北京版高考物理 专题五 万有引力与航天
专题五万有引力与航天
挖命题
【考情探究】
分析解读万有引力定律是力学中一个重要的基本规律,万有引力定律在天体运动问题上的应用以及在人造卫星、宇宙飞船、航天飞机等航天技术上的应用是我国科学技术成就较大的地方,是社会的热点,也是高考的热点。
【真题典例】
破考点
【考点集训】
考点一天体的运动
1.万有引力定律是科学史上最伟大的定律之一,利用它我们可以进行许多分析和预测。2016年3 月8 日出现了“木星冲日”。当地球位于太阳和木星之间且三者几乎排成一条直线时,天文学家称之为“木星冲日”。木星与地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳近似做匀速圆周运动,木星到太阳的距离大约是地球到太阳距离的5 倍。下列说法正确的是( )
A.木星运行的加速度比地球的大
B.木星运行的周期比地球的小
C.下一次的“木星冲日”时间肯定在2017年
D.下一次的“木星冲日”时间肯定在2018年
答案C
2.为了验证拉住月球使它围绕地球运动的力与拉着苹果下落的力以及地球、众行星与太阳之间的作用力是同一性质的力,同样遵从平方反比定律,牛顿进行了著名的“月—地检验”。已知月地之间的距离为60R(R为地球半径),月球围绕地球公转的周期为T,引力常量为G。则下列说法中正确的是( )
A.物体在月球轨道上受到的地球引力是其在地面附近受到的地球引力的
B.由题中信息可以计算出地球的密度为
C.物体在月球轨道上绕地球公转的向心加速度是其在地面附近自由下落时的加速度的
D.由题中信息可以计算出月球绕地球公转的线速度为
答案C
3.行星在太阳的引力作用下绕太阳公转,若把地球和水星绕太阳的运动轨迹都近似看做圆。已知地球绕太阳公转的半径大于水星绕太阳公转的半径,则下列判断正确的是( )
A.地球的线速度大于水星的线速度
B.地球的角速度大于水星的角速度
C.地球的公转周期大于水星的公转周期
D.地球的向心加速度大于水星的向心加速度
答案C
4.由于地球自转的影响,地球表面的重力加速度会随纬度的变化而有所不同。已知地球表面两极处的重力加速度大小为g0,在赤道处的重力加速度大小为g,地球自转的周期为T,引力常量为G。假设地球可视为质量均匀分布的球体。求:
(1)质量为m的物体在地球北极所受地球对它的万有引力的大小;
(2)地球的半径;
(3)地球的密度。
答案(1)质量为m的物体在两极所受地球的引力等于其所受的重力。
即F=mg0
(2)设地球的质量为M,半径为R,在赤道处随地球做圆周运动的物体的质量为m。
物体在赤道处随地球自转做圆周运动的周期等于地球自转的周期,轨道半径等于地球半径。
根据万有引力定律和牛顿第二定律有-mg=m R
-在赤道处的物体所受地球的引力等于其在两极所受的重力,即=mg0,解得R=
(3)因为在两极处有G=mg0,所以M=
又因地球的体积V=πR3,所以ρ==
-
考点二人造卫星和宇宙速度
5.“北斗”卫星导航定位系统由地球静止轨道卫星、中轨道卫星和倾斜同步卫星组成。地球静止轨道卫星和中轨道卫星都在圆轨道上运行,它们距地面的高度分别为h1和h2,且h1>h2。则下列说法中正确的是( )
A.静止轨道卫星的周期比中轨道卫星的周期大
B.静止轨道卫星的线速度比中轨道卫星的线速度大
C.静止轨道卫星的角速度比中轨道卫星的角速度大
D.静止轨道卫星的向心加速度比中轨道卫星的向心加速度大
答案A
6.宇航员在月球表面附近高h处释放一个物体,经时间t后落到月球表面,月球半径为R。在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动的宇宙飞船速率为( )
A.2
B.
C.
D.
