算法分析习题参考答案第五章

1．最大子段和问题：给定整数序列 n a a a ,,,21 ，求该序列形如∑=j

i k k a 的子段和

的最大值： ?

?????∑=≤≤≤j i k k n j i a 1max ,0max 1) 已知一个简单算法如下：

int Maxsum(int n,int a,int& best i,int& bestj){

int sum = 0;

for (int i=1;i<=n;i++){

int suma = 0;

for (int j=i;j<=n;j++){

suma + = a[j];

if (suma > sum){

sum = suma;

besti = i;

bestj = j;

}

}

}

return sum;

}试分析该算法的时间复杂性。

2) 试用分治算法解最大子段和问题，并分析算法的时间复杂性。

3) 试说明最大子段和问题具有最优子结构性质，并设计一个动态规划算法解最大子段和问题。分析算法的时间复杂度。

（提示：令1()max ,1,2,,j k

i j n k i b j a j n ≤≤≤===∑）

解：1）分析按照第一章，列出步数统计表，计算可得)(2n O

2）分治算法：将所给的序列a[1:n]分为两段a [1:n/2]、a[n/2+1:n]，分别求出这两段的最大子段和，则a[1:n]的最大子段和有三种可能：

①a[1:n]的最大子段和与a[1:n/2]的最大子段和相同； ②a[1:n]的最大子段和与a[n/2+1:n]的最大子段和相同；

③a[1:n]的最大子段和为两部分的字段和组成，即

j n j i l n i j a a a a a

+++++=+??

????=??????∑ 122；

intMaxSubSum ( int *a, int left , int right){

int sum =0;

if( left==right)

sum = a[left] > 0? a[ left]:0 ;

else

{int center = ( left + right) /2;

int leftsum =MaxSubSum ( a, left , center) ;

int rightsum =MaxSubSum ( a, center +1, right) ;

int s_1 =0;

int left_sum =0;

for ( int i = center ; i >= left; i--){

left_sum + = a [ i ];

if( left_sum > s1)

s1 = left_sum;

}

int s2 =0;

int right_sum =0;

for ( int i = center +1; i <= right ; i++){

right_sum + = a[ i];

if( right_sum > s2)

s2 = right_sum;

}

sum = s1 + s2;

if ( sum < leftsum)

sum = leftsum;

if ( sum < rightsum)

sum = rightsum;

}

return sum;

}

int MaxSum2 (int n){

int a；

returnMaxSubSum ( a, 1, n) ;

} 该算法所需的计算时间T(n)满足典型的分治算法递归分式T(n)=2T(n/2)+O(n)，分治算法的时间复杂度为O(nlogn)

3）设}{max )(1∑=≤≤=j i k k j i a j b ,则最大子段和为).(max max max max max 11111j b a a n j j i k k j i n j j i k k n j n i ≤≤=≤≤≤≤=≤≤≤≤==∑∑ },,,,max {)(11211j j j j j j j a a a a a a a a a j b +++++=---

最大子段和实际就是)}(,),2(),1(max{n b b b .

要说明最大子段和具有最优子结构性质，只要找到其前后步骤的迭代关系即可。 },)1(max {},}{max max {},}{max {}{max )(1

111111j j j j j i k k j i j j i j j i k k j i k k j i a a j b a a a a a a a j b +-=+=+==∑∑∑-=-≤≤-≤≤-==≤≤

若0)1(>-j b , j a j b j b +-=)1()(；

若0)1(≤-j b ，j a j b =)(。

因此，计算)(j b 的动态规划的公式为：.1},,)1(max {)(n j a a j b j b j j ≤≤+-=

intMaxSum (int* a ，int n )

{

int sum = 0, b = 0，j=0;

for( int i=1;i<=n;i++)

{ if( b >0)

b = b + a [i];

else b = a [i];

end{if}

if( b > sum) sum = b;

j=i ；

end{if}

}

return sum;

}

自行推导，答案：时间复杂度为O （n ）。

2.动态规划算法的时间复杂度为O （n ）（双机调度问题）用两台处理机A 和B 处理n 个作业。设第i 个作业交给机器A 处理时所需要的时间是i a ，若由机器B 来处理，则所需要的时间是i b 。现在要求每个作业只能由一台机器处理，每台机器都不能同时处理两个作业。设计一个动态规划算法，使得这两台机器处理完这n 个作业的时间最短（从任何一台机器开工到最后一台机器停工的总的时间）。以下面的例子说明你的算法：

)4,3,11,4,8,3(),,,,,(),2,5,10,7,5,2(),,,,,(,6654321654321===b b b b b b a a a a a a n

