转均不会产生不变
的图像外，绕其他轴的旋转相当于用三种颜色给正四面体的面着色，
根据polya 定理，不同的方案有：
421
(38033)912
L =+?+?=（种）
18．一幅正方形的肖像与立方体的一个面一样大，6幅相同的肖像贴在正立方体的6个面上有多少种贴法？
解：见P147例6.6.4图6.6.3，使正方体的面重合的刚体运动群有以下几种情况： （1）不动置换：即单位元(1)(2)(3)(4)(5)(6)，格式为6(1)；
（2）绕过16-面中心的轴AB 旋转90± 的置换分别为：(1)(2345)(6)和
(1)(5432)(，格式为21(1)(4)，类似置换共有6个；
（3）绕轴AB 旋转180 的置换为：(1)(24)(35)(6)，格式为22(1)(2)， 类似置换共有3个；
（4）绕轴CD 旋转180 的置换为：(16)(25)(34)，格式为3(2)， 因为正方体对角线位置的平行棱有6对，故同类置换有6个；
（5）绕对角线EF 旋转120± 的置换分别为：(152)(346)和(643)(251)，
A
D
格式为2(3)，同类置换共有8个。
除了绕面心－面心轴旋转任何度数均不会产生不变的图像外，绕其他轴的旋转都相当于用四个颜色（一幅肖像有4种贴法）给正六面体的面着色。
根据Polya 定理，不同的方案为：
6
321(460306484)19224L =+?+?+?+?=（种）
19．（1）本质上有多少种确实是2个输入端的布尔代数？写出其布尔表达式； （2）本质上有多少种确实是3个输入端的布尔电路？ 解：（1）4212:(1),(1)(2)S ，（见第6题）
根据Polya 定理，不等价的布尔代数有4
31(22)122
L =
+=， 其中包括0个输入端的2个，1个输入端的2个， 故确实是2个输入端的布尔代数有8个；
（2）3S ：8(1) 1个；22(1)(3) 2个；42(1)(2) 3个。（见P146，例6.6.3）
根据Polya 定理，不等价的布尔代数有：8461
(22232)806L =+?+?=，
其中，确实是3输入端的布尔代数有801268-=个。
20．用8个相同的骰子垛成一个正六面体，有多少种方案？
解：见P140页例6.4.2图6.4.3。使正立方体重合的关于顶点的置换群Q 如下： （1）单位元：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)，格式为8(1)； （2）绕轴'xx 旋转90± 的置换分别为：(1234)(5678)和
(4321)(8765)，格式为2(4)，同类置换共有6个；
（3）绕轴'xx 旋转180 的置换为：(13)(24)(57)(68)，格式为4(2)，
同类共有3个；
（4）绕轴'yy 旋转180 的置换为：(17)(26)(35)(48)，格式为4(2)，
同类置换有6个；
（5）绕轴'zz 旋转120± 的置换分别为：(136)475)(2)(8)和
(136)(574)(2)(8)，格式为22(1)(3)，同类置换共有8个。
题目相当于在正六面体每个角上放一个骰子。骰子关于正立方体的不同旋转均不会产生重合现象，共24种方案。因此本题相当于用24种颜色对正六面体的顶点着色。但绕对角线对称轴旋转不会产生重合的图象。
根据Polya 定理，不同的方案有：
82441(2462432462480)458659598424
L =+?+?+?+?=
21．正六面体的6个面和8个顶点分别用红、蓝两种颜色的珠子嵌入。
试问有多少种不同的方案数？（旋转使之一致的方案看作是相同的。） 解：本题相当于把“用两种颜色对正六面体的顶点着色”和“用两种颜色对正六
面体的面着色”结合起来。
如图所示，8个顶点6个面共14个元素的置换群如下：
（1）单位元：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)()()()()()()A B C D E F ，格式为86(1)(1)； （2）绕轴'xx 旋转90± 的置换分别为：(1234)(5678)()()()A B C D E F 和
(4321)(8765)()()()A E D C B F ，格式为221(4)(1)(4)，
同类置换共有6个；
（3）绕轴'xx 旋转180 的置换为：(13)(24)(57)(68)()()()()A B D C E F ，
格式为422(2)(1)(2)，同类共有3个；
（4）绕轴'yy 旋转180 的置换为：(17)(26)(35)(48)()()()A F B E C D ，
格式为43(2)(2)，同类置换有6个；
（5）绕轴'zz 旋转120± 的置换分别为：
(136)475)(2)(8)()()A E B C D F 和 (136)(574)(2)(8)()()F D C B E A ，格式为222(1)(3)(3)，
同类置换共有8个。
根据Polya 定理，不同的染色方案有：
14
58761(262326282)77624
L =+?+?+?+?=（种）
(E)
组合数学题库答案.docx
填空题 1．将 5 封信投入 3 个邮筒，有 _____243_种不同的投法． 2． 5 个男孩和 4 个女孩站成一排。如果没有两个女孩相邻，有43200方法． 3． 22 件产品中有 2 件次品，任取 3 件，恰有一件次品方式数为__ 380 ______． 4．( x y)6所有项的系数和是_64_ _．答案：645．不定方程 x1x2x3 2 的非负整数解的个数为 _ 6 ___． 6 ．由初始条件 f (0)1, f (1) 1 及递推关系 f ( n2) f (n1) f ( n) 确定的数列{ f (n)} ( n0) 叫做Fibonacci数列 10 7．（ 3x-2y ）20的展开式中 x10y10的系数是c20310( 2)10． 8．求 6 的 4 拆分数P4(6)2． 9．已知在Fibonacci数列中，已知 f (3)3,f (4)5, f (5) 8 ，试求Fibonacci 数f (20)10946 10 ．