2019年四川巴中中考数学试题(解析版)

{来源}2019年四川巴中中考数学试卷

{适用范围:3．九年级}

{标题}四川省巴中市二〇一九年初中学业水平考试

考试时间：120分钟满分：150分

{题型:1-选择题}一、选择题：本大题共10个小题，每小题4 分，共40分．

{题目}1．（2019年四川巴中T1）下列四个算式中，正确的是（）

A．a+a=2a B．a5÷a4=2a C．(a5)4=a9D．a5－a 4=a

{答案}A

{解析}本题考查了合并同类项与幂的运算，能正确识别同类项，熟记合并同类项的法则与幂的运算性质是解决该类问题的关键．合并同类项时是把系数相加作系数，字母和字母的指数不变，a+a=2a，故A正确；同底数幂相除，底数不变，指数相减，a5÷a4=a，故B错误；幂的乘方，底数不变，把指数相乘，(a5)4=a20，故C错误；a5与－a 4不是同类项不能合并，故D错误．

{分值}4

{章节:[1-15-2-3]整数指数幂}

{考点:合并同类项}

{考点:同底数幂的乘法}

{考点:幂的乘方}

{类别:常考题}

{类别:易错题}

{难度:1-最简单}

{题目}2．（2019年四川巴中T2）在平面直角坐标系中，已知点A(－4，3)与点B关于原点对称，则点B的坐标为（）

A．(－4，－3) B．(4，3) C．(4，－3) D．(－4，3)

{答案}C

{解析}本题考查了平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特征，关于原点对称的两个点的横、纵坐标分别互为相反数，则点A(－4，3)关于原点对称的点B的坐标为(4，－3)．

{分值}4

{章节:[1-23-2-3]关于原点对称的点的坐标}

{考点:平面直角坐标系}

{考点:点的坐标}

{考点:中心对称}

{类别:常考题}

{难度:1-最简单}

{题目}3．（2019年四川巴中T3）企业家陈某，在家乡投资9300万元，建立产业园区2万余亩．将9300万元用科学记数法表示为（）

A．93×108元B．9.3×108元C．9.3×107元D．0.93×108元

{答案}C

{解析}本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．因此先将“9300万”改写成93 000 000，再根据科学记数法的要求表示为9. 3 107．

{分值}4

{章节:[1-1-5-2]科学计数法}

{考点:将一个绝对值较大的数科学计数法}

{类别:常考题}

{难度:1-最简单}

{题目}4．（2019年四川巴中T4）如图是一些小立方体与圆锥组合的立体图形，它的主视图是（）

{答案}C

{解析}本题考查了三视图，主视图是从正面看物体所得到的平面图形，图中各小正方体的主视图是正方形，圆锥的主视图是等腰三角形，故该组合立体图形的主视图是选项C 中的平面图形． {分值}4

{章节:[1-29-2]三视图}

{考点:简单组合体的三视图} {类别:常考题} {难度:1-最简单}

{题目}5．（2019年四川巴中T5）已知关于x ，y 的二元一次方程组???=+=-43,4by x y ax 的解是?

??-==,2,

2y x 则

a +

b 的值是（ ）

A ．1

B ．2

C ．－1

D ．0 {答案}B

{解析}本题考查了二元一次方程组的解，把x ，y 的值分别代入方程组中的两个方程，得2a －(－2)=4，3×2－2b=4，解得a=1，b=1，所以a +b =2． {分值}4

{章节:[1-8-1]二元一次方程组} {考点:二元一次方程组的解} {类别:常考题} {难度:2-简单}

{题目}6．（2019年四川巴中T6）下列命题是真命题的是（ ） A ．对角线相等的四边形是矩形 B ．对角线互相垂直的四边形是矩形 C ．对角线互相垂直的矩形是正方形 D ．四边相等的平行四边形是正方形 {答案}C

{解析}本题考查了矩形与正方形的判定，对角线相等的平行四边形是矩形，故A 错误；对角线互相垂直与矩形没有判定没有关系，故B 错误；对角线互相垂直的矩形也是菱形，既为菱形也为矩形的四边形是正方形，故C 正确；四边相等的矩形才是正方形，故D 错误． {分值}4