解：（思路一）删除

（思路二）在完成前k 个作业时，设机器A 工作了x 时间，则机器B 最小的工作时间是x 的一个函数。

设F[k][x]表示完成前k 个作业时，机器B 最小的工作时间，则

)}](1[,)](1[m in{)]([k k a x k F b x k F x k F --+-=

其中k b x k F +-)](1[对应第k 个作业由机器B 来处理（完成k-1个作业时机器A 工作时间仍是x ，则B 在k-1阶段用时为)](1[x k F -）；而)](1[k a x k F --对应第k 个作业由机器A 处理（完成k-1个作业，机器A 工作时间是x-a[k]，而B 完成k 阶段与完成k-1阶段用时相同为)](1[k a x k F --）。

则完成前k 个作业所需的时间为)}]([,max{x k F x

1）当处理第一个作业时，a[1]=2,b[1]=3;

机器A 所花费时间的所有可能值范围：0 ≤x ≤a[0].

x<0时，设F[0][x]= ∞，则max(x, ∞)= ∞；

0≤x<2时，F[1][x]=3，则Max(0,3)=3，

x ≥2时， F[1][x]= 0，则Max(2,0)=2；

2）处理第二个作业时：x 的取值范围是：0 <= x <= (a[0] + a[1])，

当x<0时，记F[2][x] = ∞；以此类推下去

（思路三）假定n 个作业的集合为{}n S n ,,2,1 =。

设J 为n S 的子集，若安排J 中的作业在机器A 上处理，其余作业在机器B 上处

理，此时所用时间为???? ??=∑∑∈∈J S j j J

j j b a J T \,max )(，

则双机处理作业问题相当于确定n S 的子集J ，使得安排是最省时的。即转化为求J 使得)}({min J T n

S J ?。若记{}1,,2,11-=-n S n ，则有如下递推关系： ???? ?

????? ??+???? ??+=???? ??∑∑∑∑∑∑∈∈?∈∈?∈∈?J S j j n J j j S J J S j j J j j n S J I S j j I j j S I b b a b a a b a n n n \\\,max min ,,max min min ,max min 11－－（思路四）

此问题等价于求（x 1,……x n ），使得它是下面的问题最优解。

min max{x 1a 1+……x n a n ，(1-x 1)b 1+……+(1-x n )b n } x i =0或1，i=1~n

基于动态规划算法的思想，对每个任务i ，依次计算集合S (i)。其中每个集合中元素都是一个3元组（F 1,F 2,x ）。这个3元组的每个分量定义为

F 1:处理机A 的完成时间

F 2：处理机B 的完成时间

x ：任务分配变量。当x i =1时表示将任务i 分配给处理机A ，当x i =0时表示分配给处理机B 。 初始时，S (0)={(0,0,0)}

令F=按处理时间少的原则来分配任务的方案所需的完成时间。

例如，当（a 1，a 2,a 3,a 4,a 5,a 6）=(2,5,7,10,5,2),(b 1,b 2,b 3,b 4,b 5,b 6)=(3,8,4,11,3,4)时，按处理时间少的原则分配任务的方案为（x 1,x 2,x 3,x 4,x 5,x 6）=（1,1,0,1,0,1）

因此，F=max{2+5+10+2,7+5}=19。

然后，依次考虑任务i ，i=1~n 。在分配任务i 时，只有2种情形，x i =1或x i =0。此时，

令S(i)={S(i-1)+(a i,0,2i)}U{S(i-1)+(0,b i,0)}在做上述集合并集的计算时，遵循下面的原则：

①当（a,b,c）,(d,e,f)?S(i)且a=d,b<=e时，仅保留（a,b,c）；

②仅当max{a,b}<=F时，(a,b,c)?S(i)

最后在S(n)中找出使max{F1,F2}达到最小的元素，相应的x即为所求的最优解，其最优值为max{F1,F2}。

当（a1，a2,a3,a4,a5,a6）=(2,5,7,10,5,2),(b1,b2,b3,b4,b5,b6)=(3,8,4,11,3,4)时, 按处理时间少的原则分配任务的方案为（x1,x2,x3,x4,x5,x6）=（1,1,0,1,0,1）

因此，F=max{2+5+10+2,7+5}=19。

S(0)={(0,0,0)};

