一元二次方程全章讲义
九年级上册第二章一元二次方程
一、知识点梳理：
知识点一：一元二次方程的定义 知识点二:开平方法解一元二次方程 知识点三：因式分解法解一元二次方程 知识点四：配方法解一元二次方程 知识点五： 一元二次方程的判别公式 知识点六：韦达定理 知识点七：二元一次方程应用题
二、各知识点讲解：
知识点一 ：一元二次方程的定义 （一）知识点：
1、只含有一个未知数x 的整式方程，并且都可以化成ax 2+bx+c=0（a 、b 、c 为常数，a ≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程．
2、判断一个方程是否为一元二次方程的依据
（1）是一个整式方程 （2）只含有一个未知数（3）未知数的最高次数是2.这三个条件必须同时满足，缺一不可。
3、一元二次方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项.
一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，?经过整理，?都能化成如下ax 2+bx+c=0（a 、b 、c 为常数，a ≠0）的形式．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．
注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号.
（二）、经典例题及相关练习
例题1：判断下列方程是否为一元二次方程？
(1)3x+2=5y-3 (2) x 2=4 (3) 3x 2-5x
=0 (4) x 2-4=(x+2) 2 (5) ax 2
+bx+c=0
练习
1、在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）．
①3x 2+7=0 ②ax 2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x 2-1 ④3x 2-5x
=0 2、下列方程是一元二次方程的有__________。
（1）x 2
+x
1－5=0
（2）x 2
－3xy+7=0
（3）x+12 x =4
（4）m3－2m+3=0 （5）
2
2x2－5=0 （6）ax2－bx=4 3、下列方程中，是关于x的一元二次方程的有___________.
①x2＋2x＋y＝1 ②－5x2＝0 2－1=3x
④（m2＋1）x＋m2＝6 ⑤3x3－x＝0 ⑥x2+1
x
－1=0
例2：一元二次方程一般形式、各项系数及常数项
（1）一元二次方程（x+1）2－x==3（x2－2）化成一般形式是.
（2）把方程(1－3x)(x+3)=2x2+1化为一元二次方程的一般形式,并写出二次项,二次项系数,一次项,一次项系数及常数项.
练习：
1、把一元二次方程（x+2）（x－3）=4化成一般形式，得（）．
A、x2+x－10=0
B、x2－x－6=4
C、x2－x－10=0
D、x2－x－6=0
2、将方程3x2＝2x－1化成一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数和常数项系数可以是( )
A. 3,2,－1
B. 3,－2,－1
C. 3,－2,1
D. －3,－2,1
3、一元二次方程3x2－2=0的一次项系数是________，常数项是_________．
4、方程4x2=3x-2+1的二次项是 ,一次项是 ,常数项是
5、把方程x(x+1)=4(x－1)+2化为一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数、常数项.
例3：利用一元二次方程的定义解题
（1）关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a的取值范围是________．
练习
1、已知（m+3）x2－3mx－1=0是一元二方程，则m的取值范围是。
2、方程（2a—4）x2—2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？
3、当m为何值时,方程(m+1)x 4m-4
+27mx+5=0是关于的一元二次方程？
4、关于x 的方程（2m 2+m ）x m+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？
（2）若方程kx 2+x=3x 2+1是一元二次方程,则k 的取值范围是 练习
1、关于x 的方程232
2
+-=-mx x x mx 是一元二次方程，m 应满足什么条件？
2、a 满足什么条件时，关于x 的方程a （x 2+x ）（x+1）是一元二次方程？
3、当m 满足什么条件时，方程m （x 2+x ）2－（x+1）是关于x 的一元二次方程？
（3）方程(m+2)m x +3mx+1=0是关于x 的一元二次方程,则( )
A.m=±2
B.m=2
C.m=-2
D.m ≠±2
a 是二次项系数，
b 是一次项系数，
c 是常数项，且满足3-a +(b －4)2+|a-b+c|=0，求满足条件的一元二次方程.
练习
1、方程(m-2)m
x
+6mx+15=0是关于x 的一元二次方程,则m 为何值？
2、a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项，且满足1-a +(b －2)2+|a+b+c|=0，求满足条件的一元二次方程.
（4）求证：关于x 的方程（m 2-8m+17）x 2+2mx+1=0，不论m 取何值，该方程都是一元二次方程． 练习
1、 求证：关于x 的方程（m 2-4m+20）x 2+3m+1=0，不论m 取何值，该方程都是一元二次方程．
2、求证：关于x 的方程（m 2 + 5m+7）x 2+9mx+10=0，不论m 取何值，该方程都是一元二次方程．
知识点二：开平方法解一元二次方程
（一）知识点
1、如果方程的一边可化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，就可以用开平方法求解。 开平方法的理论依据是平方根的定义。
2、开平方法的理论依据是平方根的定义。
3、适合用开平方法解的一元二次方程有三种类型：x 2=m(m ≥0);(x+m)2=n(n ≥0);a(x+m)2
=b(ab ≥0且a ≠0)
（二）经典例题
例1：x 2=36 3x 2=37 x 2-48 =68 x 2
+2
27
=0
练习
x 2=625 6x 2=51 x 2-128 =- 60 x 2+5
81=0
例2：(x-1) 2=5 (2x-1) 2=27 (-3x-5) 2=8 (8x+9) 2-169=0 练习
(x-7) 2=63 (6x-2) 2=125 (-5x-11) 2=130 (2x+
3
2)
2
-
8
99
=0 例3：9(x-3)2-49=0 25(-2x+4)2-16=0 -3(x+9)2+9=0
练习
6(2x+5)2-9=0 8(6x+3)2-9=0 -3(-5x-4)2+84=0
.25)1(4
12
=+x .063)4(22=--x (x －m )2=n ．(n 为正数)； 例4
x 2+6x+9=2 2
9614x x ++= -2x 2+4x-2=-1
练习
64=-2
x 2+10x+25=20 x 2-8x+16=25 -5x 2-16x-
5
例5：应用
市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面积增长率．
练习
1、一件商品原来售价100元，经两次连续降价，现在售价为81元,求每次降价的百分率？
2、某化肥厂去年四月份生产化肥500吨，因管理不善，五月份的产量减少了10%，从六月份起强化管理，产量逐月上升，七月份达到648吨，那么该厂六，七两个月的平均增长率是多少？
3、
3、某省为解决农村饮用水问题，省财政部门共投资20亿元对各市的农村饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助．2008年，A市在省财政补助的基础上投入600万元用于“改水工程”，计划以后每年以相同的增长率投资，2010年该市计划投资“改水工程”11 76万元．求A市投资“改水工程”的年平均增长率；
知识点三 :配方法解一元二次方程
（一）知识点：
1、定义:通过把一个一元二次方程配方成完全平方的形式，既的方法得到一元二次方程的根，这种解一
元二次方程的方法叫做配方法。
2、配方法解一元二次方程的一般步骤：
(1)先将已知方程化为一般形式；（2）化二次项系数为1；（3）常数项移到右边；
（4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；
（5）变形为(x+p)2 =q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±q；如果q＜0,方程无实根．
3、用配方法解一元二次方程小口诀
二次系数化为一常数要往右边移
一次系数一半方两边加上最相当
（二）典型例题
类型一：二次项系数为1的一元二次方程
04-322=+y y
解：移项得：4322=+y y 配方得：343322+=++y y 即：7)3(2=+y 解方程得：73±=+y
即：73,7321--=+-=y y
例一：用配方法解下列关于x 的方程
（1）x 2-8x+1=0 （2）x 2-2x-1
2
=0
练习：用配方法解下列关于x 的方程
（1）x 2-14x+24=0 （2）x 2+6x-16=0 （3）x 2+12x-15=0
（4）2
20x -+= （5）
类型二：二次项系数不为一的一元二次方程
用配方法解一元二次方程：2
3580x x +-=
将二次项系数化为1即2
58033
x x +
-= 移项，得2
5833
x x +
= 配方，得2
2
255853636x x ????
