高中数学论文集浅谈数形结合思想在高中数学中的几点应用

浅谈数形结合思想在高中数学中的几点应用

在解决数学问题时，将抽象的数学语言同直观的图形相结合，实现抽象的概念与具体形象的联系和转化，这就是数形结合的思想．在高中数学中，数形结合是一条重要的数学原则，主要体现在平面解析几何和立体几何中，在处理边角关系的问题中也有较多的应用．在解决集合问题、方程及不等式问题中，如果能注意数形结合的思想的应用，能使许多数学问题简单化．下面举一些例子作详细说明： 一、数形结合思想在解决集合问题中的应用．

1、利用韦恩图法解决集合之间的关系问题．一般用圆来表示集合，两圆相交则表示两集合有公共元素，两圆相离则表示两个集合没有公共元素．利用韦恩图法能直观地解答有关集合之间的关系的问题．如：

例1、有48名学生，每人至少参加一个活动小组，参加数理化小组的人数分别为28，25，15，同时参加数理小组的8人，同时参加数化小组的6人，同时参加理化小组的7人，问同时参加数理化小组的有多少人？

分析：我们可用圆A 、B 、C 分别表示 参加数理化小组的人数（如右图），则三圆 的公共部分正好表示同时参加数理化小组

的人数．用n 表示集合的元素，则有：

48)()()()()()()(=+---++C B A n C B n C A n B A n C n B n A n I I I I I 即：48)(768152528=+---++C B A n I I

∴1)(=C B A n I I ，即同时参加数理化小组的有1人．

例2、设{

}的自然数小于10=I ，已知{}{}{}.8,6,4,9,1,2===B A B A B A I I I 求.,B A

分析：如图，用长方形表示全集I ， 用圆分别表示集合A 和B ，用n 表示集合

的元素，则有：I B A n B A n B n A n =-++)()()()(I I

C （化）

A （数）

B （理）

I

A ∩B

3,5,7

2

A B 1,9

4,6,8

从韦恩图我们可以直观地看出：{}{}8,6,4,2,7,5,3,2==B A ． 2、利用数轴解决集合的有关运算和集合的关系问题． 例3、设{}{}.,034|,016|22R I x x x B x x A =≥+-=<-= 求.,,,B A B A B A B A Y I Y I 分析:分别先确定集合A ，B 的元素，

{}{}13|,44|≤≥=<<-=x x x B x x A 或，然后把它们分别在数轴上表示出来，从数轴上

的重合和覆盖情况可直接写出答案：

{}4314|<≤≤<-=x x x B A 或I (公共部分) I B A =Y (整个数轴都被覆盖)

{}4314|≥<<-≤=x x x x B A 或或I (除去重合部分剩下的区域) φ=B A Y (除去覆盖部分剩下的区域) 例4、已知集合{}{})0(,3|,31|≠<<=<<-=a a x a x B x x A ⑴若B A ?，求a 的范围.⑵若A B ?，求a 的范围． 分析：先在数轴上表示出集合A 的范围， 要使B A ?，由包含于的关系可知集合B 应该

覆盖集合A ，从而有:???≥-≤331

a a ,这时a 的值不可能存在．要使A B ?，这时集合应该覆盖

集合B,应有???≤-≥331

a a 成立．

可解得11≤≤-a 为所求a 的范围．

二、利用数形结合思想解决方程和不等式问题． 1、

利用二次函数的图像求一元二次不等式的解集．

例5、解不等式062>--x x ． 分析：我们可先联想对应的二次函数

62--=x x y 的图像草图．从062=--x x 解得

3,221=-=x x 知该抛物线与x 轴交点横坐标为

-2，3，当x 取交点两侧的值时,即32>-

0>y ．即062>--x x ．故可得不等式062>--x x .的解集为：

{}32|>-

062<--x x 的解集为

{}32|<<-x x 等等．

例6、求不等式0322>-+-x x 的解集． 分析:我们先联想对应的二次函数

322-+-=x x y 的图像草图，抛物线开口向下，

与x 轴没有交点，很明显，无论x 取任何值时 都有0-+-x x

的解集为空集． 而0322<-+-x x 的解集为全体实数．

因此，我们要求一元二次不等式的解集时，只要联想对应的二次函数的图像，确定抛物线的开口方向和与x 轴的交点情况，便可直观地看出所求不等式地解集．

2、

利用二次函数的图像解决一元二次方程根的分布情况问题．

例7、a 为何值时，方程0122222=-++a ax x a 的两根在()1,1-之内？ 分析：显然02≠a ,我们可从已知方程联想到 相应的二次函数=y 222122a ax x a -++的草图，从

图像上我们可以看出，要使抛物线与x 轴的两个

交点在()1,1-之间,必须满足条件:?????>≤->-0)1(0)21(0

)1(f a f f 即???

