第3讲 专题：电磁感应的综合应用

第3讲 专题：电磁感应的综合应用

一、电磁感应中的电路问题 1．内电路和外电路

(1)切割磁感线运动的导体或磁通量发生变化的线圈都相当于电源．

(2)该部分导体的电阻或线圈的电阻相当于电源的内阻，其余部分是外电路． 2．电源电动势和路端电压

(1)电动势：E ＝Blv 或E ＝n ΔΦ

Δt

.

(2)电源正、负极：用右手定则或楞次定律确定． (3)路端电压：U ＝E －Ir ＝IR .

1．安培力的大小

由感应电动势E＝Blv，感应电流I＝E

R和安培力公式F＝BIl

得

F＝

B2l2v

R.

2．安培力的方向判断感应电流

受安培力的方向—????

四、电磁感应中的能量转化与守恒

1．能量转化的实质

电磁感应现象的能量转化实质是其他形式能和电能之间的转化．

2．能量的转化

感应电流在磁场中受安培力，外力克服安培力做功，将其他形式的能转化为电能，电流做功再将电能转化为内能(或其他形式的能)．

3．热量的计算

电流(恒定)做功产生的热量用焦耳定律计算，公式Q＝I2Rt.

1．穿过闭合回路的磁通量Φ随时间t变化的图象分别如图①～④所示．下列关于回路中产生的感应电动势的论述中正确的是()

A．图①中，回路产生的感应电动势恒定不变

B．图②中，回路产生的感应电动势一直在变大

C．图③中，回路在0～t1时间内产生的感应电动势小于在t1～t2时间内产生的感应电动势D．图④中，回路产生的感应电动势先变小再变大

解析：由法拉第电磁感应定律E＝n ΔΦ

Δt

可得，闭合回路产生的感应电动势取决于Φ－t

图象的斜率的绝对值大小．图①中Φ－t图象的斜率为零，故感应电动势为零，A错误；图②中Φ－t图象斜率不变，故感应电动势为定值，B错误；图③中回路中0～t1时间内Φ－t图象的斜率的绝对值大于t1～t2时间内Φ－t图象的斜率的绝对值，故在0～t1时间内产生的感应电动势大于t1～t2时间内产生的感应电动势，C错误；图④中Φ－t图象的斜率的绝对值先变小再变大，故回路产生的感应电动势先变小再变大，D正确．

答案： D

2．如图所示，两根相距为l的平行直导轨ab、cd，b、d间

连有一固定电阻R，导轨电阻忽略不计，MN为放在ab和cd上

的一导体杆，与ab垂直，其电阻也为R.整个装置处于匀强磁场

中，磁感应强度的大小为B，磁场方向垂直于导轨所在平面(指

向图中纸面内)，现对MN 施力使它沿导轨方向以速度v (如图)做匀速运动，令U 表示MN 两端电压的大小，则( )

A ．U ＝1

2vBl ，流过固定电阻R 的感应电流由b 到d

B ．U ＝1

2

vBl ，流过固定电阻R 的感应电流由d 到b

C ．U ＝vBl ，流过固定电阻R 的感应电流由b 到d

D ．U ＝vBl ，流过固定电阻R 的感应电流由d 到b 解析： 导体杆向右做匀速直线运动产生的感应电动势Blv ，R 和导体杆形成一串联电路，

由分压原理得U ＝Blv R ＋R ·R ＝1

2Blv ，由右手定则可判断出感应电流方向由N →M →b →d →N ，故

A 选项正确．

答案： A

3.如图所示，在光滑的水平面上，一质量为m ＝0.1 kg ，半径为r ＝0.5 m ，电阻为R ＝0.5 Ω的均匀金属圆环，以v 0＝5 m/s 的初速度向一磁感应强度为B ＝0.1 T 的有界匀强磁场滑去(磁场宽度d ＞2r )．圆环的一半进入磁场历时2秒，圆环上产生的焦耳热为0.5 J ，则2秒末圆环中感应电流的瞬时功率为( )

