8.1 第二课时 旋转体与简单组合体

第二课时旋转体与简单组合体

课标要求素养要求

1.利用实物、计算机软件等观察空间图

形，认识圆柱、圆锥、圆台、球及简单

组合体的结构特征.2.能运用这些特征描

述现实生活中简单物体的结构.

在旋转体与简单组合体概念的形成中，

经历由具体到抽象，由一般到特殊的过

程，发展学生的数学抽象素养和直观想

象素养.

教材知识探究

如图，观察下列实物图.

问题(1)上述三个实物图抽象出的几何体与多面体有何不同？

(2)上述实物图抽象出的几何体中的曲面能否由某些平面图形旋转而成？

(3)如何形成上述几何体的曲面？

提示(1)它们不是由平面多边形围成的.

(2)可以由某些平面图形旋转而成.

(3)上述几何体可由半圆、直角梯形、直角三角形以适当的一边所在直线为轴旋转而成.

1.圆柱、圆锥、圆台、球

旋转体结构特征图形表示

圆柱

以矩形的一边所在直线为旋转

轴，其余三边旋转一周形成的

面所围成的旋转体叫做圆柱.

旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于

圆柱用表示它的轴的

字母表示，如图中的圆

柱记作圆柱O′O

轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线

圆锥以直角三角形的一条直角边所

在直线为旋转轴，其余两边旋

转一周形成的面所围成的旋转

体叫做圆锥

圆锥也用表示它的轴

的字母表示，如图中的

圆锥记作圆锥SO

圆台用平行于圆锥底面的平面去截

圆锥，底面与截面之间的部分

叫做圆台

圆台也用表示它的轴

的字母表示，如图中的

圆台记作圆台O′O

球半圆以它的直径所在直线为旋

转轴，旋转一周形成的曲面叫

做球面，球面所围成的旋转体

叫做球体，简称球.半圆的圆心

叫做球的球心，连接球心和球

面上任意一点的线段叫做球的

半径；连接球面上两点并且经

过球心的线段叫做球的直径

球常用表示球心的字

母来表示，左图可表示

为球O

2.棱柱和圆柱统称为柱体，棱锥和圆锥统称为锥体，棱台和圆台统称为台体.

3.简单组合体“接”和“截”简单几何体就可得到组合体

(1)定义：由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体.

(2)简单组合体的构成形式：一种是由简单几何体拼接而成的；另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成的.

教材拓展补遗

[微判断]

1.圆锥有无数条母线，它们有公共点即圆锥的顶点，且长度相等.(√)

2.过圆锥的轴的截面是全等的等边三角形.(×)

3.圆台有无数条母线，且它们相等，但延长后不相交于一点.(×)

4.过圆台任意两条母线的截面是等腰梯形.(√)

提示 2.不一定是等边三角形，但一定是等腰三角形.

3.延长后相交于一点.

[微训练]

1.下列说法正确的是()

A.圆锥的母线长等于底面圆直径

B.圆柱的母线与轴垂直

C.圆台的母线与轴平行

D.球的直径必过球心

解析圆锥的母线长与底面直径无联系；圆柱的母线与轴平行；圆台的母线与轴不平行.

答案 D

2.用一个平面去截一个几何体，得到的截面是三角形，这个几何体可能是()

A.圆柱

B.圆台

C.球体

D.棱台

解析圆柱、圆台和球体无论怎样截，截面可能是曲面，也可能是矩形(圆柱)，不可能截出三角形.只有棱台可以截出三角形，故选D.

答案 D

[微思考]

1.圆柱上底面圆周上任一点与下底面圆周上任一点的连线是圆柱的母线吗？

提示不一定.圆柱的母线与轴是平行的.

2.半圆或圆绕它的直径所在直线旋转一周形成什么？

提示半圆或圆绕它的直径所在直线旋转一周形成球面.

3.用一个平面去截球，得到的是一个圆吗？

提示不是，得到的是一个圆面，球是一个几何体，包括表面及其内部.