答案C
7.“天舟一号”货运飞船在海南文昌航天发射中心成功发射升空,与天宫二号空间实验室交会对接。已知地球质量为M,引力常量为G,将地球视为半径为R、质量均匀分布的球体。
(1)求飞船在距地面高度为h的圆轨道上运行时线速度的大小v;
(2)已知地球的自转周期为T,求将质量为m的飞船停放在赤道上时飞船受到重力的大小G船;
(3)海南文昌航天发射场是我国的低纬度滨海发射基地,相比高纬度发射基地,发射相同的同步轨道静止卫星可节省燃料,请你从能量的角度说明可能的原因是什么(写出一条即可)。
答案(1)根据万有引力定律和牛顿第二定律有
G=m
解得v=
(2)根据万有引力定律及向心力公式,有F引=G及F向=m R
F引=F向+G船
解得G船=G-m R
(3)在任何地点发射卫星,需要达到的环绕速度是相同的。卫星在地球表面上的不同纬度,随地球自转,由于角速度相同,依据v0=ωr,因为低纬度r大,所以由地球自转获得的v0大,卫星具有的初动能就较大,因此可以节省燃料。
炼技法
【方法集训】
方法1 重力和重力加速度的计算方法
1.关于静止在地球表面(两极除外)随地球自转的物体,下列说法正确的是( )
A.物体所受重力等于地球对它的万有引力
B.物体的加速度方向可能不指向地球中心
C.物体所受合外力等于地球对它的万有引力
D.物体在地球表面不同处角速度可能不同
答案B
2.假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球质量为M,半径为R,自转的周期为T,引力常量为G。求:
(1)地球同步卫星距离地面的高度H;
(2)地球表面在两极的重力加速度g;
(3)地球表面在赤道的重力加速度g0。
答案(1)-R (2)(3)-
方法2 卫星变轨道问题
3.一人造卫星绕地球运动,由于受到稀薄气体阻力的作用,其轨道半径会缓慢发生变化。若卫星绕地球运动一周的过程都可近似看做圆周运动,则经过足够长的时间后,卫星绕地球运行的( )
A.半径变大,角速度变大,速率变大
B.半径变小,角速度变大,速率变大
C.半径变大,角速度变小,速率变小
D.半径变小,角速度变小,速率变小
答案B
4.(多选)2013年12月6日,“嫦娥三号”携带月球车“玉兔号”运动到地月转移轨道的P点时做近月制动后被月球俘获,成功进入环月圆形轨道Ⅰ上运行,如图所示。在“嫦娥三号”沿轨道Ⅰ经过P点时,通过调整速度使其进入椭圆轨道Ⅱ,在沿轨道Ⅱ经过Q点时,再次调整速度后又经过一系列辅助动作,成功实
现了其在月球上的“软着陆”。对于“嫦娥三号”沿轨道Ⅰ和轨道Ⅱ运动的过程,若以月球为参考系,且只考虑月球对它的引力作用,下列说法中正确的是( )
A.沿轨道Ⅱ经过P点时的速度小于经过Q点时的速度
B.沿轨道Ⅱ经过P点时的机械能小于经过Q点时的机械能
C.沿轨道Ⅰ经过P点时的速度大于沿轨道Ⅱ经过P点时的速度
D.沿轨道Ⅰ经过P点时的加速度大于沿轨道Ⅱ经过P点时的加速度
答案AC
过专题
【五年高考】
A组基础题组
1.(2015北京理综,16,6分)假设地球和火星都绕太阳做匀速圆周运动,已知地球到太阳的距离小于火星到太阳的距离,那么( )
A.地球公转周期大于火星的公转周期
B.地球公转的线速度小于火星公转的线速度
C.地球公转的加速度小于火星公转的加速度
D.地球公转的角速度大于火星公转的角速度
答案D
2.(2018课标Ⅲ,15,6分)为了探测引力波,“天琴计划”预计发射地球卫星P,其轨道半径约为地球半径的16倍;另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍。P与Q的周期之比约为( )
A.2∶1
B.4∶1
C.8∶1
D.16∶1
答案C
3.(2018北京理综,17,6分)若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律,在已知月地距离约为地球半径60倍的情况下,需要验证( )
A.地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的1/602
B.月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的1/602
C.自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的1/6
D.苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的1/60
答案B
B组提升题组
1.(2016北京理综,18,6分)如图所示,一颗人造卫星原来在椭圆轨道1绕地球E运行,在P点变轨后进入轨道2做匀速圆周运动。下列说法正确的是( )
