2009年江苏高考数学试卷带详解

2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上．

.1.若复数 12429i,69i z z =+=+其中i 是虚数单位，则复数12()i z z -的实部为 . 【测量目标】复数的运算.

【考查方式】给出两个复数，根据复数的减法，乘法运算求目标复数的实部. 【难易程度】容易 【参考答案】20-

【试题解析】12220i z z -=-+，12()i z z -= (220i)i=2i 20-+--，所以实部为20-.

2.已知向量a 和向量b 的夹角为°

30,||2,||3==a b ，则向量a 和向量b 的数量积

=g a b .

【测量目标】向量的运算.

【考查方式】直接给出两个向量的模长和两向量的夹角，求向量的数量积. 【难易程度】容易 【参考答案】3

【试题解析】3

233==g

g g a b . 3.函数3

2

()15336f x x x x =--+的单调减区间为 . 【测量目标】利用导数判断函数的单调性.

【考查方式】直接给出函数解析式，利用导数求其单调区间. 【难易程度】容易 【参考答案】(1,11)- 【试题解析】

2()330333(11)(1)f x x x x x '=--=-+，

由(11)(1)0x x -+<得单调减区间为(1,11)-.

4.函数sin()(,,y A x A ω?ω?=+为常数，0,0)A ω>>在闭区间[π,0]-上的图象如图所示，则ω= .

第4题图

【测量目标】函数sin()y A x ω?=+的图象的性质. 【考查方式】观察函数图象，得到周期. 【难易程度】容易 【参考答案】3

3π2T =，2

π3

T =，所以3ω= . 5.现有5根竹竿，它们的长度（单位：m ）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为 . 【测量目标】随机事件的概率.

【考查方式】给出等可能事件，直接求概率. 【难易程度】中等 【参考答案】0.2

【试题解析】从5根竹竿中一次随机抽取2根的可能的事件总数为10，它们的长度恰好相

差0.3m 的事件数为2，分别是：2.5和2.8，2.6和2.9，所求概率为0.2.

6.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：学生 1号 2号 3号 4号 5号 甲班 6 7 7 8 7 乙班

6

7

6

7

9

则以上两组数据的方差中较小的一个为s = . 【测量目标】平均数，方差.

【考查方式】将统计的案例放入实际生活中，根据表格中的数据计算平均数和方差. 【难易程度】中等 【参考答案】

2

5

【试题解析】甲班的方差较小，数据的平均值为7，

故方差222222

(67)00(87)02

55

s -+++-+=

= 7.右图是一个算法的流程图，最后输出的W = .

第7题图

【测量目标】循环结构的程序框图.

【考查方式】看懂程序框图，进行运算得到答案. 【难易程度】中等 【参考答案】22

【试题解析】第一次循环:S =1, T =3第二次循环：S=8，T =5，第三次可以输出W=17+5=22 8.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 .

【测量目标】归纳推理中的类比推理.

【考查方式】给出一个例子，通过类比，求体积比. 【难易程度】中等 【参考答案】1:8

【试题解析】平面上面积比和边长比成平方，空间中面积比和棱长比成立方，所以体积比为1:8.

9.在平面直角坐标系xoy 中，点P 在曲线3

:103C y x x =-+上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为 .【测量目标】导数的几何意义.

【考查方式】给出解析式，利用导数的几何意义，根据该点的切线的斜率，求点坐标. 【难易程度】中等 【参考答案】(2,15)-

【试题解析】2

31022y x x '=-=?=±，又点P 在第二象限内，2x ∴=-点P 的坐标为

(2,15)-.

10.已知512

a -=，函数()x

f x a =，若实数,m n 满足()()f m f n >，则,m n 的大小关系为 .【测量目标】指数函数的单调性.

【考查方式】已知指数函数的底数，根据指数函数的单调性，判断自变量的大小.

【难易程度】中等 【参考答案】m

【试题解析】考查指数函数的单调性.

51

(0,1)2

a -=

∈，函数()x f x a =在R 上递减.由()()f m f n >得：m

【测量目标】集合间的关系，对数不等式.

