2020年河南省开封市高三一模数学试题

数学试卷

一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.设集合}023|{2

<++=x x x M ，集合142x

N x ????

??=?? ???????

? , 则=N M Y ( ).

A ．{|2}x x -…

B ．}1|{->x x

C ．}1|{-

D ．{|2}x x -? 2.设i 为虚数单位，复数2i

=1i

+( ). A ．1i -+

B ．1i --

C ．1i -

D ．1i +

3.下列结论中正确的是( ).

①命题：3

(0,2),3x

x x ?∈>的否定是3

(0,2),3x

x x ?∈?； ②若直线l 上有无数个点不在平面α内，则//l α；

③若随机变量ξ服从正态分布2

(1,)N σ，且(2)0.8P ξ<=，则(01)0.2P ξ<<=； ④等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若43a =，则721S =.

A ．①②

B ．②③

C ．③④

D ．①④

4.已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的一条渐近线平行于直线:250l x y ++=，双曲线的一

个焦点在直线l 上，则双曲线方程为( ).

A ．221205x y -=

B ．221520x y -=

C ．2233125100x y -=

D ．22

33110025

x y -=

5.某产品的研发费用x 万元与销售利润y 万元的统计数据如表所示，

根据上表可得回归方程???y

bx a =+中的?b 为9.4，据此模型预计研发费用为6万元时，利润为65.5，则?,a

m =( ). A. ?9.1,54a

m == B. ?9.1,53a m == C. ?9.4,52a

m == D. ?9.2,54a m ==

6.在ABC △中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若,,a b c 成等比数列，60A =o ，

sin b B

c

=( ). A ．

1

2

B ． 1

C ．22

D ．3

7.已知一个三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的表面积为( ). A ．45425++ B ．5

25222

++

C ．25223

++ D ．25223++

8.若实数,x y 满足不等式组5230,10y x y x y ??

-+??+-?

??…则2z x y

=+的最大值是 ( ). A ．1 0 B ．1 1

C ．1 3

D ．1 4

9.利用如图所示的算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点在圆

2210x y +=内的有( ).

A ．2个

B ．3个

C ．4个

D ．5个

10.设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()x f '，且函数()x f 在

1x =-处

取得极大值，则函数()y xf x '=的图像可能是( ).

D.

C.

A.

x

O

-1

y

x

O -1

y -1

y x

O -1

y x

O

11.已知双曲线:C 22221x y a b

-=（0a >，0b >）的两条渐近线与抛物线2

2y px =（0p >）

的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若双曲线C 的离心率为2，AOB △的面积为3，则AOB △的内切圆半径为( ).

A ．31-

B ．31+

C ．233-

D ．233+

12.已知定义在[)0,+∞上的函数()f x 满足()()22f x f x =+.当[)0,2x ∈时,()22+4f x x x =-．设()f x 在[)22,2n n -上的最大值为n a ()n *

∈N ，且{}n a 的前n 项

和为n S ，则n S = ( ). A. 1122n --

B ．2142n --

C ．122n -

D ．

1

1

42n -- 二、填空题：本大题共四小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上. 13.已知6

e 1

1

d n x x =

?

，那么(2)n x x

-

的展开式中的常数项为 . 14.已知向量a 与向量b 的夹角为120o ，若()(2)+⊥-a b a b 且||2=a ，则b 在a 上的投影为 .

15.已知四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的正方形，侧面PAD 是等边三角形，且侧面

PAD ⊥底面ABCD ，则四棱锥P ABCD -的外接球的表面积为___ ____.

16.直线y a =分别与曲线2(1)y x =+，ln y x x =+交于A ，B 两点，则||AB 的最小值为_______.

