2018高考模拟试卷数学卷命题双向细目表

2018 年高考模拟试卷数学卷命题双向细目表
题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
考查内容 分值 集合运算 4 充分必要条件 4 函数的性质 4 平行垂直 4 函数导数的简单应用 4 函数，基本不等式 4 期望基本运算 4 解三角形 4 平面向量 4 二面角线面角的定义 4 数列的通项与求和 6 三视图体积表面积 6 线性规划 6 二项式公式 6 排列组合，概率 4 抛物线问题 4 双曲线离心率最值问题 4 三角函数化简求值和性质 14 空间中线线、线面垂直的判断及几何法求面面角 15 函数及导数的应用 15 圆锥曲线的方程与函数的最值 15 数列的通项及非特殊数列利用放缩法求和 15 1 / 22
难易程度 容易题 容易题 容易题 容易题 容易题 中档题 中等偏难题 中档题 中档题 较难题 容易题 容易题 容易题 中档题 较难题 较难题 较难题 容易题 容易题 中档题 较难题 较难题

考试设计说明
本试卷设计是在认真研读《2018 年考试说明》的基础上精心编制而成，以下从三方面加以说明。 一、在选题上： （1）遵循“考查基础知识的同时，注重考查能力”的原则，确立以能力立意命题的指导思想， 将知识、能力和素质融为一体，全面检测考生的数学素养。 （2）试卷保持相对稳定，适度创新，逐步形成“立意鲜明，背景新颖，设问灵活，层次清晰” 的特色。 二、命题原则： （1）强化主干知识，从学科整体意义上设计试题． （2）注重通性通法，强调考查数学思想方法． （3）注重基础的同时强调以能力立意，突出对能力的全面考查． （4）考查数学应用意识，坚持“贴近生活，背景公平，控制难度”的原则． （5）结合运动、开放、探究类试题考查探究精神和创新意识． （6）体现多角度，多层次的考查，合理控制试卷难度。
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2018 年高考模拟试卷数学卷
本试卷分第（Ⅰ）卷（选择题）和第（Ⅱ）卷（非选择题）两部分．满分 150 分，考试时间 120 分钟
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
参考公式： 球的表面积公式： 球的体积公式：
棱柱体积公式： 棱锥体积公式：
，其中 R 表示球的半径； ，其中 R 表示球的半径； ，其中 为棱柱的底面面积， 为棱柱的高； ，其中 为棱柱的底面面积， 为棱柱的高；
台体的体积公式：
其中 分别表示台体的上底、下底面积，h 表示
台体的高． 第Ⅰ卷（选择题 共 40 分）
注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。 2．每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1.(原创) 设集合
，则 A∩B=（ ）
A.
B.
C.
D.
2.(改编) 已知
（
为虚数单位），则“
（） A．充分不必要条件 C．充分必要条件
3.(摘录)下列函数中周期为
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 且为奇函数的是
A.
B
”是“ 为纯虚数”的 （）
C.
D.
4.(改编) 若直线 不平行于平面 a，且
则
A.a 内所有直线与 异面
B.a 内只存在有限条直线与 共面
C.a 内存在唯一的直线与 平行
D.a 内存在无数条直线与 相交
（）
5．(改编) 已知函数
的导函数
的图象如图所示，则 （ ）
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A．有极小值，但无极大值 C．有极大值，但无极小值 6. （改编）设 为实常数，
B．既有极小值，也有极大值 D．既无极小值，也无极大值
是定义在 上的奇函数，
且当
时，
．若
对一切
成立，则 的取值范围是（ ）.
A．
B．
3 C．
D．
7．（改编 2017 高考）已知随机变量 （i=1,2）的分布列如下表所示：
0
1
2
p
若 0A．
>
，
>
B．
<
，
>
C．
>
，
<
D．
<
，
<
8.（改编）．设 x1，x2∈（0， ），且 x1≠x2，下列不等式中成立的是（ ）
①
＞sin
；② （cosx1+cosx2）＞cos
；
③ （tanx1+tanx2）＞tan
；④ （
+
）＞
．
A．①② B．③④ C．①④ D．②③
9.（摘录）已知 ， 是两个非零向量，且
，
，则
的最大值为（ ）
A.
B.
10.（改编）如图，已知正四棱锥 上的动点（不包括端点）， 是
，
，
C. 4
的各棱长均相等， 是 的中点，分别记二面角
为
，则（ ）
D.
P
A．
B．
C.
D．
D N
A
M
C B
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第Ⅱ卷（非选择题 共 110 分）
注意事项： 1．黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上，不能答在试题卷上。 2．在答题纸上作图,可先使用 2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。
二、填空题：本大题 7 小题，11-14 题每题 6 分，15-17 每题 4 分，共 36 分，把答案填在题中的横 线上．
11．(原创) 若正项等比数列 满足
，
，则公比
，
．
12．(原创) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
．
表面积是
．