S(1)={(2,0,2),(0,3,0)}

S(2)={(7,0,6),(5,3,4),(2,8,2),(0,11,0)}

S(3)={(14,0,14),(12,3,12),(9,8,10), (7,4,6), (5,7,4),(2,12,2),(0,15,0)}

S(4)={(19,8,26), (17,4,22),(15,7,20),(12,12,18),(14,11,14),(9,19,10),(7,15,6),(5,18,4)}

S(5)={ (19,11,46), (12,15,38), (19,11,26), (17,7,22), (15,10,20),(12,15,18),(14,14,14),(7,18,6)}

S(6)={ (14,15,102),(19,7,86),(17,10,84),(14,15,82), (9,18,70),(12,19,38), (15,14,20),(12,19,18)} max(F1,F2)最小的元组为(14,15,102), (14,15,82), (15,14,20)

所以，完成所有作业最短时间是15，安排有三种：

（1,1,0,0,1,1），（1,0,0,1,0,1）,(0,1,0,1,0,0)

（思路五）C++ 源代码如下:

#include

using namespace std;

const int MAXS = 70;

const int MAXN = 10;

bool p[MAXS][MAXS][MAXS];

int a[MAXS],b[MAXS];

int schduleDyn(int * a,int * b,int n,int mn)

{ int i,j,k;

//===========数组初始化===================

for(i = 0; i <= mn; i++)

for(j = 0; j <= mn; j++)

{ p[i][j][0] = true;

for(k = 1 ; k <= n; k++)

p[i][j][k] = false;

}

//===========动态递归=============

for(k = 1; k <= n; k ++)

for(i = 0; i <= mn; i++)

for(j = 0; j <= mn; j++)

{ if( (i - a[k-1]) >= 0)

p[i][j][k] = p[i - a[k-1]][j][k-1];

if( (j - b[k-1]) >= 0)

p[i][j][k] = (p[i][j][k] | p[i][j-b[k-1]][k-1]);

}

//================求结果=====================

int rs = mn;

int temp = 0;

for(i = 0; i <= mn; i++)

for(j = 0; j <= mn ; j++)

{if(p[i][j][n])

{ temp = i > j ? i : j;

if(temp < rs)

rs = temp;

}

}

return rs;

}

void main()

{

int i,n,m = 0,mn = 0;

//=============初始化========================

cin >> n;

for(i = 0; i < n; i++)

{ cin >> a[i];

if(a[i] > m)

m = a[i];

}

for(i = 0; i < n; i++)

{

cin >> b[i];

if(b[i] > m)

m = b[i];

}

mn = m * n;

//=========动态规划求解=================

cout << schduleDyn(a,b,n,mn) << endl;

system("pause");

}

对于例子: n = 6 ;(a1,….,a6) = (2 5 7 10 5 2),(b,1…,b6) = (3 8 4 11 3 4); 由于求解过程比较繁锁,这里只说个大概算法执行过程,首先,用p[i][j][k],记录下对于第k 个作业,能否在对于a机器是i时间以内,对于b机器是j时间以内完成,如果能,则把p[i][j][k]设为true.经过了设置后,求对于n个作业的所有可能的值为p[i][j][n],对min(max(i,j)),结果为15.即为所得到的结果.

3．考虑下面特殊的整数线性规划问题

n i x b x a x c i n i i

i

n

i i

i ≤≤∈≤∑∑==1},2,1,0{,max 11 试设计一个解此问题的动态规划算法，并分析算法的时间复杂度。

解：方法1.

设,21},1,0{n i y i ≤≤∈令n i y y x n i i i ≤≤+=+1,，则上述规划问题转化为：

n i y b y a y c i n

i i i n i i i 21},1,0{,,max 2121≤≤∈≤∑∑==，其中n i a a c c i n i i n i ≤≤==++1,,，

把i c 看作价值，i a 看作重量，b 看作背包容量。

转化为0/1背包问题，所以可以0/1背包问题的动态规划算法来求解。由于n 件物品的0/1背包的时间复杂性是O （2n ），则此时为O （4n ）。

方法2.

可以看成是另一种背包问题。即b 为背包容量，}2,1,0{x i ∈为背包中可以装0，1，或者2件物品，i x 对应的价值为i c ，求在容量b 一定的前提下，背包所容纳的物品的最大价值。也就是参数完全相同的两个0-1背包问题，它们同时制约于背包容量为C 这个条件。

在设计算法时可以优先考虑i m ，也就是先判断背包剩下的容量能不能放进去i c ，若

可以再判断能否使1=i p ，若可以则就再放入一个i c ，这样就间接满足了2=+=i i i p m x 的条件。

0(1,) (,)x m k x m k x -∞<-=递推式：

0max{(1,), (1,)} 2max{(1,), (1,),(1,2)2} 2(3)

k k k k k

k k k k k

n x w m k x m k x w p w x w m k x m k x w p m k x w p x w O ??≤

（以上各题均来自同学们作业中的思想，仅供参考，自行整理答案。）