机器学习常用模型及优化

第一章模型建立

1.1 回归模型：

条件：

1.数据

2.假设的模型

结果：

用模型对数据学习，预测新数据

1.1.1一元线性回归模型（最小二乘法）

它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配

我们以最简单的一元线性模型来解释最小二乘法。什么是一元线性模型呢？监督学习中，如果预测的变量是离散的，我们称其为分类（如决策树，支持向量机等），如果预测的变量是连续的，我们称其为回归

假设从总体中获取了n组观察值（X1，Y1），（X2，Y2），…，（Xn，Yn）平方损失函数

1.1.2逻辑回归模型

将线性回归中的一次模型变成逻辑回归函数，即sigmoid函数。

或者：

其他的思路和想法与线性回归一样，所以说逻辑回归的模型是一个非线性模型，但是它本质上又是一个线性回归模型

损失函数（误差函数）为：

1.1.3 softmax回归

它是逻辑回归的扩展

从分类的角度来说，逻辑回归只能将东西分成两类（0,1），softmax可以分成多类

逻辑回归中，模型函数（系统函数）为：

Softmax回归中，模型函数（系统函数）为：

1.2 神经网络模型

1.2.1 神经元

首先来一个三输入单输出的神经元，输入输出都是二进制（0,1）。举例来说：X1表示天气是否好

X2表示交通是否好

X3表示是否有女朋友陪你

Y表示你是否去电影院看电影

要让这个神经元工作起来，需要引入权重，w1,w2,w3。这样就有了：

（1）

W1表示”天气是否好”对你做决定的重要程度

W2表示”交通是否好”对你做决定的重要程度

W3表示”是否有女朋友陪你”对你做决定的重要程度

Threshold越低表示你越想去看电影，风雨无阻你都想去。Threshold越高表示你越不想去看电影，天气再好也白搭。Threshold适中表示你去不去电影院要看情况，看心情。

1.2.2神经网络

现在扩展一下：

这样就出现神经网络了，可以看出这是很多神经元组合成的。

把上面的（1）式中的threshold 用偏移量-b 表示，并且移到不等式左边，出现下面（2）式：

（2）

例子就不举了，原文是实现与非门的一个例子，说明这个东西可以进行逻辑推理，它就很有潜力了，电脑就是靠逻辑加运算来实现各种功能。

现在要用这个东西学习识别手写字体，我们的想法是这样的：

举例来说，电脑错把9当成了8，那么我们希望通过自动调整w 或b 来对output 进行调整，以达到正确的结果。这时网络会自己“学习”了。

具体是这样的：

1 if (w+b)0.50 if (w+b)<0.5output σσ≥?=?

? 其中()σ?是sigmoid 函数：

下面是sigmoid函数的图形

它是阶梯函数的一个平滑：

输出通过w和b进行微调的式子是这样的：

这个式子比较抽象，它只是战略性的一个式子，下面引入cost函数来进行战术实践。Cost函数是评价模型准确与否的一个函数，它可能越大越好，也可能越小越好，看你怎么构造了。这里用均方误差来构造：

这个函数越小越好，所以通过使这个函数变得最小来得到最好的w和b，也就是达到最好的学习效果。

1.3 最大似然估计

X 的一个样本X1，X2，…，Xn 独立同分布，其观测值为x1，x2，…，xn 。

()(;)P X x p x θ==，其中参数θ未知

根据X1，X2，…，Xn 的观测值x1，x2，…，xn 来估计模型参数θ。 假如这组数据服从B(1,p)，p 未知

1()(1) (x=0,1)x x P X x p p -==-

11(1)

...11()(,...,)(1)n

i n

i x x x n n L p P X x X x p

p =-++∑====-

求

ln ()0d

L p dp

=得到()L p 取极大值时的p ，即为所求 第二章模型优化

2.1 遗传算法

有个博客讲的很好，用袋鼠跳问题形象的比喻这个问题，类似的算法还有模拟退火法。

2.2 梯度下降法

一句话来说就是求损失函数或似然函数的极值，我们自己算的话就是求个导就完事了，但是有些函数的导数特别难求，这时候就需要梯度下降法，交给电脑迭代几次就算出来了

举例来说，求损失函数的最小值：

2.3 牛顿法

对于非线性优化，假设任务是优化一个目标函数，求解其极大极小值，转化为求问题，是不是回到了上面的问题？

二阶泰勒级数：

21

()()()()2f x x f x f x x f x x '''+?=+?+

?

二阶泰勒级数成立的充要条件是x ?无限趋于0，两边约去()f x x +?和()f x ，并对x ?求导，得到：

()()0f x f x x '''+?=

解得：

()

()n n f x x f x '?=-

''

所以得到迭代式：

1()()n n n n f x x x f x +'=-

''

红色是牛顿法，绿色是梯度下降法，牛顿法更容易收敛。高维情况的牛顿迭代公式：

11[()](), 0n n n n x x Hf x f x n -+=-?≥ 其中，H 是hessian 矩阵：

Hessian矩阵的引入使得高维情况下牛顿法较为少用，但是有人已提出解决方案Quasi-Newton method。