定积分与不等式的证明
淮北师范大学
2011届学士学位论文
定积分与不等式的证明
系别、专业数学科学学院信息与计算科学
研究方向定积分的拓展应用
学生姓名孙鹏
学号20071102050
指导教师姓名陈昊
指导教师职称讲师
2011年4月15日
定积分与不等式的证明
孙鹏
（淮北师范大学数学科学学院,淮北,235000）
摘要
定积分不等式证明是常见的一种题型，本文首先给出定积分的定义以及性质，然后从定积分基本理论出发，从不同角度分析研究定积分不等式的特点并利用各种技巧和方法，归纳总结出利用重要积分公式，定积分中值定理，变上限积分及构造辅助函数等五种证明定积分不等式的方法。然后根据文中所给出的五种分类,通过分析各种方法所需的条件，巧妙利用函数的各种特性对定积分不等式的问题进行按条件化归,得出这五种方法适用的条件。最后通过阐述定积分在几何学、物理学和工程学中的应用，得出定积分不等式是与应用联系发展起来的结论。
关键词：定积分，不等式，中值定理，辅助函数
Definite integral and Inequality
Sun Peng
(School of Mathematical Science, Huaibei Normal University,Huaibei,235000))
Abstract
Definite Integral Inequality is a common kinds of questions, this paper gives the definition and properties of definite integral, and then proceed from the basic theory of the definite integral, from the perspective of the different characteristics of the definite integral inequality and the use of various techniques and methods, summarized summarize the important points using the formula, will be integral mean value theorem, variable upper limit and construct the auxiliary functions such as integration of five proved the definite integral inequality. Then the text given in five categories, by analyzing the conditions required for a variety of ways, clever use of the function of various characteristics of the problems set by inequality conditions of return, the five methods applied obtained articlesPieces. Finally, describes the definite integral in geometry, physics and engineering application, come to the definite integral inequality is linked with the application of the conclusions developed.
Key words: integral, inequality, mean value theorem, the auxiliary function
目录
一、引言 (1)
二、定积分不等式证明的原理，概念及定理 (1)
1、定积分在不等式证明中应用的原理 (1)
2、定积分不等式证明中用到的定义与公式 (1)
三、定积分不等式的一些常用证明方法 (5)
1、由变上限函数的特性证明 (5)
2、利用定积分中值定理证明 (5)
3、利用泰勒公式证明定积分不等式 (6)
4、构造辅助函数来证明定积分不等式 (6)
5、利用二重积分法证明定积分不等式 (6)
四、定积分在不等式证明中的应用实例 (6)
1、例1由变上限函数的特性证明 (6)
2、例2利用定积分中值定理证明 (7)
3、例3利用泰勒公式证明定积分不等式 (8)
4、例4构造辅助函数来证明定积分不等式 (8)
5、例5利用二重积分法证明定积分不等式 (9)
五、结论 (10)
参考文献 (11)
一、引言
不等式是数学分析中在进行计算和证明时经常用到的非常重要的工具，同时也是数学分析中研究的重要问题之一。不等式的研究对数学分析的发展起着巨大的推动作用. 在数学分析中有关不等式研究的主要工具和方法有函数的凹凸性、微分中值定理、积分中值定理、单调性、极值原理、无穷级数和一些重要不等式等。
微积分是高等数学中的重要内容，以它为工具能较好的研究函数的性态，定积分理论是微积分学的一个重要内容, 定积分等式与不等式证明是常见问题,在学习过程中很多人感到难以把握证明的思想方法，而这方面的综合介绍又很少见。为此，本文结合典型例题，介绍了定积分不等式的几种典型证法，这对掌握微积分学的一些重要结果也是有益的。
二、定积分不等式证明的原理，概念及定理 （1）定积分在不等式证明中应用的原理
定积分在不等式证明中的应用所依据的原理是：若在区间[,]a b 上连续函数
(),()f x g x 满足()()f x g x ≤，其中不等号至少对于[],a b 中某一点处成立，则有
()()b
b
a
a
f x dx
g x dx ≤?
? 。
（2）定积分不等式证明中用到的定义与公式 定积分的定义：
定义[1] 设f 是定义在[],a b 上的一个函数，J 是一个确定的实数，若对任给的一个正数ε，总存在某一个正数δ，使对[],a b 的任何分割T ，以及在其上任意选取的点集{}i ξ，只要T δ<，就有
()0
1l i m n
i i i f x J
λξε
→=?-<∑
（2.1）
则称函数f 在区间[],a b 上可积或黎曼可积；数J 成为f 在[],a b 上的定积分或黎曼积分，记作 J=()b
a f x dx ?。 (2.2)
定积分的基本性质：
性质1[3] 若[]b a f ,在上可积，k 为常数，则kf 在[]b a ,上也可积，且
()()dx x f k dx x kf b
a
b
a
??
= （2.3）
性质2 若g f ,都在[]b a ,上可积，则g f +在[]b a ,上也可积，且 ()()[]()(),dx x g dx x f dx x g x f b
a
b a
b a
???±=± （2.4）
性质3 若g f ,都在[]b a ,上可积；则fg 在[]b a ,上也可积．
性质4 f 在[]b a , 上可积的充要条件是：任给()b a c ,∈，f 在[]c a ,与[]b c ,上都可积．此时又有等式 ()()().dx x f dx x f dx x f b
c
c a
b
a
???
+= (2.5)
性质5 设f 为[]b a ,上的可积函数．若()[]b a x x f ,,0∈≥，则 ()0≥?dx x f b
a
推论(积分不等式性) 若f 与g 为[]b a ,上的两个可积函数，且()()x g x f ≤，
[]b a x ,∈，则有
()()dx x g dx x f b
a
b
a
??
≤ （2.6）
性质6 若f 在[]b a ,上可积，则f 在[]b a ,上也可积，且
()().dx x f dx x f b
a
b
a
??
≤（6）
证 由于f 在[]b a ,上可积，故任给0>ε，存在某分割T ，使得εω
i f i x .
由绝对值不等式
()()()(),x f x f x f x f ''-'≤''-' 可得f i f
i ωω≤，于是有
.εωω
f i i T
f i
x x
从而证得f 在[]b a ,上可积．
再由不等式()()()x f x f x f ≤≤-，应用性质5(推论)，即证得不等式（6）成
立.
泰勒公式：
对于一般函数f ，设它在点0x 存在知道n 阶导数。由这些导数构造一个n 次多项式：
()()()()()
()()
()2
3
00000002!
3!
n f x f x T x f x f x x x x x x x ''''''=+-+*-+
*-
(
)
()
()
00!
n
n f x x x n ++
*-
（2.7）
称为函数f 在点0x 处得泰勒多项式。
泰勒定理 ：如果函数f 在[a ，b]上存在直至n 阶的连续导函数，在(),a b 内存在（n+1）阶导函数，则对任意给定的x ，0x [],a b ∈，至少存在一点(),a b ξ∈，使得：
()()()()()
()()
()2
3
00000002!
