辽宁省沈阳二中2020届高三二模(数学理)

沈阳二中2020届高三二模

(数学理)

命题、审校人：沈阳二中 杨宁生 考试时间：120分钟 满分：150分

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分。在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的。

1．若四个幂函数a

y x =，b

y x =，c

y x =，d

y x =在同

一坐标系中的图象如右图，则a 、b 、c 、d 的大小 关系是( )

A ．d c b a >>>

B ．a b c d >>>

C ．d c a b >>>

D ．a b d c >>> 2．定义运

a c

b ad b

c d

=-，则符合条件

1z i

-

1201i i

+=+的复数z 的共轭复数所对应的点

在( )

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

3．已知函数123()log x f x x +?=??,1,

, 1.

x x ≤>若0()3f x >，则0x 的取值范围是( )

A ．08x >

B ．001x <≤或08x >

C ．008x <<

D ．010x -<<或008x <<

4．平面α外有两条直线m 和n ，如果m 和n 在平面α内的射影分别是m '和n '，给出下列

四个命题：

①m n m n ''⊥?⊥； ②m n m n ''⊥?⊥；

③m '与n '相交?m 与n 相交或重合； ④m '与n '平行?m 与n 平行或重合． 其中不正确的命题个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

5．一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了5个伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，

各自找回了5个伙伴，……，如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有( )只蜜蜂．

A ．55986

B ．46656

C ．216

D ．36 6．已知正整数a ，b 满足430a b +=，使得

11

a b

+取最小值时，则实数对(,)a b 是( ) A ．(5，10) B ．(6，6) C ．(10，5) D ．(7，2) 7．

cos 20cos103sin10tan 702cos 40sin 20?

??+??-??

=( )

A．1

2

B．

2

2

C．2D

．

3

2

8．某部队为了了解战士课外阅读情况，随机调查了50名

战士，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数

据．结果用右面的条形图表示，根据条形图可得这50

名战士这一天平均每人的课外阅读时间为( )

A．0.6h B．0.9h C．1.0h D．1.5h

9．从数字1，2，3，4，5中，随机抽取3个数字(允许重复)组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为( )

A．

13

125

B．

16

125

C．

18

125

D．

19

125

10．计算2

2

4

x dx

-

?的结果是( )

A．4πB．2πC．πD．

2

π

11．设斜率为

2

2

的直线l与椭圆

22

22

1

x y

a b

+=，（0

a b

>>）交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为( )

A．

2

2

B．

1

2

C．

3

3

D．

1

3

12．一个圆锥被过顶点的平面截去了较小的一部分几何体，余下的几何体的三视图如图，则该圆锥的体积为( )

A．

4

3

πB．2πC．

8

3

πD．

10

3

π

二、填空题：本大题共4小题．每小题5分，满分20分。

13．实数x、y满足不等式组

220

y

x y

x y

≥

?

?

-≥

?

?--≤

?

，则

3

1

y

m

x

-

=

+

的取值范围为．14．如果执行下面的程序框图，那么输出的S等于．

15．对正整数n ，设抛物线2

2(21)y n x =+，过(2,0)P n 任作直线l 交抛物线于n A ，n B 两

点，则数列2(1)n n OA OB n ?????

??+????

u u u u r u u u u r 的前n 项和公式是 ．

16．对下面四个命题：

①若A 、B 、U 为集合，A U ?，B U ?，A B A =I ，则U U C A C B ?； ②二项式6

21(2)x x

-

的展开式中，其常数项是240； ③对直线l 、m ，平面α、β，若l //α，l //β，m αβ=I ，则l //m ； ④函数2

(1)1y x =++，（0x ≥）与函数11y x =-+

-，（1x ≥）互为反函数．

其中正确命题的序号是 ．

三、解答题：本大题共6小题，满分70分。解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤。 17．(本小题满分12分)

已知O 为坐标原点，2

(2sin ,)OA a x a =u u u r ，(1,23sin cos 1)OB x x =-+u u u r ， ()f x OA OB b =?+u u u r u u u r

，（a b <且0a ≠）

(1) 求()y f x =的单调递增区间； (2) 若()f x 的定义域为,2ππ??