{章节:[1-18-2-3] 正方形} {考点:矩形的性质} {考点:正方形的判定} {类别:常考题} {类别:易错题} {难度:2-简单}

{题目}7．（2019年四川巴中T7）如图所示，是巴中某校对学生到校方式的情况统计图，若该校骑自行车到校的学生有200人，则步行到校的学生有（ ） A ．120人 B ．160人 C ．125人 D ．180人

{答案}B

{解析}本题考查了扇形统计图，扇形统计图表示部分与整体的百分比，由此可知步行到校的学生有200÷25%×20%＝800×20%＝160（人）． {分值}4

{章节:[1-10-1]统计调查} {考点:扇形统计图} {类别:常考题} {难度:2-简单}

{题目}8．（2019年四川巴中T8）如图□ABCD ，F 为BC 中点，延长AD 至E ，使DE :AD =1:3，连结EF 交DC 于点G ，则S △DEG : S △CFG ＝（ ） A ．2:3 B ．3:2 C ．9:4 D ．4:9

{答案}D

{解析}本题考查了平行四边形的性质，相似的判定与性质，平行四边形的对边平行且相等，两组角相等的两个三角形相似，相似三角形的面积比等于相似比的平方．在□ABCD 中，AD ∥BC ，AD =BC ，则△DEG ∽△CFG ，∵F 为BC 中点，DE :AD =1:3，∴DE :CF =2:3，∴S △DEG : S △CFG ＝4:9． {分值}4

{章节:[1-27-1-2]相似三角形的性质} {考点:平行四边形边的性质}

{考点:相似三角形的判定（两角相等）} {考点:相似三角形面积的性质} {类别:常考题} {难度:3-中等难度}

{题目}9．（2019年四川巴中T9）如图，圆锥的底面半径r =6，高h =8，则圆锥的侧面积是（ ） A ．15π B ．30π C ．45π D ．60π

{答案}D

{解析}本题考查了勾股定理，圆锥的侧面积，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，圆锥的侧面积计算公式是πrl ．该圆锥的母线长l =2286 =10，所以其侧面积为πrl =π·6×10=60π． {分值}4

{章节:[1-24-4]弧长和扇形面积} {考点:圆锥侧面展开图}

r

h A

B

D C G

E

F

40%

骑自 行车 25%

15% 其他 步行

20%

乘公共

汽车

{考点:勾股定理} {类别:常考题} {难度:3-中等难度}

{题目}10．（2019年四川巴中T10）二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图像如图所示，下列结论①b 2＞4ac ，②abc ＜0，③2a +b －c ＞0，④a +b +c ＜0，其中正确的是（ ） A ．①④ B ．②④ C ．②③ D ．①②③④

{

{解析}本题考查了二次函数图象与系数的关系，由图象可知抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)与x 轴有两个交点，则一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)中，△= b 2－4ac ＞0，∴b 2＞4ac ，故①正确；由图象可知抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)的开口向下，对称轴x =a

b

2-

=－1，与y 轴交于正半轴，则a ＜0，b ＜0，c ＞0，b =2a ，∴abc ＞0，故②错误；2a +b －c =4a －c ＜0，故③错误；当x =1时，y =a +b +c ，(－3，0)关于对称轴x =－1的对称点坐标为(1，0)，由抛物线的对称性可知点抛物线与x 轴右边的交点在(1，0)的左边，故抛物线上的点(1，a +b +c )在第四象限，∴a +b +c ＜0，故④正确． {分值}4

{章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax2+bx+c 的图象和性质} {考点:二次函数的系数与图象的关系} {考点:抛物线与一元二次方程的关系} {考点:代数选择压轴} {类别:常考题} {难度:4-较高难度}

{题型:2-填空题}二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分． {题目}11．（2019年四川巴中T11）函数y =