++=+ ? ?????
即2
5121636x ?
?+= ??
?
开平方，得56x +
=
移项，得11566x =±- ∴128
13
x x ==-，
例二：用配方法解下列关于x 的方程
（1）2x 2+1=3x （2）3x 2-6x+4=0 （3）4
1 x 2
-x-4=0 （4）-3x 2+5x= -2 练习：用配方法解下列关于x 的方程 （1）2x 2-43
x-2=0 （2）－3x 2
＋22x －24＝0 （3） (4)
类型三：换元法解一元二次方程 例三：用配方法解下列关于x 的方程
① （1+x ）2+2（1+x ）-4=0 ②()()032222
=-+-+x x
练习：① 3（2x+1）2
+5(2x+1)=0 ②（x-1）2+ 8（x-1）=9
例1、 配方法的应用
（1）如果二次三项式9
1
42
+
+mx x 是一个完全平方式，那么m 的值是（ ） （2）若x 2-2（k+1）x+k 2+5是一个完全平方式，求k 的值。
练习：
1、如果()5122
2
+++-m x m x 是一个完全平方公式，则=m _
知识点四：因式分解法解一元二次方程 （一）知识点：
12632=--x x
依据A.B=0则A=0或B=0 因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，?再分别使各一次因式等于0
方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”，
方程形式：如()()2
2
n bx m ax +=+，()()()()c x a x b x a x ++=++ ， 0222=++a ax x
（二）典型例题
例1．解方程
（1）10x-4.9 x 2 =0 （2）x （x-2）+x-2 =0 (3)5x 2-2x-14=x 2-2x+3
4
(4)(x-1) 2 =(3-2x) 2
例2．已知9a 2
-4b 2
=0，求代数式22
a b a b b a ab
+--的值．
例3、()()3532-=-x x x 的根为（ ）
A 25=
x B 3=x C 3,2
5
21==x x D 52=x 例4、若()()044342
=-+++y x y x ，则4x+y 的值为 。 变式1：()()
=+=-+-+2222
2
2
2,06b 则a b a
b a 。
变式2：若()()032=+--+y x y x ，则x+y 的值为 。
变式3：若142
=++y xy x ，282
=++x xy y ，则x+y 的值为 。 例3、方程062
=-+x x 的解为（ ） A.2321=-=，x
x B.232
1-==，x
x C.332
1-==，x
x D.2221-==，x x
例4、解方程： ()
04321322=++++x x 例6、已知02322
2
=--y xy x ,则
y
x y
x -+的值为 。
变式：已知023222=--y xy x ,且0,0>>y x ,则
y
x y
x -+的值为 。 针对练习：
★1、下列说法中：
①方程02=++q px x 的二根为1x ，2x ，则))((212x x x x q px x --=++ ② )4)(2(862--=-+-x x x x . ③)3)(2(6522--=+-a a b ab a ④
))()((22y x y x y x y x -++=- ⑤方程07)13(2=-+x 可变形为
0)713)(713(=-+++x x
正确的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ★2、以71+与71-为根的一元二次方程是（）
A ．0622=--x x
B ．0622
=+-x x C ．0622=-+y y
D ．0622
=++y y
★★3、⑴写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为倒数： ⑵写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为相反数： ★★4、若实数x 、y 满足()()023=++-+y x y x ，则x+y 的值为（ ） A 、-1或-2 B 、-1或2 C 、1或-2 D 、1或2
5、方程：21
2
2
=+
x x 的解是 。 ★★★6、已知06622=--y xy x ，且0>x ，0>y ，求
y
x y
x --362的值。
★★★7、方程()012000199819992
=-?-x x 的较大根为r ，方程012008
20072
=+-x x 的较小根为s ，则s-r 的值为 。
知识点四：公式法解一元二次方程 （一）知识点：
（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b 2-4ac ≥0时，?将a 、b 、c 代入
式子(公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六中运算，加、减、
乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。) （2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．
（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．
公式的理解
（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根． （5）应用公式法解一元二次方程的步骤:1）将所给的方程变成一般形式，注意移项要变号，尽量让a>0.2)找出系数a,b,c,注意各项的系数包括符号。3)计算b 2-4ac ，若结果为负数，方程无解，4）若结果为非负数，代入求根公式，算出结果。
⑴条件：()
04,02≥-≠ac b a 且
⑵公式： a ac
b b x 242-±-=,()04,02≥-≠a
c b a 且
（二）典型例题：
例1．用公式法解下列方程．
（1）2x 2-x-1=0 （2）x 2+1.5=-3x (3) x 21
2
=0 （4）4x 2-3x+2=0 分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可．
例2．某数学兴趣小组对关于x 的方程（m+1）22
m x
++（m-2）x-1=0提出了下列问题．
（1）若使方程为一元二次方程，m 是否存在？若存在，求出m 并解此方程．
（2）若使方程为一元二次方程m 是否存在？若存在，请求出． 你能解决这个问题吗？
针对练习：
一、选择题
1．用公式法解方程4x 2-12x=3，得到（ ）．
A ．
B ．
C ．
D ．
22的根是（ ）．
A ．x 1x 2
B ．x 1=6，x 2
C ．x 1x 2
D ．x 1=x 2
3．（m 2-n 2）（m 2-n 2-2）-8=0，则m 2-n 2的值是（ ）． A ．4 B ．-2 C ．4或-2 D ．-4或2 二、填空题
1．一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的求根公式是________，条件是________． 2．当x=______时，代数式x 2-8x+12的值是-4．
3．若关于x 的一元二次方程（m-1）x 2+x+m 2+2m-3=0有一根为0，则m 的值是_____． 三、综合提高题
1．用公式法解关于x 的方程：x 2-2ax-b 2+a 2=0．
2．设x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根，（1）试推导x 1+x 2=-b a ，x 1·x 2=c a
；（2）?求代数式a （x 13+x 23）+b （x 12+x 22）+c （x 1+x 2）的值．
例3、选择适当方法解下列方程：
⑴().6132
=+x ⑵()().863-=++x x ⑶0142
=+-x x
⑷01432
=--x x ⑸()()()()5211313+-=+-x x x x
例2、在实数范围内分解因式：
（1）3222
--x x ； （2）1842-+-x x . ⑶2
2542y xy x --
说明：①对于二次三项式c bx ax ++2
的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，一般情况要用求根
公式，这种方法首先令c bx ax ++2=0，求出两根，再写成c bx ax ++2
=))((21x x x x a --.
②分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去.
知识点五 ：一元二次方程的判别公式
（一）知识点：
1、 将一元二次方程ax 2＋bx ＋c=0(a≠0)进行配方，
2、根的判别式:
（1）当b 2－4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当b 2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根； （3）当b 2－4ac ＜0时，方程没有实数根．
注意：在使用根的判别公式时，必须先将一元二次方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c=0.