4.观察下列几何体，分析它们是由哪些基本几何体组成的.

提示图1 是由圆柱中挖去圆台形成的，图2是由球、棱柱、棱台组合而成的.

题型一旋转体的结构特征抓住旋转体的形成过程和相互联系

【例1】给出下列命题：

①圆柱的母线与它的轴可以不平行；②圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形；③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的.其中正确的是()

A.①②

B.②③

C.①③

D.②④

解析由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质可知②④正确，①③错误.

答案 D

规律方法由简单旋转体判断问题的解题策略

(1)准确掌握圆柱、圆锥、圆台和球的生成过程及其特征性质是解决此类概念问题的关键.

(2)解题时要注意两个明确：

①明确由哪个平面图形旋转而成；

②明确旋转轴是哪条直线.

【训练1】下列命题正确的是________(只填序号).

①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；

②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；

③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；

④以等腰三角形的底边上的高所在直线为旋转轴，其余各边旋转180°形成的曲面围成的几何体是圆锥；

⑤球面上四个不同的点一定不在同一平面内；

⑥球的半径是球面上任意一点和球心的连线段.

解析①以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周才可以得到圆锥；②以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周才可以得到圆台；③它们的底面为圆面；④正确；作球的一个截面，在截面的圆周上任意取四个不同的点，则这四点就在球面上，故⑤错误；根据球的半径定义，知⑥正确.

答案④⑥

题型二简单组合体的结构特征

从组合体的构成要素和构成形式两个方面进行分析说明

【例2】指出图中三个几何体的构成.

解图①中的几何体由一个圆锥和一个四棱柱组合而成，其中上面是圆锥，下面是四棱柱.

图②中的几何体由一个圆锥挖去一个四棱柱而得到，其中四棱柱内接于圆锥.

图③中的几何体由一个球挖去一个三棱锥而得到，其中三棱锥内接于球.

规律方法判断组合体构成的方法

(1)判定实物图是由哪些简单几何体组成的问题时，首先要熟练掌握简单几何体的结构特征；其次要善于将复杂的组合体“分割”为几个简单的几何体.

(2)组合体是由简单几何体拼接或截去一部分构成的.要仔细观察组合体的构成，结合柱、锥、台、球的结构特征，先分割，后验证.

【训练2】如图(1)、(2)所示的图形绕虚线旋转一周后形成的几何体分别是由哪些简单几何体组成的？

解旋转后的图形如图所示.其中图①是由一个圆柱O1O2和两个圆台O2O3，O3O4组成的；图②是由一个圆锥O5O4，一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去圆锥O2O1组成的.

题型三 旋转体的有关计算 作出旋转体的轴截面实现空间图形平面化

【例3】 已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同侧，且距离等于1，求这个球的半径.

解 如图，设这两个截面圆的半径分别为r 1，r 2，球心到截面的距离分别为d 1，d 2，球的半径为R ，则

πr 21＝5π，πr 22＝8π，∴r 21＝5，r 22＝8， 又∵R 2＝r 21＋d 21＝r 22＋d 22， ∴d 21－d 22＝8－5＝3，

即(d 1－d 2)(d 1＋d 2)＝3.又d 1－d 2＝1， ∴???d 1＋d 2＝3，d 1－d 2＝1，解得???d 1＝2，d 2＝1.

∴R ＝r 21＋d 21＝5＋4＝3，

即球的半径等于3.

规律方法 (1)旋转体中有关底面半径、母线、高的计算，可利用轴截面求解，即将立体问题平面化.

(2)利用球的截面，将立体问题转化为平面问题是解决球的有关问题的关键. 【训练3】 用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得的圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm ，求圆台的母线长. 解 设圆台的母线长为l cm ，截得圆台的上底面的半径为r cm.

根据题意，得圆台的下底面的半径为4r cm.

根据相似三角形的性质，得

3

3＋l

＝

r

4r.解得l＝9.

所以圆台的母线长为9 cm.