计算P4(12) 4 P4 (12)P k (12)P1 (8)P2 (8)P3 (8)P4 (8) k1 34 P1 (8) P2 (8)P k (5)P k (4)14 5 515 k1k 1 11．P4(9)（ D） A． 5 B. 8 C. 10 D. 6 12．选择题 1．集合 A{ a1 , a 2 ,L , a10 } 的非空真子集的个数为（A） C. 1024 2．把某英语兴趣班分为两个小组，甲组有 2 名男同学， 5 名女同学；乙组有 3 名男同学， 6名女同学，从甲乙两组均选出 3 名同学来比赛，则选出的 6 人中恰有 1 名男同学的方式数是（ D ） A． 800 B. 780 C. 900 D.850 3．设( x , y) 满足条件x y10 ，则有序正整数对( x, y) 的个数为（D） A. 100 C. 50 4．求( x03x12x2x3 )6中 x02 x13 x2项的系数是（C） B. 60 5．多项式(2 x0x14x2x3 )4中项 x02x12x2的系数是（C） A． 78 B. 104 C. 96 D. 48 6．有 4 个相同的红球， 5 个相同的白球，那么这9 个球有（ B）种不同的排列方式 A. 63 B. 126 C. 252 7．递推关系 f (n ) 4 f ( n1) 4 f (n 2) 的特种方程有重根2，则（ B ）是它的一般解 A．c12n 1c2 2n B.(c1c2n)2 n C.c(1n)2 n D.c1 2n c2 2n 8．用数字 1,2,3,4（数字可重复使用）可组成多少个含奇数个1、偶数个 2 且至少含有一个 3 的n (n1) 位数（）运用指数生产定理 A. 4n 3n ( 1)n B.4n3n14n2n 1 .4n3n( 1)n 4433
(完整版)排列组合练习题3套(含答案)
排列练习 一、选择题 1、将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有（） A、81 B、64 C、12 D、14 2、n∈N且n<55，则乘积（55-n）（56-n）……（69-n）等于（） A、 B、 C、 D、 3、用1，2，3，4四个数字可以组成数字不重复的自然数的个数（） A、64 B、60 C、24 D、256 4、3张不同的电影票全部分给10个人，每人至多一张，则有不同分法的种数是（） A、2160 B、120 C、240 D、720 5、要排一张有5个独唱和3个合唱的节目表，如果合唱节目不能排在第一个，并且合唱节目不能相邻，则不同排法的种数是（） A、 B、 C、 D、 6、5个人排成一排，其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有（） A、 B、 C、 D、 7、用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数有（） A、24 B、36 C、46 D、60 8、某班委会五人分工，分别担任正、副班长，学习委员，劳动委员，体育委员，其中甲不能担任正班长，乙不能担任学习委员，则不同的分工方案的种数是（） A、B、C、D、 二、填空题 1、（1）（4P 84+2P 8 5）÷（P 8 6-P 9 5）×0！=___________（2）若P 2n 3=10P n 3，则n=___________ 2、从a、b、c、d这四个不同元素的排列中，取出三个不同元素的排列为 __________________________________________________________________ 3、4名男生，4名女生排成一排，女生不排两端，则有_________种不同排法 4、有一角的人民币3张，5角的人民币1张，1元的人民币4张，用这些人民币可以组成_________种不同币值。
组合数学第二章
课堂中的“空白”艺术 所谓“空白”，就是指空着，没有被填满或没有被利用的部分。在绘画艺术中就有一种美叫做空白美。那么以此为鉴，在课堂教学中也有一种方法称之为——“空白”艺术。现代教育理论认为，数学教学要提供给学生充分体验与交流的机会，使他们真正理解和掌握数学思想和方法。走进新课标，教学的最高宗旨和核心理念是“一切为了每一个学生的发展”。而“发展”是一个生成性的动态过程，作为教师要不断地为学生创设一种“可持续发展”的时间与空间。特别是伴随着新一轮基础教育课程改革的实施和推进，教师的教学行为和学生的学习方式都发生了巨大的改变。在课堂上，教育者要善于适时、适度地巧设“空白”，秉承“学生只有通过自己的真切体验，才能真正对所学内容有所感悟，进而内化为己有，在学习活动实践中逐步学会学习”的课改理念，让学生自主、合作、探究地学习，使他们充分发挥自己的创造性，尽情展示、描绘出属于他们的精彩。 教学内容：北京市21世纪教材九年义务教育教材数学实验本第1册第十一单元《统计初步知识》。 [片段一] 课堂练习1：猜丁克游戏（石头、剪子、布）。 师：大家玩过这个游戏吗？（学生辨认游戏中的手势。）下面请同座位的两个人为一组玩这个游戏，要求统计出你们各自赢的次数填入表格中。 学生一边玩一边用自己喜欢的方式记录如下： 第一种用符号表示：…… 第二种用画图表示：…… 第三种用实物表示：小棒、学具卡片……
第四种用数字表示：1、2、3、…… 第五种用“正”字表示。 学生游戏后，在实物投影上展示自己的记录方式并汇报统计结果。 [评析：这里老师只是提出了学习任务，即“统计出你们各自赢的次数填入表格中”，但对于学习方式即怎样统计、如何记录并没有作出任何要求。因此为学生创设了创新实践的空间，这样的“留白”使学生能够得以彰显其鲜明的个性，并满足其渴望同辈群体认可的价值需求。] [片段二] 课堂练习3：数一数屋里一共有多少个小朋友？ 学生提出质疑：屋外的这些鞋摆放得太乱了！不好数，能不能摆整齐再数呀？ 师：题目要求是数人，你们为什么想到要数鞋呢？ 生：因为有一双鞋就等于有一个人。 师：（数出人数后）你们想对屋里的小朋友说些什么吗？ 生1：你们乱放鞋子，出门时容易被鞋子拌倒，不安全。 生2：你们应该做文明的好孩子。 生3：你们要养成把东西摆放整齐的好习惯。 [评析：作为变式统计练习，这里一方面留有学生逻辑推理的空白，即“有一双鞋就等于有一个人”，渗透“透过现象看本质”的辨证思想；另一方面又留有学生情感、态度的空白，即“你们想对屋里的小朋友说些什么吗？”，由题及事，以事为载体，培养学生正确看待问题的态度以及要做文明好孩子的情感。] 以上两个片段，在教师的巧妙布白之中，学生们各抒己见，主动