????

，值域[2,5]，求a ，b 的值。

18．(本小题满分12分)四棱锥P ABCD -中，PB ⊥底面ABCD ，CD PD ⊥．底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，AB BC ⊥，3AB AD PB ===．点E 在棱PA 上，且2PE EA =．

(1)求异面直线PA 与CD 所成的角；

(2)求证：//PC 平面EBD ； (3)求二面角A BE D --的大小． (用反三角函数表示)．

19．(本题满分 12分)当n 为正整数时，区间(,1)n I n n =+，n a 表示函数3

1()3

f x x x =

-在n I 上函数值取整数值的个数，当1n >时，记1n n n b a a -=-．当0x >，()g x 表示把x

“四舍五入”到个位的近似值，如(0.48)0g =，1g =，(2.76)3g =，(4)4g =，

…，

当n 为正整数时，n c 表示满足g n =的正整数k 的个数． (Ⅰ)求2b ，2c ；

(Ⅱ) 求证：1n >时，n n b c =；

(Ⅲ) 当n 为正整数时，集合1|,2n k

M g n k N +??==∈?

???

中所有元素之和为n S ，记(22)n n n n T S -=+，求证：1233n T T T T ++++

20．(本小题满分12分)

设双曲线22

213

y x a -

=的两个焦点分别为1F 、2F ，离心率为2． (1) 求此双曲线的渐近线1l 、2l 的方程；

(2) 若A 、B 分别为1l 、2l 上的点，且122||5||AB F F =，求线段AB 的中点M 的轨迹

方程，并说明轨迹是什么曲线；

(3) 过点(1,0)N 能否作出直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，且0OP OQ ?=u u u r u u u r

若存

在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．

21．(本小题满分12分)

已知函数()ln()x

f x e a =+，（a 为常数）是实数集R 上的奇函数，函数

()()sin g x f x x λ=+是区间[]1,1-上的减函数。

(1) 求a 的值；

(2) 若2

()1g x t t λ≤++在[1,1]x ∈-恒成立，求t 的取值范围； (3) 讨论关于x 的方程2ln 2()

x

x ex m f x =-+的根的个数。

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 22．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲

已知：如右图，在等腰梯形ABCD 中//AD BC ，AB DC =， 过点D 作AC 的平行线DE ，交BA 的延长线于点E ． 求证：(1) ABC DCB ???； (2) DE DC AE BD ?=?

23．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程

设过原点O 的直线与圆C ：2

2

(1)1x y -+=的一个交点为P ，点M 为线段OP 的中点。

(1) 求圆C 的极坐标方程；

(2) 求点M 轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线． 24．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲

解不等式2

|34|1x x x -->+．

2020届高三第二次模拟考试试题

数学(理)参考答案

1．B 2．A 3．B 4．D 5．B 6．A 7．C 8．B 9．D 10．C 11．A 12．C

13．1

33

m -≤≤-

14．441 15．(1)n n -+ 16．②③ 17．解：（1）∵2

()2sin 23sin cos f x OA OB b a x a x x a b =?+=-++u u u r u u u r

2sin(2)26

a x a

b π

=-+++…………2分

当0a >时，由32222

6

2

k x k π

π

πππ+≤+

≤+

，（k z ∈），得()y f x =的单调递增区间为2[,]6

3

k k π

π

ππ+

+

，（k z ∈）……4分 当0a <时，2222

6

2

k x k π

π

π

ππ-

≤+

≤+

，（k z ∈），得()y f x =的单调递增区间

[,]36

k k π

π

ππ-

+，

（k z ∈）……6分 （2）()2sin(2)26f x a x a b π=-+

++，[,]2

x π

π∈，

∴7132[,]666x πππ+∈，1sin(2)[1,]62

x π+∈-……8分

当0a >时，225

12222a a b a a b ++=??

?-?++=??，解得11a b =??

=?，不满足a b <，舍去 ……10分 当0a <时，222

12252

a a

b a a b ++=??