A.不论在轨道1还是轨道2运行,卫星在P点的速度都相同
B.不论在轨道1还是轨道2运行,卫星在P点的加速度都相同
C.卫星在轨道1的任何位置都具有相同加速度
D.卫星在轨道2的任何位置都具有相同动量
答案B
2.(2016江苏单科,7,4分)(多选)如图所示,两质量相等的卫星A、B绕地球做匀速圆周运动,用R、T、E k、S 分别表示卫星的轨道半径、周期、动能、与地心连线在单位时间内扫过的面积。下列关系式正确的有( )
A.T A>T B
B.E kA>E kB
C.S A=S B
D.=
答案AD
3.(2018课标Ⅱ,16,6分)2018年2月,我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318+0253”,其自转周期T=5.19 ms。假设星体为质量均匀分布的球体,已知引力常量为6.67×10-11 N·m2/kg2。以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为( )
A.5×109 kg/m3
B.5×1012 kg/m3
C.5×1015 kg/m3
D.5×1018 kg/m3
答案C
4.(2016天津理综,3,6分)我国即将发射“天宫二号”空间实验室,之后发射“神舟十一号”飞船与“天宫二号”对接。假设“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动,为了实现飞船与空间实验室的对接,下列措施可
行的是( )
A.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行,然后飞船加速追上空间实验室实现对接
B.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行,然后空间实验室减速等待飞船实现对接
C.飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速,加速后飞船逐渐靠近空间实验室,两者速度接近时实现对接
D.飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速,减速后飞船逐渐靠近空间实验室,两者速度接近时实现对接
答案C
5.(2018课标Ⅰ,20,6分)(多选)2017年,人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程,在两颗中子星合并前约100 s时,它们相距约400 km,绕二者连线上的某点每秒转动12圈。将两
颗中子星都看做是质量均匀分布的球体,由这些数据、引力常量并利用牛顿力学知识,可以估算出这一时刻两颗中子星( )
A.质量之积
B.质量之和
C.速率之和
D.各自的自转角速度
答案BC
6.(2014北京理综,23,18分)万有引力定律揭示了天体运行规律与地上物体运动规律具有内在的一致性。
(1)用弹簧秤称量一个相对于地球静止的小物体的重量,随称量位置的变化可能会有不同的结果。已知地球质量为M,自转周期为T,引力常量为G。将地球视为半径为R、质量均匀分布的球体,不考虑空气的影响。设在地球北极地面称量时,弹簧秤的读数是F0。
a.若在北极上空高出地面h处称量,弹簧秤读数为F1,求比值F1/F0的表达式,并就h=1.0%R的情形算出具体数值(计算结果保留两位有效数字);
b.若在赤道地面称量,弹簧秤读数为F2,求比值F2/F0的表达式。
(2)设想地球绕太阳公转的圆周轨道半径r、太阳的半径R S和地球的半径R三者均减小为现在的1.0%,而太阳和地球的密度均匀且不变。仅考虑太阳和地球之间的相互作用,以现实地球的1年为标准,计算“设想地球”的1年将变为多长?
答案(1)a.=0.98 b.=1-
(2)“设想地球”的1年与现实地球的1年时间相同
7.(2014四川理综,9,15分)石墨烯是近些年发现的一种新材料,其超高强度及超强导电、导热等非凡的物理
化学性质有望使21世纪的世界发生革命性的变化,其发现者由此获得2010年诺贝尔物理学奖。用石墨烯制作超级缆绳,人类搭建“太空电梯”的梦想有望在本世纪实现。科学家们设想,通过地球同步轨道站向地面垂下一条缆绳至赤道基站,电梯仓沿着这条缆绳运行,实现外太空和地球之间便捷的物资交换。
(1)若“太空电梯”将货物从赤道基站运到距地面高度为h1的同步轨道站,求轨道站内质量为m1的货物相对地心运动的动能。设地球自转角速度为ω,地球半径为R。
(2)当电梯仓停在距地面高度h2=4R的站点时,求仓内质量m2=50 kg的人对水平地板的压力大小。取地面附近重力加速度g=10 m/s2,地球自转角速度ω=7.3×10-5 rad/s,地球半径R=6.4×103 km。