6的分解与合成
一、活动目标 1、幼儿通过自主探索动手操作，感知6的分解组成，掌握6的5种分法。 2、在感知数的分解组成的基础上，掌握数组成的递增、递减规律、互相交换的规律。 3、发展幼儿观察力、分析力，记录能力培养幼儿对数学的兴趣。 二、活动重点 感知整体与部分的关系，学习并记录6的5种分法。 三、活动难点 总结归纳6以内数的分解和组成规律。 四、活动准备 教具：黑板上画上两座房子、房子两边各有一个画有空格的6的分解式、6只熊猫卡片、五、活动过程 复习5的分解组合、 对对碰 教师：我说五、 幼儿：我对五、 教师：5可以分成1和几？ 幼儿：5可以分成1和4。 【......】 教师：5可以分成4和几？ 幼儿：5可以分成4和1。 （一）、开始部分 1、导入： 师：秋天来了，大树妈妈写信忙，写给这写给那，红叶黄叶都写光。 许多小动物都收到了树妈妈的信、你们猜树妈妈的信上写了些什么呀？（告诉小动物们 要准备过冬） 师：小动物们收到了树妈妈的信，盖了许多新房子，准备在新房子里暖暖和和的度过冬天。 师：熊猫家分到了两座房子，熊猫家一共有几只熊猫（和幼儿一同点数共六只）出示“6” 的数字卡。 师：6只熊猫两座房子怎样分，熊猫们犯了愁，不知该怎样分，有几种分发。请小朋友 们说一说。 （二）、基本部分 1、请幼儿帮助小熊猫来分房子。 （1）幼儿观察小熊猫，将6只小熊猫分在两座房子里，请幼儿说一说自己分的结果， 教师将每分一次的结果记录下来。
2、教师归纳幼儿的分法，总结出“6”的5种分法。 3、观察幼儿无序的分法，引导学习有序进行“6”的分解组成。 （1）、教师演示给6只熊猫分房子，一边分一边和幼儿点数两座房子里小动物的数量，并记录下分的结果，“6”可以分成1和5、2和4、3和 3、4和2、5和1. （2）、幼儿观察“6”的分解式，初步掌握有序的进行“6”的分解组成，了解数组成的递增、递减规律、互相交换的规律。6 / \ (1) (5) 1+5=6 (2) (4) 2+4=6 (3) (3) 3+3=6 (4) (2) 4+2=6 (5) (1) 5+1=6 （3）、请幼儿读黑板上的分解式：如：6可以分成2和4，2和4组成6，2加4等于6。 (4)作业，先写一个分和式： 6 6 1+5=6 / \ / \ (1) (5) (5) (1) 5+1=6；
组合数学题目及标准答案
组合数学 例1: 将8个“车”放在8×8的国际象棋棋盘上，如果它们两两均不能互吃，那么称8个“车”处于一个安全状态。问共有多少种不同的安全状态? 解：8个“车”处于安全状态当且仅当它们处于不同的8行和8列上。 用一个排列a1,a2,…,a8 ，对应于一个安全状态，使ai 表示第i 行的ai 列上放置一个“车”。这种对应显然是一对一的。因此，安全状态的总数等于这8个数的全排列总数8!＝40320。 例4：n 位客人在晚会上每人与他人握手d 次，d 是奇数。证明n 偶数。 证：由于每一次握手均使握手的两人各增加 一次与他人握手的次数，因此n 位客人与他人握手 次数的总和 nd 是偶数 — 握手次数的2倍。根据奇偶 性质，已知d 是奇数，那么n 必定是偶数。 例４ 从1到2n 的正整数中任取n +1个，则这n +1个数中，至少有一对数，其中一个是另一个的倍数。 证 设n +1个数是a 1, a 2, ···, an +1。每个数去掉一切2的因子，直至剩下一个奇数为止。组成序列r 1, r 2,, ···, rn +1。这n +1个数仍在[1 , 2n ]中，且都是奇数。而[1, 2n ]中只有n 个奇数，故必有ri =rj = r , 则ai = 2αi r , aj = 2αj r 。若ai ＞aj ，则ai 是aj 的倍数。 例5 设a 1, a 2, ···, am 是正整数，则至少存在一对k 和l , 0≤k
6的分解和组成大班数学教案
6的分解和组成大班数学教案 6的分解和组成大班数学教案 作为一位杰出的教职工，通常需要用到教案来辅助教学，教案是教学活动的总的组织纲领和行动方案。那么你有了解过教案吗？下面是小编整理的6的分解和组成大班数学教案，仅供参考，大家一起来看看吧。 活动目标 1、幼儿通过自主探索动手操作，感知6的分解组成，掌握6的5种分法。 2、在感知数的分解组成的'基础上，掌握数组成的递增、递减规律。 3、发展幼儿观察力、分析力，记录能力培养幼儿对数学的兴趣。 活动重点 感知整体与部分的关系，学习并记录6的5种分法。 活动难点总结归纳6以内数的分解和组成规律 活动准备 教具、多媒体课件 活动过程 一、开始部分 1、游戏：对对碰(复习5的分解和组成) 师：我说5.幼：我对5
师：5可以分成1和几幼：5可以分成1和4 (......) 师：5可以分成4和几幼：5可以分成4和1 2、复习2、 3、 4、5的分法与几种，引导出6有5种分法。 3、今天这节活动课，我们一起来学习《6的分解与组成》。(出示课题，领读两遍) 二、基本部分 1、幼儿动手操作积木，探索6的五种分法，并把探索的结果记录在作业纸上。 2、小朋友动手操作，老师巡视指导。 3、请幼儿汇报操作结果。哪位小朋友来把你找到的6的分法告诉老师? (请小朋友发言，并把他们的记录结果板书到黑板上,并比较) 4、引导幼儿观察6的分合式，有什么发现?(提示：两边的数字有什么变化/)左边的数字一个比一个多1，这叫递增，而右边的数字一个比一个少1，这叫递减。还有两组数字位置互换了，但总数没有变。这就是数的分解组成的规律。 5、请幼儿演示6的5种分法。 6、领读6的分合式。 6可以分成1和5,1和5合起来就是6。 三、结束部分 1、小问号的时间到了：他要检查我们小朋友的学习情况。 (1)(课件出示)填上缺少的数字。
组合数学试题集