?-?++=??，解得16a b =-??

=?，符合条件， 综上，1a =-，6b =……12分

18．解：（1）建立如图所示的直角坐标系B xyz -

设BC a =，则(0,3,0)A ，(0,0,3)P ，

(3,3,0)D ，(,0,0)C a

(3,3,0)CD a =-u u u r ，(3,3,3)PD =-u u u r

，

∵CD PD ⊥，∴0CD PD ?=u u u r u u u r

，

即3(3)90a -+=，∴6a = ……2分

∵(3,3,0)CD =-u u u r ，(0,3,3)PA =-u u u r

，∴cos PA

1

2

||||CD PA CD CD PA ?>===?u u u r u u u r

u u u r u u u r u u u r ∴异面直线CD 与AP 所成的角为60?． ……4分 （2）连结AC 交BD 于G ，连结EG ，∴12AG AD GC BC ==，又1

2

AE EP = ∴

AG AE

GC EP

=

……5分 ∴//PC EG ……6分

又EG ?平面EBD ，PC ?平面EBD ∴//PC 平面EBD …………8分 （3）设平面EBD 的法向量为

1(,,1)n x y =u r

，因为(0,2,1)BE =u u u r ，(3,3,0)BD =u u u r ，由

110n BE n BD

??=?????u r u u u r u r u u u r 得210330y x y +=??+=?所以，12

12

x y ?=????=-??于是，1

11(,,1)22n =-u r …………10分 又因为平面ABE 的法向量1(1,0,0)n =u u r 所以1cos n

，2n >==

u u r 所以，二面角A BE D --

的大小为arccos

6

12分 19．解：（Ⅰ）∵2

()1(1)(1)f x x x x '=-=+-，

∴当(1,2)x ∈，()0f x '>，()f x 为增函数，

22

(1)()(2)33

f f x f =-<<=，∴11a =． ……2分

同理(2,3)x ∈时，()0f x '>，()f x 为增函数，

2

(2)()(3)63

f f x f =

<<=， ∴25a =，∴2214b a a =-=……3分 又∵2c

表示满足2=的正整数k 的个数。

∴

3522≤<，∴925

44

k ≤<，3,4,5,6k = ∴24c =． ……4分 （Ⅱ）当n 为正整数，且1n >，(,1)x n n ∈+时，3

1()3

f x x x =-为增函数，

∴()()(1)f n f x f n <<+ ∴2

2(1)()3

f n f n n n +-=+-

∴2

1n a n n =+-…5分 ∴2

1(1)(1)1n a n n -=-+--，12n n n b a a n -=-=．……6分

又∵n c

表示满足g n =的正整数k 的个数，

∴1122

n n -

≤<+ ∴22

1144

n n k n n -+≤<++，

∴2

1k n n =-+，2

2n n -+，2

3n n -+，…，2

n n +，共2n 个。 ∴2n c n =， ∴n n b c =…………8分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知：1

{

|,}2

k M g n k N +==∈ 22221

2

3

21

1

1

1{

,,,}2

2

2

2

n n n n n n n n n

-+-+-+-+=L

∴2

2

2

2

1

2

3

21111(22)(22)(

)2

2

2

2

n

n

n

n

n n n

n n n n n n n n

T S ---+-+-+-+=+=+++

++

L

2

21

1

1[1()]22(22)

112

n

n n n n -+--=+- 22

2

42(1)(1)21112[

]2

2

2

n n n

n n +-+-=

=-

…………10分

∴123n T T T T ++++L

2

2

2

22222220

21

324(2)(1)(1)1111

111111

2[(

)()()()()]22

22222222n n n n --+=-

+-

+-+-+-L 2

2

2

2

2

2

01(1)011111112[(

)]2[]32

2

2

2

2

2

n n +=+

-

-

<+

=…………12分

20．解：（1）∵2e =，∴2

2

4c a =

∵2

2

3c a =+，∴1a =，2c =…………2分

∴双曲线方程为22

13

x y -

=

，渐近线方程为3y x =±…………3分

（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB 的中点(,)M x y ∵122||5||AB F F = ∴1255

||||21022

AB F F c =

=?=

10=

∵113

y x =

，223y x =-，122x x x =+，122y y y =+…………5分

∴1212)3y y x x +=

-

，1212()3

y y x x -=+

10= ∴2

2

13(2)(2)1003

y x +=，即

22317525x y +=…………7分 则M 的轨迹是中心在原点，焦点在x

轴上，长轴长为

3

的椭圆…(8分)