【考查方式】描述法表示集合，求出对数不等式，根据集合间的关系，求参数的范围. 【难易程度】中等 【参考答案】4

【试题解析】由2log 2x ?得04a ，所以=c 4. 12.设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；②若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；③设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直；④直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直.上面命题中，真命题．．．

的序号 （写出所有真命题的序号）. 【测量目标】命题的基本关系，立体几何中的直线、平面的垂直与平行判定的相关定理. 【考查方式】通过两个不重合的平面，确定命题的真假. 【参考答案】①② 【难易程度】较难

【试题解析】对于①，根据面面的平行定理，平面内两条相交直线，互相平行于另一平面的两条直线，则两条直线平行;

对于②，根据线面平行的判断依据，显然成立.

对于③，当一条直线垂直两平面的相交直线，显然不一定使得，两平面垂直，所以为假命题；. 对于④，只满足充分条件，不满足必要条件，为假命题. 故真命题为①②.

13．如图，在平面直角坐标系xoy 中，1212,,,A A B B 为椭圆22

221(0)+=>>x y a b a b

的四个

顶点，F 为其右焦点，直线12A B 与直线1B F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为 .

第13题图

【测量目标】直线与椭圆的位置关系，椭圆的基本性质，直线方程.

【考查方式】根据直线和椭圆的位置关系，利用椭圆的基本性质，求椭圆的离心率值. 【难易程度】中等 【参考答案】275-

【试题解析】直线12A B 的方程为：1+=-x y

a b

； 直线1B F 的方程为：1+=-x y c b

.（步骤1） 二者联立解得：2()

(

,)+=--ac b a c T a c a c

，

（步骤2） 则()

(

,)2()+=--ac b a c M a c a c 在椭圆22221(0)+=>>x y a b a b

上， 2222222

()1,1030,1030,()4()

c a c c ac a e e a c a c ++=+-=+-=--（步骤3） 解得： 275

=-e （步骤4）

14．设{}n a 是公比为q 的等比数列，||1>q ，令1(1,2,)=+=L n n b a n ，若数列{}n b 有连续四项在集合{}53,23,19,37,82--中，则6=q . 【测量目标】等比数列的通项

【考查方式】给出构造的新数列，根据列举表示出的集合，利用通项求公比进而求值. 【难易程度】中等 【参考答案】9- 【试题解析】

{}n a 有连续四项在集合{}53,23,19,37,82--，四项24,36,54,81--成等比

数列，公比为3

,69.2

=-

=-q q 二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15．（本小题满分14分）设向量(4cos ,sin ),(sin ,4cos ),(cos ,4sin )a b c ααββββ===-

（1）若a 与2b c -垂直，求tan()αβ+的值； （2）求||b c +的最大值;

（3）若tan tan 16αβ=g ，求证：a ∥b .

【测量目标】向量的运算，同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式.

【考查方式】给出以三角函数表示的坐标向量，根据向量的线性运算求正切值；求两向量和的模长最大值；在通过已经得到的关系和条件证明向量的平行. 【难易程度】中等

【试题解析】（1）由a 与2b c -垂直，(2)20-=-=g g g a b c a b a c ，（步骤1） 即4sin()8cos()0αβαβ+-+=，tan()2αβ+=；（步骤2） （2）(sin cos ,4cos 4sin )ββββ+=+-b c （步骤3）

222||sin 2sin cos cos ββββ+=+++b c 2216cos 32cos sin 16sin ββββ-+

1730sin cos ββ=-1715sin 2β=-，最大值为32，（步骤4） 所以||+b c 的最大值为42.（步骤5）

（3）由tan tan 16αβ=得sin sin 16cos cos αβαβ=，（步骤6） 即4cos 4cos sin sin 0αβαβ-=g （步骤7） 所以a ∥b .（步骤8） 16．（本小题满分14分）

如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，E,F 分别是11A B,A C 的中点，点D 在11B C 上，

11A D B C ⊥

求证：（1）EF ∥ABC 平面 （2）111A FD BB C C ⊥平面平面

第16题图

【测量目标】线面平行的判定，线面垂直，面面垂直的判定.