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且2cosB （acosC +ccosA ）+b=0．

（Ⅰ）求角B 的大小；

（Ⅱ）若a=3，点D 在AC 边上且BD ⊥AC ，BD=

，求c ．

18．（12分）如图1，在矩形ABCD 中，AD=2AB=4，E 是AD 的中点．将△ABE 沿BE 折起使A 到点P 的位置，平面PEB ⊥平面BCDE ，如图2． （Ⅰ）求证：平面PBC ⊥平面PEC ； （Ⅱ）求二面角B ﹣PE ﹣D 的余弦值．

19．（12分）近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展的新机遇，2017年双11期间，某购物平台的销售业绩高达1271亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．

（Ⅰ）完成下面的2×2列联表，并回答是否有99%的把握，认为商品好评与服务好评有关？

对服务好评对服务不满意合计

对商品好评

对商品不满意

合计200

（Ⅱ）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X：

（1）求对商品和服务全好评的次数X的分布列；

（2）求X的数学期望和方差．

附：

P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828

（，其中n=a+b+c+d）

20．（12分）给定椭圆C：+=1（a＞b＞0），称圆心在原点O，半径为

的圆是椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的离心率，其“准圆”的方程为x2+y2=4．（I）求椭圆C的方程；

（II）点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线l1，l2交“准圆”于点M，N．

（1）当点P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求直线l1，l2的方程，并证明l1⊥l2；

（2）求证：线段MN的长为定值．

21．（12分）已知函数f（x）=（t﹣1）xe x，g（x）=tx+1﹣e x．

（Ⅰ）当t≠1时，讨论f（x）的单调性；

（Ⅱ）f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立，求t的取值范围．

选修4-4：极坐标与参数方程

22．（10分）已知直线l：3x﹣y﹣6=0，在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ﹣4sinθ=0．

（Ⅰ）将直线l写成参数方程（t为参数，α∈[0，π），）的形式，并求曲线C的直角坐标方程；

（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作倾斜角为30°的直线，交l于点A，求|AP|的最值．

选修4-5：不等式选讲

23．已知关于x的不等式|x+1|+|2x﹣1|≤3的解集为{x|m≤x≤n}．

（I）求实数m、n的值；

（II）设a、b、c均为正数，且a+b+c=n﹣m，求++的最小值．

答案部分

一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A

D

D

A

A

D

D

D

B

D

C

B

二、填空题

13. 160- 14.331+-

15. 283

π

16. 32 17．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且2cosB （acosC +ccosA ）+b=0．

（Ⅰ）求角B 的大小；

（Ⅱ）若a=3，点D 在AC 边上且BD ⊥AC ，BD=

，求c ．

【解答】解：（Ⅰ）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ， 且2cosB （acosC +ccosA ）+b=0．

则：2cosB （sinAcosC +sinCcosA ）+sinB=0， 整理得：2cosBsin （A +C ）=﹣sinB ， 由于：0＜B ＜π， 则：sinB ≠0， 解得：， 所以：B=

．

（Ⅱ）点D 在AC 边上且BD ⊥AC ， 在直角△BCD 中，若a=3，BD=，

解得：，

解得：，

则：

，

，

所以：cos∠ABD===，

则：在Rt△ABD中，，

=．

故：c=5

18．（12分）如图1，在矩形ABCD中，AD=2AB=4，E是AD的中点．将△ABE沿BE折起使A到点P的位置，平面PEB⊥平面BCDE，如图2．

（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PEC；

（Ⅱ）求二面角B﹣PE﹣D的余弦值．

【解答】（Ⅰ）证明：∵AD=2AB，E为线段AD的中点，

∴AB=AE，

取BE中点O，连接PO，则PO⊥BE，

又平面PEB⊥平面BCDE，平面PEB∩平面BCDE=BE，

∴PO⊥平面BCDE，则PO⊥EC，

在矩形ABCD中，∴AD=2AB，E为AD的中点，

∴BE⊥EC，则EC⊥平面PBE，

∴EC⊥PB，

又PB⊥PE，且PE∩EC=E，

∴PB⊥平面PEC，而PB?平面PBC，

∴平面PBC⊥平面PEC；

（Ⅱ）解：以OB所在直线为x轴，以平行于EC所在直线为y轴，以OP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，