3!
f x f x f x f x f x x x x x x x ''''''=+-+*-+
*-
(
)
()
()(
)
()
()
1
1000!
(1)!
n
n n n f x f x x x x n n ξ++++*-+
*-+
(2.8)
积分中值定理
积分第一中值定理：[3]如果函数f 在[a ，b]上连续，则至少存在一点[],a b ξ∈，使得：
()()()b
a
f x d x f b a
ξ=
-?
(2.9)
证明：由于函数f 在[a ，b]上连续，因此存在最大值M 和最小值m ， 则由 ()m f x M ≤≤ ， [],x a b ∈ ， 使用积分不等式性质得到 ： ()()()
b a
m b a f x
d x
M b a -≤≤-?
，
或是 ()b
a
f x d x m M b a
≤
≤-? 。 再由连续函数的介值性，至少存在一点[],a b ξ∈， 使得：
()()b
a f x d x f
b a
ξ=-?
则证得定理成立 。
积分第二中值定理：设函数f 在[a ，b]上可积。
（1）若函数g 在[a ，b]上减，且()0g x ≥，则存在[],a b ξ∈，使得：
()()
()()b a
a
f x
g x dx g a f x dx ξ
=?? ；
(2.10) （1）若函数g 在[a ，b]上增，且()0g x ≥，则存在[],a b η∈，使得： ()()()()b
b
a
f x
g x dx g b f x dx η
=?
? ；
(2.11)
二重积分的性质
性质1[1] 被积函数的常数因子可以提到积分号外面，即
????=D
D
d y x f k d y x kf σσ),(),(. (2.12)
性质2 函数和的积分等于各函数积分的和, 即
[](,)(,)(,)(,)D
D
D
f x y
g x y d f x y d g x y d σσσ+=+??????. (2.13)
综合性质1、2有
[]1111(,)(,)(,)(,)m m
m m D
D
D
k f x y k
f x y d k f x y d k f x y d σσσ++=++?????? .
性质3 若积分区域D 分为D 1与D 2两个子区域, 且Ｄ１与Ｄ２无公共内点, 则
??????+=D
D D d y x f d y x f d y x f 1
2
),(),(),(σσσ. (2.14)
这个性质表示二重积分对于积分区域具有可加性.
性质4 如果在D 上，f (x , y ) ≥0，则
??D
d y x f σ),(≥0. (2.15)
由性质2与性质4知, 若在D 上，f (x , y ) ≤ g (x , y ) 则
??D
d y x f σ),(≤??D
d y x g σ),(.
特别地，由于 —),(),(),(y x f y x f y x f ≤≤, 又有
??
??≤D
D
d y x f d y x f σσ),(),(.
性质5 设M 和m 分别为f (x , y ) 在D 上的最大值和最小值, S 是D 的面积,则
m S ≤??D
d y x f σ),(≤ M S . (2.16)
三、定积分不等式的一些常用证明方法
（1）、由变上限函数的特性证明 变上限函数0
()()x
x f t dt φ=? ，有一个非常
好的特性，就是：0'()[()]'()x
x f t dt f x φ==?
根据这个特性可以证明不等式，下面的例题说明了这一点。
（2）、利用定积分中值定理证明。
积分第一中值公式方法一般适用于被积函数()()f x g x 中()f x 与()g x 都连续，并且()g x 不变号的情形。[9]
积分第二中值公式方法一般适用于被积函数()()f x g x 中()g x 可积，而()f x 单调的情况。
（3）、利用泰勒公式证明定积分不等式
如果函数()f x 的二阶和二阶以上导数存在且有界，则可以利用泰勒公式证明定积分不等式。
（4）、构造辅助函数来证明定积分不等式。
当已知被积函数连续, 并没有告知可导时, 通常用此法最为方便. 主要利用辅助函数的单调性证明, 辅助函数的作法只须将结论中的积分上限(下限) 换成
变量x, 移项使不等式一端为零. 则另一端即为所所作的辅助函数.
（5）、利用二重积分法证明定积分不等式。
当被积函数积分区间相同，利用变量的对称性以及二次积分转化为二重积分来证明不等式。采用这种方法时，如果被积函数满足单调性，则可以从差式出发进行推导。将定积分不等式的证明转化为重积分不等式来证明，也是一种常用的方法。许多定积分的计算及不等式的证明可转化为二重积分来考察, 往往能达到简化运算及证明的目的。
四、定积分在不等式证明中的应用实例 （1）、由变上限函数的特性证明应用实例。
例1.设函数()f x 在[0,]+∞上连续且单调增加，证明对任何实数
(0)ab b a >>，不等式
01
()[()()]2b
b a a
f x dx b f x dx a f x dx ≥-?
??成立。 证明：令F(x)= 0
()x
x
f t dt ?
(0)
x ≥,有 0
()()b
F b b f x d x =?
，0
()()a
F a a f x dx =? ，
''
00()()()()()()()()b a b
a b
x a b
x a
b f x dx a f x dx F b F a F x dx
x f t dt dx
f t dt xf x dx -=-=??=??????=+????
??????
?
又'0
[()]()
x x f t dt f x =? ，
则有
()()(()())2()b
a
b a
b
a
b f x dx a f x dx xf x xf x dx xf x dx
-≤+=???? ，
综上0
01()[()()]2b
b
a a
f x dx b f x dx a f x dx ∴≥-???
（2）、利用定积分中值定理证明。
例2、设函数()f x 在区间[]0,1上连续且单调递减，证明：当01λ≤≤时，
1
()()f x dx f x dx λ
λ≥?
? 。
证明：因为1
()[()()]f x dx f x dx f x dx λ
λ
λ
λ=+??
?
所以，11
()()(1)()()f x dx f x dx f x dx f x dx λ
λλ
λλλ-=--?
??? 。
由积分中值定理，存在[][]0,,,1ξληλ∈∈，使
()()f x d x
f λ
ξλ=?
，1
()()(1)f x dx f λ
ηλ=-?
。
又因为()f x 单调递减，ξη≤，知()()f f ξη≥。 于是有：
[]11
()()(1)()()(1)()()0
f x dx f x dx f x dx f x dx
f f λ
λλ
λλλλλξη-=--=--≥?
???