3

1

--x x 的自变量x 的取值范围 ． {答案}x ≥1且x ≠3

{解析}本题考查了函数自变量的取值范围的确定，由于二次根式被开方数为非负数及分母不能为零，可得x －1≥0且x －3≠0，解得x ≥1且x ≠3． {分值}4

{章节:[1-19-1-1]变量与函数} {考点:函数自变量的取值范围} {类别:常考题} {难度:1-最简单}

{题目}12．（2019年四川巴中T12）如果一组数据4、a 、5、3、8，其平均数为a ，那么这组数据的方差为 ． {答案}

5

14 {解析}本题考查了平均数与方差，平均数计算公式为)(1

321n x x x x n

x ++++= ，则a =

51(4+a +5+3+8)，解得a =5，这组数据的方差S 2=5

1

[(4－5)2+(5－5)2+(5－5)2+(3－5)2+(8－

5)2]=

51(1+4+9)=514． {分值}4

{章节:[1-20-2-1]方差} {考点:算术平均数} {考点:方差} {类别:常考题} {难度:2-简单}

{题目}13．（2019年四川巴中T13）如图，反比例函数y =

x

k

(x ＞0)经过A 、B 两点，过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作BD ⊥y 轴于点D ，过点B 作BE ⊥x 轴于点E ，连结AD ，已知AC =1，BE =1，S 矩形BDOE =4，则S △ACD ＝ ．

{答案}

2

{解析}本题考查了反比例函数与面积的计算，由BE =1，S 矩形BDOE =4，可得OE =4，∴B (4，1)，∴k=1×4=4，∴y =

x 4，当x =1时，y =4，∴A (1，4)，∴OC =4，CD =4－1=3，则S △ACD ＝21×3×1＝2

3． {分值}4

{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质} {考点:反比例函数的图象} {考点:反比例函数的解析式} {考点:双曲线与几何图形的综合} {类别:常考题} {难度:3-中等难度}

{题目}14．（2019年四川巴中T14）若关于x 的分式方程

2-x x ＋x

m

-22＝2m 有増根，则m 的值为 ． {答案}1

{解析}本题考查了分式方程的増根，它使原分式方程的分母为零，且是去分母后转化成的整式方程的解．原分式方程去分母，得x －2m =2m (x －2)，原分式方程有増根，则x =2，把x =2代入x －2m =2m (x －2)，解得m =1． {分值}4

{章节:[1-15-3]分式方程} {考点:分式方程的增根} {类别:常考题} {难度:3-中等难度}

{题目}15．（2019年四川巴中T15）如图，等边三角形ABC 内有一点P ，分别连结AP 、BP 、CP ，若AP =6，BP =8，CP =10，则S △ABP ＋S △BPC ＝ ．

{答案}24＋163

{解析}本题考查了图形的旋转、等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理、勾股定理（或特殊角的锐角三角函数值等知识，如图，把△ABP 绕点B 旋转60°到△CBP ′，则BP ′=BP =8，P ′C =P A =6，又∵PBP ′=60°，∴△PBP ′是等边三角形，∴PP ′=8．∵62+82=102，即P ′C 2+PP ′2=PC 2，∴△PP ′C 是直角三角形．于是S △ABP ＋S △BPC ＝S △CBP ′＋S △BPC ＝S 四边形PBP ′C ＝S △BPP ′＋S △P ′PC ＝

2

1

×8·sin60°×8＋2

1

×6×8＝163＋24．

{分值}4

{章节:[1-23-1]图形的旋转}

{考点:等边三角形的判定与性质} {考点:勾股定理}

{考点:勾股定理逆定理} {考点:特殊角的三角函数值} {考点:几何填空压轴} {类别:常考题} {难度:5-高难度}

{题型:4-解答题}三、解答题：本大题共11个小题，共90分． {题目}16．（2019年四川巴中T16）计算(2

1

)2

＋(3－π)0＋|3－2|＋2sin60°－8． {解析}本题考查了实数的运算．先分别计算平方、零指数幂，与化简绝对值、二次根数，特殊角的锐角三角函数值，最后进行加减运算得最简结果． {答案}解：原式=