一、素养落地

1.通过圆柱、圆锥、圆台和球的定义和空间结构特征的学习，重点培养数学抽象素养及提升直观想象素养.

2.圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示.

3.球面、球体的区别和联系

区别联系球面球的表面是球面，球面是旋转形成的曲面球面是球体的

表面球体球体是几何体，包括球面及所围的空间部分

4.处理台体问题常采用还台为锥的补体思想.

5.处理组合体问题常采用分割思想.

6.重视圆柱、圆锥、圆台的轴截面在解决几何量中的特殊作用，切实体会空间几何平面化的思想.

二、素养训练

1.下列几何体是台体的是()

解析台体包括棱台和圆台两种，A的错误在于四条侧棱没有交于一点；B的错误在于截面与圆锥底面不平行；C是棱锥；结合圆台的定义可知D正确.

答案 D

2.过球面上任意两点A，B作大圆，可能的个数是()

A.有且只有一个

B.一个或无穷多个

C.无数个

D.以上均不正确

解析当过A，B的直线经过球心时，经过A，B的截面所得的圆都是球的大圆，这时过A，B作球的大圆有无数个；当直线AB不经过球心O时，经过A，B，O 的截面就是一个大圆，这时只能作出一个大圆.

答案 B

3.若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的母线长为________.

解析如图所示，设等边三角形ABC为圆锥的轴截面，由题意知圆锥的母线长即

为△ABC的边长，且S

△ABC ＝

3

4AB

2，∴3＝

3

4AB

2，∴AB＝2.

答案 2

4.如图，将直角梯形ABCD绕边AB所在的直线旋转一周，由此形成的几何体是由哪些简单几何体组成的？

解画出形成的几何体如图所示.

由图可知，旋转得到的几何体是由一个圆柱和一个圆锥组成的.

基础达标

一、选择题

1.圆柱的母线长为10，则其高等于()

A.5

B.10

C.20

D.不确定

解析圆柱的母线长与高相等，则其高等于10.

答案 B

2.如图是由哪个平面图形旋转得到的()

解析图中所给的几何体是由上部的圆锥和下部的圆台组合而成的，故轴截面的上部是直角三角形，下部为直角梯形构成，故选D.

答案 D

3.下列说法正确的是()

A.到定点的距离等于定长的点的集合是球

B.球面上不同的三点可能在同一条直线上

C.用一个平面截球，其截面是一个圆

D.球心与截面圆心(截面不过球心)的连线垂直于该截面

解析对于A，球是球体的简称，球体的外表面我们称之为球面，球面是一个曲面，是空心的，而球是几何体，是实心的，故A错；对于B，球面上不同的三点一定不共线，故B错；对于C，用一个平面截球，其截面是一个圆面，而不是一个圆，故C也是错误的.所以选D.

答案 D

4.上、下底面面积分别为36π和49π，母线长为5的圆台，其两底面之间的距离为()

A.4

B.3 2

C.2 3

D.2 6

解析圆台的母线长l、高h和上、下两底面圆的半径r，R满足关系式l2＝h2＋(R－r)2，求得h＝26，即两底面之间的距离为2 6.

答案 D

5.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是()

A.①②

B.①③

C.①④

D.①⑤

解析一个圆柱挖去一个圆锥后，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，圆柱的轮廓是矩形除去一条边，圆锥的轮廓是三角形除去一条边或抛物线的一部分. 答案 D

二、填空题

6.观察下列四个几何体，其中可看作是由两个棱柱拼接而成的是________(填序号).

解析①可看作由一个四棱柱和一个三棱柱组合而成，④可看作由两个四棱柱组合而成.

答案①④

7.已知一个圆柱的轴截面是一个正方形，且其面积是Q，则此圆柱的底面半径为________(用Q表示).

解析设圆柱的底面半径为r，则母线长为2r.

∴4r2＝Q，解得r＝Q

2，∴此圆柱的底面半径为

Q

2.

答案Q 2

8.若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的高为________.

