生灭过程理论及其应用

生灭过程理论及其应用

摘要：综述生灭过程的相关理论，如生灭过程几个重要的数字特征及其概率意义、生灭过程的构造及分类以及生灭过程的遍历性与0-1律．当过程中断时，构造出全部过程，证明全体生灭过程与全体特征数列间存在一一对应。在理论的基础上应用实例研究生灭过程在排队论、生物学中的应用。

关键词：生灭过程：数字特征：构造与分类：遍历性：0-1律；应用

一、生灭过程的相关理论

1、阐述Q 一矩阵的数字特征的概率意义

定义1 取值于E={0，1，2，?}的齐次马氏链(){,0}X x t t =≥为生灭过程．如果其转移概率()(){},,ij P t p t i j E =∈满足条件：当0t →时有

()()()()()()()11,

,1,ii i ii i ii i i p t bt o t p t a t o t p t a b t o t +-?=+?

=+??

=-++? （1）

其中，00,0,0,0i i a a b i =>>≥。令i i i c a b =+，称

00

1

110...

00

(00)

0......

.....................000.........

...

.........

...

......n n n c b a c b Q a c b -????-??

??=??-?????? （2）

为过程X 的密度矩阵或Q 一矩阵．引进Q 的几个重要数字特征

001m b =， ()11011

...10...i i i i k

i k i i i i k i k a a a m i b bb b b ---=----=+≥∑；

()1011...10...i i i k

i k i i i i k i k bb b e i a a a a a ∞++=++++=+>∑，0i i R m ∞==∑，1

i i S e ∞

==∑；

00Z =，101Z b =，()1121012...11...n k

n k k

a a a Z n

b b b b -==+>∑，lim n n Z Z →∞=.

假设X 是典范链，因而它有强马氏性，而且在第一个飞跃点前样本函数是右连续的。以()w η表示第一个飞跃点，以 ()n w η表示首达状态n 的时刻，即

()()inf :0,,t-n t t x t n η?>=?=?

∞??当右方集非空，

， 否则.

由[1]4.3引理2得()()()lim ,..n n w w a s ηη→∞

=。这里()..a s 对P 或i P ()0i ≥而言均可。

定理1： 1i i i m E η+=； 0R E η=

由定理1说明i m 的概率意义是自i 出发，首次达到1i +的平均时间；R 是自0出发，沿生灭过程的轨道。首次达到“∞”的平均时间。

下面证明在一定意义下，从“∞”到达0的平均时间恰好是S. 考虑N+1级矩阵

000

111

110...000...

000...

..................000 0

0...

N N N N

N c b a c b Q a c b c c ----??

??-??

??=??-????-??

（3） 它由Q 中前N+1行与前N+1列上的元构成，但要将第N+1行与第N 列的元N

a 换成N N a

b +。设()()(){,0}N N ij X x t t P t =≥是以N Q 为密度矩阵的典范马氏链，相空间为()0,1,...,N 。

由（3）可见0与N 都是N X 的反射壁，定义 (

)

()()

()i n f :0,,0N i N t t x t i i N η=>=≤≤。

它是首达i 的时刻。N X 的转移概率()()N ij P t 及集中在一点i 上的开始分布所

产生的测度记为()N i P ，关于()

N i

P 的数学期望记为()N i E 。 定理2 ()()0lim N N N N E S η→∞

=；当()()()1N N N i i i e E η-=时，()lim N

i i N e e →∞

=。

由定理2可知i e ，S 的概率意义为：当“∞”是反射壁时，自i 出发首次到达i -1

及自“∞”出发首次到达0的平均时间。

下面来看,n Z Z 的概率意义。定义

()()(),,k k m n P m n P m k n m k n ηη=<≤≤≥≥或

()()k k m

n q m P ηη=< 其中(),k P m n 是自k 出发，沿X 的轨道，在首达n 以前先到m 的概率，()k q m 是自k 出发，沿X 的轨道，经有穷（≥1）次跳跃而到达m 的概率。 定理3 （i ）设m k n <<，则 (),n k k n m Z Z P m n Z Z -=

-；(),k m

k n m

Z Z P n m Z Z -=-.

（ii ）()1

,;

1,;,.k

m

k k k k k k k

Z Z k m Z Z q m k m a b Z Z

k m c c Z Z +-?>?-??

=

（iii ）当且仅当Z =∞时，嵌入马氏链的一切状态都是常返的。

2、生灭过程的构造

凡有形如(1)且转移概率相同的马程，均视为同一马程．不失一般性，不妨设X 为可分，Borel 可测，右下半连续的强马程．质点沿X 的轨道，如自i 出发，在i 停留一段指数分布时间1τ后，只能跳到i +1或i 一1，概率分别为i i b c 及i i

a

c ；再停留时间2τ后，又发生跳跃，如前继续运动??