????>+≤->-0)1(021

0)1(2

22a a a

从而可解得a 的取值范围为2

222-≤≥

a a 或． 例8、如果方程022=++k ax x 的两个实根在方程0422=-++a ax x 的两实根之间，试求a 与k 应满足的关系式．

分析：我们可联想对应的二次函数

k ax x y ++=221, 4222-++=a ax x y 的草图．

x

这两个函数图像都是开口向上，形状相同且有

公共对称轴的抛物线(如图)．要使方程022=++k ax x 的两实根在方程

0422=-++a ax x 的两实根之间，则对应的函数图像1y 与x 轴的交点应在函数图像2

y 与x 轴的交点之内，它等价于抛物线1y 的顶点纵坐标不大于零且大于抛物线2y 的顶点纵坐标．由配方方法可知1y 与2y 的顶点分别为：

()()

04.4,,,222221≤+-<-+--+--+--k a a a a a a P k a a P 故．故可求出a 与k 应满足的

关系式为:24a k a <<-．

3、

利用函数图像解决方程的近似解或解的个数问题．

例9、解方程x x -=23

分析:由方程两边的表达式我们可以 联想起函数x y y x -==23与,作出这两个

函数的图像,这两个函数图像交点的横坐标

为方程的近似解，可以看出方程的近似解为4.0≈x ．

例10、设方程112+=-k x ，试讨论k 取不同范围的值时其不同解的个数的情况． 分析：我们可把这个问题转化为 确定函数121-=x y 与12+=k y 图像交点 个数的情况，因函数12+=k y 表示平行于

x 轴的所有直线，从图像可以直观看出:①当1-

12无解;②当1-=k 时， 1y 与2y 有两个交点,原方程有两个不同的解;③当01<<-k 时， 1y 与2y 有四个不同交点，原方程不同解的个数有四个；④当0=k 时， 1y 与2y 有三个交点，原方程不同解的个数有三个；⑤当0>k 时1y 与2y 有两个交点，原方程不同解的个数有三个．

4、

利用三角函数的图像解不等式．

例11、解不等式1cos )13(cos sin )13(sin 222<+++-x x x x ． 分析:原不等式进行适当的变形后可得到：

0cos 3cos sin )13(sin 22<++-x x x x

又∵0cos 2≠x ,∴不等式两边同时除以x 2cos 可得：

03tan )13(tan 2<++-x x ． ∴3tan 1<

下面关键分析如何求3tan 1<

间??

?

???-2,2ππ内作出x y tan =的函数 图像，再作出两平行于x 轴的直线1=y 和

3=y 与x y tan =的图像相交于点21,P P ．

21,P P 两点对应的横坐标分别为3

,4

21π

π

=

=

x x ．

又因为正切函数x y tan =的周期为π,

故可求得所求不等式的解集为:?

??

???∈+<<+Z k k x k x ,34|ππππ.

例12、解不等式[]π2,0,sin cos ∈>x x x

分析:从不等式的两边

表达式我们可以看成两个 函数x y x y sin ,cos 21==. 在[]π2,0上作出它们的图像,

得到四个不同的交点,横坐标分别为:

4

,4,4,

4,而当

x 在区间

??

?

????? ????? ??πππππ2,47,45,43,4,0内时,x y cos 1=的图像都在x y sin 2=的图像上方．所以可得到原不等式的解集为：?

??

???<<<<<<πππππ247454340|x x x x 或或

． 三、利用函数图像比较函数值的大小．

一些数值大小的比较，我们可转化为对应函数的函数值，利用它们图像的直观性进行比较．如：

例13、试判断3.0222,3.0log ,3.0三个数间的大小顺序．

=1

3=

x

21x =

x 2=

分析：这三个数我们可以看成三个 函数x y x y x y 2,log ,32221===在3.0=x 时， 所对应的函数值．在同一坐标系内作出这 三个函数的图像(如图)，从图像可以直观 地看出当3.0=x 时，所对应的三个点

321,,P P P 的位置，从而可得出结论：3.0log 3.02223.0>>．

四、利用单位圆中的有线段解决三角不等式问题．

在教材中利用单位圆的有向线段表示角的正弦线，余弦线，正切线，并利用三角函数线可作出对应三角函数的图像．如果能利用单位圆中的有向线段表示三角函数线，应用它解决三角不等式问题,简便易行．

例14、解不等式2

1

sin ->x ．

分析：因为正弦线在单位圆中 是用方向平行于y 轴的有向线段来

表示．我们先在y 轴上取一点P ，使

21-=OP ，恰好表示角x 的正弦线2

1

sin -=x ,

过点P 作x 轴的平行线交单位圆于点21,P P ,

在???

???-23,2ππ内，21,OP OP 分别对应于角6,67ππ-，(这时所对应的正弦值恰好为21-)．而

要求2

1

sin ->x 的解集，只需将弦21P P 向上平移，使21,OP OP 重合(也即点P 向上平移至

与单位圆交点处)．这样21,OP OP 所扫过的范围即为所求的角．原不等式的解集为：

???

??

?∈+<<-Z k k x k x ,67262|ππππ． 例15、解不等式2

1

cos ≥

x 分析：根据余弦线在单位圆中是

方向平行于x 轴的有向线段．先在x 轴 上取点P ，使2

1

=

OP ，恰好表示角x 的余 弦线2

1

cos =

x ，过点P 作y 轴的平行线 交单位圆于点21,P P ，在??

?

???-23,2ππ内，21,OP OP

分别对应于角

3

,3

π

π

-

， (这时所对应的余弦值恰好为

21)．而要求2

1

cos ≥x 的解集，只需将弦21P P 向右平移，使21,OP OP 重合(也即点P 向右平移至与单位圆交点处)．这样2

1,OP OP 所扫过的范围即为所求的角．原不等式的解集为：?

??

???∈+≤≤-Z k k x k x ,3232|ππππ．