第4章多元函数微积分学教材

第四章 多元函数微积分学 一、极限与连续

ε

δδε A y x f y y x x D y x A y x f D y x D y x f x x y y --+-∈???=→→),()()(0,),(,0),(lim ),(),(2020000

0有且，使得正数的内点或边界点，则

是上有定义，在开区域或闭区域设函数

A y x f A y x f y x y x x x y y =?

=→→→),(lim

),(lim )

,(),(000

A

y x f y x y x f D y x D y x f x x y y =?→→),(lim ),(),(),(),(0

0000处连续在点的内点或边界点，则是上有定义，在开区域或闭区域设函数

的二元初等函数

称为函数合运算得到的任何二元过有限次四则运算或复的一元基本初等函数经与自变量由自变量),(),(y x y x f y x 多元初等函数在其定义域上是连续的

证明二元函数在点的极限不存在，只需要找出两条不同的路径得出两个不同的值

对多元函数而言，连续性与偏导数存在的这两者互为既不充分又不必要的条件

二、偏导数与全微分

（一）偏导数的定义与几何意义 1.偏导数的定义

)

,()

,(),(00000000000';;),(),(),(),(),(),,(o

o o y x x y x y x x x z x f

x z x y x f x y x y x f z y x f dx d

x x y x f y x f z ??????====或记为

的偏导数处对在存在，则称它为处的导数在若一元函数设有二元函数 ),()

,(),(00000000000';;),(),(),(),(),(),,(o o o y x y

y x y x y y z y f

y z y y x f y y x y x f z y x f dy d

y y y x f y x f z ??????====或记为

的偏导数处对在存在，则称它为处的导数在若一元函数设有二元函数 y

y x f y y x f y y x f x

y x f y x x f x y x f x x ?-?+=???-?+=??→?→?)

,(),(lim ),()

,(),(lim ),(00000000000000

2.偏导数的几何意义

轴的斜率

处的切线对的交线在点与平面即曲面轴的斜率

处的切线对的交线在点与平面即曲面y y x f y x M x x y x f z y y x f x y x f y x M y y y x f z x

y x f )),(,,(),()

,()),(,,(),()

,(0000000000000000==??==??

（二）可微性与全微分

Bdy Adx dz dy y dx x y x y

B x A dz df

dz y x y x f z y B x A y x y x f z y x y x B A y B x A z y y x x f z y x y x f z y x y x y x +==?=??+?==?+?=?+?=??→+?+?=??+?+=?=故全微分又可以写成约定与对自变量或记作的全微分，在点称为可微在点，则称无关，、与其中常数可表示为处的全增量在点若函数,,,),(),(),(),(,)

0)((),(),(),(),()

,(),(00002200000

000

ρρρο

dy

y x f dx y x f dz y x f y x f y x y x f z y x y x f y x y x ),('),('),('),('),(),(),(),(000000000000+==都存在，且有，处的两个偏导数在点处可微，则在点若

（三）偏导数的连续性、函数的可微性、可偏导性与函数连续性之间的关系

可偏导

在点都存在，则称与处两个偏导数在点若),(),()

,(),(),(),(00000000y x y x f z y

y x f x y x f y x y x f z =????=可微

在点处连续，则，且作为二元函数在点的某领域内处处都存在在点的偏导数若),(),(),(),(),('),,('),(000000y x y x f z y x y x y x f y x f y x f z y x ==

Bdy

Adx dz y x y x f z y x y x f y x f y x +==?可微，在点连续在点),(),(),(),('),,('0000连续在点可微，在点),(),(),(),(0000y x y x f Bdy Adx dz y x y x f z ?+==

B

y x f A y x f y x y x f z Bdy Adx dz y x y x f z y x ===?+==),(',),('),(),(),(),(0000可偏导，且在点可微，在点

上述推导不可逆

（四）高阶偏导数、混合偏导数与求导次序无关问题

),('')(2

2y x f x z x x z xx =????=?? ),('')(2y x f y z

x y x z xy =????=??? ),('')(2y x f x z y x y z yx =????=??? ),('')(22y x f y

z

y y z yy =????=??

称为混合偏导数；y

x z

x y z ??????22 )

,(2),(200220

),(),(y x y x y x z

x y z y x y x z

x y z y x f z ???=

?????????=处连续，则

都在点；的两个二阶混合偏导数若函数

0),(),(000x x y x f dx d

x y x f ==?? 0

),(),(0222

002y y y x f dy d y y x f ==??

)

,(),(0002y y x y x f dy d y x y x f =??=

???