41＋1＋2－3＋2×23－22＝4

13

－22．

{分值}5

{章节:[1-6-3]实数}

{考点:有理数加减乘除乘方混合运算} {考点:实数与绝对值、相反数} {考点:二次根式的定义} {考点:特殊角的三角函数值} {类别:常考题}

A

B

P

′

P A

B

C

{难度:1-最简单}

{题目}17．（2019年四川巴中T17）已知实数x 、y 满足

3-x ＋y 2－4y ＋4＝0，求代数式

xy y x 22-·2221y xy x +-÷2

2xy

y x x

-的值． {解析}本题考查了算术平方根与完全平方式的非负性，以及分式的乘除混合运算与求值．先根据非负性质求得实数x 、y 的值，再化简分式，最后代入数值计算最终结果． {答案}解：∵

3-x ＋y 2－4y ＋4＝0，∴3-x ＋(y －2)2＝0，又∵3-x ≥0，(y －2)2≥0，∴

3-x =0，(y －2)2=0，即x －3=0，y －2=0，解得x =3，y =2． xy y x 22-·2221y xy x +-÷2

2xy y x x

- =xy y x y x ))((-+·2

)(1y x -·x y x xy )

(- =x y x +

=323+

=3

5． {分值}5

{章节:[1-15-2-1]分式的乘除}

{考点:非负数的性质－算术平方根} {考点:完全平方公式} {考点:分式的混合运算} {类别:常考题} {难度:2-简单}

{题目}18．（2019年四川巴中T18）如图，等腰直角三角板如图放置，直角顶点C 在直线m 上，分别过点A 、B 作AE ⊥直线m 于点E ，BD ⊥直线m 于点D ． ①求证：EC =BD ．

②若设△AEC 三边分别为a 、b 、c ，利用此图证明勾股定理．

{解析}本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，能根据条件灵活选择全等三角形的判定方法是解决问题的关键．①欲证EC =BD ，可证明它们所在的△AEC 与△CDB 全等得到，利用直角三角形的性质与互为余角的性质，利用AAS 的条件判定两三角形全等；②利用梯形的面积公式，及该梯形面积等于三个三角形面积之和构建等式，化简即得a 2+b 2=c 2． {答案}解：①∵∠ACB=90°，∴∠ACE ＋∠BCD=90°． ∵BD ⊥m ，AE ⊥m ，∴∠CDB=90°，∠AEC=90°， ∴∠ACE ＋∠CAE=90°．∴∠CAE=∠BCD ． 在△AEC 和△CDB 中， ∵∠AEC=∠CDB=90°，∠CAE=∠BCD ，AC=CB ， ∴△AEC ≌△CDB(AAS)，∴EC =BD ．

A B

E D C

b a c

m

②由①知BD=CE=a ，CD=AE=b ，∴S 梯形ABDE =21(a+b)(a+b)=21a 2+ab+2

1

b 2． 又∵S 梯形ABDE =S △AEC + S △BCD +S △ABC =21ab+21ab+21

c 2=ab+2

1

c 2，

∴21a 2+ab+21b 2=ab+2

1

c 2，∴a 2+b 2=c 2． 即直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方． {分值}8

{章节:[1-17-1]勾股定理} {考点:互余}

{考点:全等三角形的判定ASA,AAS} {考点:全等三角形的性质} {考点:勾股定理的证明} {类别:常考题} {难度:2-简单}

{题目}19．（2019年四川巴中T19）△ABC 在边长为1的正方形网格中如图所示．

①以点C 为位似中心，作出△ABC 的位似图形△A 1B 1C ，使其位似比为1:2，且△A 1B 1C 位于点C 的异侧，并表示出A 1的坐标．

②作出△ABC 绕点C 顺时针旋转90°后的图形△A 2B 2C ． ③在②的条件下求出点B 经过的路径长．

{解析}本题考查了图形的位似，旋转及弧长计算．①把△ABC 的各边放大2倍，或者根据位似性质先的得到点A ，B 对应点的坐标(即横纵坐标分别乘－2) A 1，B 1，再连接得到△A 1B 1C ；②借助网格特征，分别把点A ，B 绕点C 顺时针旋转90°后得到对应点A 2，B 2，再连接得到△A 2B 2C ；③点B 经过的路径长，即以∠BCB 2为圆心角，以CB 为半径的扇形弧长．