（二）典型例题
类型一：不解方程，判断一元二次方程根的情况。 例1、判断下列方程根的情况
2x 2+x-1=0； x 2-2x-3=0； x 2-6x+9=0； 练习：判断下列方程根的情况 ① 2x 2+3x-4=0 ②
4
1 x 2
-x-4=0 ③ 2x 2+x+1=0 ④ x 2-2x-1=0 ⑤x 2+x+2=0
类型二： 已知一元二次方程根的情况，求方程中字母系数所满足的条件
例：（1）当m 为何值时关于x 的方程（m —4）x 2—（2m —1）x+m=0 有两个实数根？
（2）当m 分别取何值时关于x 的方程（m-1）x 2+（2m-1）x+m-1=0
①有两个不相等的实数根②有两个相等的实数根
③有两个实数根④有一个实数根
⑤有实数根⑥无实数根
练习：
（1）已知关于x的方程ax2－3x＋1=0有实根，求a的取值范围.
（2）关于x的方程x2—2x+k=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）
（3）已知一元二次方程x2－4x＋k=0有两个不相等的实数根.
①求k的取值范围；
②如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2－4x＋k=0与x2＋mx－1=0有一个相同的根，求此时m的值.
类型三：证明方程根的性质
例：（1）求证：无论m为任何实数，关于x的方程x2+（m2+3）x+0.5(m2+2)=0恒有两个不相等的实数根。
（2）已知：关于x 的方程x2+(m-2)x+0.5m-3=0
①求证：无论m取什么实数，这个方程总有两个不相等的实数根
②若这个方程的两个实数根x1，x2满足2x1+x2=m+1，求m的值
（3）已知关于x 的方程（n-1）x 2+mx+1=0 有两个相等的实数根。 求证：关于y 的方程m 2y 2-2my-m 2-2n 2+3=0必有两个不相等的实数根。
练习：
1、已知方程x 2+（a-3）x+3=0在实数范围内恒有解，并且恰有一个解大于1小于2，则a 的取值范围是什么？
2、 已知关于x 的一元二次方程x 2
+(4m+1)x+2m-1=0
求证：不论m 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根。
知识点六：韦达定理 （一）知识点：
韦达定理：对于一元二次方程，如果方程有两个实数根12,x x ，那么
1212,b c
x x x x a a +=-=
利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：
222121212()2x x x x x x +=+-
12
1212
11x x x x x x ++=
22121212()()4x x x x x x -=+-
12||x x -=
说明：(1)定理成立的条件0?≥ （2）注意公式重12b
x x a
+=-
的负号与b 的符号的区别 （二）经典例题 1、计算对称式的值
例1：已知x 1，x 2是方程2x 2－7x ＋4＝0的两根，则x 1＋x 2＝ ，x 12x 2＝ ，4（x 1＋x 2）＝ ，6x 12x 2＝ 。 练习
1、已知12,x x 是一元二次方程25140x x --=的两根，则x 1＋x 2＝ ，x 12x 2＝ ，9（x 1＋x 2）＝ ，9x 12x 2＝ 。
2、 若1x 、2x 是方程22x +2x-17=0的两根，则x 1＋x 2＝ ，x 12x 2＝ ，4（x 1＋x 2）＝ ，6x 12x 2＝ 。
3、已知x 1，x 2是一元二次方程2x -3x+1=0的两根，则x 1＋x 2＝ ，x 12x 2＝ ，7x 1＋7x 2＝ ，8x 12x 2＝ 。
例2：已知x 1，x 2是一元二次方程72x -3x-1=0的两根，求：
(1) 2212x x +； (2)
12
11
x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -
练习
1、已知x 1，x 2是一元二次方程2x -3x+1=0的两根，求
(1) 2212x x +； (2) 12
11
x x +； (3) （x 1-3）（x 2-3）；
(4) 12||x x -
2、已知x 1，x 2是一元二次方程-32x -8x+1=0的两根，求
(1) 2212x x +； (2)
12
11
x x +； (3) （x 1-7）（x 2-7）；
(4) 12||x x -
3、已知方程0232=--x x 的两根为1x 、2x ，且1x >2x ,求下列各式的值:
（1）22
12x x += ；
（2）
2
11
1x x +
= ； （3）=-221)(x x = ； （4）)1)(1(21++x x = .
例3： 若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值： （1） 2221)1()1(+++x x （2）
112112+++x x x x （3） )31
)(31(1
221x x x x ++ （4）3
231x x +
（5）2
1x x （6） 3
231x x -
练习
1、设21,x x 是一元二次方程01522=+-x x 的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
（1） 2221)2()2(+++x x （2）
332112+++x x x x （3） )1
)(1(1
221x x x x ++ （4）3
231x x +
（5）2
1x x （6） 3
231x x -
2、设21,x x 是一元二次方程4x 2－6x-3＝0的的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
（1） 2221)2()2(-+-x x （2）332112+-++-x x x x （3） )1
)(1(1
221x x x x -- （4）3（3
23
1x x +）
（5）2
132x x （6） 3
231x x -
3、设21,x x 是一元二次方程2x 2－6x ＋3＝0的的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
（1） 2221)2()2(+++x x （2）
32322112+++x x x x （3） )3
)(3(1
221x x x x ++ （4）3
231x x +
（5）2
15x x -
（6） 3
231x x -
4、已知：a,b 是一元二次方程x 2+2000x+1=0的两个根，求：（1+2006a+a 2)（1+2006b+b 2)= __________ 例4：关于x 的一元二次方程22(1)10m x x m -++-=有一根为0，则m 的值为______ ，另
一个根为______ .
练习
1、一元二次方程 2
30x mx ++=的一个根为1-，则m 的值为______ ，另一个根为_______.
2、已知关于x 的方程2x -(m+1)x+1-m=0的一根为4，求它的另一个根及m 的值.
3、已知关于x 的方程22x -(m+1)x+1-m=0的一根为-1，求它的另一个根及m 的值.
例5：在关于x 的方程()()07142=-+--m x m x 中，（1）当两根互为相反数时m 的值；（2）若两个根之差为5时m 的值（3）当两根互为倒数时m 的值（4）若方程一根是另一根的2倍，求m 的值
练习
1、若关于x 的方程x 2+2(m －1)x+4m 2=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m 的值为 ;
2、在关于x 的方程()()0712=++---m x m x 中，（1）当两根互为相反数时m 的值；（2）若两个根之差为5时m 的值（3）当两根互为倒数时m 的值（4）若方程一根是另一根的3倍，求m 的值
3、已知关于x 的方程02)15(22=-++-k x k x ，是否存在负数k ，使方程的两个实数根的倒数和等于4？若存在，求出满足条件的k 的值；若不存在，说明理由。
4、已知方程x 2＋px ＋q ＝0的二根之比为1∶2，方程的判别式的值为1．求p 与q 之值，解此方程．
5、关于x 的方程0)2()14(322=++--m m x m x 的两实数根之和等于两实数根的倒数和，求
m 的值.
例6：关于x 的方程04)2(222=++-+m x m x 有两个实数根，且这两根平方和比两根积大21. 求m 的值. 练习
1、已若关于x 的方程03)2(2=---+m x m x 两根的平方和是9. 求m 的值.
2、已知方程032=--m x x 的两根之差的平方是7，求m 的值.
3、 已知关于x 的二次方程2x 2+ax-2a+1=0的两个实根的平方和为71
4
,求a 的值.