即为1
()()f x dx f x dx λ
λ≥?? 。 则原题证明完毕。
（3）、利用泰勒公式证明定积分不等式。
例3、设()0f x ≥，"()0f x ≤，对[],x a b ?∈成立。 求证：2()().b
a f x f x dx
b a
≤
-? 证明：首先将()f x 在[],t a b ∈处展成一阶泰勒公式：
()f x =21
()'()()''()()2!
f t f t x t f x t ξ+-+
-，ξ介于x 与t 之间， 因为''()0f x ≤，所以''()0f ξ≤ ， 于是有：
()()'()(f x f t f t x t ≤+-，
两边在［a ，b ］上对 t 积分得：
()()()()()
b
b
a
a
b a f x f t dt f t x t dt -≤+-??， 即为：
()()'()'()()|'()2'()()()()()
b b b
b a a
a
a
b a f x f t dt f t x t f t dt f t dt x b f b x a f a -≤+-+=+---???， 故得
2()()()()()()()b
a f t dt
b a f x x b f b x a f a ≥---+-?，
由于
()0,()
0,()
0,0,f x f b f a x a b x
≥≥≥->
-> 故 有 ： 2()()(
)b a
f x d x b
a f x ≥-?。 即得： 2()().b
a f x f x d x
b a
≤-? 则本题得证。
（4）、构造辅助函数来证明定积分不等式。
例4、设()f x 在[0，b]上连续且单调递增， 请证明：当0 00()()()..22 b b a a b a x f x f x dx f x dx ≥ -? ?? 分析 :可 以将定积分不等式视为数值不等式, 利用相应的函数不等式的证 明方法,该题可以先构造变上限积分的辅助函数 ，令 00 ()()()()()..22u u a a u a F u x f x f x dx f x dx a u b =-+≤≤? ?? 只需证F(b) ≥0. 证明：首先构造辅助函数 00()()()()()..22 u u a a u a F u x f x f x dx f x dx a u b =- +≤≤??? 则 0 00 00 11'()()()()2211()()221[()(0)()]21[()()] 21[[()()]02u a u a u u u u u F u uf u uf u f x dx uf u f x dx f u u dx f x dx f u dx f x dx f u f x dx =--=-=--=-=-≥??????? （()f x 递增， ()()0 f u f x ∴-≥。） 于是， 由拉格朗日中值公式，有： ()()'()()F b F a F b a ξ=+-≥ 。 ()a b ξ<< 则原不等式成立，得证本题。 （5）、利用二重积分法证明定积分不等式。 例5、设()f x 在[]0,1上连续且单调增加，请证明： 1 1 001()()2x f x dx f x dx ≥?? 。 证明：设A=1 1 01()()2 x f x dx f x dx - ?? 1 11 00 0()()x f x d x x d x f x d x =-?? ? 1 1 11 ()()d y x f x d x y d x y f x d x =- ???? 10 ()()f x x y d x d y =-?? ， 其中D ：01, 01,x y ≤≤≤≤ 由于D 关于直线y=x 对称， 故又有A=1 ()()f y y x dxdy =-?? 所以2A=1 [()()]()f x f y x y dxdy =--??。 由于()f x 和x 在[0，1]都单调增加，所以[()()]()0f x f y x y dxdy --≥，于是则有A 0≥， 即1 1 00 1()()02x f x dx f x dx -≥??。则不等式得证。 五、结论 积分不等式是微积分学中一类重要的不等式, 定积分不等式的证明是常见的一种题型，其证明方法多种多样. 本文列举证明积分不等式的几种主要方法供大家参考，分别为利用变上限函数的特性证明，利用积分中值定理证明，利用泰勒公式法证明，构造辅助函数法证明，利用二重积分法证明。 关于定积分不等式的习题种类比较多, 条件差别也比较大, 绝非文中五种 分类情况所能包含的, 但通过例题可以看出, 这五种分类包括了大量的习题类型, 涉及到多种关于证明定积分不等式所需要的理论和方法, 这种针对较难的习题类型而采取的定式思维处理, 在一定程度上取得了较好的效果。关于定积分不等式的分类证明, 仍需要进一步研究和扩展, 而关于其它内容的习题分类证明也需要我们去加强研究, 形成体系。 定积分的应用非常广泛，在几何方面可以用来求平面图形的面积、旋转体的体积、平面曲线的弧长以及函数的平均值；在物理方面，可以计算水压力和引力等；在经济方面可以用于计算消费者的盈余和连续复利现金流的现值。总而言之，定积分是与应用联系发展起来的。 参考文献： [1]陈传璋, 陈传临, 朱学炎. 等. 数学分析[M ] 北京高等教育出版社, 2003. [2]龚德思.经济数学基础[M]，成都：四川人民出版社，2005. [3]程其襄.周彭年.郑英元.数学分析[M ]上. 3版，北京：高等教育出版社，2001. [4]王金金.马华. 利用重积分证明定积分不等式[J] , 高等数学研究, 2004.(2):15. [5]同济大学应用数学系.高等数学[M] .5版，北京：高等教育出版社，2005. [6]仲利军. 重要不等式的一个证明[J] . 数学通报，2003.2（5）:12 . [7]杨凡.定积分中不等式的证明［J］.天津成人高等学校联合学报. 2001.3（3）:72-74. [8]陈文灯. 数学［M］. 北京：世界图书出版社，2004. [9]赵达夫. 全国硕士研究生入学考试高等数学辅导讲义[ M]. 北京:新华出版社, 2004. [10]李建军,李建平. 一类积分不等式的规范化证明[ J], 数学理论与应用.1999.19(4). 题目：积分不等式的若干证明技巧 学院：数学科学学院 专业班级：数学07－4实验班 学生姓名：努尔艾拉.阿西木 指导教师：塔实甫拉提副教授 答辩日期：2011年5月10日 新疆师范大学教务处 目录 1引言 (1) 2 利用有些定义证明积分不等式 (1) 2.1利用定积分的定义证明积分不等式 (1) 2.2利用积分和及凸函数的性质证明积分不等式 (2) 3 利用函数的单调性证明积分不等式 (4) 4利用微分中值定理证明积分不等式 (4) 5利用积分中值定理证明积分不等式 (6) 6利用一些基本不等式证明积分不等式 (7) 7利用泰勒展开式证明积分不等式 (7) 8利用将单积分化为重积分的方法 (8) 9利用分部积分法来证明积分不等式 (9) 10 结论 (10) 参考文献： (11) 致谢 (12) 积分不等式的若干证明技巧 摘要：不等式是高等数学和近代数学分析的重要内容之一，它反映了各变量之间很重要的一种联系。论证不等式的方法很多，本文的目的主要是利用徽积分学原理归纳、总结“高等数学”中证明积分不等式的常用方法.由于积分具有较大的灵活性，故积分不等式的证明往往富有很强的技巧性，是理工科学生学习的一个难点，以下我们仅从讨论过程中的关键步骤出发，大致地分成若干种方法，介绍有关证题的技巧和规律。 