{答案}解：①如图所示；②如图所示；③根据勾股定理，得BC =2

241+=17，点B 经过的路径

长为

1801790?π=2

17π．

{

{章节:[1-27-2-1]位似} {考点:作图－旋转} {考点:坐标系中的位似} {考点:勾股定理} {考点:弧长的计算} {类别:常考题} {难度:2-简单}

{题目}20．（2019年四川巴中T20）在“扶贫攻坚”活动中，某单位计划选购甲、乙两种物品慰问贫困户，已知甲物品的单价比乙物品的单价高10元，若用500元单独购买甲物品与450元单独购买乙物品的数量相同．

①请问甲、乙两种物品的单价各为多少？

②如果该单位计划购买甲、乙两种物品共55件，总费用不少于5000元且不超过5050元，通过计算得出共有几种选购方案？

{解析}本题考查了分式方程与一元一次不等式（组）的实际应用，能通过认真审题获得数量间的关系构建方程模型或不等式模型解决问题．①直接设元利用等量关系“用500元单独购买甲物品的数量＝用450元单独购买乙物品的数量”列方程求解；②设出购买甲种物品（或乙种物品）的件数，根据“总费用不少于5000元且不超过5050元”列出不等式（组），通过求整数解获得选购方案的种数．

{答案}解：①设乙种物品的单价为x 元，则甲种物品的单价为(x +10)元，根据题意，得

x

x 450

10500=

+． 解得x =90．

经检验，x =90是原分式方程的解，且符合题意． 90+10=100（元）．

答：甲、乙两种物品的单价各为100元，90元．

②设购买甲种物品y 件，则乙种物品购买(55－y )件，由题意，得 5000≤100y ＋90(55－y )≤5050， 解得5≤y ≤10．

又因为y 是正整数，所以y =5，6，7，8，9，10，即共有6种选购方案． {分值}8

{章节:[1-15-3]分式方程} {考点:其他分式方程的应用} {考点:一元一次不等式组的应用} {考点:应用不等式组设计方案}

{难度:3-中等难度}

{题目}21．（2019年四川巴中T21）如图表示的是某班部分同学衣服上口袋的数目．

①从图中给出的信息得到学生衣服上口袋数目的中位数为 ，众数为 ．

②根据上图信息，在给出的图表中绘制频数条形统计图，由此估计该班学生衣服上口袋数目为5≤x ＜7的概率．

{解析}本题考查了统计图与中位数、众数，概率的知识，掌握中位数与众数的概念，并能从统计图中获取有效信息解决问题是关键．把一组数据按大小顺序排列，处于中间位置的一个数或者两个数的平均数叫做这组数据的中位数；一组数据中出现次数最多的数字叫做这组数据的众数．根据统计图先把21个数据分别统计下来，再求中位数与众数，并根据分组统计各组数字个数，即可绘制出频数条形统计图，及根据概率公式计算所要求的概率．

{答案}解：①4，4；解析：从图中可得这组数据共21个，按大小顺序排列如下：1，1，2，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，6，6，6，7，10，10， 处于中间的第11个数据是4，故这组数据的中位数是4；其中数据4出现了4次，为最多，故这组数据的众数为4． ②绘制频数条形统计图如下：