组合数学试题集 一.简单题目 可以根据需要改成选择题或者填空题 1．在1到9999之间，有多少个每位上数字全不相同而且由奇数构成的整数？（参见课本21页） 解：该题相当于从“1，3，5，7，9”五个数字中分别选出1，2，3，4作排列的方案数； （1）选1个，即构成1位数，共有15P 个； （2）选2个，即构成两位数，共有25P 个； （3）选3个，即构成3位数，共有35P 个； （4）选4个，即构成4位数，共有4 5P 个； 由加法法则可知，所求的整数共有：12345555205P P P P +++=个。 2．一教室有两排，每排8个座位，今有14名学生，问按下列不同的方式入座，各有多少种做法？（参见课本21页） （1）规定某5人总坐在前排，某4人总坐在后排，但每人具体座位不指定； （2）要求前排至少坐5人，后排至少坐4人。 解：（1）因为就坐是有次序的，所有是排列问题。 5人坐前排，其坐法数为(8,5)P ，4人坐后排，其坐法数为(8,4)P ， 剩下的5个人在其余座位的就坐方式有(7,5)P 种， 根据乘法原理，就座方式总共有： (8,5)(8,4)(7,5)28449792000P P P =（种） （2）因前排至少需坐6人，最多坐8人，后排也是如此。 可分成三种情况分别讨论： ① 前排恰好坐6人，入座方式有(14,6)(8,6)(8,8)C P P ； ② 前排恰好坐7人，入座方式有(14,7)(8,7)(8,7)C P P ； ③ 前排恰好坐8人，入座方式有(14,8)(8,8)(8,6)C P P ；
各类入座方式互相不同，由加法法则，总的入座方式总数为： (14,6)(8,6)(8,8)(14,7)(8,7)(8,7)(14,8)(8,8)(8,6)10461394944000 C P P C P P C P P ++= 3．一位学者要在一周安排50个小时的工作时间，而且每天至少工作5小时，问共有多少种安排方案？（参见课本21页） 解：用i x 表示第i 天的工作时间，1,2,,7i =，则问题转化为求不定方程 123456750x x x x x x x ++++++=的整数解的组数，且5i x ≥，于是又可以转化为求不定方程123456715y y y y y y y ++++++=的整数解的组数。 该问题等价于：将15个没有区别的球，放入7个不同的盒子中，每盒球数不限，即相异元素允许重复的组合问题。 故安排方案共有：(,15)(1571,15)54264RC C ∞=+-= （种） ? 另解： 因为允许0i y =，所以问题转化为长度为1的15条线段中间有14个空，再加上前后两个空，共16个空，在这16个空中放入6个“＋”号，每个空放置的“＋”号数不限，未放“＋”号的线段合成一条线段，求放法的总数。从而不定方程的整数解共有： 212019181716(,6)(1661,6)54264654321 RC C ?????∞=+-= =?????（组） 即共有54 264种安排方案。 4.求下列函数的母函数: {(1)}n n -；（参见课本51页） 母函数为： 2 323000222()(1)(1)2(1)(1)(1)n n n n n n x x x G x n n x n n x nx x x x ∞∞∞====-=+-=-=---∑∑∑； ? 方法二： ()()()()()220 22220 02222023 ()(1)00121121n n n n n n n n n n G x n n x x n n x x n n x x x x x x x x x x ∞∞-==∞∞ +==∞+==-=++-"=++=""????== ? ?-???? =-∑∑∑∑∑
大班数学《6的分解组成》活动设计.doc
大班数学《6的分解组成》活动设计 一、活动目标1、幼儿通过自主探索动手操作，感知6的分解组成，掌握6的5种分法。2、在感知数的分解组成的基础上，掌握数组成的递增、递减规律、互相交换的规律。3、发展幼儿观察力、分析力，记录能力培养幼儿对数学的兴趣。二、活动重点感知整体与部分的关系，学习并记录6的5种分法。三、活动难点总结归纳6以内数的分解和组成规律。四、活动准备教具：黑板上画上两座房子、房子两边各有一个画有空格的6的分解式、6只熊猫卡片、五、活动过程 复习5的分解组合、对对碰教师：我说五、幼儿：我对五、教师：5可以分成1和几？幼儿：5可以分成1和4。【......】教师：5可以分成4和几？幼儿：5可以分成4和1。（一）、开始部分1、导入：师：秋天来了，大树妈妈写信忙，写给这写给那，红叶黄叶都写光。许多小动物都收到了树妈妈的信、你们猜树妈妈的信上写了些什么呀？（告诉小动物们要准备过冬）师：小动物们收到了树妈妈的信，盖了许多新房子，准备在新房子里暖暖和和的度过冬天。 师：熊猫家分到了两座房子，熊猫家一共有几只熊猫（和幼儿一同点数共六只）出示“6”的数字卡。师：6只熊猫两座房子怎样分，熊猫们犯了愁，不知该怎样分，有几种分发。请小朋友们说一说。（二）、基本部分1、请幼儿帮助小熊猫来分房子。（1）
幼儿观察小熊猫，将6只小熊猫分在两座房子里，请幼儿说一说自己分的结果，教师将每分一次的结果记录下来。2、教师归纳幼儿的分法，总结出“6”的5种分法。3、观察幼儿无序的分法，引导学习有序进行“6”的分解组成。（1）、教师演示给6只熊猫分房子，一边分一边和幼儿点数两座房子里小动物的数量，并记录下分的结果，“6”可以分成1和5、2和4、3和 3、4和2、5和1.（2）、幼儿观察“6”的分解式，初步掌握有序的进行“6”的分解组成，了解数组成的递增、递减规律、互相交换的规律。6/ \(1) (5) 1+5=6(2) (4) 2+4=6(3) (3) 3+3=6(4) (2) 4+2=6(5) (1) 5+1=6（3）、请幼儿读黑板上的分解式：如：6可以分成2 和4，2和4组成6，2加4等于6。(4)作业，先写一个分和式：6 6 1+5=6/ \ / \ (1) (5) (5) (1) 5+1=6； 2018-03-27 一、活动目标1、幼儿通过自主探索动手操作，感知6的分解组成，掌握6的5种分法。2、在感知数的分解组成的基础上，掌握数组成的递增、递减规律、互相交换的规律。3、发展幼儿观察力、分析力，记录能力培养幼儿对数学的兴趣。二、活动重点感知整体与部分的关系，学习并记录6的5种分法。三、活动难点总结归纳6以内数的分解和组成规律。四、活动准备教具：黑板上画上两座房子、房子两边各有一个画有空格的6的分解式、6只熊猫卡片、五、活动过程