关键词：积分不等式，积分中值定理；Rolle中值定理；Cauchy中值定理；Lagrange中值定理 Integral inequality of several proof skills Abstracts：inequality is higher mathematics and the important content of modern mathematics analysis, it reflects the one between the variables a contact is very important. Demonstrates many methods, this paper the inequality in the main purpose of the principle is to use badge integral calculus "advanced mathematics synthesized and summarized in" the commonly used method proved integral inequality. Because integral has greater flexibility, so integral inequality proof often rich strong skilled, an engineering student learning a difficulty, below we only from a critical step in discussion, starting into several ways roughly, introduces relevant papers topic the skills and law. Keywords: integral inequality, integral mean-value theorem; Rolle mid-value theorem; Cauchy mid-value theorem; Lagrange mid-value theorem 。 用变限积分函数证明不等式 院系：数学与计算科学学院 班级：应数5班 姓名：谭晶晶学号：201040510534 【摘要】证明不等式，方法多种多样。构造变限积分来证明不等式是非常巧 妙的方法之一。本文介绍了利用变限积分和被积函数的不等式的方法解决不等 式的证明。 【关键字】变限积分；辅助函数；不等式；被积函数的不等式 提出问题：变限积分是一类重要的函数，在微积分领域应用广泛。本文我们探讨：如何运用变限积分函数证明不等式。 分析问题：对于形如的积分，我们可以写成， 的形式；对于简单函数也可表示为的积分形式。 由此可以看出不管是积分表达式还是一般表达式都可以用变限积分 表示出来那么我们便可将证明不等式问题转化为研究变限积分函数 的问题中来，再结合具体情况根据函数的性质最终证出不等式。 解决问题：在解决此类问题关键是构造变限积分形式的辅助函数。大致步骤可分三步：构造辅助函数根据所构造的辅助函数性质结合题目 进一步处理，多数采用求导的方法；还原到原来形式，不等式得 证。 一．变限积分的定义 设f（x）在，上可积，根据定积分性质，对任意x∈，，f在，上 也可积。于是，由 ? 定义了一个以积分上限x为自变量的函数，称为变上限的定积分。类似地，又 可以定义变下限的定积分 ?与统称为变限积分。注意，在变限积分中，不可再把积分变量写成x。 二﹑变限积分函数的应用 一通过变限积分函数构造辅助函数证明不等式 在解题中构造辅助函数后，要对函数求导，我们简单介绍一下变限 积分函数的求导问题。 定义在，上， 设φ ψ ’φφ’ψψ’ 注：若被积函数中含x,不能直接用公式求导,应先作变代换使被积函数不含 x, 再求导。 在构造辅助函数时，又可根据不等式的特征分为两类构造方法将不等式两边相减的方法，即:要证形如的不等式，可设。 例一：设f（x）是，上的单调递增函数，且f（x）在，上连续，求证： 分析：在此证明不等式题中，可以先运用变限积分构造辅助函数F（x），由于 f（x）在，上连续，得知F（x）可导，求出F（x）的导函数，再由f（x）是，上的单调递增函数推出F（x）的单调性，从而证出不等式。 证明：令 （） 由f（x）在，上连续得知F（x）可导。 且 ‘ 又因为f（x）是，上的单调递增函数，故在，上有， ， 则 （） 证明不等式的几种方法 淮安市吴承恩中学 严永飞 223200 摘要：不等式证明是中学数学的重要内容,证明方法多种多样.通常所用的公式法、放缩法只能解决一些较简单的问题,对于较难的问题则束手无策.本文给出了几种特殊方法.如倒数变换法、构建模型法、逆用等比数列求和公式等方法,使解题容易,新颖独特. 关键词：不等式，公式法，构建模型法 前言 证明不等式是中学数学的重要内容之一,内容抽象，难懂，证明方法更是变化多端.通常所用的一些方法如公式法、放缩法只能解决一些较简单的问题,较难的问题则无法解决.本文给出了几种特殊方法.如倒数变换法、构建模型法、逆用等比数列求和公式等方法. 这里所举的几种证明不等式的特殊方法看似巧妙,但如果认真思考,广泛联系,学以致用,一定能使问题得到很好的解决. 1 运用倒数变换证明不等式 这里所说倒数变换是根据具体的题目要求把不等式的部分进行倒数变换，通过化简后使不等式变得简单，更好更快的解决证明问题. 例1 设+∈R z y x ,,,且xyz =1 求证：)(13z y x ++)(13z x y ++)(13y x z +≥2 3 分析 如果先通分再去分母，则不等式将变得很复杂. 令A x =-1,B y =-1 ,C z =-1 ,则+∈R C B A ,,且1=ABC . 欲证不等式可化为 C B A +2+A C B +2+B A C +2≥23（*） 事实上,a 2+22b λ≥ab λ2 (+∈R b a ,,λ), 而当b >0时, a 2/b ≥b a 22λλ-. （*）式左边≥A λ2-2λ(C B +)+ B λ2-2λ(C A +)+C λ2-2λ(A B +) = λ2(λ-1)(C B A ++) ≥λ6(λ-1)3ABC = λ6(λ-1). 令λ=21时,C B A +2+A C B +2+ B A C +2 ≥6×21×(1-21)=23 得证. (这里用到二元平均不等式的变形和三元平均不等式.) 例 2 已知z y x ,,>0,n 为大于1的正整数，且n n x x +1+n n y y +1+n n z z +1=1 求证：n x x +1+n y y +1+n z z +1≤n n 12- 不等式的证明方法 不等式的证明是高中数学的一个难点，证明方法多种多样，近几年高考出现较为形式较为活跃，证明中经常需与函数、数列的知识综合应用，灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提，下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。 注意ab b a 22 2 ≥+的变式应用。常用2 222b a b a +≥ + (其中+ ∈R b a ,)来解决有关根式不等式的问题。 一、比较法 比较法是证明不等式最基本的方法，有做差比较和作商比较两种基本途径。 1、已知a,b,c 均为正数，求证： a c c b b a c b a ++ +++≥++1 11212121 证明：∵a,b 均为正数， ∴ 0) (4)(44)()(14141)(2 ≥+=+-+++=+-+-b a ab b a ab ab b a a b a b b a b a b a 同理 0)(41 4141)(2 ≥+= +-+-c b bc c b c b c b ，0) (414141)(2 ≥+=+-+-c a ac a c a c a c 三式相加，可得 01 11212121≥+-+-+-++a c c b b a c b a ∴a c c b b a c b a ++ +++≥++111212121 二、综合法 综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明的结论。 2、a 、b 、),0(∞+∈c ，1=++c b a ，求证： 31222≥ ++c b a 证：2 222)(1)(3c b a c b a ++=≥++?∴ 2222)()(3c b a c b a ++-++0 )()()(222222222222≥-+-+-=---++=a c c b b a ca bc ab c b a 3、设a 、b 、c 是互不相等的正数，求证：)(4 4 4 c b a abc c b a ++>++ 证 ： ∵ 2 2442b a b a >+ 2 2442c b c b >+ 2 2442a c a c >+∴ 222222444a c c b b a c b a ++>++ ∵ c ab c b b a c b b a 2 2222222222=?>+同理：a bc a c c b 222222>+ b ca b a a c 222222>+ ∴ )(222222c b a abc a c c b b a ++>++ 4、 知a,b,c R ∈，求证: )(22 2 2 2 2 2 c b a a c c b b a ++≥++ ++ + 证明：∵ ) (2 2 2 2 2 2 2 2)(22b a b a b a b a ab ab +≥++≥+∴≥+ 万方数据 万方数据 几类定积分不等式的证明 作者：王阳， 崔春红 作者单位：河北农业大学中兽医学院,河北定州,073000 刊名： 和田师范专科学校学报 英文刊名：JOURNAL OF HOTAN TEACHERS COLLEGE 年，卷(期)：2009，28(3) 被引用次数：0次 参考文献(4条) 1.