共有21个数据，其中5≤x ＜7的有6个，所以可估计该班学生衣服上口袋数目为5≤x ＜7的概率P =

216=7

2． {分值}10

{章节:[1-20-1-2]中位数和众数} {考点:条形统计图} {考点:中位数} {考点:众数}

{考点:一步事件的概率}

{难度:2-简单}

{题目}22．（2019年四川巴中T22）已知关于x 的一元二次方程x 2＋(2m +1)x ＋m 2－1＝0有两个不相等的实数根．

①求m 的取值范围．

②设x 1、x 2是方程的两根且2

1x ＋2

2x ＋x 1x 2－17＝0，求m 的值．

{解析}本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系．①一元二次方程有两个不相等的实数根，则判别式△=b 2－4ac ＞0，由此可求m 的取值范围；②根据根与系数的关系，得x 1＋x 2=－a

b

=－(2m +1)，x 1x 2=

a

c =m 2

－1，利用完全平方公式把求值式变形为两根和与积的形式，进而利用整体代入得到关于m 的方程，通过解方程获解，注意关注所解得m 的值是否满足其取值范围，要把不符合的解舍去．

{答案}解：①根据题意，得△=b 2－4ac =[－(2m +1)]2－4(m 2－1)＞0，化简，得4m +5＞0，解得m ＞－

4

5． ②由一元二次方程根与系数的关系，得x 1＋x 2=－(2m +1)，x 1x 2=m 2－1．

21x ＋2

2x ＋x 1x 2－17＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＋x 1x 2－17＝[－(2m +1)]2－(m 2－1)－17＝0，

化简，得3m 2+4m －15＝0，解得m 1=3

5

，m 2=－3．

又∵m ＞－4

5

，∴m =－3不合题意．∴m =35．

{分值}10

{章节:[1-21-3] 一元二次方程根与系数的关系} {考点:根的判别式} {考点:根与系数关系} {考点:配方法的应用} {类别:常考题} {难度:3-中等难度}

{题目}23．（2019年四川巴中T23）某区域平面示意图如图所示，点D 在河的右侧，红军路AB 与某桥BC 互相垂直．某校“数学兴趣小组”在“研学旅行”活动中，在C 处测得点D 位于西北方向，又在A 处测得点D 位于南偏东65°方向，另测得BC=414m ，AB=300m ，求出点D 到AB 的距离． （参考数据sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）

{解析}本题考查了解直角三角形的实际应用．先由点D 分别向AB 与BC 引垂线，构造两个直角三角形与一个矩形，通过解两个直角三角形，借助矩形进行线段间的等量转换，构造方程求解． {答案}解：如图，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥BC 于点F ，则四边形DEBF 是矩形． 设DE =x m ，在Rt △ADE 中，∠DAE=65°，

65°

45°

A

C

D

∵tan ∠DAE =

AE DE ，∴AE =DAE DE tan =14.2x ，则BE =300－14

.2x

， 又BF=DE= x ，∴CF=414－x ．

在Rt △CDF 中，∠DCF=45°， ∴DF=CF=414－x ．又BE=CF ， 即300－

14

.2x

=414－x ，解得x =214． 答：点D 到AB 的距离为214m ．

{分值}8

{章节:[1-28-2-2]非特殊角}

{考点:解直角三角形的应用—测高测距离} {考点:矩形的性质} {考点:矩形的性质} {类别:常考题} {难度:3-中等难度}

{题目}24．（2019年四川巴中T24）如图，一次函数y 1=k 1x ＋b (k 1、b 为常数，k 1≠0)的图像与反比例函数y 2=

x

k 2

(k 2≠0，x ＞0)的图像交于点A (m ，8)与点B (4，2)． ①求一次函数与反比例函数的解析式． ②根据图像说明，当x 为何值时，k 1x ＋b －

x

k 2

＜0．

{解析}本题考查了一次函数与反比例函数的综合，能熟练运用待定系数法确定函数解析式是解决问题的关键．①先利用点B 的坐标求出反比例函数的解析式，进而再求得点A 的坐标，即得m 的值，最后利用待定系数法求得一次函数的解析式；②k 1x ＋b －

x

k 2

＜0，即y 1＜y 2，根据两函数交点的横坐标，分段考虑两函数值的大小关系，进行求解，注意反比例函数自变量的取值范围，不要粗心出错． {答案}解：①把B (4，2)代入y 2=x k 2，得k 2=4×2=8，∴反比例函数的解析式为y 2=x

8

． 把A (m ，8)代入y 2=

x 8，得8=m

8

，解得m =1．∴A (1，8)． 把A (1，8)，B (4，2)代入y 1=k 1x ＋b ，得

65°

45°

A C

D

E

F

???=+=+,

24,811b k b k 解得??