A ．0.15 W

B ．0.2 W

C ．0.3 W

D ．0.6 W 解析： 圆环刚好有一半进入磁场时，设瞬时速度为v ，由Q ＝12mv 20－12

mv 2

，解得v ＝15 m/s ，此时环上的瞬时感应电

动势为E ＝Bv ×2r ，故瞬时功率为P ＝E 2/R ＝0.3 W . 答案： C

4.如图所示，水平放置的光滑平行金属导轨上有一质量为m 的金属棒ab .导轨的一端连接电阻R ，其他电阻均不计，磁感应强度为B 的匀强磁场垂直于导轨平面向下．金属棒ab 在一水平恒力F 作用下由静止开始向右运动，则( )

A ．随着ab 运动速度的增大，其加速度也增大

B ．外力F 对ab 做的功等于电路中产生的电能

C ．当ab 做匀速运动时，外力F 做功的功率等于电路中的电功率

D ．无论ab 做何种运动，它克服安培力做的功一定等于电路中产生的电能

解析： 设ab 的速度为v ，运动的加速度a ＝F －B 2L 2v R

m ，ab 由静止先做加速度逐渐减小的加速运动，当a ＝0后做匀速运动，则A 选项错误；由能量守恒知．外力F 对ab 做的功等于电路中产生的电能和ab 增加的动能之和．ab 克服安培力做的功一定等于电路中产生的电能，则B 选项错误．D 选项正确；当ab 做匀速运动时，F ＝BIL ，外力F 做功的功率等于电路中的电功率，则C 选项正确． 答案： CD

5.如图所示，水平面上固定一个间距L＝1 m的光滑平行金属导轨，整个导轨处在竖直方向的磁感应强度B＝1 T的匀强磁场中，导轨一端接阻值R＝9 Ω的电阻．导轨上有质量m＝1 kg、电阻r＝1 Ω、长度也为1 m的导体棒，在外力的作用下从t＝0

开始沿平行导轨方向运动，其速度随时间的变化规律是v＝

2t，不计导轨电阻．求：

(1)t＝4 s时导体棒受到的安培力的大小；

(2)请在如图所示的坐标系中画出电流平方与时间的关

系(I2－t)图象．

解析：(1)4 s时导体棒的速度是

v＝2t＝4 m/s

感应电动势：E＝BLv

感应电流：I＝E

R＋r

此时导体棒受到的安培力：F安＝BIL＝0.4 N.

(2)由(1)可得

I2＝(

E

R＋r

)2＝4(

BL

R＋r

)2t＝0.04t

作出图象如图所示

答案：(1)0.4 N(2)见解析图

电磁感应中的图象问题1．图象问题的特点

考查方式比较灵活，有时根据电磁感应现象发生的过程，确定图象的正确与否，有时依据不同的图象，进行综合计算．

2．解题关键

弄清初始条件，正、负方向的对应变化范围，所研究物理量的函数表达式，进出磁场的转折点是解决问题的关键．

3．“三看”、“三明确”

对于图象问题，应做“三看”、“三明确”，即

(1)看轴——看清变量．

(2)看线——看图象的形状．

(3)看点——看特殊点和转折点．

(4)明确图象斜率的物理意义．

(5)明确截距的物理意义．

(6)明确“＋”“－”的含义．

(2012·福建理综)如图甲，一圆形闭

合铜环由高处从静止开始下落，穿过一根竖直悬挂的条形磁铁，铜环的中心轴

线与条形磁铁的中轴线始终保持重合．若取磁铁中心O为坐标原点，建立竖直向下为正方向的x轴，则图乙中最能正确反映环中感应电流i随环心位置坐标x变化的关系图象是()

解析：闭合铜环在下落过程中穿过铜环的磁场方向始终向上，磁通量先增加后减少，由楞次定律可判断感应电流的方向要发生变化，D项错误；因穿过闭合铜环的磁通量的变化率不是均匀变化，所以感应电流随x的变化关系不可能是线性关系，A项错误；铜环由静止开始下落，速度较小，所以穿过铜环的磁通量的变化率较小，产生的感应电流的最大值较小，过O点