13．（摘录）已知实数 ， 满足条件
若存在实数 使得函
数
取到最大值 的解有无数个，则
，=
．
14．（原创）多项式
的展开式中，含 的系数是
．常数项 是
．
15．(原创) 有编号分别为 1，2，3，4 的 4 个红球和 4 个黑球，从中取出 3 个，则取出的编号互不
相同的概率是
．
16.（改编）已知 为抛物线
的焦点，点 A，B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧，
（其中 O 为坐标原点），则△AFO 与△BFO 面积之和的最小值是
．
17. （ 摘 录 ） 已 知 双 曲 线
的左右焦点分别为
，抛物线
的焦点与双曲线 的一个焦点重合，
在第一象限相交于点 P，且
，则双曲线的离心率为
．
三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分．解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（原创）（本题满分 14 分）
已知函数
，
（1）求函数 的最小正周期与单调递增区间；
（2）若
时，函数 的最大值为 0，求实数 的值.
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19．（改编）（本小题满分 15 分）
如图，在四棱锥
中，
，
，
. （Ⅰ）求 的长度；
（Ⅱ）求直线 与平面 20．（本小题满分 15 分） （摘录）已知函数
所成的角的正弦值 ,
是等边三角形，
，
，
(1）当
时, 若
有 个零点, 求 的取值范围；
(2）对任意
,当
时恒有
, 求 的最大值, 并求此时
的最大值。 21．（本小题满分 15 分）
（改编）已知椭圆的焦点坐标为 (-1,0)， (1,0)，过 垂直于长轴的直线交椭圆于 P、Q 两点，
且|PQ|=3， （1） 求椭圆的方程； （2） 过 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 M、N，则△ MN 的内切圆的面积是否存在最大值？若
存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理 由.
22. （改编）(本题满分 15 分) （1）证明： （2）证明： （3）证明：
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2018 年高考模拟试卷数学卷参考答案与解题提示
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．
1．C【命题意图】 本题考查集合的运算，∵
，∴
.故选
C. 点晴:集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究 对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解不等式.元素 与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系. 在求交集时注意区间端点的取舍. 熟练画数轴来解交集、并 集和补集的题目.属于容易题． 2．C 【命题意图】 本题考查纯虚数的概念，属于容易题
3．B【命题立意】本题主要考查三角函数的周期、诱导公式、奇偶性问题，难度较小。
【解题思路】B. 根据函数的周期为 可知选项 C,D 错误，又因为选项 A 中
为偶函数，而选项 B 中
为奇函数，所以选 B.
4.D【命题意图】本题考查空间中直线与平面的位置关系，属于容易题
命题意图空间中直线与平面的位置关系
5．A．【命题意图】本题考查函数导数性质等基础知识，意在考查学生的学生读图能力，观察分析， 解决问题的能力．
6．D
【命题意图】函数奇偶性，不等式恒成立
试题分析：因为
是定义在 上的奇函数，所以当
时，
；当
时，
，因此
且
对一切
成立所以
且
，即
.
7．A【命题意图】 本题考查两点分布数学期望与方差属于中档题 【解题思路】求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定 的取值情况，然后利用排列， 组合与概率知识求出 取各个值时的概率．对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接 应用公式给出，其中超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．由
已知本题随机变量 服从两点分布，由两点分布数学期望与方差的公式可得 A 正确．
8．B【命题意图】三角函数线．
【解题思路】法一分别取
，x2= 验证①②不成立，取 x1= ，x2= 验证③④成
立，即可得答案．
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法二解：对于①， =
＞sin
，取
，故①不成立，
，x2= ，则
对于②， （cosx1+cosx2）＞cos
，取
，x2= ，则 （cosx1+cosx2）
=
，故②不成立，
对于③， （tanx1+tanx2）＞tan
＞
，故③成立，
，取 x1= ，x2= ，则 （tanx1+tanx2）=
对于④， （
+
）＞
，取 x1= ，x2= ，则 （
+
）
=＞
，故④成立．
∴不等式中成立的是：③④．
故选：B．
9. B 【解析】
,
,
,
，令
,则
，令
，得
当
时，
，当
时，
，当
时，
取
得最大值 10. D 试题分析：二面角线面角线线角定义 二、填空题：本大题 7 小题，11-14 题每题 6 分，15-17 每题 4 分，共 36 分．
11． ，
8 / 22