?=-=.10,

21b k ∴一次函数的解析式为y 1=－2x ＋10．

②由图像可知，当0＜x ＜1或x ＞4时，y 1＜y 2，即k 1x ＋b ＜

x k 2，k 1x ＋b －x

k

2＜0． {分值}8

{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质} {考点:待定系数法求一次函数的解析式} {考点:反比例函数与一次函数的综合} {类别:常考题} {类别:易错题} {难度:3-中等难度}

{题目}25．（2019年四川巴中T25）如图，在菱形ABCD 中，连结BD 、AC 交于点O ，过点O 作OH ⊥BC 于点H ，以点O 为圆心，OH 为半径的半圆交AC 于点M ． ①求证：DC 是⊙O 的切线．

②若AC =4MC 且AC =8，求图中阴影部分的面积．

③在②的条件下，P 是线段BD 上的一动点，当PD 为何值时，PH ＋PM 的值最小，并求出最小值．

{解析}本题考查了菱形的性质、圆的切线的判定、直角三角形的性质、扇形的面积公式、轴对称与最短路径问题、解直角三角形等知识．①证明切线时，当直线与圆公共点没有具体告知时，采取的方法是“作垂直，证半径”；②根据所给条件先求得OC 、OH 、OM 的长，进而可得∠OCH =30°，∠COH =60°，于是阴影部分的面积等于Rt △OCH 与扇形OHM 的面积之差；③利用轴对称与最短路径问题，通过作点M 关于BD 的对称点N ，得PH ＋PM 的最小值为HN ，再由ON=OM=OH ，∠MOH=60°，得∠MNH=30°，即△NHC 为等腰三角形，于是再通过解Rt △NPO 与Rt △COD ，或全等三角形等知识均可进行求值．

{答案}解：①证明：过点O 作OG ⊥CD 于点G ． 在菱形ABCD 中，对角线AC 平分∠BCD ， 又∵OG ⊥CD ，OH ⊥BC ，∴OG =OH ， ∴DC 是⊙O 的切线．

A

B O

D

C

H

P M

②∵AC =4MC 且AC =8，∴OC =2MC =4，MC =OM =2，∴OH =2． 在直角△OHC 中，OH =

2

1

OC ， ∴∠OCH =30°，∠COH =60°， ∴HC =22OH OC =23． S 阴影=S △OCH －S 扇形OHM =

21CH ·OH －360

60

π·OH 2 =21×23×2－36060π×4=23－3

2π． ③作M 关于BD 的对称点N ，连接HN 交BD 于点P ．

又∵BD ⊥MN ，∴PM=PN ，∴PH+PM=PH+PN=HN ，此时PH+PM 最小． ∵ON=OM=OH ，∠MOH=60°，∴∠MNH=30°， ∴∠MNH=∠HCM ，∴HN=HC=23． 即PH+PM 最小值为23．

在Rt △NPO 中，OP =ON ·tan30°=

33

2． 在Rt △COD 中，OD =OC ·tan30°=3

3

4．

∴PD =OP +OD =23．

（注：还可通过以下方法求得PD 的长：由菱形性质得OD=OB ，易求∠POH=∠PHO=30°，则OP=HP ，易证△ODG ≌△NPO ，得OD=PN ，∴PD=OP+OD=PH+PN=HN= HC=23．） {分值}10

{章节:[1-24-2-2]直线和圆的位置关系} {考点:菱形的性质} {考点:解直角三角形} {考点:切线的判定} {考点:扇形的面积} {考点:最短路线问题} {类别:高度原创} {难度:4-较高难度}

{题目}26．（2019年四川巴中T26）如图，抛物线y =ax 2+bx －5(a ≠0)经过x 轴上的点A (1，0)和点B 及y 轴上的点C ，经过B 、C 两点的直线为y =x +n ．