白银凤微积分及其应用 2001 2.刘连福.许文林高等数学 2007 3.詹瑞清高等数学全真课堂 2003 4.沈燮吕.邵品宗数学分析纵横谈 1991 相似文献(10条) 1.期刊论文杜红敏.Du Hong-min浅谈定积分在不等式证明与因式分解中应用-中国科教创新导刊2009,""(3) 定积分是高中新课程体系中一个新增加的重要内容,很多教师在该部分内容的教学时都与高中其他知识点割裂开未,殊不知,定积分在高中阶段解题中具有广泛的应用,本文以定积分在不等式证明和因式分解中应用为例,探讨定积分在高中解题中的应用. 2.期刊论文陈欢定积分的一个不等式及其应用-福州大学学报(自然科学版)2003,31(6) 线性是定积分最重要的性质之一,在此基础上定性地分析了形如gfn的函数的定积分的随着n的变化趋势,得到一个定理,并利用这个定理重新证明了Holder不等式. 3.期刊论文嵇国平.Ji Guoping定积分在不等式上的应用-常州师范专科学校学报2003,21(2) 不等式的证明是中学教学的一个重要内容,同时也是一个数学难点.由于微积分部分内容逐步渗透到中学数学中,用定积分方法解决不等式证明已成为可能. 4.期刊论文张惠玲.ZHANG Hui-ling定积分中不等式性质的研究-西安航空技术高等专科学校学报2009,27(3) 关于不等式的性质结论中等号成立的问题,在定积分中,进行了研究与探讨,并举例说明了它的应用. 5.期刊论文冯其明含∑nk=1f(k/n)的不等式的一种证法-高等数学研究2003,6(4) 利用定积分的定义及其几何意义可证明一些含∑nk=1f(k)/(n)的不等式. 6.期刊论文侯晓星.HOU Xiao-xing含定积分的不等式证明-泰州职业技术学院学报2005,5(4) 定积分不等式的证明是常见的一种题型.通过对典型例题的分析,利用换元法将被积函数转化为非负函数,或将定积分不等式视为数值不等式,再利用函数的单调性等,论述了含定积分的不等式证明的一般规律及求证方法. 7.期刊论文程仁华.李丽定积分的定义与某些重要不等式的推广应用-景德镇高专学报2004,19(4) 本文通n个正数的调和平均值、几何平均值、算术平均值及k次幂平均值的关系,并利用定积分的定义和连续函数极限的性质推导出函数的上述四种平均值之间的类似关系. 8.期刊论文沈凤英.孙存金.SHEN Feng-ying.SUN Cun-jin Schwarz不等式及旋转体侧面积的计算问题-苏州市职业大学学报2006,17(4) 文章应用Schwarz不等式的知识,给出了旋转体侧面积计算公式的一个新颖的证明,并同时指出用定积分计算旋转体侧面积时应该避免发生的错误. 9.期刊论文林银河关于Minkowski不等式的讨论-丽水师范专科学校学报2003,25(5) 在有关定积分不等式中,Minkowski不等式占有重要地位.将<数学分析>中提到的Minkowski不等式推广到更加一般的情形,从而改进已有的结论. 10.期刊论文刘放不等式(1/n+1+1/n+2+…+1/2n)2《1/2的六种不同证法-宜宾学院学报2003,6(6) 给出了不等式((1)/(n+1)+(1)/(n+2)+…+(1)/(2n))2＜(1)/(2)的六种不同证法. 本文链接：https://www.360docs.net/doc/b217089734.html,/Periodical_htsfgdzkxxxb-hwb200903135.aspx 授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：05ca550e-ea59-4c55-8af2-9da600b00ff2，下载时间：2010年7月 1日 证明不等式的基本方法 导学目标：1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式． [自主梳理] 1.三个正数的算术—几何平均不等式：如果a ，b ，c>0，那么_________________________，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． 2.基本不等式(基本不等式的推广)：对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1·a 2·…·a n ，当且仅当__________________时等号成立． 3.证明不等式的常用五种方法 (1)比较法：比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基本思想是______与0比较大小或______与1比较大小． (2)综合法：从已知条件出发，利用定义、______、______、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫综合法．也叫顺推证法或由因导果法． (3)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的________条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义 、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立为止，这种证明方法叫分析法．也叫逆推证法或执果索因法． (4)反证法 ①反证法的定义 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法． ②反证法的特点 先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾． (5)放缩法 ①定义：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值________或________，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法． ②思路：分析观察证明式的特点，适当放大或缩小是证题关键． 题型一 用比差法与比商法证明不等式 1.设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则s 与t 的大小关系是( A ) ≥t >t ≤t 用微积分理论证明不等式的方法 高等数学中所涉及到的不等式，大致可分为两种:函数不等式(含变量)和数值不等式(不含变量)．对于前者，一般可直接或稍加变形构造一函数，从而可通过研究所构造函数的性质，进而证明不等式；对于后者，我们也可根据数值不等式的特点，巧妙的构造辅助函数，从而将数值不等式问题转化为函数的问题，研究方法正好与前者相似． 微积分是高等数学中的重要内容，以它为工具能较好的研究函数的形态，有些常规方法难于证明的不等式，若能根据不等式的结构特征，巧妙的构造函数，将不等式问题转化为函数的问题，利用微积分理论研究函数的性质，应用函数的性质证明不等式． 一、用导数定义证明不等式法 1．证明方法根据－导数定义 导数定义：设函数)(x f y =在点。0x 的某个邻域内有定义，若极限 x y x x x x x x f x f ??→?→=--lim lim 0) ()(0 存在，则称函数)(x f 在0x 可导，称这极限为函数)(x f y =在点0 x 的导数，记作)(0x f y '=． 2．证明方法： (1)找出0x ，使得)(0x f y '=恰为结论中不等式的一边；(2)利用导数的定义并结合已知条件去研究． 3．例 例1:设函数nx a x a x a x f n sin 2sin sin )(21+++= ，其中n a a a ,,21都为实数， n 为正整数，已知对于一切实数x ，有x x f sin )(≤，试证：1221≤+++n na a a ． 证 明 ： 因 nx na x a x a x f n cos 2cos 2cos )(21+++=' ．则 n na a a f +++=' 212)0(． 得：x x f x x f x f x f f x x x ) ()(lim 0)0()()0(lim lim 00 →→→==--= '．由于x x f sin )(≤． 