备战中考数学一元二次方程的综合题试题含详细答案

一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．已知关于x 的方程x 2﹣（2k +1）x +k 2+1＝0．

（1）若方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围；

（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k ＝2，求该矩形的对角线L 的长．

【答案】（1）k ＞3

4

；（2 【解析】 【分析】

（1）根据关于x 的方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋1＝0有两个不相等的实数根，得出△＞0，再解不等式即可；

（2）当k=2时，原方程x 2-5x+5=0，设方程的两根是m 、n ，则矩形两邻边的长是m 、n ，

利用根与系数的关系得出m+n=5，mn=5，利用完全平方公式进行变形即可求得答案. 【详解】

（1）∵方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋1＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝[－(2k ＋1)]2－4×1×(k 2＋1)＝4k －3＞0， ∴k ＞

34

； (2)当k ＝2时，原方程为x 2－5x ＋5＝0， 设方程的两个根为m ，n ， ∴m ＋n ＝5，mn ＝5，

∴

==.

【点睛】

本题考查了根的判别式、根与系数的关系、矩形的性质等，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）△=0时，方程有两个相等的实数根；（3）△＜0时，方程没有实数根．

2．解方程：（2x+1）2=2x+1． 【答案】x=0或x=12

-

. 【解析】试题分析：根据因式分解法解一元二次方程的解法，直接先移项，再利用ab=0的关系求解方程即可.

试题解析：∵（2x+1）2﹣（2x+1）=0， ∴（2x+1）（2x+1﹣1）=0，即2x （2x+1）=0， 则x=0或2x+1=0， 解得：x=0或x=﹣

12

．

3．解方程：（3x+1）2=9x+3．

【答案】x1=﹣1

3

，x2=

2

3

．

【解析】

试题分析：利用因式分解法解一元二次方程即可.

试题解析：方程整理得：（3x+1）2﹣3（3x+1）=0，分解因式得：（3x+1）（3x+1﹣3）=0，

可得3x+1=0或3x﹣2=0，

解得：x1=﹣1

3

，x2=

2

3

．

点睛：此题主要考查了一元二次方程的解法，解题关键是认真观察一元二次方程的特点，然后再从一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法中合理选择即可.

4．图1是李晨在一次课外活动中所做的问题研究：他用硬纸片做了两个三角形，分别为△ABC和△DEF，其中∠B=90°，∠A=45°，BC=，∠F=90°，∠EDF=30°， EF=2．将△DEF 的斜边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动．在移动过程中，D、E两点始终在AC边上(移动开始时点D与点A重合)．

（1）请回答李晨的问题：若CD=10，则AD= ；

（2）如图2，李晨同学连接FC，编制了如下问题，请你回答：

①∠FCD的最大度数为；

②当FC∥AB时，AD= ；

③当以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC为斜边时，AD= ;

④△FCD的面积s的取值范围是 .

【答案】（1）2；（2）① 60°；②；③；④.

【解析】

试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质，求出AC的长，即可得到AD的长.

（2）①当点E与点C重合时，∠FCD的角度最大，据此求解即可.

②过点F作FH⊥AC于点H，应用等腰直角三角形的判定和性质，含30度角直角三角形的性质求解即可.

③过点F作FH⊥AC于点H，AD=x，应用含30度角直角三角形的性质把FC用x来表示，根据勾股定理列式求解.

④设AD=x，把△FCD的面积s表示为x的函数，根据x的取值范围来确定s的取值范围.试题解析：（1）∵∠B=90°，∠A=45°，BC=，∴AC=12.

∵CD=10，∴AD=2.

（2）①∵∠F=90°，∠EDF=30°，∴∠DEF=60°.

∵当点E与点C重合时，∠FCD的角度最大，∴∠FCD的最大度数=∠DEF="60°."

② 如图，过点F作FH⊥AC于点H，

∵∠EDF=30°， EF=2，∴DF=. ∴DH=3，FH=.

∵FC∥AB，∠A=45°，∴∠FCH="45°." ∴HC=. ∴DC=DH+HC=.

∵AC=12，∴AD=.

③如图，过点F作FH⊥AC于点H，设AD=x，

由②知DH=3，FH=，则HC=.

在Rt△CFH中，根据勾股定理，得.∵以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC为斜边，

∴，即，解得.

④设AD=x，易知，即.

而，

当时，；当时，.

∴△FCD的面积s的取值范围是.

考点：1.面动平移问题；2.等腰直角三角形的判定和性质；3.平行的性质；4.含30度角直角三角形的性质；5.勾股定理；6.由实际问题列函数关系式；7.求函数值.

5．已知关于x 的一元二次方程x 2+（2m+3）x+m 2=0有两根α，β． （1）求m 的取值范围； （2）若

1

1

1α

β

+

=-，则m 的值为多少？

【答案】（1）1

4

m ≥；（2）m 的值为3． 【解析】 【分析】

（1）根据△≥0即可求解, （2）化简1

1

α

β

+

,利用韦达定理求出α+β，αβ,代入解方程即可.