解析设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则4π＝πl2，所以母线长为l＝2，又半圆的弧长为2π，圆锥的底面的周长为2πr＝2π，所以底面圆半径r＝1，所以该圆锥的高为h＝l2－r2＝22－12＝ 3.

答案 3

三、解答题

9.圆台的上底周长是下底周长的1

3，轴截面面积等于392，母线与底面的夹角为45°，

求此圆台的高、母线长及两底面的半径.

解设圆台上、下底面半径分别为r，R，母线长为l，高为h.

由题意，得2πr＝1

3·2πR，即R＝3r.①

1

2(2r＋2R)·h＝392，即(R＋r)h＝392.②

又母线与底面的夹角为45°，则h＝R－r＝

2

2l.③

联立①②③，得R＝21，r＝7，h＝14，l＝14 2.

10.已知一个圆锥的底面半径为r，高为h，在此圆锥内有一个内接正方体，这个内接正方体的顶点在圆锥的底面和侧面上，求此正方体的棱长.

解作出圆锥的一个轴截面如图所示：其中AB，AC为母线，BC为底面直径，DG，EF是正方体的棱，DE，GF是正方体的上、下底面的对角线.设正方体的棱

长为x，则DG＝EF＝x，DE＝GF＝2x.依题意，得△ABC∽△ADE，∴

h

h－x

＝

2r

2x

，

∴x＝2rh

h＋2r ，即此正方体的棱长为

2rh

h＋2r

.

能力提升

11.一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切(球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点)，过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面是下列图形中的()

解析 易知截面是一个非等边的等腰三角形，排除A ，D ；等腰三角形的底边是正三棱锥的一条棱，这条棱不可能与内切球有交点，所以排除B ；而等腰三角形的两条腰正好是正三棱锥两个面的中线，且经过内切球在两个面上的切点，所以正确答案是C. 答案 C

12.圆台的两底面面积分别为1，49，平行于底面的截面面积的2倍等于两底面面积之和，求圆台的高被截面分成的两部分的比.

解 将圆台还原为圆锥，如图所示.O 2，O 1，O 分别是圆台上底面、截面和下底面的圆心，V 是圆锥的顶点，令VO 2＝h ，O 2O 1＝h 1，O 1O ＝h 2，

则?

????h ＋h 1

h ＝49＋121，h ＋h 1＋h 2h ＝49

1

，所以???h 1＝4h ，h 2＝2h ，

即h 1∶h 2＝2∶1.

故圆台的高被截面分成的两部分的比为2∶1.

创新猜想

13.(多选题)连接球面上两点的线段称为球的弦，半径为4的球的两条弦AB ，CD 的长度分别等于27，43，M ，N 分别为AB ，CD 的中点，每条弦的两端都在球面上运动，则( ) A.弦AB ，CD 可能相交于点M B.弦AB ，CD 可能相交于点N C.MN 的最大值为5 D.MN 的最小值为1

解析球心到弦AB，CD的距离分别3，2，又因为3>2，所以AB，CD可交于AB的中点M，不可交于CD的中点N；当AB，CD在球心的同侧时，MN的最小值为3－2＝1；当AB，CD在球心的两侧时，MN的最大值为3＋2＝5.故选A，C，D.

答案ACD

14.(多填题、开放题)如图，模块①～⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块

⑥由15个棱长为1的小正方体构成.

(1)若从模块⑥中拿掉一个小正方体，再从模块①～⑤中选出一个模块放到模块⑥上，使得模块⑥成为长方体，则①～⑤中选出的模块可以是________(答案不唯一).

(2)若从模块①～⑤中选出3个放到模块⑥上，使模块⑥成为棱长为3的大正方体，则选出的3个模块是______(答案不唯一).

解析(1)由图可知，①～⑤中选出的一个模块可以是①，也可以是②，也可以是

⑤.

(2)先补齐中间一层，只能用⑤，再补最上一层，则可用①②，也可用①④.

答案(1)①(或②或⑤)(2)①②⑤(或①④⑤)