后，铜环的速度增大，磁通量的变化率较大，所以感应电流的反向最大值大于正向最大值，故B项正确，C项错误．

答案： B

1．图象问题的求解类型

2.解决图象问题的一般步骤

(1)明确图象的种类，即是B－t图象还是Φ－t图象，或者E－t图象、I－t图象等．

(2)分析电磁感应的具体过程．

(3)用右手定则或楞次定律确定方向对应关系．

(4)结合法拉第电磁感应定律、欧姆定律、牛顿定律等规律写出函数关系式．

(5)根据函数关系式，进行数学分析，如分析斜率的变化、截距等．

(6)画图象或判断图象．

1－1：如图甲所示，空间存在一宽度为2L的有界匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里．在光滑绝缘水平面内有一边长为L的正方形金属线框，其质量m＝1 kg、电阻R＝4 Ω，在水平向左的外力F作用下，以初速度v0＝4 m/s匀减速进入磁场，线框平面与磁场垂直，外力F大小随时间t变化的图线如图乙所示．以线框右边刚进入磁场时开始计时，求：

(1)匀强磁场的磁感应强度B；

(2)线框进入磁场的过程中，通过线框的电荷量q；

(3)判断线框能否从右侧离开磁场？说明理由．

解析：(1)由F－t图象可知，线框加速度a＝F2

m

＝2 m/s2

线框的边长L＝v0t－1

2at

2＝(4×1－12×2×12) m＝3 m

t＝0时刻线框中的感应电流I＝BLv0 R

线框所受的安培力F安＝BIL

由牛顿第二定律F1＋F安＝ma

又F1＝1 N，联立得B＝1

3T＝0.33.

(2)线框进入磁场的过程中，平均感应电动势E＝BL2 t

平均电流I ＝E

R 通过线框的电荷量q ＝I t 联立得q ＝0.75 C .

(3)设匀减速运动速度减为零的过程中线框通过的位移为x .

由运动学公式得0－v 20

＝－2ax 代入数值得x ＝4 m ＜2L

所以线框不能从右侧离开磁场．

答案： (1)1

3

T (2)0.75 C (3)不能

电磁感应中的电路问题

1．对电磁感应电源的理解

(1)电源的正、负极可用右手定则或楞次定律判定．

(2)电源电动势的大小可由E ＝Blv 或E ＝n ΔΦ

Δt

求得．

2．对电磁感应电路的理解

(1)在电磁感应电路中，相当于电源的部分把其他形式的能通过电流做功转化为电能． (2)“电源”两端的电压为路端电压，而不是感应电动势．

(2012·浙江理综)

为了提高自行车夜间行驶的安全性，小明同学设计了一种“闪

烁”装置．如图所示，自行车后轮由半径r 1＝5.0×10－2 m 的金属内圈、半径r 2＝0.40 m 的金属外圈和绝缘辐条构成．后轮的内、外圈之间等间隔地接有4根金属条，每根金属条的中间均串联有一电阻值为R 的小灯泡．在支架上装有磁铁，形成了磁感应强度B ＝0.10 T 、方向垂直纸

面向外的“扇形”匀强磁场，其内半径为r 1、外半径为r 2、张角θ＝π

6

.后轮以角速度ω＝2π rad/s

相对于转轴转动．若不计其它电阻，忽略磁场的边缘效应．

(1)当金属条ab 进入“扇形”磁场时，求感应电动势E ，并指出ab 上的电流方向． (2)当金属条ab 进入“扇形”磁场时，画出“闪烁”装置的电路图；

(3)从金属条ab 进入“扇形”磁场时开始，经计算画出轮子转一圈过程中，内圈与外圈之间电势差U ab 随时间t 变化的U ab －t 图象．

解析： (1)金属条ab 在磁场中切割磁感线时，所构成的回路的磁通量变化．设经过时间Δt ，磁通量的变化量为ΔΦ，由法拉第电磁感应定律

E ＝ΔΦ

Δt

①

ΔΦ＝B ΔS ＝B (12r 22Δθ－12

r 2

1Δθ) ②

由①、②式并代入数值得：

E ＝ΔΦΔt ＝12Bω(r 22－r 21) ≈4.9×10－2 V ③

根据右手定则(或楞次定律)，可得感应电流方向为b →a . ④ (2)通过分析，可得电路图为

(3)设电路中的总电阻为R 总，根据电路图可知，

R 总＝R ＋13R ＝4

3R ⑤

ab 两端电势差

U ab ＝E －IR ＝E －E

R 总

R

＝1

4

E ≈1.2×10－2 V ⑥ 设ab 离开磁场区域的时刻为t 1，下一根金属条进入磁场区域的时刻为t 2.