【详解】

解：（1）由题意知，（2m+3）2﹣4×1×m 2≥0， 解得：m≥-

34

； （2）由根与系数的关系得：α+β=﹣（2m+3），αβ=m 2， ∵1

1

1α

β

+

=-，即

αβ

αβ

+=-1, ∴

2m 3m2

+﹣（）

=-1,整理得m 2﹣2m ﹣3=0

解得：m 1=﹣1，m 1=3， 由（1）知m≥-34

， ∴m 1=﹣1应舍去， ∴m 的值为3． 【点睛】

本题考查了一元二次方程根的判别式以及韦达定理，对根进行判断是正确解题的关键.

6．关于x 的方程()2

204

k

kx k x +++

=有两个不相等的实数根． ()1求实数k 的取值范围；

()2是否存在实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根？若存

在，求出k 的值；若不存在，说明理由．

【答案】（1）1k >-且0k ≠；（2）不存在符合条件的实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根． 【解析】 【分析】

()1由于方程有两个不相等的实数根，所以它的判别式

0>，由此可以得到关于k 的不等

式，解不等式即可求出k 的取值范围.

()2首先利用根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再由方程的两个实数根之和等

于两实数根之积的算术平方根，可以得出关于k 的等式，解出k 值，然后判断k 值是否在

()1中的取值范围内.

【详解】

解：()1依题意得2

(2)404

k

k k =+-?

>， 1k ∴>-， 又0k ≠，

k ∴的取值范围是1k >-且0k ≠；

()2解：不存在符合条件的实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平

方根，

理由是：设方程()2

204

k

kx k x +++

=的两根分别为1x ，2x ， 由根与系数的关系有：1212214k x x k

x x +?

+=-????=

??

，

又因为方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，

21

2

k k +∴-

=， 43

k ∴=-，

由()1知，1k >-，且0k ≠，

4

3

k ∴=-不符合题意，

因此不存在符合条件的实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根． 【点睛】

本题重点考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系。

7．已知关于x 的一元二次方程x 2－（2k ＋1）x ＋k 2＋2k ＝0有两个实数根x 1，x 2． （1）求实数k 的取值范围；

（2）是否存在实数k ，使得x 1·x 2－x 12－x 22≥0成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当k≤1

4

时，原方程有两个实数根(2)不存在实数k ，使得x 1·

x 2－x 12－x 22≥0成立 【解析】

试题分析：（1）根据一元二次方程根的判别式列出不等式，解之即可；（2）本题利用韦达定理解决. 试题解析：

（1）?= ()()

2

2

21420k k k +-+≥，解得14

k ≤

（2）由22

12120x x x x --≥得 2121230x x x x （）-

+≥， 由根与系数的关系可得：2

121221,2x x k x x k k +=+=+

代入得：22364410k k k k +---≥， 化简得：()2

10k -≤， 得1k =.

由于k 的取值范围为14

k ≤

， 故不存在k 使22

12120x x x x --≥．

8．（问题）如图①，在a×b×c （长×宽×高，其中a ，b ，c 为正整数）个小立方块组成的长方体中，长方体的个数是多少？ （探究）

探究一：

（1）如图②，在2×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上共有1+2=23

2

?=3条线段，棱AC ，AD 上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为3×1×1=3． （2）如图③，在3×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上共有1+2+3=34

2

?=6条线段，棱AC ，AD 上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为6×1×1=6． （3）依此类推，如图④，在a×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上共有1+2+…+a=()a a 12

+线段，棱AC ，AD 上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为

______． 探究二：

（4）如图⑤，在a×2×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上有

()a a 12

+条线段，棱AC

上有1+2=

23

2

?=3条线段，棱AD 上只有1条线段，则图中长方体的个数为()a a 12

+×3×1=

()3a a 12

+．

（5）如图⑥，在a×3×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上有()a a 12

+条线段，棱AC

上有1+2+3=

34

2

?=6条线段，棱AD 上只有1条线段，则图中长方体的个数为______． （6）依此类推，如图⑦，在a×b×1个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为______．

探究三：

（7）如图⑧，在以a×b×2个小立方块组成的长方体中，棱AB 上有()a a 12

+条线段，棱

AC 上有

()b b 12

+

条线段，棱AD 上有1+2=

23

2

?=3条线段，则图中长方体的个数为()3a a 12

+×

()b b 12

+×3=

()()

3ab a 1b 14

++．

（8）如图⑨，在a×b×3个小立方块组成的长方体中，棱AB 上有

()a a 12

+条线段，棱AC

上有

()

b b 12

+条线段，棱AD 上有1+2+3=

34

2

?=6条线段，则图中长方体的个数为______．

（结论）如图①，在a×b×c 个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为______．

（应用）在2×3×4个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为______．

（拓展）

如果在若干个小立方块组成的正方体中共有1000个长方体，那么组成这个正方体的小立方块的个数是多少？请通过计算说明你的结论．

【答案】探究一：（3）

()

a a1

2

+

；探究二：（5）3a（a+1）；（6）

()()

ab a1b1

4

++

；

探究三：（8）

()()