2、构造新方程理论：以两个数
为根的一元二次方程是
。
例1： 解方程组 x+y=5 xy=6 练习
1、 解方程组??
???==+23
xy y x
例2：若实数a b ≠，且,a b 满足22850,850a a b b -+=-+=，则代数式11
11
b a a b --+--的值为( ) 练习
1、已知a a -=12，b b -=12，且b a ≠，则=--)1)(1(b a ．
2、若m,n 分别满足：192m +20m+1=0, 2n +20n+19=0，且1≠mn ，求n
m mn 2
32++的值
3、已知a ＋a 2－1＝0，b ＋b 2－1＝0，a ≠b ，求ab ＋a ＋b 的值．
4、若实数x 、y 、z 满足x ＝6－y ，z 2＝xy －9．求证：x ＝y ．
例3：求出以一元二次方程0232=-+x x 的两根的和与两根的积为根的一元二次方程。
练习
1、解方程0242=+-x x ，利用根与系数的关系，求一个一元二次方程，使它的根分别是原方程各根的倒数。
2、
2、若1x 、2x 是方程2x -7x+8=0的两根，求作一个新的方程，使它的两个根分别为：2
112x x
x x 和
3、已知关于x 的方程4x 2+4bx+7b=0有两个相等的实数根,y 1,y 2是关于y 的方程
y 2+(2-b)y+4=0的两个根,.
3、定性判断字母系数的取值范围
例1：m 为问值时，方程x 2＋mx －3＝0与方程x 2－4x －(m －1)＝0有一个公共根？并求出
这个公共根． 练习
1、设方程x 2＋px ＋q ＝0的两根之差等于方程x 2＋qx ＋p ＝0的两根之差，求证：p ＝q 或p ＋q ＝－4．
2、已知方程0122=++mx x 的两实根是21x x 和，方程02=+-n mx x 的两实根是71+x 和
72+x ，求m 和n 的值。
3、已知x 1,x 2是关于x 的方程x 2+px+q=0的两根，x 1+1、x 2+1是关于x 的方程x 2+qx+p=0的两根，求常数p 、q 的值。
例2：当m 取什么实数时，方程0)5()2(42=-+-+m x m x （1）有两个正实根。
第一章一元二次方程复习测试(含答案)
一元二次方程 复习测试 一、选择题（共20分） 1. 如果关于x 的一元二次方程20x px q ++=的两根分别为12x =，21x =，那么p 、q 的 值分别是（ ） A ．-3，2 B. 3，-2 C. 2，-3 D. 2，3 2. 在一元二次方程20ax bx c ++=中，如果a 和c 异号，那么这个方程 （ ） A ．无实数根 B. 有两个相等的实数根 C ．有两个不相等的实数根 D. 不能确定 3. 若2x =-是关于x 的一元二次方程22502 x ax a -+=的一个根，则a 的值为 （ ） A ．1 或 4 B. -1 或-4 C. -1或4 D. 1或4 4.某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元.设每月的平均增长率为x ，则可列方程为（ ） A. 248(1)36x -= B. 2 48(1)36x += B. C. 236(1)48x -= D. 236(1)48x += 5.已知关于x 的一元二次方程20x ax b ++=有一个非零根b -，则a b -的值为 （ ） A ． 1 B. -1 C. 0 D. -2 6. 已知关于x 的一元二次方程22(2)(21)10k x k x -+++=有两个不相等的实数根，则k 的 取值范围是（ ） A. 43k > 且2k ≠ B. 43 k ≥且2k ≠ B. C. 34k >且2k ≠ D. 34k ≥且2k ≠ 7. 下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ） A ．4x 2﹣5x +2=0 B ． x 2﹣6x +9=0 C ． 5x 2﹣4x ﹣1=0 D ．3x 2﹣4x +1=0 8. 某种品牌运动服经过两次降价，每件件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百 分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x ，下面所列的方程中正确的是 （ ） 9. 设x 1，x 2是方程x 2+5x ﹣3=0的两个根，则x 12+x 22的值是（ ） A ． 19 B ． 25 C ． 31 D ． 30
九年级数学上册 第17课时 一元二次方程全章复习 新人教版
教学三维目标知识与技能 1、了解一元二次方程的定义、一般式及其有关概念。 2、利用化归思想,以“降次”为基本策略，掌握配方法、公式法和因 式分解法等一元二次方程的基本解法。 3、求根公式与配方法有什么关系？什么情况下一元二次方程有实数 根？ 4、掌握一元二次方程中根与系数的关系，学会利用整体代入思想解 决一些数学问题。 5、在经历和分析实际问题的过程中，体会一元二次方程的数学建模 作用，进一步提高在实际问题中运用方程这种重要数学工具的基本能 力。 过程与方法通过复习使学生更好地掌握一元二次方程的相关知识和方法。 情感态度价值观 经过复习使学生更好地理解方程的意义和作用，激发学生的学习兴 趣。 教学重点一元二次方程的概念及解法和列一元二次方程解应用题。 教学难点学会利用适当方法解一元二次方程。 学会寻找实际问题中的等量关系，列出一元二次方程。 教具学具三角板、小黑板、PPT等。 本节课预习作业题1. 一元二次方程的一般形式为：，其中是二次项, 是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项。 2. 若 12 ,x x分别是一元二次方程20(0) ax bx c a ++=≠的两个根，则 12 x x += , 12 x x ?=。 3. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（） A.22 312 x x += B. 1 20 x -= C. 20 ax bx c ++= D. 22 21 x x x +=- 4. 方程2 (1)9 x+=的根为（） A. 2 x= B. 4 x=- C. 12 2,4 x x ==- D. 12 0,4 x x == 5.方程x2-3x-5=0的根的情况（） A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 6. 选用合适的方法解下列方程 （1）242 x x +=（2）3 10 22= -x x（3）(x-1)(x+3)=12 7. 恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一 月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率。
一元二次方程(全章共21课教案)人教版
第十二章一元二次方程 第1课一元二次方程 一、教学目的 1．使学生理解并能够掌握整式方程的定义． 2．使学生理解并能够掌握一元二次方程的定义． 3．使学生理解并能够掌握一元二次方程的一般表达式以及各种特殊形式． 二、教学重点、难点 重点：一元二次方程的定义． 难点：一元二次方程的一般形式及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别． 三、教学过程 复习提问 1．什么叫做方程？什么叫做一元一次方程？ 2．指出下面哪些方程是已学过的方程？分别叫做什么方程？ (l)3x+4=l； (2)6x-5y=7； 3．结合上述有关方程讲解什么叫做“元”，什么叫做“次”． 引入新课 1．方程的分类： 通过上面的复习，引导学生答出： 学过的几类方程是 没学过的方程是 x2-70x+825=0，x(x+5)=150． 这类“两边都是关于未知数的整式的方程，叫做整式方程．”而在整式方程中，“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程．” 据此得出复习中学生未学过的方程是 (4)一元二次方程：x2-70x+825=0，x(x+5)=150． 同时指导学生把学过的方程分为两大类：
2．一元二次方程的一般形式 注意引导学生考虑方程 x2-70x+825=0 和方程x(x+5)=150，即x2+5x=150， 可化为：x2+5x-150=0． 从而引导学生认识到：任何一个一元二次方程，经过整理都可以化为 ax2+bx+c=0(a≠0) 的形式．并称之为一元二次方程的一般形式．强调，其中ax2，bx，c分别称为二次项、一次项、常数项；a，b分别称为二次项系数、一次项系数．要特别注意：二次项系数a是不等于0的实数(a=0时，方程化为bx+c=0，不再是二次方程了)；b，c可为任意实数．例把方程5x(x+3)=3(x-1)+8化成一般形式．并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项． 讲解例题 课堂练习 P5-6 1、2 课堂小结 1．方程分为两大类： 判别整式方程与分式方程的关键是看分母中是否含有未知数；判别一元一次方程，一元二次方程的关键是看方程化为一般形式后，未知数的最高次数是一次还是二次．2．一元二次方程的定义：一个整式方程，经化简形成只含有一个未知数且未知数的最高次数是2，则这样的整式方程称一元二次方程．其一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)，其中b，c均可为任意实数，而a不能等于零． 作业：教材中相关习题． 第2课一元二次方程的解法(一) 一、教学目的 1．使学生掌握用直接开平方法解一元二次方程． 2．引导学生通过特殊情况下的解方程，小结、归纳出解一元二次方程ax2+c=0(a＞0，c ＜0)的方法． 二、教学重点、难点 重点：准确地求出方程的根． 难点：正确地表示方程的两个根． 三、教学过程 复习过程 回忆数的开方一章中的知识，请学生回答下列问题，并说明解决问题的依据． 求下列各式中的x： 1．x2=225； 2．x2-169=0；3．36x2=49； 4．4x2-25=0． 回答解题过程中的依据． 解题的依据是：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数．