试题分析：因为
，
，所以
，因为
， ，所以
，所以
，所以
，因为
，所以答案应填： ，
． 【命题立意】本题考查：1、等比数列的性质；2、等比数列的通项公式．基本量运算，属于容易题．
12．5，14+ ．
试题分析： 试题分析：由三视图可知该几何体为长方体截去两个三棱锥后剩下的部分，如图．根据三视图可知，
长方体的长、宽、高分别为 2，1，3，所以几何体的体积
，
表面积
．
【命题意图】本题考查三视图及棱柱、棱锥的体积公式．属于容易题 13． ；1 【命题意图】本题考查：线性规划的基本问题；属于容易题． 14. 200 144 【命题意图】 本题考查二项式展开式的计算．属于容易题．
15．
【命题立意】本题考查：1、古典概型；2、概率的计算公式； 试题分析： 先由组合数公式计算从 8 个小球中取出 3 个的取法 ，要满足条件，可以有分步原理
3 个球是同一个颜色 ，也可以是不同的颜色
,则取出的编号互不相同的概率是
16． 【命题立意】本题考查：1、抛物线；2、基本不等式；属于较难题。
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17．【命题立意】本题主要考查学生抛物线与双曲线的定义域与性质，需要找出 度较大。
之间的关系，难
【解题思路】设点
，
，过点 P 做抛物线
准线的垂线，垂足为
A，连接 。根据双曲线的定义和
，可知
。由抛物线的定义可
知
，则
。在
中，
，即
，由题意可知
，所以
，所以
，
化简可得
，即
三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分．
18．（1）
，单调递增区间为
，解得
，
；（2）
.
【解析】 试题分析：（1）化简
，求出
在最小正周期，解不等式，求出函数的递增区间即可；（2）
根据 的范围，求出
的范围，得到关于 的方程，解出即可.
试
题
解
析
：
(1)
则函数 的最小正周期
,
根据
，得
……5 分 ，
所以函数的单调递增区间为
，
.
……7 分
(2)因为
，所以
，
……9 分
则当
，
时，函数取得最大值 0，
……11 分
即
，解得：
.
……14 分
考点：三角函数中的恒等变换；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值. 19．本题主要考查空间点、线、面位置关系，线面角等基础知识．同时考查空间想象能力和运算求 解能力．满分 15 分．
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【解析】（1）由
，得
，
又因为
，且
，所以
面
，……5分
且
面 ．所以，面
面
。……7分
（2）过点 作
，连结 ，
因为
，且
，
所以
平面
，又由
平面
，
所
以
平
面
平面
平面
，过点
作
，即有
平面
，所以
为
直线 与平面
所成角．……10分
在四棱锥
中，设
，则
，
，
，
平
面
，∴
，
从而
20．
(1）
,
由题意:
，即直线 与平面
所成角的正弦值为 ．……15分
------------------------2 分
,
极小值
,
极大值
----------------6 分
(2） 只须
时,有
,由
图示,
在
上为减函数
易知 得
必成立；--------8 分
可得
------------------------10 分
11 / 22

又 此时
在
,有
最大值为 2------------------------12 分
内单调递增，在
内单调递减，
----------------------------------------15 分
21．（1） 设椭圆方程为
=1（a>b>0）,由焦点坐标可得 c=1………1 由 PQ|=3，可得 =3，
解得 a=2，b= ，故椭圆方程为
=1
…………………6 分
（2） 设 M
，N
,不妨 >0, <0,设△ MN 的内切圆的径 R，
则△ MN 的周长=4a=8，
（MN+ M+ N）R=4R
因此
最大，R 就最大，
，
由题知，直线 l 的斜率不为零，可设直线 l 的方程为 x=my+1，
…………………8 分
由
得
+6my-9=0，
得
，
，
…………………10 分
则
AB（
）=
=
，令 t=
,则 t≥1, …………………12 分
则
,令 f（t）=3t+ ，当 t≥1 时， f(t)在［1,+∞)上单调递
增，有 f(t)≥f(1)=4,
≤ =3,即当 t=1,m=0 时，
≤ =3,
这时所求内切圆面积的最大值为 π.
故直线 l:x=1，△AMN 内切圆面积的最大值为 π…………………15 分
=4R，∴ = ，
12 / 22

22 ． 22. （ 1 ） 数 学 归 纳 法 证 明
时，
①
当
13 / 22
时
，

成立；---------------2 分
②
当
时
，
假
设
成
立
，
则
14 / 22

时
所
以
15 / 22
时
，

成立
综上①②可知，
时，
---------------5 分 16 / 22

（2）由
得
---------------7 分
所
以
；
17 / 22

； 18 / 22

故
，
又
所以
19 / 22

---------------10 分
(3)
---------------12 分
20 / 22