∵PB=PE=2，则B（，0，0），E（﹣，0，0），P（0，0，），D（﹣2，

，0），

∴，，=（，，﹣）．

设平面PED的一个法向量为，

由，令z=﹣1，则，

又平面PBE的一个法向量为，

则cos＜＞==．

∴二面角B﹣PE﹣D的余弦值为．

19．（12分）近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展的新机遇，2017年双11期间，某购物平台的销售业绩高达1271亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．

（Ⅰ）完成下面的2×2列联表，并回答是否有99%的把握，认为商品好评与服务好评有关？

对服务好评对服务不满意合计

对商品好评

对商品不满意

合计200

（Ⅱ）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X：

（1）求对商品和服务全好评的次数X的分布列；

（2）求X的数学期望和方差．

附：

P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828

（，其中n=a+b+c+d）

【解答】解：（Ⅰ）由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表如下：

对服务好评对服务不满意合计

对商品好评8040120

对商品不满意701080

合计15050200

K2=≈11.111＞6.635，

故有99%的把握，认为商品好评与服务好评有关．

（Ⅱ）（1）每次购物时，对商品和服务全为好评的概率为，且X的取值可以是0，1，2，3．

其中P（X=0）=（）3=，

P（X=1）==，

P（X=2）=，

P（X=3）==，

X的分布列为：

X0123

P

（2）∵X～B（3，），

∴E（X）=，

D（X）=3×=．

20．（12分）给定椭圆C：+=1（a＞b＞0），称圆心在原点O，半径为

的圆是椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的离心率，其“准圆”的方程为x2+y2=4．（I）求椭圆C的方程；

（II）点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线l1，l2交“准圆”于点M，N．

（1）当点P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求直线l1，l2的方程，并证明l1⊥l2；

（2）求证：线段MN的长为定值．

【解答】解：（I）由准圆方程为x2+y2=4，则a2+b2=4，椭圆的离心率e===，

解得：a=，b=1，

∴椭圆的标准方程：；

（Ⅱ）证明：（1）∵准圆x2+y2=4与y轴正半轴的交点为P（0，2），

设过点P（0，2）且与椭圆相切的直线为y=kx+2，

联立，整理得（1+3k2）x2+12kx+9=0．

∵直线y=kx+2与椭圆相切，∴△=144k2﹣4×9（1+3k2）=0，解得k=±1，

∴l 1，l2方程为y=x+2，y=﹣x+2．∵=1，=﹣1，

∴?=﹣1，则l 1⊥l2．

（2）①当直线l1，l2中有一条斜率不存在时，不妨设直线l1斜率不存在，

则l1：x=±，

当l1：x=时，l1与准圆交于点（，1）（，﹣1），

此时l2为y=1（或y=﹣1），显然直线l1，l2垂直；

同理可证当l1：x=时，直线l1，l2垂直．

②当l1，l2斜率存在时，设点P（x0，y0），其中x02+y02=4．

设经过点P（x0，y0）与椭圆相切的直线为y=t（x﹣x0）+y0，

∴由得（1+3t2）x2+6t（y0﹣tx0）x+3（y0﹣tx0）2﹣3=0．

由△=0化简整理得（3﹣x02）t2+2x0y0t+1﹣y02=0，

∵x02+y02=4．，∴有（3﹣x02）t2+2x0y0t+（x02﹣3）=0．

设l1，l2的斜率分别为t1，t2，

∵l1，l2与椭圆相切，∴t1，t2满足上述方程（3﹣x02）t2+2x0y0t+（x02﹣3）=0，∴t1?t2=﹣1，即l1，l2垂直．

综合①②知：∵l1，l2经过点P（x0，y0），又分别交其准圆于点M，N，且l1，l2垂直．

∴线段MN为准圆x2+y2=4的直径，|MN|=4，

∴线段MN的长为定值．

21．（12分）已知函数f（x）=（t﹣1）xe x，g（x）=tx+1﹣e x．

（Ⅰ）当t≠1时，讨论f（x）的单调性；

（Ⅱ）f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立，求t的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=（t﹣1）xe x，得f′（x）=（t﹣1）（x+1）e x，