所以1sin )0(lim =≤ '→x x f x ．即1221≤+++n na a a ． 4.适用范围 用导数定义证明不等式，此方法得适用范围不广，我们应仔细观察问题中的条件与结论之间的关系．有些不等式符合导数的定义，因此可利用导数的定义将其形式转化，以达到化繁为简的目的． 二．用可导函数的单调性证明不等式法 广西科技大学毕业论文 题目：积分不等式的证明及应用 英文题目：The integral inequality proof and application.所在学院：理学院 所在专业：信息与计算科学 学号：200900901071 作者姓名：朱伟 指导老师：张明俊 二零一三年五月 摘要 积分不等式是学习高等数学中的一个重要内容，在数学分析中的应用也很广泛,也经常会在考研试卷中出现.有很多积分不等式的证明方法，一些方法综合性和技巧性也很强。利用导数和积分的相关知识去证明不等式，可以降低技巧性，使证明的思路变得简单，在此总结出可用于证明不等式的知识点。文中涉及到的知识有积分不等式、柯西不等式、拉格朗日中值定理、泰勒公式等高等数学中的内容。 【关键词】积分不等式、函数、拉格朗日中值定理、柯西不等式、泰勒公式 Abstract Mathematical analysis is an important information and calculation science specialized basic course,integral inequality is important content of mathematical analysis,using the integral inequality can solve many problems,thus the application of integral inequality is very wide.Proof of integral inequality and applications has always been a difficulty in mathematical analysis,it's proved that erected a bridge for different branches of mathematics,greatly improved our creative thinking.It's proof and application is also very cleverly,can solve some difficult problems.So,a deep understanding, to grasp the method of integral inequality proof, and its different applications in mathematical analysis,can improve our understanding of theoretical knowledge and application,at the same time also is good for our future study,to improve our thinking ability, innovation ability, and skill also has the very big help. 【Key words】Integral inequality, Probability mass function, Lagrange's mean value theorem, Cauchy inequality, Taylors formula. 第三章 一元积分学 第三节 定积分值的估计及不等式 定积分值的估计及不等式证明是一个较难的问题，方法多样，用到的知识（微分学的知识，积分学的知识等）也很多。总的说来： （1）主要用积分学的知识，除了定积分的性质、积分中值定理、计算方法外，以下几个简单的不等式也是有用的： （i ）若]),[( )()(b a x x g x f ∈≤，则?? ≤b a b a dx x g dx x f )()( . （ii ）? ?≤b a b a dx x f dx x f |)(||)(| . （iii ）若b d c a b a x x f ≤≤≤∈≥]),,[( 0)(,则?? ≤b a d c dx x f dx x f )()(. (iv)(柯西不等式)??? ≤b a b a b a dx x g dx x f dx x g x f )()(])()([ 222 (2)主要用微分学的知识,包括前面己讲过的利用微分学知识证明不等式的一切方法. (3)利用二重积分、级数等．值得注意的是：题目的解法往往有多种，同一题目其解答过程中往往要用到各种知识和方法． 例１．判断积分 ? π 20 2sin dx x 的符号 分析：这个积分值是求不出来的．如果被积函数在积分区间上有确切的符号，那么积分值的符号很容易判断．如果被积函数在积分区间上有正、有负，那么应根据被积函数的正、负情况将积分区间分成部分区间，然后利用积分学等方面的知识比较在这些部分区间上的积分值（实际上是比较积分值的绝对值）．本题中被积函数2 sin x 在积分区间上有正、有负，先作换元：2 x t =，把积分变为 dt t t dx x ?? =ππ 2020 2 sin 21sin 后，问题更清晰，因而想到 dt t t dx x ?? = ππ 2020 2sin 21sin +=?π0sin (21dx t t )sin 2?π π dt t t 至此积分的符号凭直觉已经能判断了．但严格说明还需做一些工作，上式右端两个积分 的积分区间不一样，为了方便比较，应将两个积分放在同一积分区间上进行比较．有了这些分析和思路后，解答就容易了． 解：令2 x t =，则 dt t t dx x ?? = ππ 2020 2sin 21sin ＝ +=?π0sin (21dx t t )sin 2?π π dt t t 对上式右端后一积分换元π+=u t 得 ? ? ?+-=+-=π π π π π π 2sin sin sin dt t t du u u dt t t 从而 =? π 20 2sin dx x -= ?π0sin (21dx t t )sin 0 ? +π π dt t t 高等数学中不等式的证明方法 摘要：各种不等式就是各种形式的数量和变量之间的相互比较关系或制约关系，因此， 不等式很自然地成为分析数学与离散数学诸分支学科中极为重要的工具，而且早已成为 专门的研究对象。高等数学中存在大量的不等式证明，本文主要介绍不等式证明的几种 方法，运用四种通法，利用导数研究函数的单调性，极值或最值以及积分中值定理来解 决不等式证明的问题。我们可以通过这些方法解决有关的问题，培养我们的创新精神， 创新思维，使一些较难的题目简单化、方便化。 关键词：高等数学；不等式；极值；单调性；积分中值定理 Abstract: A variety of inequality is the various forms of high-volume and variable comparison between the relationship or constraints. Therefore, Inequality is natural to be a very important tool in Analysis of discrete mathematics and various bran（https://www.360docs.net/doc/b217089734.html, 毕业论文参考网原创论文）ches of mathematics .It has been a special study.Today there are a large number of inequalities in higher mathematics .This paper introduces the following methods about Proof of Inequality ,such as the using of several general methods, researching monotone function by derivative, using extreme or the most value and Integral Mean Value Theorem . We can resolve the problems identified through these methods. It can bring up our innovative spirit and thinking and some difficult topics may be more easy and Convenient , Keyword: Higher Mathematics; Inequality; Extreme value Monotonicity; Integral Mean Value Theorem 文章来自：全刊杂志赏析网(https://www.360docs.net/doc/b217089734.html,) 原文地址： https://www.360docs.net/doc/b217089734.html,/article/16be7113-df3a-4524-a9c3-4ba707524e72.htm 【摘要】不等式证明是高等数学学习中的一个重要内容，通过解答考研数学中出现的 不等式试题，对一些常用的不等式证明方法进行总结。 