（五）多元复合函数的微分法则与一阶全微分形式不变性 1.多元函数与一元函数的复合

称为全导数把可导，且在复合函数可微，则在对应点可导，在设dt

du dt dz z f dt dy y f dt dx x f dt du t t z t y t x f u t z t y t x z y x z y x f u t t z z t y y t x x ,))(),(),(())(),(),((),,(),,()(),(),(??+??+??=======

2.多元函数与多元函数的复合

y

v v f y u u f y z x v v f x u u f x z y x y x y x v y x f z y x v y x v u v u f z y x y x y x v y x u ????+

????=??????+????=??=======;,),()),(),,(()),(),,((),(),(,),(),(),,()(的偏导数，且有对在点可微，则在对应点的偏导数，有对在点设链锁法则ψ?ψ?ψ? 3.一阶全微分形式不变性

dv v

f du u f dy y v dx x v v f dy y u dx x u u f dy y z dx x z dz y x y x f v u f z ??+??=??+????+??+????=??+??=

==)()()),(),,((),(的全微分ψ? dv du v u d ±=±)( udv vdu duv += )0()(2

≠-=v v

udv vdu v u d

（六）复合函数的二阶偏导数

求导不要漏项求导法则，对中间变量时必须再用复合函数的求

)(),(v

f

x u f x ????????

(七)多元隐函数微分法

0'';0'',,0)),(,()

,(),,(),,(),(,0),,(),,(=??+=??+≡====y

z F F x z F F y x y x z y x F y x z z y x z z z z y x F y x z z y x z z y x F z y x F z y z

x 求偏导数，得自变量将此恒等式两边分别对，的定义域中有恒等式于是在看成隐函数中的表达式的偏导数的方法为：将的函数，此时求隐函数是确定且方程具有一阶连续偏导数，设函数z

y z x z F F y z F F x z F '';''0'-=??-=??≠时，即可解得当 0

')''''('''0')''''('''0')''''('''0'';0''),(),,(22222=??+????++??+=???+????++??+=??+????++??+=??+=??+=y

z

F y z y z F F y z F F y

x z

F x

z

y z F F y

z

F F x z

F x z

x z F F x z

F F y

z

F F x z F F y x z z z y x F z zz zy yz yy z zz

zy xz xy z zz

zx xz xx z y z

x 再求偏导数，二阶导数为上述也具有二阶连续偏导数则隐函数具有二阶连续偏导数，若函数3

22223

223

2222)'()'(''''''2)'(')'('''''''''''')'(')'()'(''''''2)'('z y zz z x yz z yy z y x zz z x yz z y xz z xy z x zz z x xz z xx F F F F F F F F y z

F F F F F F F F F F F F y x z

F F F F F F F F x z +--=??+---=???+--=??

三、多元函数的极值

（一）多元函数极值及驻点的概念

为极值点有极大值，在点则称使得

的某空心领域若存在点000000000),(),(),,(),().,(),(),(),(M M U y x f M U y x y x f y x f M U y x M δδδ∈?

的驻点称为同时成立的点凡是能使),(),(0),(',0),('y x f z y x y x f y x f y x ===

有偏导数的极值点必然是驻点，但驻点不一定是极值点，偏导数不存在点也可能是极值点 （二）多元函数取得极值的必要条件与充分条件

1．多元函数取得极值的必要条件（以二元函数为例）

),(',0),('),(),(),(00000000==y x f y x f y x y x y x f y x 偏导数必然为零取极值，则它在改点的具有偏导数，且在在点设 2.二元函数取得极值的充分条件

，则

令导数，又的某领域有连续的二阶在点设C y x f B y x f A y x f y x f y x f y x y x f z yy xy xx y x ======),('',),('',),(''0),(',0),('),(),(000000000000

论

是否极值点，还需作讨时，不能判断当不是极值点

时，当极大值极小值；取得极值，在点时，当),(0)3(),(0)2(,0,0),(),(0)1(002002002y x B AC y x B AC A A y x y x f B AC =---

四、多元函数的最大值和最小值问题

（一）求二元函数在区域D 上的最大值和最小值问题

的最大值点或最小值点

的点去找，则只需在满足内取得最大值或最小值内可偏导，且已知它在在开区域设处达到驻点的点的边界点上达到，或在或在存在的点达到

，且他们或在偏导数不和最小值存在最大值在上连续，则在平面有界闭区域设)

,(0),()(0),(D ),(y x f y f

x f D D y x f z y

f

x f D m M D y x f y x f z =??=??==??=??= （二）求二元函数或三元函数的条件极值问题

1. 下最大值或最小值在条件求函数0),(),(==y x y x f z ?

0),(00),,(),(),,()(==??=??+??=??=??+??=??+=y x F

y y f y F x x f x F y x y x f y x F ?λ

?λ?