答案(1)m1ω2(R+h1)2(2)11.5 N
C组教师专用题组
1.(2016四川理综,3,6分)国务院批复,自2016年起将4月24日设立为“中国航天日”。1970年4月24日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号,目前仍然在椭圆轨道上运行,其轨道近地点高度约为440 km,远地点高度约为2 060 km;1984年4月8日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空35 786 km的地球同步轨道上。设东方红一号在远地点的加速度为a1,东方红二号的加速度为a2,固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a3,则a1、a2、a3的大小关系为( )
A.a2>a1>a3
B.a3>a2>a1
C.a3>a1>a2
D.a1>a2>a3
答案D
2.(2010课标全国,20,6分)太阳系中的8大行星的轨道均可以近似看成圆轨道。下列4幅图是用来描述这些行星运动所遵从的某一规律的图像。图中坐标系的横轴是lg(T/T0),纵轴是lg(R/R0);这里T和R分别是行星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径,T0和R0分别是水星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径。下列4幅图中正确的是( )
答案B
3.(2015天津理综,8,6分)(多选)P1、P2为相距遥远的两颗行星,距各自表面相同高度处各有一颗卫星s1、s2做匀速圆周运动。图中纵坐标表示行星对周围空间各处物体的引力产生的加速度a,横坐标表示物体到行星中心的距离r的平方,两条曲线分别表示P1、P2周围的a与r2的反比关系,它们左端点横坐标相同。则( )
A.P1的平均密度比P2的大
B.P1的“第一宇宙速度”比P2的小
C.s1的向心加速度比s2的大
D.s1的公转周期比s2的大
答案AC
【三年模拟】
时间:45分钟分值:90分
一、选择题(每小题6分,共30分)
1.(2017海淀查漏补缺,4)许多科学家对物理学的发展做出了巨大贡献,下列说法中正确的是( )
A.牛顿发现了万有引力定律后,用实验的方法测出了引力常量G的数值
B.楞次总结得出了感应电流的产生条件
C.卢瑟福根据α粒子散射实验现象提出了原子的核式结构模型
D.卡文迪许利用扭秤测出了静电力常量k的数值
答案C
2.(2017东城二模,16)根据开普勒定律可知:火星绕太阳运行的轨道是椭圆,太阳处在椭圆的一个焦点上。下列说法正确的是( )
A.太阳对火星的万有引力大小始终保持不变
B.太阳对火星的万有引力大于火星对太阳的万有引力
C.火星运动到近日点时的加速度最大
D.火星绕太阳运行的线速度大小始终保持不变
答案C
3.(2018东城二模,17)由于通信和广播等方面的需要,许多国家发射了地球同步轨道卫星,这些卫星的( )
A.周期可以不同
B.离地高度可以不同
C.动能可以不同
D.运行速率可以不同
答案C
4.(2017昌平二模,16)如图所示,人造地球卫星发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道。先将卫星发射至近地圆轨道Ⅰ,然后在A点(近地点)点火加速,卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ;在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ。关于卫星的发射和变轨,下列说法正确的是( )
A.在赤道上顺着地球自转方向发射卫星可节省能量,所以发射场必须建在赤道上
B.卫星在圆轨道Ⅰ上运行时的向心加速度和周期大于在圆轨道Ⅲ上的向心加速度和周期
C.从轨道Ⅰ转移到轨道Ⅲ的过程中,动能减小,重力势能增大,机械能守恒
D.如果圆轨道Ⅲ是地球同步卫星轨道,则在该轨道上运行的任何卫星,其角速度都和在地面上静止物体的角速度相同
答案D
5.(2017门头沟二模,20)2016年2月11日,美国科学家宣布探测到引力波。双星的运动是引力波的来源之一,假设宇宙中一双星系统由a、b两颗星体组成,这两颗星绕它们连线上的某一点在万有引力作用下做匀速圆周运动,测得a星的周期为T,a、b两颗星的距离为l,a、b两颗星的轨道半径之差为Δr(a星的轨道半径大于b星的),则( )
A.b星的周期为-T
B.a星的线速度大小为
C.a、b两颗星的轨道半径之比为