【考查方式】直三棱柱中点，线位置关系，利用线线，线面，面面之间的位置关系和定理进行证明.

【难易程度】容易

【试题解析】（1）因为E,F 分别是11A B,A C 的中点，所以EF BC P ，（步骤1） 又EF ABC ?面，BC ABC ?面， 所以EF P ABC 平面；（步骤2） （2）因为直三棱柱111ABC A B C -，

所以1111BB A B C ⊥面，11BB A D ⊥，（步骤3） 又11A D B C ⊥，所以111A D BB C C ⊥面，（步骤4）

又11A D A FD ?面，所以111A FD BB C C ⊥平面平面（步骤5） 17．（本小题满分14分）设{}n a 是公差不为零的等差数列，n S 为其前n 项和，满足2222

234577a a a a ,S +=+=

（1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ； （2）试求所有的正整数m ，使得

1

2

m m m a a a ++为数列{}n a 中的项.

【测量目标】等差数列的性质，通项，前n 项和.

【考查方式】给出数列项数之间的关系，求出通项及前n 项和；求满足条件的等差数列的项. 【难易程度】中等

【试题解析】(1)以430a a +=，即1250a d +=，（步骤1） 又由77S =得176

772

a d ?+

=，

（步骤2） 解得15a =-，2d =（步骤3）

所以{}n a 的通项公式为27n a n =-，前n 项和2

6n S n n =-.（步骤4）

（2）

12272523m m m a a (m )(m )

a (m )

++--=-，令23m t -=， 1242m m m a a (t )(t )a t ++--=86t t

=+-，（步骤6） 因为t 是奇数，所以t 可取的值为1±， 当1t =，2m =时，8

63t t

+

-=，2573?-=，是数列{}n a 中的项；（步骤7） 1t =-，1m =时，8

615t t

+-=-，数列{}n a 中的最小项是5-，不符合. （步骤8）

所以满足条件的正整数2m =.（步骤9） 18．（本小题满分16分）

在平面直角坐标系xoy中，已知圆22

1

:(3)(1)4

C x y

++-=和圆

22

2

:(4)(5)4

C x y

-+-=

（1）若直线l过点(4,0)

A，且被圆

1

C截得的弦长为23，求直线l的方程；

（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线

12

l l

和，它们分别

与圆

1

C和圆

2

C相交，且直线

1

l被圆

1

C截得的

弦长与直线

2

l被圆

2

C截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标.

第18题图

【测量目标】直线与圆的方程、点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系.

【考查方式】根据直线和圆的位置关系，以及圆的方程，求直线方程给出两垂直直线与两圆的位置关系，求满足条件的点坐标.

【难易程度】较难

【试题解析】(1)设直线l的方程为：(4)

y k x

=-，即40

kx y k

--=，（步骤1）

由垂径定理，得：圆心

1

C到直线l的距离22

23

4()1

2

d=-=，（步骤2）

结合点到直线距离公式，得

2

314

1

1

k k

k

---

=

+

（步骤3）

化简得：2

7

2470,0,

24

k k k k

+===-

或（步骤4）

求直线l的方程为：0

y=或

7

(4)

24

y x

=--.（步骤5）

(2) 设点P坐标为(,)

m n，直线

1

l、

2

l的方程分别为：

1

(),()

y n k x m y n x m

k

-=--=--

即

11

0,+0

kx y n km x y n m

k k

-+-=--+=（步骤6）

因为直线

1

l被圆

1

C截得的弦长与直线

2

l被圆

2

C截得的弦长相等，两圆半径相等.由垂径定

理，得：圆心

1

C到直线

1

l与

2

C直线

2

l的距离相等.

故有： 2

2

41531111n m

k n km k k

k k --++--+-=++，（步骤7）

化简得：(2)3,m n k m n --=--(8)5m n k m n -+=+-或（步骤8） 关于k 的方程有无穷多解，有：20

80

,3050m n m n m n m n ?--=-+=??