3ab a1b1

2

++

；【结论】：①

()()()

abc a1b1c1

8

+++

；【应用】：

180；【拓展】：组成这个正方体的小立方块的个数是64，见解析.【解析】

【分析】

（3）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；（5）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；（6）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；（8）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；(结论)根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；(应用)a=2，b=3，c=4代入(结论)中得出的结果，即可得出结论；

(拓展)根据(结论)中得出的结果，建立方程求解，即可得出结论．

【详解】

解：探究一、（3）棱AB上共有

()

a a1

2

+

线段，棱AC，AD上分别只有1条线段，

则图中长方体的个数为

()

a a1

2

+

×1×1=

()

a a1

2

+

，

故答案为

() a a1

2

+

；

探究二：（5）棱AB上有

()

a a1

2

+

条线段，棱AC上有6条线段，棱AD上只有1条线

段，

则图中长方体的个数为

()

a a1

2

+

×6×1=3a（a+1），

故答案为3a（a+1）；

（6）棱AB上有

()

a a1

2

+

条线段，棱AC上有

()

b b1

2

+

条线段，棱AD上只有1条线段，

则图中长方体的个数为

()

a a1

2

+

×

()

b b1

2

+

×1=

()()

ab a1b1

4

++

，

故答案为

()() ab a1b1

4

++

；

探究三：（8）棱AB 上有()a a 12

+ 条线段，棱AC 上有

()b b 12

+条线段，棱AD 上有6条

线段，

则图中长方体的个数为

()a a 12

+ ×

()b b 12

+×6=

()()

3ab a 1b 12

++，

故答案为

()()

3ab a 1b 12++；

(结论)棱AB 上有()a a 12

+ 条线段，棱AC 上有

()b b 12

+条线段，棱AD 上有

()c c 12

+条线

段，

则图中长方体的个数为

()a a 12

+×

()b b 12

+×

()c c 12

+=

()()()abc a 1b 1c 18

+++，

故答案为

()()()

abc a 1b 1c 18

+++；

(应用)由(结论)知，

()()()

abc a 1b 1c 18

+++，

∴在2×3×4个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为

()()()2342131418

???+?+?+=180，

故答案为为180；

拓展：设正方体的每条棱上都有x 个小立方体，即a=b=c=x ，

由题意得

33

(1)8

x x +=1000， ∴[x （x+1）]3=203， ∴x （x+1）=20，

∴x 1=4，x 2=-5（不合题意，舍去） ∴4×4×4=64

所以组成这个正方体的小立方块的个数是64． 【点睛】

解此题的关键在于根据已知得出规律，题目较好，但有一定的难度，是一道比较容易出错的题目．

9．工人师傅用一块长为10dm ，宽为6dm 的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度不计）求长方体底面面积为12dm 2时，裁掉的正方形边长多大？

【答案】裁掉的正方形的边长为2dm ，底面积为12dm 2. 【解析】

试题分析：设裁掉的正方形的边长为xdm ，则制作无盖的长方体容器的长为（10-2x ）dm ，宽为（6-2x ）dm ，根据长方体底面面积为12dm 2列出方程，解方程即可求得裁掉的正方形边长. 试题解析：

设裁掉的正方形的边长为xdm ， 由题意可得(10-2x)(6-2x)=12， 即x 2-8x+12=0，解得x=2或x=6(舍去)，

答：裁掉的正方形的边长为2dm ，底面积为12dm 2.

10．元旦期间，某超市销售两种不同品牌的苹果,已知1千克甲种苹果和1千克乙种苹果的进价之和为18元.当销售1千克甲种苹果和1千克乙种苹果利润分别为4元和2元时,陈老师购买3千克甲种苹果和4千克乙种苹果共用82元. （1）求甲、乙两种苹果的进价分别是每千克多少元？

（2）在（1）的情况下，超市平均每天可售出甲种苹果100千克和乙种苹果140千克，若将这两种苹果的售价各提高1元，则超市每天这两种苹果均少售出10千克，超市决定把这两种苹果的售价提高x 元，在不考虑其他因素的条件下，使超市销售这两种苹果共获利960元，求x 的值.

【答案】（1）甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克；（2）x 的值为2或7. 【解析】 【分析】

（1）根据题意列二元一次方程组即可求解,（2）根据题意列一元二次方程即可求解. 【详解】

（1）解：设甲、乙两种苹果的进价分别为a 元/千克, b 元/千克.

由题得：()()18344282a b a b +=?

?

+++=? 解之得：10

8a b =??=?

答：甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克 （2）由题意得：()()()()410010214010960x x x x +-++-= 解之得：12x =，27x =

经检验，12x =，27x =均符合题意 答：x 的值为2或7. 【点睛】

本题考查了二元一次方程组和一元二次方程的实际应用,中等难度,列方程是解题关键.