t 1＝θω＝1

12 s ⑦

t 2＝π2ω＝1

4 s ⑧

设轮子转一圈的时间为T ，

T ＝2π

ω＝1 s ⑨

在T ＝1 s 内，金属条有四次进出，后三次与第一次相同 ⑩ 由⑥、⑦、⑧、⑨、⑩可画出如下U ab －t 图象．

答案：(1)4.9×10－2 V电流方向为b→a(2)见解析(3)见解析

解决电磁感应电路问题的基本步骤

(1)“源”的分析：用法拉第电磁感应定律算出E的大小，用楞次定律或右手定则确定感应电动势的方向．从而确定电源正负极，明确内阻r.

(2)“路”的分析：根据“等效电源”和电路中其他各元件的连接方式画出等效电路．

(3)根据E＝BLv或E＝n ΔΦ

Δt

结合闭合电路欧姆定律，串并联电路知识和电功率、焦耳定律

等关系式联立求解．

2－1：如图所

示，匀强磁场B ＝0.1 T ，金属棒AB 长0.4 m ，与框架宽度相同，电阻为1

3

Ω，框架电阻不计，

电阻R 1＝

2 Ω，R 2＝1 Ω，当金属棒以5 m/s 的速度匀速向左运动时，求：

(1)流过金属棒的感应电流多大？

(2)若图中电容器C 为0.3 μF ，则充电荷量是多少？

解析： (1)由E ＝BLv 得 E ＝0.1×0.4×5 V ＝0.2 V

R ＝R 1·R 2R 1＋R 2＝2×12＋1 Ω＝23 Ω

I ＝

E R ＋r ＝0.2

23＋1

3

A ＝0.2 A. (2)路端电压U ＝IR ＝0.2×2

3

V

＝0.43

V Q ＝CU 2＝CU ＝0.3×10－6×0.4

3 C

＝4×10－8 C .

答案： (1)0.2 A (2)4×10－8 C

电磁感应中的动力学问题1．运动的动态分析

2．电磁感应问题中两大研究对象及其相互制约关系

(2012·广东理综)如图所示，质量为M 的导体棒ab ，垂直放在相距为l 的平行光滑金属导轨上．导轨平面与水平面的夹角为θ，并处于磁感应强度大小为B 、方向垂直于导轨平面向上的匀强磁场中．左侧是水平放置、间距为d 的平行金属板．R 和R x 分别表示定值电阻和滑动变阻器的阻值，不计其他电阻．

(1)调节R x ＝R ，释放导体棒，当棒沿导轨匀速下滑时，求通过棒的电流I 及棒的速度v . (2)改变R x ，待棒沿导轨再次匀速下滑后，将质量为m 、带电荷量为＋q 的微粒水平射入金属板间，若它能匀速通过，求此时的R x .

解析： (1)对匀速下滑的导体棒进行受力分析如图所示 导体棒所受安培力F 安＝BIl ① 导体棒匀速下滑，所以

F 安＝Mg sin θ ②

联立①②式，解得I ＝Mg sin θ

Bl ③

导体棒切割磁感线产生感应电动势E ＝Blv ④

由闭合电路欧姆定律得I ＝E

R ＋R x

，且R x ＝R ，所以I ＝

E

2R

⑤ 联立③④⑤式，解得 v ＝2MgR sin θB 2l 2

. ⑥

(2)由题意知，其等效电路图如图所示．

由图知，平行金属板两板间的电压等于R x 两端的电压． 设两板间的电压为U ，由欧姆定律知 U ＝IR x ⑦ 要使带电的微粒匀速通过，则

mg ＝q U

d ⑧

因为导体棒匀速下滑时的电流仍为I ，所以

联立③⑦⑧式，解得R x ＝mBld

Mq sin θ

.