若t＞1，则x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）递减，x＞﹣1时，f′（x）＞0，f（x）递增，

若t＜1，则x＜﹣1时，f′（x）＞0，f（x）递增，x＞﹣1时，f′（x）＜0，f（x）递减，

故t＞1时，f（x）在（﹣∞，﹣1）递减，在（﹣1，+∞）递增，

t＜1时，f（x）在（﹣∞，﹣1）递增，在（﹣1，+∞）递减；

（2）f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立，

即（t﹣1）xe x﹣tx﹣1+e x≤0对?x≥0成立，

设h（x）=（t﹣1）xe x﹣tx﹣1+e x，

h（0）=0，h′（x）=（t﹣1）（x+1）e x﹣t+e x，h′（0）=0，

h″（x）=e x[（t﹣1）x+2t﹣1]，

t=1时，h″（x）=e x≥0，h′（x）在[0，+∞）递增，

∴h′（x）≥h′（0）=0，故h（x）在[0，+∞）递增，

故h（x）≥h（0）=0，显然不成立，

∴t≠1，则h″（x）=e x（x+）（t﹣1），

令h″（x）=0，则x=﹣，

①当﹣≤0即t＜或t＞1时，

若t≤，则h″（x）在[0，+∞）为负，h′（x）递减，

故有h′（x）≤h′（0）=0，h（x）在[0，+∞）递减，

∴h（x）≤h（0）=0成立，

若t≥1，则h″（x）在[0，+∞）上为正，h′（x）递增，

故有h′（x）≥h′（0）=0，故h（x）在[0，+∞）递增，

故h（x）≥h（0）=0，不成立，

②﹣≥0即≤t≤1时，

h″（x）在[0，﹣）内有h′（x）≥h′（0）=0，h（x）递增，

故h（x）在[0，﹣）内有h（x）≥h（0）=0不成立，

综上，t的范围是（﹣∞，]．

选修4-4：极坐标与参数方程

22．（10分）已知直线l：3x﹣y﹣6=0，在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ﹣4sinθ=0．

（Ⅰ）将直线l写成参数方程（t为参数，α∈[0，π），）的形式，并求曲线C的直角坐标方程；

（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作倾斜角为30°的直线，交l于点A，求|AP|的最值．

【解答】解：（Ⅰ）直线l：3x﹣y﹣6=0，转化为直角坐标方程为：

（t为参数），

曲线C：ρ﹣4sinθ=0．转化为直角坐标方程为：x2+y2﹣4y=0．

（Ⅱ）首先把x2+y2﹣4y=0的方程转化为：x2+（y﹣2）2=4，

所以经过圆心，且倾斜角为30°的直线方程为：，

则：，

解得：，

则：=，

则：|AP|的最大值为：，

|AP|的最小值为：．

选修4-5：不等式选讲

23．已知关于x的不等式|x+1|+|2x﹣1|≤3的解集为{x|m≤x≤n}．

（I）求实数m、n的值；

（II）设a、b、c均为正数，且a+b+c=n﹣m，求++的最小值．

【解答】解：（Ⅰ）∵|x+1|+|2x﹣1|≤3，

∴或或，

解得：﹣1≤x≤1，

故m=﹣1，n=1；

（Ⅱ）由（Ⅰ）a+b+c=2，

则++

=（++）（a+b+c）

=[1+1+1+（+）+（+）+（+）]

≥+（2+2+2）

=+3=，

当且仅当a=b=c=时“=”成立．