组合数学习题4(共5章)
第四章 生成函数 1. 求下列数列的生成函数： （1）{0,1,16,81,…,n 4,…} 解：G{k 4 }= 235 (11111) 1x x x x x +++-（） （2）343,,,333n +?????????? ? ? ????? ???? 解：3n G n +?????? ?????=4 1(1)x - （3）{1,0,2,0,3,0,4,0,……} 解：A(x)=1+2x 2+3x 4+4x 6+…=2 1 1x -. （4）{1,k ,k 2,k 3,…} 解：A(x)=1+kx+k 2x 2+k 3x 3+…= 1 1kx -. 2. 求下列和式： （1）14+24+…+n 4 解：由上面第一题可知，{n 4}生成函数为 A(x)=235 (11111)1x x x x x +++-（）=0 k k k a x ∞=∑， 此处a k =k 4 .令b n =14 +24 +…+n 4 ，则b n =0n k k a =∑，由性质3即得数列{b n }的生 成函数为 B(x)= 0n n n b x ∞ =∑=() 1A x x -=34 125(1111)i i i x x x x x i ∞ =++++?? ??? ∑. 比较等式两边x n 的系数，便得 14+24+…+n 4 =b n =1525354511111234n n n n n n n n -+-+-+-++++----???????? ? ? ? ? ???????? 321 (1)(691)30 n n n n n =+++- （2）1·2+2·3+…+n (n +1) 解：{ n (n +1)}的生成函数为A(x)= 3 2(1)x x -=0 k k k a x ∞ =∑，此处a k = n (n +1). 令b n =1·2+2·3+…+n (n +1)，则b n =0 n k k a =∑.由性质3即得数列{b n }的生成 函数为B(x)= n n n b x ∞ =∑= () 1A x x -= 4 2(1)x x -=032n k k k x x k =+?? ?? ?∑. 比较等式两边x n 的系数，便得
排列组合习题-(含详细答案)
圆梦教育中心 排列组合专项训练 1.题1 (方法对比，二星) 题面：(1)有5个插班生要分配给3所学校，每校至少分到一个，有多少种不同的分配方法？ (2)有5个数学竞赛名额要分配给3所学校，每校至少分到一个名额，有多少种不同的名额分配方法？ 解析：“名额无差别”——相同元素问题 (法1)每所学校各分一个名额后，还有2个名额待分配， 可将名额分给2所学校、1所学校，共两类： 2 1 33C C +(种) (法2——挡板法) 相邻名额间共4个空隙，插入2个挡板，共： 246C =(种) 注意：“挡板法”可用于解决待分配的元素无差别，且每 个位置至少分配一个元素的问题.(位置有差别，元素无差别) 同类题一 题面： 有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？ 答案：6 9C 详解： 因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成9个空隙。在9个空档中选6个位置插个隔板，可把名额分成7份，对应地分给7个班级，每一种插板 方法对应一种分法共有69C 种分法。 同类题二 题面： 求方程X+Y+Z=10的正整数解的个数。 答案：36. 详解： 将10个球排成一排，球与球之间形成9个空隙，将两个隔板插入这些空隙中（每空至多插一块隔板），规定由隔板分成的左、中、右三部分的球数分别为x 、y 、z 之值, 故解的个数为C 92=36（个）。 2.题2 (插空法，三星) 题面：某展室有9个展台，现有3件展品需要展出，要 求每件展品独自占用1个展台，并且3件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有______种；如果进一步要求3件展品所选用的展台之间间隔不超过两个展位，则不同的展出方法有____种. 答案：60，48 同类题一 题面： 6男4女站成一排，任何2名女生都不相邻有多少种排法？ 答案：A 66·A 47种. 详解： 任何2名女生都不相邻，则把女生插空，所以先排男生再让女生插到男生的空中，共有A 6 6·A 4 7种不同排法． 同类题二 题面： 有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( ) A ．36种 B ．48种 C ．72种 D ．96种 答案：C. 详解：恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个 空位不相邻，先排三个人，然后插空，从而共A 33A 2 4＝72种排法，故选C. 3．题3 (插空法，三星) 题面：5个男生到一排12个座位上就座，两个之间至少隔一个空位． 1]没有坐人的7个位子先摆好， [2](法1——插空)每个男生占一个位子，插入7个位子所成的8个空当中，有： 58A =6720种排法. (法2)[1]5个男生先排好：55A ； [2]每个男生加上相邻的一个座位，共去掉9个位置，当作5个排好的元素，
幼儿园大班数学课《6的分解和组成》教案
幼儿园大班数学课《6的分解和组成》教案活动目标 1、幼儿通过自主探索动手操作，感知6的分解组成，掌握6的5种分法。 2、在感知数的分解组成的基础上，掌握数组成的递增、递减规律。 3、发展幼儿观察力、分析力，记录能力培养幼儿对数学的兴趣。 4、让孩子们能正确判断数量。 5、了解多与少的相对性。 活动重点难点 1、重点：感知整体与部分的关系，学习并记录6的5种分法。 2、难点：总结归纳6以内数的分解和组成规律 活动准备 教具、多媒体课件 活动过程 一、开始部分 1、游戏：对对碰( 复习5的分解和组成) 师：我说5. 幼：我对5 师：5可以分成1和几幼：5可以分成1和4 (......)