(3)假设存在满足条件的直线l

设l ：(1)y k x =-，l 与双曲线交于11(,)P x y 、22(,)Q x y

∵0OP OQ ?=u u u r u u u r

∴12120x x y y +=

∴2

1212(1)(1)0x x k x x +--=

∴2

121212[()1]0x x k x x x x +-++=…………10分

∵2

2(1)1

3y k x x y =-??

?-=??

2222(31)6330k x k x k ?--+-=， ∴2

122631

k x x k +=-，2122

3331k x x k -=-…………11分 ∴2

30k +=

∴k 不存在，即不存在满足条件的直线l ． ……12分 21．解：(1)∵()ln()x

f x e a =+是实数集R 上的奇函数 ∴0

(0)ln()0f e a =+=

∴0a =……3分

（2）∵()()sin g x f x x λ=+是区间[1,1]-的减函数 ∴1λ≤-，max [()](1)sin1g x g λ=-=-- ∴只需2

sin11t t λλ--≤++

∴2

(1)sin110t t λ++++≥，（1λ≤-）恒成立 ……5分 令2

()(1)sin11h t t λλ=++++，（1λ≤-）

则2

101sin110

t t t +≤??--+++≥? ∴21sin10

t t t ≤-??-+≥?，而2sin10t t -+≥恒成立，∴1t ≤-……7分 (3)由(1)知()f x x = ∴方程2ln 2x

x ex m x

=-+ 令1ln ()x f x x =

，2

2()2f x x ex m =-+ ∴12

1ln ()x

f x x -'=………8分

当(0,)x e ∈时，∴1()0f x '≥，1()f x 在(]0,e 上是增函数 当[),x e ∈+∞时，∴1()0f x '≥，1()f x 在[),e +∞上是减函数 当x e =时，1max 11

[()]()f x f e e

==

……9分 而22

2()()f x x e m e =-+-

∴当2

1m e e ->

，即2

1m e e >+时，方程无解； ……10分 当21m e e -=，即2

1m e e =+时，方程有一个根； ……11分

当21m e e -<，即2

1m e e

<+时，方程有两个根； ……12分

22．证明：(1) 四边形ABCD 是等腰梯形，∴AC DB =

∵AB DC =，BC CB =，∴ABC BCD ???……5分

(2)∵ABC BCD ???，∴ACB DBC ∠=∠，ABC DCB ∠=∠ ∵//AD BC ，∴DAC ACB ∠=∠，EAD ABC ∠=∠……8分

∵//ED AC ，∴EDA DAC ∠=∠ ∴EDA DBC ∠=∠，EDA DCB ∠=∠

∴ADE ?∽CBD ? ∴::DE BD AE CD = ∴DE DC AE BD ?=?…………10分 23．解：圆2

2

(1)1x y -+=的极坐标方程为2cos ρθ=……4分

设点P 的极坐标为11(,)ρθ，点M 的极坐标为(,)ρθ， ∵点M 为线段OP 的中点， ∴12ρρ=，1θθ= ……7分 将12ρρ=，1θθ=代入圆的极坐标方程，得cos ρθ=

∴点M 轨迹的极坐标方程为cos ρθ=，它表示圆心在点1

(,0)2，半径为12

的圆． ……10分

23．解：原不等式等价于（Ⅰ）22340341x x x x x ?--≥??-->+??或（Ⅱ）22

340

(34)1

x x x x x ?--+??……4分

4151x x x x ≥≤-???

><-?

或或 或14

13x x -<或1x <-或13x -<<

∴原不等式的解集为{|5x x >或1x <-或13x -<<}………………10分