【关键词】不等式；中值定理；泰勒公式；辅助函数；柯西 施瓦茨；凹凸性 在高等数学的学习过程当中，一个重点和难点就是不等式的证明，大多数学生在遇到不 等式证明问题不知到如何下手，实际上在许多不等式问题都存在一题多解，针对不等式的证 明，以考研试题为例，总结了几种证明不等式的方法，即中值定理法、辅助函数法、泰勒公 积分不等式的证明方法及其应用 【摘要】本文根据定积分的定义、性质、定理等方面简单介绍了几个证明积分 不等式的基本方法，并给出了相应的例题，从而更好地掌握其积分不等式的证明方法。尔后再给出四个重要积分不等式及其证明方法和应用，最后详细举例说明积分不等式在求极限、估计积分、证明积分不等式等上的应用及两个重要积分不等式的应用。 【关键词】积分不等式 Schwarz 不等式 Ho .. lder 不等式 Gronwall 不等式 Young 不等式 1 引言 在学习中，我们常会遇到这样的问题：有些函数可积，但原函数不能用初等函数的有限形式来表达，或者说这种积分“积不出”，无法应用Newton-Leibniz 公式求出（如2 1 0x e dx -?），这时我们只能用其它方法对积分值进行估计，或近似计 算；另一种情况是，被积函数是没有明确给出，只知道它的结构或某些性质（例如设函数f 在[]0,1上连续可微，且(1)(0)1f f -=，求1 '20()f x dx ?），因此我们希 望对积分值给出某种估计.为此我们来研究下积分不等式. 我们把含有定积分的不等式称为积分不等式. ? ? ≤ 2 1 2 1 ln ln xdx x xdx x ， ()() 2 2 ()cos ()sin 1b b a a f x kxdx f x kxdx +≤? ? 都是积分不等 式. 2积分不等式的证明方法 2.1 定义法 我们根据定积分的定义，把积分区间n 等分，得出积分和，再由离散型式子，得出积分和之间的大小关系，再令∞→n ，取极限即可. 例1设函数)(x f 在区间 []0,1上可积 .试证明有不等式1 12 00 ()()f x dx f x dx ≤ ?? . 证 先用Jensen 不等式法证明不等式 : 对 R x x x n ∈?,,,21 , 有不等式 证明不等式的几种常用方法 证明不等式除了教材中介绍的三种常用方法，即比较法、综合法和分析法外，在不等式证明中，不仅要用比较法、综合法和分析法，根据有些不等式的结构，恰当地运用反证法、换元法或放缩法还可以化难为易．下面几种方法在证明不等式时也经常使用． 一、反证法 如果从正面直接证明，有些问题确实相当困难，容易陷入多个元素的重围之中，而难以自拔，此时可考虑用间接法予以证明，反证法就是间接法的一种．这就是最“没办法”的时候往往又“最有办法”，所谓的“正难则反”就是这个道理． 反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，在使用反证法时，必须在假设中罗列出各种与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，则反证法都是不完全的． 用反证法证题的实质就是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确．例如要证明不等式A＞B，先假设A≤B，然后根据题设及不等式的性质，推出矛盾，从而否定假设，即A≤B不成立，而肯定A＞B成立．对于要证明的结论中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼的不等式，若正面难以找到解题的突破口，可转换视角，用反证法往往立见奇效． 例1 设a、b、c、d均为正数，求证：下列三个不等式：①a＋b＜c＋d； ②(a＋b)(c＋d)＜ab＋cd；③(a＋b)cd＜ab(c＋d)中至少有一个不正确． 反证法：假设不等式①、②、③都成立，因为a、b、c、d都是正数，所以 不等式①与不等式②相乘，得：(a ＋b)2＜ab ＋cd ，④ 由不等式③得(a ＋b)cd ＜ab(c ＋d)≤( 2 b a +)2 ·(c ＋d)， ∵a ＋b ＞0，∴4cd ＜(a ＋b)(c ＋d)， 综合不等式②，得4cd ＜ab ＋cd ， ∴3cd ＜ab ，即cd ＜31 ab ． 由不等式④，得(a ＋b)2＜ab ＋cd ＜ 34ab ，即a 2＋b 2＜－3 2 ab ，显然矛盾． ∴不等式①、②、③中至少有一个不正确． 例2 已知a ＋b ＋c ＞0，ab ＋bc ＋ca ＞0，abc ＞0，求证：a ＞0，b ＞0， c ＞0． 证明：反证法 由abc ＞0知a ≠0，假设a ＜0，则bc ＜0， 又∵a ＋b ＋c ＞0，∴b ＋c ＞－a ＞0，即a(b ＋c)＜0， 从而ab ＋bc ＋ca = a(b ＋c)＋bc ＜0，与已知矛盾． ∴假设不成立，从而a ＞0， 同理可证b ＞0，c ＞0． 例3 若p ＞0，q ＞0，p 3＋q 3= 2，求证：p ＋q ≤2． 证明：反证法 假设p ＋q ＞2，则(p ＋q)3＞8，即p 3＋q 3＋3pq (p ＋q)＞8， ∵p 3＋q 3= 2，∴pq (p ＋q)＞2． 故pq (p ＋q)＞2 = p 3＋q 3= (p ＋q)( p 2－pq ＋q 2)， 又p ＞0，q ＞0 ? p ＋q ＞0， ∴pq ＞p 2－pq ＋q 2，即(p －q)2 ＜0，矛盾． 探讨定积分不等式的证明方法 摘要：文章针对被积函数的特性，给出了几种关于定积分不等式的有效证明方法。 关键词：定积分 不等式 证法 不等式的证明在高等数学的学习中很常见，但关于定积分不等式的证明却一直是一个难点。要证明定积分不等式，首先要看被积函数，其性质确定证明方法。本文根据被积函数的连续性、单调性、可导性等分别给出几种证法。 1．运用定积分中值定理证明 定积分中值定理是将定积分转化为连续函数在该区间上某点的函数值与该区间长度的乘积，即将定积分转化为函数来证明不等式。 例1：设)(x f 在[0,1]上连续且单调不增，证明a ?∈[0,1]有 ? a dx x f 0 )(≥ ?1 )(dx x f a ． 证明：由原不等式变形得? a dx x f 0 )(≥??+1 ))()(dx x f dx x f a a （, 即是要证：? -a dx x f a 0 )() 1(≥?10 )(dx x f a , 对左式，)(x f 在[0,1]上连续， 故 由定积分中值定理知： [] a ，01∈?ξ使 )()1()()110 ξf a a dx x f a a -=-?（, 同理对右式：[]12，a ∈ ?ξ使)()1()(2 1 ξ f a a dx x f a -=?, 显然，ξ1＜ξ2又f(x)在[0,1]上单调不增， ∴f (ξ1)≥f (ξ2) 故原不等式 ? a dx x f 0 )(≥?1 )(dx x f a 成立. 定积分中值定理的运用直观易懂，它的条件也极其简单，易于掌握。 2．运用辅助函数证明 构造辅助函数F(x)证明不等式，首先是做函数将要证结论中的积分上限（下限）换成x ，移项使不等式的一边为零，另一边的表达式即是辅助函数。然后再求F ’(x)，并运用单调性及区间端点值特性证明不等式。 例2：设)(x f 在[a ，b]上连续,且)(x f >0. 试证：2b )() (1 )(a b dx x f dx x f a b a -≥?? 证明：构造辅助函数2)() (1 )()(a x dt t f dt t f x F x a x a --=? ? （将b 换成x ）， 则??