师：5可以分成4和几幼：5可以分成4和1 2、复习2、 3、 4、5 的分法与几种，引导出6有5种分法。 3、今天这节活动课，我们一起来学习《6的分解与组成》。(出示课题，领读两遍) 二、基本部分 1、幼儿动手操作积木，探索6的五种分法，并把探索的结果记录在作业纸上。 2、小朋友动手操作，老师巡视指导。 3、请幼儿汇报操作结果。哪位小朋友来把你找到的6的分法告诉老师? (请小朋友发言，并把他们的记录结果板书到黑板上,并比较) 4、引导幼儿观察6的分合式，有什么发现?(提示：两边的数字有什么变化/)左边的数字一个比一个多1，这叫递增，而右边的数字一个比一个少1，这叫递减。还有两组数字位置互换了，但总数没有变。这就是数的分解组成的规律。 5、请幼儿演示6的5种分法。 6、领读6的分合式。 6可以分成1和5,1和5合起来就是6。 三、结束部分
1、小问号的时间到了：他要检查我们小朋友的学习情况。 (1)(课件出示)填上缺少的数字。 (2)(课件出示)填上缺少点。 2、做游戏：今天这节活动课小朋友们学习了6的分解与组合，知道了6有几种分法?(5种)我们一起再来做个游戏。 老：小朋友，告诉我，6可以分成1和几? 幼：刘老师，告诉你，6可以分成1和5。 .......... 四、延伸活动 我们班的小朋友果然很棒，在这么短的时间内就学会了6的分解和组成，现在老师给小朋友们每人布置一个任务，如果小朋友现在有6个桃子，老师想让小朋友分给你的爸爸妈妈吃，那应该怎么分呢?请小朋友回家后分给爸爸妈妈好不好? 活动反思 本次活动的设计根据新《纲要》精神，要求幼儿“从生活和游戏中感知事物的数量关系”，还要关注幼儿探索、操作、交流、问题解决和合作的能力。本学期我们大班幼儿已经学过了《2—5以内各数分解与组成》，对于数的组成孩子们也已经有了一定经验。我尝试让幼儿亲自动手操作、然
组合数学与图论复习题及参考答案
组合数学与图论复习题及答案 1．Show that if n+1 integers are chosen form the set {1,2, …,2n},then there are always two which differ by at most 2. 从{1,2, …,2n}中选出n+1个数，在这n+1个数中，一定存在两个数，其中一个整数能整除另外一个整数。 任何一个数都可以写成2k*L，其中k是非负数，L是正奇数。现在从1到 2n之间只有n个奇数。由于有n+1个数都能表示成2k*L，而L的取值只有n中，所以有鸽子洞原理知道，至少有两个数的L是一样的，于是对应k小的那个就可以整除k大的另一个数。 2．Show that for any given 52 integers there are exist two of them whose sum, or else difference, is divisible 100. 设52个整数a1，a2，…，a52被100除的余数分别是r1,r2,…,r52，而任意一个数被100除余数为0，1，2，…，99，一共100个。他们可以分为51个类{0},{1,99},{2,98},…,{49,51},{50}。将这51个集合视为鸽笼，则将r1,r2,…,r52放入51个笼子中，至少有两个属于同一个笼子，所以要么有ri＝rj，要么有ri＋rj ＝100，也就是说ai－aj|100或者ai＋aj|100。 3．从1，2，3，…，2n中任选n+1个数，证明在这n+1个数中至少有一对数互质。 鸽子洞原理，必有两个数相邻，相邻的两个数互质 4．Prove that Ramsey number R(p,q)≤R(p,q-1)+R(p-1,q). 令N＝R(p,q-1)+R(p-1,q)，从N个人中中随意选取一个a，F表示与a相识的人，S表示与a不相识的人。 在剩下的R(p,q-1)+R(p-1,q)－2＋1个人中，由鸽子洞原理有，或者F中有 R(p,q-1)人，或者S中有R(p-1,q)人。如果F中有R(p,q-1)人，则与a相识的人为p个；如果S中有R(p-1,q)人，则与a不相识的人有p个。所以有R(p,q)≤ R(p,q-1)+R(p-1,q) 5．There are 10 people, either there are 3 each pair of whom are acquainted, or there are 4 each pair of whom are unacquainted。 从10人中随意选一个人p，F表示与p相识的人，S表示与p不相识的人若F中至少有4人，如果至少有4人不相识，则满足题设；如果有2人相识，则加上p有3人相识，也满足题设。 若F中至多有3人，则S中至少有6人，6人中至少有3人相识，或者不相识。如果相识则满足题设，如果不相识加上p不相识的人就有4个，也满足题设。6．In how many ways can six men and six ladies be seated at round table if the men and ladies to sit in alternate seats? 6个男的先进行圆排列，然后6个女的插入空位。 7．In how many ways can 15 people be seated at round table if B refuses to sit next to A? What if B only refuses to sit on A right?
