时间序列分析第二章

第二章：时间序列的预处理

时间序列的预处理：对序列进行的平稳性与纯随机性的检验称为序列的预处理. 目的：根据检验的结果将序列分为不同的类型，从而采用不同的方法去分析.

§2.1平稳性检验

平稳性是某些时间序列具有的一种统计特征，其具体定义如下：

一、平稳性：若序列达到统计平衡状态，其统计特性不随时间变化，则称该序列具有平稳性. 二、预备知识

1. 时间序列的概率分布族：任取指标集T 中的m 个不同的指标m t t t ,,,21 ，称

),,,(),,,(2121,,,21

21m t t t m t t t x x x x x x P x x x F m m ≤≤≤=

为时间序列}{t x 的一个有限维(m 维)分布，变动m 及 m t t t ,,,21 ，称由这些有限维分布函数的全体},,,),,2,1(),,,,({2121,,,21

T t t t m x x x F m m t t t

m

∈?∈? 为时间序列}{t x 的概率分布族.

注：由于在实际应用中，很难得到序列的联合概率分布，所以在时间序列分析中很少直接使用. 2. 时间序列的特征统计量：对时间序列T t x t ∈?},{，随机变量)

(~x F x t t ，

(1). 均值：若∞

∞-)(x xdF t ，则有均值函数?

∞

∞

-=

=)(x xdF Ex t t t μ，以及均值函数列},{T t t ∈μ.

(2). 方差：若∞

-)(2x dF x t ，则有方差函数?

∞

∞

--==-=)()()(2

2x dF x Ex x E Dx t t t t t t t μμ，以及

方差函数序列},{T t Dx t ∈.

(3). 自协方差函数：T s t ∈?,，自协方差函数)])([(),(s s t t x x E s t μμγ--=. (4). 自相关系数: T s t ∈?,，自相关系数s

t

Dx

Dx

s t s t ?=)

,(),(γρ.

三、平稳时间序列的统计定义

1. 严平稳时间序列：若时间序列}{t x 的任意有限维分布满足

)

,,,(),,,(21,,,21,,,2121m t t t m t t t x x x F x x x F m m τττ+++=

其中τ,m 为任意正整数，T t t t m ∈,,,21 ，则称时间序列}{t x 为严平稳(完全平稳)时间序列. 注: 严平稳时间序列的概率结构对时间原点的平移保持不变，即T t t m

x x ),,(1

和T

t

t m x x )

,,(1τ

τ

++

具有完全相同的联合概率分布，即序列的所有统计性质都不随时间的推移而发生改变. 2. 宽平稳时间序列：若时间序列}{t x 满足 (1). T t ∈?，有∞<2t Ex ； (2).

T

t ∈?，有μμ,=t Ex 为常数；

(3). T k s t ∈?,,，且T t s k ∈-+，有),(),(t s k k s t -+=γγ. 则称}{t x 为宽平稳(弱平稳，二阶平稳)时间序列. 注：

①.宽平稳时间序列具有常数均值序列和方差序列，这说明平稳序列的观测值应在某一定值附近作有界波动.

②.自协方差函数和自相关系数具有对时间的平移不变性. 3. 两种平稳时间序列的区别与联系

(1). 区别：严平稳的条件严格，要求序列的所有统计特性都相同；宽平稳只要求序列的二阶矩函数相同.

(2). 联系：一般情况下，严平稳序列一定是宽平稳序列，但反之未必.因宽平稳序列对二阶以上的矩未做要求.

(3). 特例：服从柯西分布的严平稳序列因其一、二阶矩不存在，无法验证它的二阶平稳性；服从正态分布的宽平稳序列因其联合分布完全由均值和协方差决定，从而一定是严平稳序列. 注：①.二阶矩存在的严平稳时间序列一定是宽平稳时间序列.

②.宽平稳正态时间序列一定是严平稳时间序列.

在实际应用中多研究宽平稳随机序列，若无特殊说明，平稳随机序列都指的宽平稳. 四、平稳时间序列自相关系数的性质

1. 延迟k 自协方差函数(k 阶自协方差函数)：T k t t k t t k ∈+?+=,),,(γγ； 延迟k 自相关系数(k 阶自相关系数)：T k t t k t t k ∈+?+=,),,(ρρ. 注：

①. 0),(γγ==t t Dx t . ②. 0

)

,(),(γγγρρk k

t t k

Dx Dx k t t k t t =

?+=

+=+.

2. k 阶自相关系数的性质 (1). 规范性：10=ρ且Z k k ∈?≤,1ρ;

(2). 对称性：k

k

-=ρρ;

(3). 非负定性: +∈?Z m ，相关阵m Γ为对称非负定矩阵，即????

??

?

??=----0

21

20

1110ρρρρρρρρρΓ

m m m m m

为对称非负正定阵；

注：m Γ的计算：依此用随机变量m x x x ,,,21 与m x x x ,,,21 计算相关系数作为矩阵的每一行. (4). 非惟一性：}{t x 对应唯一一个k ρ；k ρ未必对应唯一一个}{t x .