-
D.a、b两颗星的质量之比为
-
答案B
二、非选择题(共60分)
6.(2017海淀零模,23)(20分)为了方便研究物体与地球间的万有引力问题,通常将地球视为质量分布均匀的球体。已知地球的质量为M,半径为R,引力常量为G,不考虑空气阻力的影响。
(1)求北极点的重力加速度的大小;
(2)若“天宫二号”绕地球运动的轨道可视为圆,其轨道距地面的高度为h,求“天宫二号”绕地球运行的周期和速率;
(3)若已知地球质量M=6.0×1024 kg,地球半径R=6 400 km,其自转周期T=24 h,引力常量G=6.67×10-11 N·m2/kg2。在赤道处地面上有一质量为m的物体A,用G0表示物体A在赤道处地面上所受的重力,F0表示其在赤道处地面上所受的万有引力。请求出-的值(结果保留1位有效数字),并以此为依据,说明在处理万有引力和重力的关系时,为什么经常可以忽略地球自转的影响。
答案(1)设质量为m0的物体静止在北极点时所受地面的支持力为N0,根据万有引力定律和共点力平衡条件有
=N0
即质量为m0的物体在北极点时所受的重力大小
G1=N0=
设北极点的重力加速度为g0,则m0g0=
解得g0=
(2)设“天宫二号”的质量为m1,其绕地球做匀速圆周运动的周期为T1,根据万有引力定律和牛顿第二定律有
G=m1(R+h)
解得:T1=2π
运行速率v==
(3)物体A在赤道处地面上所受的万有引力F0=
对于物体A在赤道处地面上随地球运动的过程,设其所受地面的支持力为N,根据牛顿第二定律有
F0-N=m R
物体A此时所受重力的大小G0=N=G-m R
代入数据可得-=≈3×10-3
这一计算结果说明,由于地球自转对赤道处地面上静止的物体所受重力与所受地球引力大小差别的影响很小,所以通常情况下可以忽略地球自转造成的地球引力与重力大小的区别。
7.(2018海淀二模,23)(20分)2017年4月20日19时41分天舟一号货运飞船在文昌航天发射中心由长征七号遥二运载火箭成功发射升空。22日12时23分,天舟一号货运飞船与天宫二号空间实验室顺利完成首次自动交会对接。中国载人航天工程已经顺利完成“三步走”发展战略的前两步,中国航天空间站预计2022年建成。
建成后的空间站绕地球做匀速圆周运动。已知地球质量为M,空间站的质量为m0,轨道半径为r0,引力常量为G,不考虑地球自转的影响。
(1)求空间站线速度v0的大小;
(2)宇航员相对太空舱静止站立,应用物理规律推导说明宇航员对太空舱的压力大小等于零;
(3)规定距地球无穷远处引力势能为零,质量为m的物体与地心距离为r时引力势能为E p=-。由于太空中宇宙尘埃的阻力以及地磁场的电磁阻尼作用,长时间在轨无动力运行的空间站轨道半径慢慢减小到r1(仍可看做匀速圆周运动),为了修正轨道使轨道半径恢复到r0,需要短时间开动发动机对空间站做功,求发动机至少做多少功。
答案(1)
(2)设宇航员质量为m',受到的支持力为N,由牛顿第二定律有
-N=m'
v0=
解得N=0
由牛顿第三定律可知,宇航员对太空舱的压力大小等于零。
(3)-
8.(2017房山二模,24)(20分)有人设想:可以在飞船从运行轨道进入返回地球程序时,借飞船需要减速的机会,发射一个小型太空探测器,从而达到节能的目的。
如图所示,飞船在圆轨道Ⅰ上绕地球飞行,其轨道半径为地球半径的k倍(k>1)。当飞船通过轨道Ⅰ的A点时,飞船上的发射装置短暂工作,将探测器沿飞船原运动方向射出,并使探测器恰能完全脱离地球的引力范围,即
到达距地球无限远时的速度恰好为零,而飞船在发射探测器后沿椭圆轨道Ⅱ向前运动,其近地点B到地心的距离近似为地球半径R。以上过程中飞船和探测器的质量均可视为不变。已知地球表面的重力加速度为g。
(1)求飞船在轨道Ⅰ上运动的速度大小;
(2)若规定两质点相距无限远时引力势能为零,则质量分别为m1、m2的两个质点相距为r时的引力势能
E p=-,式中G为引力常量。飞船沿轨道Ⅰ和轨道Ⅱ运动过程中,其动能和引力势能之和保持不变;探测器被射出后的运动过程中,其动能和引力势能之和也保持不变。
①求探测器刚离开飞船时的速度大小;
②已知飞船沿轨道Ⅱ运动过程中,通过A点与B点时的速度大小与这两点到地心的距离成反比。根据计算结果说明为实现上述飞船和探测器的运动过程,飞船与探测器的质量之比应满足什么条件。
答案(1)(2)①②设发射探测器后飞船在A点的速度为v A,运动到B点时的速度为v B, 因其运
动过程中动能和引力势能之和保持不变,所以有
m-=m-
对于飞船发射探测器的过程,根据动量守恒定律有
(m+m')v0=mv A+ m'v'
因飞船通过A点与B点时的速度大小与这两点到地心的距离成反比,即Rv B=kRv A
解得:=-
-