λλ?λ然后求解方程组称为拉格朗日函数首先构造辅助函数日乘数法求解。为此，一般情况下常用拉格朗

求出最大值或最小值点

最后在可能的极值点中下的可能的极值点，在条件是中所有满足次方程组的解0),(),(),(),,(=y x y x f y x y x ?λ

五、二重积分的概念与计算

（一）二重积分的概念与其几何意义

}{为顶的去顶柱体的体积

为底，曲面表示为以时，二重积分几何意义当的直径

为小区域其中的二重积分上二元有界函数平面上有界闭区域),(0),(,max ),(lim ),(),(10

y x f z D I y x f z d d d f d y x f I y x f z D i i i i

D

n

i i i d =≥=?=?===??∑=→σσηζσ（二）二重积分的性质

[]??????????????????????????????≤=≤≤≤≤≤≤==+=±=±=D

D

D

D

D

D

D

D D D

D

D

D

D

D

d y x g d y x f y x g y x f y x g y x f D y x g y x f D A A f d y x f D D y x f D A MA d y x f mA D M y x f m d y x g d y x f D y x g y x f D A A d D D D D D d y x f d y x f d y x f d y x g d y x f d y x g y x f d y x f k d y x kf D y x g y x f σ

σηξσηξσσ

σσσσσσ

σσσ

σ),(),(),(),(),(),(),(),()7(;),(),(),,(),()6(,),(),(),(),(),(),()5(,)4(,;),(),(),()3(),(),(),(),()2(),(),()1(),(),,(21212

1

则，不恒等于但上连续时，在，当的面积

为区域使得

上至少存在一点上连续，则在在有界闭区域中值定理：若的面积

为区域上成立，则在若上成立，则在比较定理：的面积

为区域不相互重叠

与且其中上可积，则有在有界区域设

(三)二重积分的计算

1.直角坐标系(选择积分次序的重要性)

}

{[]?

???=≤≤≤≤==)()

(212121),(),(,)()()()(,),(),()1(x x D

b

a dy

y x f dx d y x f b a x x x y x b x a y x D D y x f dxdy d Oxy ??σ????σ上连续则在区间，其中上连续，并且在有界闭区域设函数中面积元在直角坐标系

}{[]?

???=≤≤≤≤=)

()

(212121),(),(,)()()()(,),()2(y y D

d

c dx

y x f dy d y x f d c y y y x y d y c y x D ??σ????上连续则在区间，其中如果

2.极坐标系

}{}{}{rdr

r r f d d y x f r r r D rdr

r r f d d y x f r r r D rdr

r r f d d y x f r r r r D rdrd r r f d y x f rdrd d r r y r x r D

r D

r r D

D

D

?

????

????

???????=≤≤≤≤==≤≤∏≤≤==≤≤≤≤=====∏

)

(0

)

(0

20

)

()

(21)sin ,cos (),(;)(0,),(3)sin ,cos (),(;)(0,20),(2)sin ,cos (),(;)()(,),(1)sin ,cos (),(),(,sin ,cos 21θβ

αθθθβ

α

θθθσθβθβθθθθσθθθθθθσθθβθαθθ

θθσθ

σθθθ，情形，情形，情形中面积元的公式为在极坐标系设

3.二重积分的计算步骤

第一步，画出积分区域D 的图形，根据区域D 和被积函数的特点选择坐标系，即决定选用直角坐标系还是极坐标系，当积分区域D 为圆域、环域或扇形，而被积函数为

)(22y x f +时，一般选极坐标系比较方便

第二步，如果是在直角坐标系中进行计算，要正确选择积分次序，即先对x 求积分还是先对y 求积分

第三部，确定积分限，正确表示积分限对正确计算二重积分至关重要

六、被积函数奇偶性与积分区域对称性

}

{ 0),(,),(2),(),(,0),(),(1

1

≥===??????

y D D y y x f dxdy y x f dxdy y x f y y x f dxdy y x f x D D y x f D

D D ；

为偶函数对为奇函数；

对轴对称，则

关于上连续，若在有界闭区域设

}

{ 0),(,),(2),(),(,0),(2

2

≥===??????x D D x y x f dxdy y x f dxdy y x f x y x f dxdy y x f y D D

D D

；

为偶函数对为奇函数；

对轴对称，则

关于若

[]dxdy

x y f y x f dxdy x y f dxdy y x f x y D D

D

D

??????

+===),(),(21

),(),(对称，则

关于若积分区域

七、直角坐标系的平移与二重积分的几何意义应用

??????=++=-=-=D

D

D D d v u D dud

b v a u f dxdy y x f D uv D xy b y v a x u 的面积

轴对称轴或关于是使得区域平移坐标系的目的常常则

平面上的区域变为平面上的区域若作直角坐标系的平移‘

σ)2('),(),(,',,:)1(

?

∞

+-∏=

2

2

x e

八、常考题型及其解题方法与技巧

题型一、有关多元函数偏导数与全微分概念的问题 1. 已知二元函数的偏导数求二元函数

2. 二元分段函数在分界点处的可微性与偏导数的连续性等问题的讨论 题型二、求各类多元函数的偏导数与全微分 1. 求多元函初等函数的偏导数与全微分 2. 求带抽象函数记号的复合函数的偏导数

3. 求由方程式确定的隐函数的偏导数或全微分