令()()()i P x i v i E ζ==∈,可以证明概率()10P ζ=∞=或．如()1P ζ=∞=，则X 的轨道由Q(及一开始分布)完全决定．如()1P ζ<∞=，则Q 不能唯一决定X(或

()P t )，J ．L ．Doob 证明，这时必有无穷多个不同的马程，具有相同的密度矩阵Q ，称其中任何一个为Q 一过程．Doob 还构造出一些Q 一过程，称之为Doob(Q ，V )一过程，其中()01,,...V v v =为任一概率分布．质点沿(Q ，V )一过程的运动行

为如下：质点从i 出发，如上所述，作无穷次跳跃后，到达时刻ζ，但()x ζ的分布不能由Q 给出．Doob 取它为V ，即()()()i P x i v i E

ζ==∈．这样，质点又回到E

中，于是又可按如上方式运动．然而，Doob 所构造的只是一部分Q 一过程．如何构造出全部Q 一过程，这就是过程构造论所要解决的问题．

构造问题是一重要而又深刻的理论问题，1958年王梓坤用他首创的概率方法——过程轨道的极限过渡法，求出了全部Q 一过程，其基本思想是：先构造一列比较简单的Doob(Q ，V )一过程，然后用它们逼近任一Q 一过程．差不多同时，概率论大家W ．Fellert 也研究了生灭过程的构造，他应用分析方法找出许多Q 一过程，但非全部．前苏联教授A ．A Youshkevich 评论说：“W ．Feller 用分析方法构造了生灭过程的不同延拓,同时王梓坤构造了全部延拓．”分析方法简洁，但概率意义不清楚；概率方法则概率意义非常清晰，但叙述冗长．其后杨向群对于生灭过程建立了这两种方法之间的联系，并兼用这两种方法对更广泛的Q 收到了更多更好的效果．

令()()()()()()

inf :,,n n n i t t x t n v P x i βζβ=≥≤==。今定义过程X 的特征数列

{},,,0n p q r n ≥如下：()

()

()

()1

000000

lim /;lim /n n

n

n n n n i

i i i n n i i n n i i i p v c v c q v c v c -→∞

→∞

=====∑∑∑

()()

()100000

lim /;lim /n n

n

n n n i i i i n i i n n i i i p v c v c q qc v c -→∞

→∞

=====∑∑∑；

如果一切()()10n n v n =≥,定0n r =()0n ≥,如果存在k ，使()()1i i v i k =≤，

但()11k k v ++<1,则先任取一常数k r ;定义()()m m n n k k r v r v =（不依赖于()max ,m n k >），除差一正常数因子外，,,n p q r 被过程X 唯一决定，它们非负，且满足条件

()01;0,S=0,0,;00,i i i j i j i n

p q q r R p R m r n ∞∞==?+==∞??

<<∞>=??

?=≥?∑∑当；

当当p=0. （4）

今设已给一形如(2)的矩阵Q ，满足R <∞，全体Q 一过程的集合记为B ；另一方面，全体满足条件(4)的非负数列记为c ，可以证明，在 与C 之间存在一一对

应．更精确些，有以下定理： Q 一过程构造定理

1) 任一Q 一过程的特征数列{},,n p q r 必满足条件(4)．

2) 反之，任给一满足条件(4)的非负数列{},,n p q r ，必存在唯一Q 一过程，其

特征数列重合于此已给数列；而且此Q 一过程的转移概率

(){}()()lim n

ij ij

ij n p t p t p t →∞

=可如下求出：()()lim n

ij

ij n p t p t →∞

=，其中(){}ij

p t 是

Doob(Q ，V)一过程的转移概率，这里分布()()()()

01,,...,n n n n n V v v v =，其中：

()

()()

ln

0,l j n n i n

i

n

n

n n

n

n

rc

r v X j n v Y X A A ∞

==≤<=+∑

ln 0

0n l i A rc ∞

=<=<∞∑,

()()0n n n n n pA Z Z X pA Z Z qA Z

-=

-+,

()00n n n qA Z

Y pA Z Z qA Z

=

-+.

3、生灭过程的遍历性与0-1律

对于一般的马氏链，其0-1律、常返性与过分函数都有了相应的结论，而生灭过程作为一种特殊的马氏链，在上述性质上也有更完整的结果。

设(){,0}X x t t =≥为定义在(),,P ΩF 上的生灭过程，不妨不妨设X 为可分，Borel 可测的，它的密度矩阵Q 为（2），其数字特征同上所述。

引进随机变量

()()()()inf :,,,t-i t t T x t i g ωωω?>=?=?∞??当右方集非空；

， 反之.

这里()T ω为X 的第一个跳跃点，因而()i g ω是经过第一次跳跃后的首达i 的时刻。而i i E g 是自i 出发，离开i 后首次回到i 的平均时间.

称X 遍历，如它常返，而且对一切i E ∈，i i E g <∞. 关于生灭过程的0-1律与遍历性有以下定理成立。

定理4 设R =∞，则X 常返的充要条件是Z =∞；X 遍历的充要条件是

,i Z e =∞<∞.

定理5 如R <∞，则一切Q-过程遍历（因而都常返）.

定理6 设X 为任意生灭过程，{}i f 为X 的任一过分函数，则必存在极限

lim i i f f →∞

=。如R <∞或R =∞，则i f f =（常数）.

定理7 对一切生灭过程X ，强0-1律成立.

注：本论文第一部分是对生灭过程的理论进行的综述文章，具体定理证明请查阅文献[1].

参考文献：

[1]Wang Zikun ，Yang Xiangqun ．Birth and death processes and markov chains[M]．Springer Verlag Press ，Science Press ，1992．

[2]王梓坤．生灭过程停留时间与首达时间的分布[J]．中国科学，1980，10(2)：109—117．

[3]王梓坤．随机过程与今日数学[M]．北京：北京师范大学出版社，2005. [4]王梓坤. 生灭过程的构造与泛函分布。北京：保定学院学报，2010.