第一章一元二次方程竞赛拔尖题
8、解方程：(y 4)( y 3)(y 2)( y 1) 1 0 第一章《一元二次方程》竞赛拔尖题 2 1、若关于x 的方程x 2ax A. 2 x 2ax 3a 2 0 B. 2 x 2ax 5a 6 0 C. 2 x 2ax 10a 21 D. 2 x 2ax 2a 3 0 7a 10 0没有实根，那么必有实根的方程是 2、若关于x 的一元二次方程(b c)x 2 (a b)x c a 0有两个相等的实数根， 则a 、b 、 c 之间的关系是( ) b c , a c —— B. b —— 2 2 a b , ---- D. a b c 2 A. a C. c 3、若 2是关于x 的方程x 2 0的一个根，则a 的值为 4、已知 2 x 2 5x 2016 2)3 (x 1)2 1 的值为 x 2 5、满足 / 2 # \ n 2 (n n 1) 1的整数n 有 6、设整数a 使得关于x 的一元二次方程5x 2 5ax 26a 143 0的两个根都是整数，则 a 的值是 2 7、设a 、b 是整数，方程x ax b 0的一根是 7^2/3 ，求a+b 的值
9、求方程x 2 12x 5 5j x 2 12x 9的实数根的和与积 个时，求实数a 的取值范围 11、设等腰三角形的一腰与底边长分别是方程 2 c x 6x a 0的量根，当这样的三角形只有 12、已知3个不同的实数 a 、 2 b 、c 满足a-b+c=3，方程x 2 ax 1 0 和 x bx c 0 有一 个相同的实根，方程 x 2 2 a 0和x cx b 0也有一个相同的实根.求a 、b 、c 的值 13、已知在关于x 的分式方程 k 一 1 --- 二2①和一元二次方程 (2 - k ) x 2 +3mx+ (3 - k ) n=0②中, X - 1 k 、m 、n 均为实数，方程①的根为非负数. (1 )求k 的取值范围; (2)当方程②有两个整数根 X 1、X 2, k 为整数，且k=m+2, n=1时，求方程②的整数根; (3)当方程②有两个实数根 X 1、X 2,满足 x 1 (x 1 - k ) +x 2 (x 2- k ) = (x 1 - k ) (x 2- k ),且 k 为负整数时，试判断 m| W 是否成立？请说明理由. 15支少一元，试求初三年级共有多少学生 ？并确 (2 )若按批发价每购 15支与按零售价每购 定m 的值 10、一个批发兼零售的文具店规定： 凡一次购买铅笔 301支以上(包括301支)可以按批发
《一元二次方程》全章复习与巩固(提高) 知识精讲
《一元二次方程》全章复习与巩固—知识精讲（提高） 【学习目标】 1.了解一元二次方程及有关概念； 2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程； 3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法． 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、一元二次方程的有关概念 1.一元二次方程的概念： 通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 2.一元二次方程的一般式：
3.一元二次方程的解： 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 要点诠释： 判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2. 对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0． 要点二、一元二次方程的解法 1．基本思想 一元二次方程??? →降次一元一次方程 2．基本解法 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 要点诠释： 解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解 法，再考虑用公式法． 要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的 根的判别式，通常用“?”来表示，即ac b 42-=?. （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 2.一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，
讲义一元二次方程讲义
考点一、概念 (1)内容：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程就是一元二次方程。 (2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax （3）关键点：强调对最高次项的讨论：①次数为“2”；②系数不为“0”。 典型例题： 例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ()()12132+=+x x B 02112=-+x x C 02=++c bx ax D 1222+=+x x x 变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。 例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。 针对练习： 1、方程782=x 的一次项系数是 ，常数项是 。 2、若方程()112=?+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。 考点二、方程的解 ⑴内容：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。 ⑵应用：①利用根的概念求代数式的值； 典型例题： 例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。 例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。 说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制. 例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 。 说明：本题的关键点在于对 “代数式形式”的观察，再利用特殊根“-1”巧解代数式的值。 例4、已知b a ≠，0122=--a a ，0122=--b b ，求=+b a 变式：若0122=--a a ，0122=--b b ，则 a b b a +的值为 。 针对练习：
(完整版)一元二次方程全章测试及答案
一元二次方程全章测试及答案 一、填空题 1．一元二次方程x 2－2x ＋1＝0的解是______． 2．若x ＝1是方程x 2－mx ＋2m ＝0的一个根，则方程的另一根为______． 3．小华在解一元二次方程x 2－4x ＝0时，只得出一个根是x ＝4，则被他漏掉的另一个根是 x ＝______． 4．当a ______时，方程(x －b )2＝－a 有实数解，实数解为______． 5．已知关于x 的一元二次方程(m 2－1)x m －2＋3mx －1＝0，则m ＝______． 6．若关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋a ＝0的一个根是3，则a ＝______． 7．若(x 2－5x ＋6)2＋｜x 2＋3x －10｜＝0，则x ＝______． 8．已知关于x 的方程x 2－2x ＋n －1＝0有两个不相等的实数根，那么｜n －2｜＋n ＋1的化 简结果是______． 二、选择题 9．方程x 2－3x ＋2＝0的解是( )． A ．1和2 B ．－1和－2 C ．1和－2 D ．－1和2 10．关于x 的一元二次方程x 2－mx ＋(m －2)＝0的根的情况是( )． A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ．无法确定 11．已知a ，b ，c 分别是三角形的三边，则方程(a ＋b )x 2＋2cx ＋(a ＋b )＝0的根的情况是( )． A ．没有实数根 B ．可能有且只有一个实数根 C ．有两个不相等的实数根 D ．有两个不相等的实数根 12．如果关于x 的一元二次方程02 22=+-k x x 没有实数根，那么k 的最小整数值是( )．A ．0B ．1C ．2D ．3 13．关于x 的方程x 2＋m (1－x )－2(1－x )＝0，下面结论正确的是( )． A ．m 不能为0，否则方程无解 B ．m 为任何实数时，方程都有实数解 C ．当2 1 一元二次方程 一、情境创设 1、小区在每两幢楼之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，则绿地的长和宽各为多少？ 