(完整版)排列组合练习题(全集)
排列组合复习题型总结 一、特殊对象问题：优先进行处理 1.有5人排成一列，其中甲不在第一的位置，有多少种排法？ 2.有5人排成一列，其中甲不能在第一，乙不能在最后，有多少种排法？ 二、名额分配问题：名额插挡板法 3.有10个三好学生的名额分给3个班，要求每班至少有一个名额，怎么分？ 4.有7个三好学生的名额，分给3个班，怎么分？ 三、分组分配问题：分配等于先分组，再把组分配出去 5.有6本不同的书，平均分给甲乙丙三人，有多少种分法？ 6.有6本不同的书，平均分为三组，有多少种分法？ 7.有6本不同的书，分甲1本，乙2本，丙3本，有多少种分法？ 8.有6本不同的书，分三组，一组1本，一组2本，一组3本，有多少分法？ 9.有6本不同的书，分给三个人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少种分法？ 10.有9本不同分成三组，一组5本，另外两组各2本，有多少种分法？ 11.有9本不同的书，分给甲乙均2本，丙5本，有多少种分法？ 12.有9本不同的书，分给两人各2本，另一人5本，有多少种分法？ 四、相邻问题：捆绑法 13.8人排成一列，甲乙丙三人必须相邻，有多少种排法？ 14.8人排成一列，甲乙两人必须相邻，且都不和丙相邻，有多少种排法？ 15.一排8个座位，3人坐，5个空座位相邻，有多少种坐法？ 16.一排8个座位，3人坐，其中恰有4个空座位相邻，有多少种坐法？ 五、不相邻问题：插空法 17.某人射击训练，8枪命中3枪，恰好没有任何2枪连续命中，有多少情况？ 18.8人排成一列，甲乙丙三人不可相邻，有多少种排法？ 19.8盏灯关掉3盏，不许关掉相邻的，也不许关掉两端，多少种方法？ 20.某人射击训练，8枪命中3枪，恰好2枪连续命中，有多少种情况？ 六、成双成对问题：先按双取出，再从各双分别取出一只，自然不成双 21.从6双不同鞋子中取出4只，要求都不许成双，有多少种方法？ 22.从6双不同鞋子中取出4只，要求恰好有一双，有多少种方法？ 七、可（不可）重复使用的对象：问题中有两组对象，解决问题时要以不可重复使用的对象作为分步的标准（住店、投信、映射、冠亚军等） 23.5人住3家店，有多少种住法？ 24.若有4项冠军在3个人中产生，没有并列冠军，问有多少种不同的夺冠可能性。
《6的分解组合》教学设计
《6的分解组合》教学设计 这是一篇由网络搜集整理的关于《6的分解组合》教学设计的文档，希望对你能有帮助。 1.学会并掌握6的分解组合。 2.在操作中能发现数的分解过程中互相交换，递增、递减和互补的规律。 3.喜欢用计算插板进行数学活动。 活动准备 计算演示板一块，幼儿每人一套计算插板，练习卡若干。 活动过程 1.认识计算板，激发兴趣 （1）认识计算插板，请幼儿观察并说出其特征上边一行有数字1―10，左边一行也有数字1―10，有插孔。 （2）利用儿歌学习并练习计算板的开盒关盒 开：左右手四指并拢把住盒的两侧下端，大拇指向上推； 关：大拇指把住下端，双手食指向下拉。（注意：手指不能插到小孔中） 幼儿利用儿歌练习开盒关盒。 （3）练习插（收）棋子 插棋子：拿出一串红色棋子放在左下角的插孔上用左手握住，右手一个一个插棋子同时左手要从上往下挡住棋子。 收棋子：可以两手同时收，也可以右手一个一个收回原处。 幼儿用比赛的形式练习插（收）棋子。
2.利用计算板学习6的分解组合 （1）教师：小兔子拔了6个大萝卜，想把它们分别放在红篮子和黄篮子里，都可以怎么放呢？请小朋友帮它分一分。 请一名小朋友说出一种分法，教师用红棋子表示放在红篮子的`萝卜，黄棋子表示放在黄篮子的萝卜，在计算板上摆出。 （3）请幼儿在自己的计算插板上摆出6个萝卜的几种分法。 （4）分别请幼儿说出6个萝卜的分法，教师根据幼儿的分法有规律的在计算演示板上摆出6的分解组合形式，同时用数字对应摆出。 （5）请幼儿观察计算演示板上6的分解组合式，在教师的引导下说出互换、互补、递增、递减的规律。（左边一行比一行多一粒棋子，右边一行比一行少一粒棋子；1和5与5和1、2和4与5和2、数字相同，位置交换了；左边多一个棋子，右边就少一个棋子。） （6）请幼儿按照演示板上摆放的方式，在自己的插板上摆好，和教师一起手口一致地说出6的分解组合。 （7）请幼儿根据板上的棋子数摆上相应的数字，使6的分解组合图示与数字相对应。教师和幼儿再次手口一致说出6的分解组合。 3.游戏：6的分解组合 通过游戏的方式，利用练习卡练习6的分解组合。
6的分解和组成
活动名称：数学活动 活动内容：6的分解和组成 一、活动目标 1.激发幼儿参加数学活动的兴趣。 2.使幼儿通过观察，比较，了解数的组成的互补和互换关系，发展幼儿初步的推理能力。 3.知道6的各组分法。 二、活动准备 １．水彩笔６支。 ２．小石子，纸诺干。 三、活动过程 １．复习５的分解组成。 （１）探索数的组成的互换关系。 教师：“谁知道５可以分成几和几？在黑板上写出５的各组分法。如下图所示： ５５５５ ∧∧∧∧ １４４１２３３２教师：“５可以分成１和４，５可以分成４和１.这两组分法什么地方一样，什么地方不一样？” 教师：“５可以分成２和３,５可以分成３和２.这两组分法什么地方一样，什么地方不一样？” （２）用互换的方法写出５以内各数的组成。
教师在黑板上写出３、４、５各数的一种分法。请幼儿写出另一种。 ２．学习６的分解组成。 （１）教师：“今天，老师带来了６支漂亮的水彩笔。这６支水彩笔分给两个小朋友，可以怎么分？”“请小朋友每人拿６粒小石子试一试，然后做记录。” 幼儿操作探索６的各种分法，教师观察指导。提醒幼儿分完，做记录，找出６的各种分法。 ３．讨论。 （１）教师：“你是怎么分的？怎么记录的？”“你找到了几种分法？”“６有几种分法？” （２）游戏。 教师（出示两个神秘袋）：“请一名小朋友来摸一摸，里面分别有几块糖？然后合起来看看，一共有几块糖？调换其中一个袋中糖果的数目，换别的小朋友来摸。 四、活动延伸 把小石子放在活动室，引导幼儿在日常生活中操作。 五、温馨提示 １．引导幼儿用互换的方法写出６的各种分法。２．幼儿操作作用的小石子要先洗干净。 六、活动反思