答案： (1)Mg sin θBl 2MgR sin θB 2l 2 (2)mBld

Mq sin θ

导体棒两种状态的处理方法

(1)导体处于平衡态——静止或匀速直线运动状态 处理方法：根据平衡条件列方程求解． (2)导体处于非平衡态——加速度不为零

处理方法：根据牛顿第二定律进行动态分析或结合功能关系分析．

3－1：如图所示，有

两根和水平方向成α角的光滑且平行的金属轨道，上端接有可变电阻R ，下端足够长，空间有垂直于轨道平面的匀强磁场，磁感应强度为B .一根质量为m 的金属杆从轨道上由静止滑下．经过足够长的时间后，金属杆的速度会趋近于一个最大速度v m ，则( )

A ．如果

B 增大，v m 将变大 B ．如果α变大，v m 将变大

C ．如果R 变大，v m 将变大

D ．如果m 变小，v m 将变大

解析： 以金属杆为研究对象，受力如图所示．根据牛顿第

二定律得

mg sin α－F安＝ma，

其中F安＝B2L2v

R.

当a→0时，v→v m，

解得v m＝mgR sin α

B2L2

，

结合此式分析即得B、C选项正确．

答案：BC

电磁感应中的能量问题1．能量转化特点

机械能或其他形式的能―――――――→

安培力做负功

电

能

―――――→

电流做功

内能或其他

形式的能

2．电能的求解思路

电能求解思路主要有

三种

—?

???????

→(1)利用克服安培力做功——感应电路中产生的焦耳热等于克服安培力做的功，即Q ＝W A

.

→(2)利用Q ＝I 2

Rt ——感应电路中电阻产生的焦耳热等于电流通过电阻做的功，即Q ＝I 2

Rt.

→(3)利用能量守恒——

感应电流中产生的焦耳热等于电磁感应现象中其他形式能量的减少，即

Q ＝ΔE 其他

(20分)如

图所示，在倾角为θ＝37°的斜面内，放置MN 和PQ 两根不等间距的光滑金属导轨，该装置放置在垂直斜面向下的

匀强磁场中．导轨M 、P 端间接入阻值R 1＝30 Ω的电阻和理想电流表，N 、Q 端间接阻值为R 2＝6 Ω的电阻．质量为m ＝0.6 kg 、长为L ＝1.5 m 的金属棒放在导轨上以v 0＝5 m/s 的初速度从ab 处向右上滑到a ′b ′处的时间为t ＝0.5 s ，滑过的距离l ＝0.5 m ．ab 处导轨间距L ab ＝0.8 m ，a ′b ′处导轨间距L a ′b ′＝1 m ．若金属棒滑动时电流表的读数始终保持不变，不计金属棒和导轨的电阻，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g 取10 m/s 2.求：

(1)此过程中电阻R 1上产生的热量． (2)此过程中电流表上的读数． (3)匀强磁场的磁感应强度．

规范解答//：解 (1)因电流表的读数始终保持不变，即感应电动势不变，故BL ab v 0＝BL a ′b ′v a ′b ′，(2分)

代入数据可得v a ′b ′＝4 m/s(2分)

根据能量守恒定律得：

Q 总＝12m(v 20－v 2a ′b ′)－mgl sin 37°＝QR 1＋QR 2(4分) 由Q ＝U 2R t 得：QR 1QR 2＝R 2

R 1(1分)

代入数据可求得：QR 1＝0.15 J ．(1分)

(2)由焦耳定律：QR1＝I21R1t可知：电流表读数

I1＝Q R1

R1t

＝0.1 A．(2分)

(3)不计金属棒和导轨上的电阻，则R1两端的电压始终等于金属棒与两轨接触间的电动势，E＝I1R1，(2分)

E＝BL a′b′v a′b′(2分)

所以B＝I1R1

L a′b′·v a′b′

＝0.75 T．(2分)

答案：(1)0.15 J(2)0.1 A(3)0.75 T.

此类问题求解的一般步骤

(1)确定研究对象(导体棒或回路)；

(2)弄清电磁感应过程中，哪些力做功，哪些形式的能量相互转化；

(3)根据能量守恒定律列式求解．

4－1：处于竖直

向上匀强磁场中的两根电阻不计的平行金属导轨，下端连一电

阻R，导轨与水平面之间的夹角为θ.一电阻可忽略的金属棒ab，开始时固定在两导轨上某位置，棒与导轨垂直．如图所示，现释放金属棒让其由静止开始沿轨道平面下滑．就导轨光滑和粗糙两种情况比较，当两次下滑的位移相同时，则有()

A．重力势能的减少量相同