2、学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册，求这两年的年平均增长率？ 3、一个正方形的面积的2倍等于15，这个正方形的边长是多少？ 4、一个数比另一个数大3，且两个数之积为10，求这两个数。 二、探索活动 上述问题可用方程解决： 问题1中可设宽为x 米，则可列方程： x （x +10）= 900 问题2中可设这两年的平均增长率为x ，则可列方程： 5（1＋x ）2 = 7.2 问题3中可设这个正方形的连长为x ，则可列方程： 2x 2 = 15 问题4中可设较小的一个数为x ，则可列方程： x （x ＋3）= 10 观察上面列出的4个方程，它们有哪些相同点？（从方程的概念看） 归纳：像上述方程这样，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程。 注：符合一元二次方程即符合三个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2；③整式方程 任何一个关于x 的一元二次方程都可以化成下面的形式：ax 2＋bx ＋c = 0（a 、b 、c 是常数，且a ≠0） 这种形式叫做一元二次方程的一般形式，其中ax 2、bx 、c 分别叫做二次项、一次项和常数项，a 、b 分别叫二次项系数和一次项系数。 三、例题教学 例 1 根据题意，列出方程： （1）某学校图书馆去年年底有图书1万册，预计到明年年底增加到1.44万册。求这两年图书的年平均增长率。 （2）一块面积为600平方厘米的长方形纸片，把它的一边剪短10厘米，恰好得到一个正方形。求这个正方形的连长。 例 2 判断下列关于x 的方程是否为一元二次方程： ⑴ 2（x 2－1）= 3y ⑵ 32 12=-x x ⑶（x －3）2= （x ＋5）2 ⑷ mx 2＋3x －2 = 0 ⑸ （a 2＋1）x 2 ＋（2a －1）x ＋5―a = 0 例 3 把下列方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项： ⑴ 2（x 2－1）= 3 x ⑵ 3（x －3）2=（x ＋2）2＋7 四、课时作业： 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）． （A ）x 2－1 x =1 （B ）x 2+y=2 （C x 2=2 （D ）x+5=（－7）2 2．方程3x 2=－4x 的一次项系数是（ ）． （A ）3 （B ）－4 （C ）0 （D ）4 3．把一元二次方程（x+2）（x －3）=4化成一般形式，得（ ）． （A ）x 2+x －10=0 （B ）x 2－x －6=4 （C ）x 2－x －10=0 （D ）x 2－x －6=0 4．一元二次方程3x 2x －2=0的一次项系数是________，常数项是_________． 5．x=a 是方程x 2－6x+5=0的一个根，那么a 2－6a=_________． 6．根据题意列出方程： （1）已知两个数的和为8，积为12，求这两个数．如果设一个数为x ，那么另一个数为________， 2016年九年级质量检测 数 学 试 题 （时间 100分钟 满分150分） 温馨提示： 1．本试卷共6页，全卷满分150分，考试时间100分钟。考生答题全部答在答题纸上，在草稿纸、试卷上答题无效。 2．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效。 3．答题卡上作答内容不得使用胶带纸和涂改液，答错的用黑笔涂掉并在上（下）方空白处添上。 4．保持答题纸清洁，不要折叠、不要弄破。 一、选择题（每小题4分，共32分） 1．一元二次方程32x =5x 的二次项系数和一次项系数分别是（ ）． A 3，5 B 3，－5 C 3，0 D 5，0 ２．下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是（ ）． A ()()2 3121x x +=+ B 211 x x +－2=0 C 20ax bx c ++= D 2221x x x -=+ 3. 关于x 一元二次方程225250x x p p -+-+=的一个根为1，p =（ ） A ．4 B ．0或2 C ．1 D ．1- 4．方程()()1132=-+x x 的解的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．没有实数根 C ．有两个相等的实数根 D ．有一个实数根 5．若关于x 的一元二次方程的两个根为11x =，22x =，则这个方程是（ ） A 2320x x +-= B.2320x x -+= C.2230x x -+= D.2320x x ++= 6．根据下列表格对应值： 判断关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的一个解x 的范围是（ ） A.x ＜3.24 B.3.24＜x ＜3.25 C.3.25＜x ＜3.26 D.3.26＜x ＜3.28 7．.以3、4为两边长的三角形的第三边长是方程040132=+-x x 的根，则这个三角形的周长为（ ） A.15或12 B.12 C.15 D.以上都不对 8．某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x 株，可列出的方程是（ ） A.340.515x x +-=）（ （ ） B.340.515x x ++=（）（） C.430.515x x +-=（）（） D.140.515x x +-=（）（） 二．填空题（每小题4分，共32分） 9. 方程3(1)0x x +=的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 . 10．x 的一元二次方程1 (1)(2)30n n x n x n +++-+=中，一次项系数 是 . 11．一元二次方程2 230x x --=的根是 . 12．若关于x 的一元二次方程()()2 2111x m x x x -++=+化成一般形式后 二次项的系数为1，一次项的系数为－1，则m 的值为 。 一元二次方程 ●夯实基础 例1 已知关于x 的方程22(2)1a x ax x --=-是一元二次方程，求a 的取值范围_________． 例2 若一元二次方程222(2)3(15)40m x m x m -+++-=的常数项为零，则m 的值为_________． ●能力提升 1、已知方程2240a b x x x --+=是关于x 的一元二次方程，求a =______、b =______． 2、若方程（m-1）x 2+ x=1是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（ ） A ．m≠1 B ．m≥0 C ．m≥0且m≠1 D ．m 为任何实数 ●培优训练 例3 m 为何值时，关于x 的方程2 ((3)4m m x m x m --+=是一元二次方程． 例4已知方程20a b a b x x ab +---=是关于x 的一元二次方程，求a 、b 的值． ●练习 1、m 为何值时，关于x 的方程2 ((3)4m m x m x m -+=是一元二次方程． 2、已知关于x 的方程22(2)1a x ax x --=-是一元二次方程，求a 的取值范围． 3、已知关于x 的方程22()(2)x a ax -=-是一元二次方程，求a 的取值范围． 4、若 2310a b a b x x +--+=是关于x 的一元二次方程，求a 、b 的值． 5、若一元二次方程222(2)3(15)40m x m x m -+++-=的常数项为零，则m 的值为________ ●夯实基础 (1)2269(52)x x x -+=- 21)x -= (3) 211 063 x x +-= (4) 231y += 板块一 一元二次方程的定义 板块二 一元二次方程的解与解法 初中数学人教版九年级上册实用资料 第二十一章 一元二次方程 21．1 一元二次方程 1．通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，分清二次项及其系数、一次项及其系数与常数项等概念． 2．了解一元二次方程的解的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的解． 重点 通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)和一元二次方程的解等概念，并能用这些概念解决简单问题． 难点 一元二次方程及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别． 活动1 复习旧知 1．什么是方程？你能举一个方程的例子吗？ 2．下列哪些方程是一元一次方程？并给出一元一次方程的概念和一般形式． (1)2x －1 (2)mx ＋n ＝0 (3)1 x ＋1＝0 (4)x 2＝1 3．下列哪个实数是方程2x －1＝3的解？并给出方程的解的概念． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 活动2 探究新知 根据题意列方程． 1．教材第2页 问题1. 提出问题： (1)正方形的大小由什么量决定？本题应该设哪个量为未知数？ (2)本题中有什么数量关系？能利用这个数量关系列方程吗？怎么列方程？ (3)这个方程能整理为比较简单的形式吗？请说出整理之后的方程． 2．教材第2页 问题2. 提出问题： (1)本题中有哪些量？由这些量可以得到什么？ (2)比赛队伍的数量与比赛的场次有什么关系？如果有5个队参赛，每个队比赛几场？一共有20场比赛吗？如果不是20场比赛，那么究竟比赛多少场？ (3)如果有x 个队参赛，一共比赛多少场呢？ 3．一个数比另一个数大3，且两个数之积为0，求这两个数． 提出问题： 本题需要设两个未知数吗？如果可以设一个未知数，那么方程应该怎么列？ 4．一个正方形的面积的2倍等于25，这个正方形的边长是多少？ 活动3 归纳概念 提出问题： (1)上述方程与一元一次方程有什么相同点和不同点？ (2)类比一元一次方程，我们可以给这一类方程取一个什么名字？ 第1讲一元二次方程 新知新讲 题一：下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由． (1)3x+2=5x3；(2)x2 = 4；(3)x2 4=(x+2)2． 题二：将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：(1)6y2 = y；(2)(x2)(x+3)=8；(3)(x+3)(3x4)=(x+2)2． 金题精讲 题一：关于x的方程mx m+1+3x=6是一元二次方程，求m的值． 题二：已知关于x的方程(a+8)x2 +2x+3+a=0是一元二次方程，则a_______． 题三：关于x的方程(m3)x2 +nx+m=0，在什么条件下是一元二次方程？在什么条件下是一元一次方程？ 第2讲一元二次方程的根 新知新讲 题一：下面哪些数是方程2x2 +10x+12=0的根？ -4，3，2，1，0，1，2，3，4． 金题精讲 题一：已知方程5x2 +mx6=0的一个根是x=3，则m的值为________． 题二：如果x=2是方程x2-m=0的一个根，求m的值和方程的另一个根． 题三：你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？ (1)x264=0；(2)3-27x2 =0；(3)4(1-x)2-9=0． 题四：若x=1是关于x的一元二次方程a x2+bx+c=0(a≠0)的一个根，求代数式xx(a+b+c)的值． 第3讲 解一元二次方程——直接开方法 新知新讲 题一：用直接开方法解下列方程． (1)x 2-16=0；(2)4x 2-25=0． 题二：解下列方程． (1)(2x 3)2 = 49；(2)3(x 1)2 6=0． 金题精讲 题一：解下列方程． (1)(x +2)(x 2)=5；(2)x 2 +6x +9=2；(3)x 2 +2x +1=0；(4)4x 2 12x +9=0． 第4讲 解一元二次方程——配方法 新知新讲 配方法： 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法称为配方法． 题一：(1)x 2+8x +_____=(x +_____)2 (2)x 2-10x +_____=(x -_____)2 (3)x 232-x +_____=(x -_____)2 配方法的步骤： (1)化二次项系数为 (2)移项：使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项 (3)方程两边各加上 的平方，使方程变形为2()(0)x m n n +=≥的形式 (4)用直接开方法求方程的解 题二：解下列方程． (1)x 2 2x 2=0；(2)3x 2 6x +4=0． 《一元二次方程》全章复习与巩固—知识讲解（基础） 【学习目标】 1.了解一元二次方程及有关概念； 2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程； 3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法． 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、一元二次方程的有关概念 1.一元二次方程的概念： 通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 2.一元二次方程的一般式： 3.一元二次方程的解： 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 要点诠释： 判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2. 对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0． 要点二、一元二次方程的解法 1．基本思想 一元二次方程???→降次一元一次方程 2．基本解法 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 要点诠释： 解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解 法，再考虑用公式法． 要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“?”来表示，即ac b 42-=? （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 【高清ID 号：388528 关联的位置名称（播放点名称）：根系关系】 2.一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，， 那么a b x x -=+21，a c x x =21. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0. 要点诠释： 1.一元二次方程 的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题： (1)不解方程判定方程根的情况； (2)根据参系数的性质确定根的范围； (3)解与根有关的证明题． 2. 一元二次方程根与系数的应用很多： (1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数； (2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数； (3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程． 要点四、列一元二次方程解应用题 1.列方程解实际问题的三个重要环节： 一是整体地、系统地审题； 二是把握问题中的等量关系； 三是正确求解方程并检验解的合理性. 2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 3.解决应用题的一般步骤： 课 5.已知关于 x 的一元二次方程 x2-2kx+ 一元二次方程知识点总结 定义：两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程． 一般地，任何一个关于x的一元二次方程， 经过整理， 都能化成如下形式．这种形式叫做一元二次方程的一般形式． 一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项． 注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号. 基本解法 ①直接开平方法: 对于形如的方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用直接开平方法求解。 ②配方法： (1)现将已知方程化为一般形式； (2)化二次项系数为1； (3)常数项移到右边； (4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式； (5)变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根． ③公式法: (1)把一元二次方程化为一般式。 (2)确定a,b,c的值。 (3)代入中计算其值，判断方程是否有实数根。 (4)若代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。 【小试牛刀】 方程ax2+bx+c=0的根为 ④因式分解法 ·因式分解法解一元二次方程的依据: 如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个0，即:若ab=0，则a=0或b=0。 ·步骤： (1)将方程化为一元二次方程的一般形式。 (2)把方程的左边分解为两个一次因式的积，右边等于0。 (3)令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程。 (4)解出这两个一元一次方程的解，即可得到原方程的两个根。 根的判别情况 一元二次方程两根与系数的关系： ---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 九年级上第一章一元二次方程单元测试试卷含答案第 1 章一元二次方程单元测试一、选择题（每题 3 分，共 24 分） 1．下列方程中，关于 x 的一元二次方程是（） C. ax 2 ? bx ? c ? 0 D. x 2 ? 2 x ? x 2 ? 11 1 ? ?2?0 2 x x 2 2．方程 x ? 5 x ? 6 ? 0 的两根为( ) A． 6 和-1 B．-6 和 1 3．下列方程中，有两个不等实数根的是（A. 3?x ? 1? ? 2?x ? 1?2B.C．-2 和-3 ）B． x 2 ? 5 x ? ?102 D． x ? 7 x ? ?5x ? 