A

B O

D C

H

P M

N

G

①求抛物线的解析式．

②点P 从A 出发，在线段AB 上以每秒1个单位的速度向B 运动，同时点E 从B 出发，在线段BC 上以每秒2个单位的速度向C 运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t 秒，求t 为何值时，△PBE 的面积最大并求出最大值．

③过点A 作AM ⊥BC 于点M ，过抛物线上一动点N (不与点B 、C 重合)作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q ．若点A ，M ，N ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点N 的横坐标．

{解析}本题考查了确定二次函数的解析式、抛物线上三角形面积的最值与平行四边形存在性问题，是二次函数知识的综合应用．

①由抛物线y =ax 2+bx －5与直线y =x +n 均过点C ，可得n=－5，进而可求点B 的坐标，再利用点A 与点B 的坐标，即可确定抛物线的解析式．②用t 分别表示线段PB 与BE 的长，易知∠PBE =45°，故又可用t 表示△PBE 中BE 边上的高，从而利用三角形的面积公式构建二次函数，利用最值使问题得以解决．③过点N 作x 轴的垂线交直线BC 于点P ，交x 轴于点H ．可发现△PQN 为等腰直角三角形，则PN=4，为定值．于是设N(m ，－m 2+6m －5)，则H(m ，0)，P(m ，m －5)，结合点Q 所在的不同位置，利用PN=NH+HP=4，或PN=NH －HP=4，分情况讨论求解．

{答案}解：①由y =ax 2+bx －5(a ≠0)得C (0，－5)，代入y =x +n 得n =－5，∴y =x －5，则B (5，0)．把A (1，0)、B (5，0)代入y =ax 2+bx －5，得??

?=-+=-+,05525,05b a b a 解得???=-=.

6,

1b a

∴抛物线的解析式为y =－x 2+6x －5；

②由题意，得PB=4－t ，BE=2t ，由OB=OC=5，可得∠PBE =45°，

∴△PBE 中BE 边上的高h=BP ·sin45°=

2

2

(4－t )， ∴S △PBE =21BE ·h =2

1

×22(4－t )·2t =22-( t －2)2+22．

∴当t =2时，△PBE 的面积最大，最大值为22．

③由①知直线BC 的解析式为y =x －5，故∠PBE =45°，又AB=5－1=4，∴点A 到直线BC 的距离为AM =22．

过点N 作x 轴的垂线交直线BC 于点P ，交x 轴于点H ．设N(m ，－m 2+6m －5)，则H(m ，0)，P(m ，m －5)．易知△PQN 为等腰直角三角形，即NQ=22，PQ=22．∴PN=4．

备用图

第26题图

（Ⅰ）如图1，PN=NH+HP=4，∴－m2+6m－5－(m－5)=4，解得m1=1，m2=4．∵点A，M，N，Q为顶点的四边形是平行四边形，∴m=4．

（Ⅱ）如图2，PN=NH+HP=4，∴m－5－(－m2+6m－5)=4，

解得m1=

241

5+

，m2=

241

5-

．

∵点A，M，N，Q为顶点的四边形是平行四边形，∴m＞5．∴m=

241

5+

．（Ⅲ）如图3，PN=NH－HP=4，∴－(－m2+6m－5)－[－(m－5)]=4，

解得m1=

241

5+

，m2=

241

5-

．

∵点A，M，N，Q为顶点的四边形是平行四边形，∴m＜0．∴m=

241

5-

．

综上所述，要使点A，M，N，Q为顶点的四边形是平行四边形，点N的横坐标为4或

241

5+

或

241

5-

．

{分值}12

{章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质} {考点:二次函数y＝ax2+bx+c的性质}

{考点:等腰直角三角形}

{考点:其他一次函数的综合题}

{考点:几何图形最大面积问题}

{考点:二次函数与平行四边形综合}

{考点:公式法}

{考点:代数综合}

{类别:思想方法}

{类别:高度原创}

{难度:5-高难度}