?

--=+-=??

或 （步骤9） 解之得：点P 坐标为313(,)22-或51

(,)22

-.（步骤10） 19.(本小题满分16分)按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a 元，如果他卖出该产品的单价为m 元，则他的满意度为

m m a +；如果他买进该产品的单价为n 元，则他的满意度为n

n a

+.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为1h 和2h ，则他对这两种交易的综合满意12h h 现假设甲生产A 、B 两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A 、B 两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A 、B 的单价分别为A m 元和B m 元，甲买进A 与卖出B 的综合满意度为h 甲，乙卖出A 与买进B 的综合满意度为h 乙 (1)求h 甲和h 乙关于A m 、B m 的表达式；当3

5

A B m m =时，求证：h 甲=h 乙； (2)设3

5

A B m m =

，当A m 、B m 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？

(3)记（2）中最大的综合满意度为0h ，试问能否适当选取A m 、B m 的值，使得0h h 甲…和

0h h 乙…同时成立，但等号不同时成立？试说明理由.

【测量目标】基本不等式的实际应用.

【考查方式】给出实际例子，列出不等式，根据不等式性质，进行证明；利用基本不等式求恰当值.根据所有条件证明同时取到问题. 【难易程度】较难 【试题解析】(1)

=

,=,125320

A B A B

A B A B m m m m h h m m m m ++++g g 甲乙([3,12],[5,20])A B m m ∈∈（步骤1）

当3

5

A B m m =

时，

h =

甲h =乙（步骤2）

显然=h h 乙甲（步骤3） (2)当3

5

A B m m =

时，

h ==甲（步骤4）

由111

[5,20][,]205

B B m m ∈∈得

，（步骤5） 故当

11

20

B m =即20,12B A m m ==时，

（步骤6） （3）（方法一）由（2）知：

0h =

由05h h =甲得：12552A B A B

m m m m ++g ?，（步骤7） 令

35,,A B x y m m ==则1,[,1]4x y ∈，即：5

(14)(1)2

x y ++?.（步骤8）

同理，由=

h h 乙甲…得：5

(1)(14)2

x y ++?（步骤9） 另一方面，1,[,1]4x y ∈，51414[2,5],11[,2]2

x y x y ++∈++∈、、（步骤10） 5

5

(14)(1),(1)(14)

,2

2x y x y ++++厖（步骤11）

当且仅当1

4

x y ==

，即A B m m =时，取等号. （步骤12）

所以不能否适当选取,A B m m 的值，使得h h 甲0…和h h 乙0…同时成立，但等号不同时成立. （步骤13）

方法二：由（2）知02

3h =

，因为h h =甲乙

4

,9

=

（步骤7）

所以，当2

3

h 甲…,23

h 乙…时,有2

==3

h h 甲乙（步骤8） 因此，不能取到,A B m m 的值，

使得h h 甲0…和h h 乙0…同时成立，但等号不同时成立. （步骤9） 20．(本小题满分16分)设a 为实数，函数2

()2()||f x x x a x a =+--. (1) 若(0)1f …，求a 的取值范围； (2) 求()f x 的最小值；

(3)设函数()(),(,)h x f x x a =∈+∞，直接写出．．．．(不需给出演算步骤)不等式()1h x …的解集. 【测量目标】分段函数，解不等式，函数的值域，函数的最值.

【考查方式】直接给出含参数的函数解析式，根据函数值的大小，求参数的取值范围;根据分段函数，分段讨论，得到函数的最值；定义新函数，解不等式. 【难易程度】较难 【试题解析】

（1）若(0)1f …，则||1a a -…（步骤1）

2011a a a

?…（步骤2）

（2）当x a …时，2

2

()32,f x x ax a =-+2

2min

(),02,0()2(),0,033

f a a a a f x a a f a a ????==??<

当x a ?时，22

()2,f x x ax a =+-2min

2(),02,0()(),02,0

f a a a a f x f a a a a ?--??==??<

综上22

min

2,0

()2,03a a f x a a ?-?