3D．2 和 3A． x 2 ? 3 x ? 82 C． 7 x ? 1 4 x ? 7 ? 04．一元二次方程 x2+kx-3=0 的一个根是 x=1,则另一个根是（ A.3 B.-1 C.-32 2） D.-25．若关于x 的一元二次方程 (m ? 1) x ? 5x ? m ? 3m ? 2 ? 0 的常数项为 0，则 m 的值等于（ A．1 ） B．2 C．1 或 24 x ? 6 的值为（ 3D．0 ）6．已知代数式 3x 2 ? 4 x ? 6 的值为 9，则 x 2 ?A．18 B．12 C．9 D ．7 7．某农机厂四月份生产零件 50 万个，第二季度共生产零件182 万个.设该厂五、六月份平均每月的增长率为 x，那么 x 满足的方程是（） 2 A、50(1+x) =182 B．50+50(1+x)+50(1+x)2=182 C、50(1+2x)＝182 D．50+50(1+x)+50(1+2x)=182 8．如果关于 x 的一元二次方程 x2+px+q=0 的两根分别为 x1=2，x2=1，那么 p，q 的值分别是( ) （C）2，－3 （D）2，3（A）－3，2 （B）3，-2 二、填空题（每题 3 分，共 24 分）2 9．方程 x ? 3x ? 1 ? 0 的解是． . ．．．10．已知x = 1 是关于x 的一元二次方程2x2 + kx – 1 = 0 的一个根，则实数k 的值是2 11．关于 x 的一元二次方 1/ 7 一元二次方程根与系数关系及应用题（讲义） 一、知识点睛 1．从求根公式中我们发现12x x +=_______，12x x ?=_________， 这两个式子称为_____________，数学史上称为___________． 注：使用___________________的前提是_________________． 2．一元二次方程应用题的常见类型有： ①______________；②______________；③______________． 增长率型 例如：原价某元，经过两次连续降价（涨价）； 1人患了流感，经过两轮传染． 经济型 例如：“每涨价××元，则销量减少××件”． 3．应用题的处理流程： ① 理解题意，辨析类型； ② 梳理信息，建立数学模型； ③ 求解，结果验证． 二、精讲精练 1. 若x 1，x 2是一元二次方程2274x x -=的两根，则x 1+x 2与12x x ?的值分别是 （ ） A ．7错误!未找到引用源。，4 B ．7 2-，2 C ．7 2，2 D ．72 ， -2 2. 若x 1 =2是一元二次方程210x ax ++=的一个根，则 该方程的另一个根x 2=_________，a =________． 3. 若关于x 的方程2210x x a ++-=有两个负根，则a 的取值范围是 ____________________． 4. 若关于x 的方程2220x x m +-=的两根之差的绝对值是则m =________． 5. 某商品原售价289元，经过连续两次降价后售价256元．设平均每次降价的 百分率为x ，则下面所列方程正确的是（ ） A ．2289(1)256x -= B ．2256(1)289x -= C ．289(12)256x -= D ．256(12)289x -= 6. 据调查，某市2013年的房价为6 000元/米2，预计2015年将达到8 840元/ 米2，求该市这两年房价的年平均增长率．设年平均增长率为x ，根据题意，所列方程为_______________． 7. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，则每轮传染中平均 一个人传染了________________个人． 21．1 一元二次方程（1） 基础知识梳理 1.只含有 ___个未知数,并且未知数的最高次数是___ 的整式方程叫做一元二次方程. 2.一元二次方程的一般形式是___________ ,其中ax 2是____________，_____是二次项系数；bx 是__________, _____是一次项系数；_____是常数项。（注意：二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号。二次项系数0a ≠是一个重要条件，不能漏掉。） 3.使方程左右两边_____的未知数的值是一元二次方程的解,一元二次方程的解也叫做一元二次方程的_______, 知识点1 一元二次方程的定义 【例1】判断下列方程是否为一元二次方程： 2222 2(1)10(3)23x 10x x (5)(3)(3)x x -==+=-22 ｘ (2)2(x -1)=3y 12 ｘ－－ (4) －=0 (6)9x =5－4x 知识点2 一元二次方程的一般形式 【例2】将方程（8-2x ）（5-2x ）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项． 练习1.：将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项： ① 52x -1=4x ② 42x =81 ③－2x 2+1=6x ④ 4x(x+2)=25 ⑤(3x-2)(x+1)=8x-3 知识点3 一元二次方程的解 【例3】已知1是关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋x ＋1＝0的一个根，则m 的值是( ) A.1 B.－1 C.0 D.无法确定 练习：2.下面哪些数是方程x 2 +x-12=0的根？ -4， -3， -2， -1， 0， 1， 2， 3， 4。 3.你能想出下列方程的根吗？ (1) x 2 -36 = 0 (2) 4x 2 -9 = 0 知识点4 列一元二次方程 4.根据下列问题，列出关于x 的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式： 1)若两相邻偶数的积为528,设较小的一个偶数为x,则可以列方程____________． 2）如图,在宽为20 m,长30 m 的矩形场地上,修筑同样宽的两条道路,余下的部分作为耕地,要使耕地的面积为500 m 2,若设路宽为x m,则可得关于x 的一元二次方程的一般形式为____________． 3）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x; 4）一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x ； 【巩固练习】 5.在下列方程中，一元二次方程有_____________． ①2370x += ②20ax bx c ++= ③（x-2）（x+5）=2x -1 ④25 30x x - = 6． 2230px x p q -+-=是关于x 的一元二次方程，则（ ）． A ．p=1 B ．p>0 C ．p ≠0 D ．p 为任意实数 7.方程22x =3（x-6）化为一般式后二次项系数、?一次项系数和常数项分别是（ ）． A ．2，3，-6 B ．2，-3，18 C ．2，-3，6 D ．2，3，6 8．方程3x 2-3=2x+1的二次项系数为_______，一次项系数为 ______，常数项为_________． 9.已知方程2 390x x m -+=的一个根是1，则m 的值是 ______.苏科版九年级数学上册《第一章 一元二次方程》教案
第一章 一元二次方程单元测试卷(含答案)
一元二次方程讲义-绝对经典实用教案.doc
初中数学人教版九年级上册：第21章《一元二次方程》全章教案
九年级数学上册 第一章 一元二次方程(第1讲-第14讲)讲义 (新版)苏科版
《一元二次方程》全章复习与巩固—知识讲解(基础)
初中一对一精品辅导讲义：一元二次方程应用
题
一元二次方程的应用
1、综合运用一元二次方程和其他数学知识解决如面积、利润、增长率与降低 率等生活中的实际问题。 2、注意找准等量关系及检验根是否符合实际意义。 3、从现实问题中构建一元二次方程数学模型。
教学目标
重点、难点 考点及考试要求
会运用一元二次方程解决简单的实际问题 1.一元二次方程的应用 2.一元二次方程实际问题
教
第一课时
学
内
容
一元二次方程的应用知识梳理
课前检测
1.已知三角形两边长分别为 2 和 9,第三边的长为二次方程 x2-14x+48=0 的一根, 则这个三角形的周 长为( A.11 ) B.17 C.17 或 19 D.19
2.已知两数的积是 12,这两数的平方和是 25, 以这两数为根的一元二次方程是___________. 3.用适当的方法解下列一元二次方程. （1）. (3 ? x)2 ? x2 ? 5 （2）. x2 ? 2 3x ? 3 ? 0
4．若方程（m－2）xm2－5m+8+(m+3)x+5=0 是一元二次方程，求 m 的值
1 2 k -2=0. 求证:不论 k 为何值,方程总有两不相等实数根. 2
知识梳理
、答 ?步骤：设、列、解、验 ? ?增长率（降低率）问题 ? ? ? ? ?利润问题 1. 一元二次方程的实际应用 ? ? ?常见类型?面积问题 ?数字问题 ? ? ? ? ? ?动点问题 ?
2. 解题循环图：
3. 利用一元二次方程解决许多生活和生产实际中的相关问题，它的一般方法是： （1）根据题意找到等量关系，列出一元二次方程。 （2）特别要对方程的根注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性。
第二课时
一元二次方程的应用典型例题一元二次方程知识点总结(全章齐全)
九年级上第一章一元二次方程单元测试试卷含答案
5一元二次方程的应用尖子班讲义
一元二次方程(全章)学习资料