注：一个平稳时间序列惟一决定它的自相关系数，但一个自相关系数未必惟一对应一个平稳时间序列.这将在后面具体说明. 五、平稳时间序列的意义

1. 极大地减少了随机变量的个数，如将可列个随机变量的均值序列},{T t t ∈μ变成了一个变量的均值序列},{T t ∈μ.

2. 增加了待估变量的样本容量，化简了时间序列分析的难度，提高了对总体特征统计量的估计精度：(即用样本特征统计量对它们进行估计.)

∑===→n

i i

t x n

x x 11

?μ

； n k k

n x x x x k n t k t t k

<

∑

-=+0,)

)((?1

γ； n

x x n t t ∑

=-=

1

2

0)(?γ;

n k k k <

γγρ

； n k x x x x x x n t t k n t k t t k <<

∑

=-=+0,)

()

)((~?1

2

1

ρ

.

注：上述样本特征统计量仍和样本一样具有二重性，作为随机变量它们有自己的分布. 六、平稳性的检验：图检验法；统计检验法. 1. 图检验法

时序图检验：平稳序列波动的范围有界、无明显趋势及周期特征(因为平稳序列的均值和方差都为常数)；非平稳序列通常有明显趋势或周期特征.

自相关图检验：平稳序列的自相关系数k ρ

?随着k 的增加会很快衰减到零(因为平稳序列通常具有短期的相关性)；非平稳序列的自相关系数k ρ

?衰减到零的速度通常较慢.

优缺点：操作简单，运用广泛；判断结论主观色彩强. 2. 统计检验法—单位根检验法.

注：时间序列一般具有趋势性，周期性，随机性.

§2.2纯随机性检验

一、纯随机序列

(一). 定义：若时间序列}{t x 满足1.T t ∈?，有μ=t Ex ； 2. T s t ∈?,，有???≠==s

t s

t s t ,0,),(2σγ，

则称序列}{t x 为纯随机序列，也称为白噪声序列，记为),(~2σμWN x t . 注：白噪声序列是平稳序列. (二). 性质及其应用

1. 纯随机性: 0,0≠?=k k γ，(这说明白噪声序列的各项之间没有任何相关关系，即无记忆性.) 注：

①.对时间序列}{t x ，若0,0≠≠?k k γ，说明该序列间隔k 期序列值之间存在着一定程度的相互影响关系，即相关信息，从而该序列不是纯随机序列. ②.判断相关信息是否提取充分.

2. 方差齐性：2)0(σγ==t Dx . 即序列中每一个变量的方差都相等. 注：

①.若序列}{t x 中的变量的方差不全相等，则称其具有异方差性.

②.提高参数估计的准确性，有效性：由马尔可夫定理知，只有在方差齐性成立时，用最小二乘法得到的未知参数的估计值才是准确的，有效的.

③.模型拟合的检验内容之一：检验拟合模型的残差是否满足方差齐性. 二、纯随机性检验

若一序列是纯随机序列，则它的序列值之间应该没有任何关系，即有0,0≠?=k k γ，从而也有序列的样本自相关系数0,0≠?=k k ρ，因此给出如下检验条件： (一). 假设条件

原假设：1,0:210≥?====m H m ρρρ . 即延迟小于或等于m 期的序列值不相关.

备则假设：1H ：至少存在某个m k m k ≤≥?≠,1,0ρ. 即延迟小于或等于m 期的序列值相关. 但由于观测值序列都是有限的，导致纯随机序列的样本自相关系数不会绝对为零，所以假设条件应该相应的修改为单边假设检验：

原假设：1,:0≥?

备则假设：1H ：至少存在某个m k m k ≤≥?≥,1,ερ.即延迟小于或等于m 期的序列值相关. (二). 检验原理

Barlett 定理：若时间序列}{t x 是纯随机的，得到一个观测期数为n 的观察序列},,2,1,{n t x t =，则该序列的延迟非零期的样本自相关系数将近似服从均值为零，方差为序列观测期数倒数的正

态分布，即()0,/1,0~?≠?k n N k ρ.

(三). 检验统计量

1. Q 统计量：)(~?212m n Q m

k k χρ

∑==(在原假设成立时)，其中n 为序列观测期数；m 为指定延迟期数.

2. LB 统计量: )(~?)2(2

12

m k

n n n LB m

k k χρ

∑=-+=(在原假设成立时)，

其中n 为序列观测期数；m 为指定延迟期数. 注：

①.Q 统计量也称为BP Q 统计量，适合于大样本场合；

②.LB 统计量也称为LB Q 统计量，是对LB Q 统计量的修正，适用于小样本场合.在各种场合普遍采用的统计量通常都是指LB Q 统计量. (四). 检验原则：(单边假设)

拒绝原假设：当检验统计量的大于)(21m αχ-分位点(上α分位数)，或该统计量的P 值小于α 时，则可以以α-1的臵信水平拒绝原假设，认为该序列为非白噪声序列.

接受原假设：当检验统计量小于)(21m αχ-分位点或该统计量的P 值大于α时，则认为在α-1的臵信水平下无法拒绝原假设，即不能显著地拒绝序列为纯随机序列的假定.