组合数学练习题_带答案
组合数学练习题 第一章排列组合 1, 在1到10000之间，有多少个每位上数字全不相同而且由偶数构成的整数？ 本题分为四种情况: 1位整数有4个: 2, 4, 6, 8 2位整数有4*4种方案, 有16个 3位整数有4*4*3种方案, 有48个 4位整数有4*4*3*2种方案, 有96个 总共有4+16+48+96=164个这样的整数. 2, 一教室有两排，每排9个坐位，今有14名学生，问按下列不同的方式入座，各有多少种坐法？(1) 规定某5人总坐在前排，某4人总在后排，但每人具体坐位不指定；(2) 要求前排至少坐5人，后排至少坐4人。 (1)本问中, 第一排和第二排各有5名和4名同学被确定, 那么14名同学中还有5名同学 没有固定在哪一排, 所以可以根据这5名同学的不同排列来计算, 分5种情况考虑; 1) 从这5名同学中选出4名同学坐在第一排, 这4名和固定的5名同学进行全排列、另 外1名同学和第二排固定的4名同学进行全排列，以此类推；2) 从5名同学中选出3 名同学坐第一排; 3) 从5名同字中选出2名同学坐第一排; 4) 从5名同学中选出1名 同学坐第一排; 5) 最后5名同学全部坐在第二排; 把这5种情况的坐法安排数全部加 起来就是结果. C(5,4)*P(9,9)*P(9,5)+C(5,3)*P(9,8)*P(9,6)+C(5,2)*P(9,7)*P(9,7)+ C(5,1)*P(9,6)*P(9,8)+P(9,5)*P(9,9) (2)本问中, 第一排和第二排所坐的同学的数量被确定, 分别是5名和4名, 那么要从14 名同学中把省下的5名同学选出来, 然后再按照坐在不同排的情况进行计算, 同样分5 种情况考虑; 1) 从这5名同学中选出4名同学坐在第一排, 这4名和固定的5名同学 进行全排列、另外1名同学和第二排固定的4名同学进行全排列，以此类推；2) 从5 名同学中选出3名同学坐第一排; 3) 从5名同字中选出2名同学坐第一排; 4) 从5名 同学中选出1名同学坐第一排; 5) 最后5名同学全部坐在第二排; 把这5种情况的坐 法安排数全部加起来再乘以从14名同学中任选出5名同学方法的数就是结果. C(14,5)*[P(9,9)*P(9,5)+P(9,8)*P(9,6)+P(9,7)*P(9,7)+P(9,6)*P(9,8)+ P(9,5)*P(9,9)] 3, n对夫妇,要求排成一男女相间的队伍，试问有多少种不同的方案？若围成一圆桌坐下， 又有多少种不同的方案？围一圆桌而坐且要求每对夫妇坐在一起,又有多少种方案? (1)本问中, 男女各有n名, 分别进行全排列各有n!种方案, 将他们交叉排列就有(n!)2种 方案, 同时男在女前或女在男前又是不同的方案, 所以要乘以2, 所以 方案数为--- 2 (n!)2 (2)本问较第一问要去掉变为圆周排列后的重复度, 总的人数为2n, 用第一问的方案数 除以2n, 所以 方案数为--- (n!)2/n (3)本问中, 每对夫妇交换位置坐的方案数为2n, 再把每对夫妇看成单个元素进行圆周 全排列, 方案为n!/n, 最后把两种方案数相乘, 所以 方案数为--- 2n n!/n 4, 有16名选手，其中6名只能打后卫，8名只能打前锋，2名能打前锋或后卫，今欲选出11人组成一支球队，而且需要7人打前锋，4人打后卫，试问有多少种选法？ 根据2名既能打前锋也能打后卫选手的不同情况来计算方案
排列组合练习题及答案
排列组合习题精选 一、纯排列与组合问题： 1.从9人中选派2人参加某一活动，有多少种不同选法？ 2.从9人中选派2人参加文艺活动，1人下乡演出，1人在本地演出，有多少种不同选派方法？ 3. 现从男、女8名学生干部中选出2名男同学和1名女同学分别参加全校“资源”、“生态”和“环保”三个夏令营活动，已知共有90种不同的方案，那么男、女同学的人数是（ ） A.男同学2人，女同学6人 B.男同学3人，女同学5人 C. 男同学5人，女同学3人 D. 男同学6人，女同学2人 4.一条铁路原有m 个车站，为了适应客运需要新增加n 个车站（n>1），则客运车票增加了58种（从甲站到乙站与乙站到甲站需要两种不同车票），那么原有的车站有 （ ） A.12个 B.13个 C.14个 D.15个 答案：1、2936C = 2、2972A = 3、选 B. 设男生n 人，则有2138390n n C C A -=。4、22 58m n m A A +-= 选C. 二、相邻问题： 1. A 、B 、C 、D 、E 五个人并排站成一列，若A 、B 必相邻，则有多少种不同排法？ 2. 有8本不同的书， 其中3本不同的科技书，2本不同的文艺书，3本不同的体育书，将这些书竖排在书架上，则科技书连在一起，文艺书也连在一起的不同排法种数为( ) A.720 B.1440 C.2880 D.3600 答案：1.242448A A = (2) 选B 3253251440A A A = 三、不相邻问题： 1.要排一个有4个歌唱节目和3个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目都不相邻，有多少种不同排法？ 2、1到7七个自然数组成一个没有重复数字的七位数，其中奇数不相邻的有多少个？ 3.4名男生和4名女生站成一排，若要求男女相间，则不同的排法数有（ ）