--+=x a x a a x dt t f x f dt t f x f x F )(2)() (1)(1)()(' = ??? -+x a x a x a dt dt x f t f dt t f x f 2) ()()() ( =dt x f t f t f x f x a )2) ()()()((-+? ∵)(x f ＞0，∴ 02) () ()()(≥-+x f t f t f x f ， 又a 几个重要不等式(二)柯西不等式 ，当且仅当b i=l a i(1￡i￡n)时取等号 柯西不等式的几种变形形式 1.设a i?R,b i>0 (i=1,2,…,n)则，当且仅当b i=l a i(1￡i￡n)时取等号 2.设a i,b i同号且不为零(i=1,2,…,n)，则，当且仅当b1=b2=…=b n时取等号 例1.已知a1,a2,a3,…,a n，b1,b2,…,b n为正数，求证： 证明：左边= 例2.对实数a1,a2,…,a n,求证： 证明：左边= 例3.在DABC中，设其各边长为a,b,c,外接圆半径为R，求证： 证明：左边3 例4.设a,b,c为正数，且a+b+c=1,求证：证明：左边= 3 = = 例5.若n是不小于2的正整数，试证： 证明： 所以求证式等价于 由柯西不等式有 于是： 又由柯西不等式有 < 例6.设x1,x2,…,x n都是正数(n32)且，求证： 证明：不等式左端即 (1) ∵，取，则(2) 由柯西不等式有 (3) 及 综合(1)、(2)、(3)、(4)式得： 三、排序不等式 设a1￡a2￡…￡a n,b1￡b2￡…￡b n;r1,r2,…,r n是1,2,…,n的任一排列，则有：a1b n+ a2b n-1+…+ a n b1￡a1b r1+ a2b r2+…+ a n b rn￡ a1b1+ a2b2+…+ a n b n 反序和￡乱序和￡同序和 例1.对a,b,c?R+,比较a3+b3+c3与a2b+b2c+c2a的大小 解：取两组数a,b,c；a2,b2,c2，则有a3+b3+c33a2b+b2c+c2a 例2.正实数a1,a2,…,a n的任一排列为a1/,a2/,…a n/，则有 证明：取两组数a1,a2,…,a n； 其反序和为，原不等式的左边为乱序和，有 例3.已知a,b,c?R+求证： 证明：不妨设a3b3c>0,则>0且a123b123c12>0 则 不等式性质的应用 不等式的性质是解不等式、证明不等式的基础和依据。教材中列举了不等式的性质，由这些性质是可以继续推导出其它有关性质。教材中所列举的性质是最基本、最重要的，对此，不仅要掌握性质的内容，还要掌握性质的证明方法，理解掌握性质成立的条件，把握性质之间的关联。只有理解好，才能牢固记忆及正确运用。 1．不等式性质成立的条件 运用不等式的基本性质解答不等式问题，要注意不等式成立的条件，否则将会出现一些错误。对表达不等式性质的各不等式，要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性。 例1：若0< B ．a b a 11>- C ．||||b a > D ．22b a > 解：∵0<->-b a 。 由b a -< -11，b a 11>，∴（A ）成立。 由0<< b a ，||||b a >，∴（C ）成立。 由0>->-b a ，2 2 )()(b a ->-，2 2b a >，∴（D ）成立。 ∵0<->-a b a ， )(11b a a --<-，b a a ->11，∴（B ）不成立。 故应选B 。 例2：判断下列命题是否正确，并说明理由。 （1）若0<c ，在2 2c b c a >两边同乘以2 c ，不等式方向不变。∴b a >。 （3）错误。b a b a 1 1，成立条件是0>ab 。 （4）错误。b a >，bd ac d c >?>，当a ，b ，c ，d 均为正数时成立。 2．不等式性质在不等式等价问题中的应用 例3：下列不等式中不等价的是（ ） （1）2232 >-+x x 与0432 >-+x x （2）13 8112++ >++ x x x 与82>x （3）35 7354-+>-+x x x 与74>x （4） 023 >-+x x 与0)2)(3(>-+x x A ．（2） B ．（3） C ．（4） D ．（2）（3） 解：（1）0432232 2 >-+?>-+x x x x 。 （2）482>?>x x ，44,11 3 8112>?>-≠?++>++ x x x x x x 。 摘要 在高等数学的学习中,积分不等式的证明一直是一个无论在难度还是技巧性方面都很复杂的内容.对积分不等式的证明方法进行研究不但能够系统的总结其证明方法,还可以更好的将初等数学的知识和高等数学的结合起来.并且可以拓宽我们的视野、发散我们的思维、提高我们的创新能力,因此可以提高我们解决问题的效率.本文主要通过查阅有关的文献和资料的方法,对其中的内容进行对比和分析,并加以推广和补充,提出自己的观点.本文首先介绍了两个重要的积分不等式并给出了证明,然后分类讨论了证明积分不等式的八种方法,即利用函数的凹凸性、辅助函数法、利用重要积分不等式、利用积分中值定理、利用积分的性质、利用泰勒公式、利用重积分、利用微分中值定理,最后对全文进行了总结． 关键词：积分不等式,定积分,中值定理,柯西-施瓦兹不等式,单调性 ABSTRACT When we study mathematics,the proof of integer inequality has always been seen as a complex content both in difficulty and skill．In this paper the proof methods of integral inequality are organized systematically to combine the knowledge of elementary mathematics and higher mathematics better.Also our horizons can be broadened,thinking can be divergencied and innovation ability can be improved,so as to improve our efficiency of problem solving.The paper is completed by referring to relevant literature,comparing and analysing related content, complementing and promoting related content.In this paper ,two important integral inequalities along with their proof methods are given first,and then eight approaches to proof integral inequalities are introduced,such as concavity and convexity of function,method of auxiliary function,important integral inequality,integral mean value theorem, integral property, Taylor formula,double integral and differential mean value theorem.Finally,the full paper is summarized． Key words: Integral Inequality, Definite Integral,Mean Value Theorem, Cauchy-Schwarz Inequality, Monotonicty积分不等式的若干证明技巧
用变限积分函数证明不等式
证明不等式的几种方法
高中不等式的证明方法
几类定积分不等式的证明
不等式证明的常用基本方法
用微积分理论证明不等式的方法
积分不等式的证明及应用论文
定积分不等式
高等数学中不等式的证明方法
积分不等式的证明方法及其应用
证明不等式的几种常用方法
探讨定积分不等式的证明方法
几个重要不等式
不等式的证明方法习题精选精讲
积分不等式的证明方法