=?

…（步骤5）

(3) (,)x a ∈+∞时，()1h x …得22

3

210x ax a -+-…，

（步骤6） 222412(1)128a a a ?=--=-（步骤7）

当6

6

a a -

或剠时，0,(,)x a ?∈+∞?；（步骤8） 当66a -<<时，0,?>得22

3232()()033a a a a x x x a

?--+-?--??>?

…（步骤9） 1）26(

,)22

a ∈时，(,)x a ∈+∞ 2）22

[,]a ∈-

时，232[,)a a x +-∈+∞ 3）62

(,]2

a ∈-

-时，223232(,][,)a a a a x a --+-∈+∞U （步骤10）

数学Ⅱ（附加题）

参考公式:2

2

2

2

(1)(21)

1+2+3++.6

n n n n ++=

…

21.[选做题]在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分.请在答题卡．．．指定区域．．．．

内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修4-1：几何证明选讲

如图，在四边形ABCD 中，ABC BAD △≌△. 求证：AB CD P .

第21题

【测量目标】四边形、全等三角形.

【考查方式】观察平面图形，根据全等三角形的性质进行证明. 【难易程度】容易 【试题解析】

证明：由ABC BAD △≌△得ACB BDA ∠=∠，故A B C D 、、、四点共圆，从而

CBA CDB ∠=∠.再由ABC BAD △≌△得CAB DBA ∠=∠.因此DBA CDB ∠=∠，所以

AB CD P .

B. 选修4-2：矩阵与变换 求矩阵3221??

=?

???

A 的逆矩阵. 【测量目标】矩阵初步. 【难易程度】容易

【考查方式】给出二乘二矩阵，根据矩阵的的基础知识求逆矩阵. 【试题解析】设矩阵A 的逆矩阵为x y z w ???

???则3210,2101x y z w ??????

=??????

??????

（步骤1） 即3232102201x z y w x z y w ++????=?

???

++????故321320

,2021

x z y w x z y w +=+=????+=+=??（步骤2） 解得：1,2,2,x z w =-==-，（步骤3）

从而A 的逆矩阵为1

1223--??=??-??

A .（步骤4）

C. 选修4-4：坐标系与参数方程

已知曲线C

的参数方程为13()x y t t ?=????=+??

（t 为参数，0t >）.

求曲线C 的普通方程.

【测量目标】坐标系和参数方程.

【考查方式】给出曲线的参数方程，求出参数值，得到一般方程. 【难易程度】容易

【试题解析】因为2

12x t t

=+-所以2

12,3

y

x t t +=+=

（步骤1） 故曲线C 的普通方程为：2

360x y -+=.（步骤2） D. 选修4 - 5：不等式选讲

0a b >…,求证:23223232a b a b ab ++….

【测量目标】不等式比较大小.

【考查方式】给出不等式，利用不等式比较大小直接进行证明. 【难易程度】中等 【试题解析】证明：

2322222232(32)3()2()(32)()a b a b ab a a b b b a a b a b +-+=-+-=--.（步骤1）

因为0a b >…,所以2

2

0,320a b a b -->…（步骤2）

，从而22

(32)()0a b a b --….（步骤3） 即2

3

2

2

3232a b a b ab ++….

[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.（本题满分10分）

在平面直角坐标系xoy 中，抛物线C 的顶点在原点，经过点A （2，2），其焦点F 在x 轴上.

第22题图

（1）求抛物线C 的标准方程；

（2）求过点F ，且与直线OA 垂直的直线的方程；

（3）设过点(,0)(0)M m m >的直线交抛物线C 于D 、E 两点，ME =2DM ，记D 和E 两点间的距离为()f m ，求()f m 关于m 的表达式.

【测量目标】两点距离公式，抛物线方程，直线方程，直线和抛物线的位置关系.

【考查方式】已知一点过抛物线，求抛物线的标准方程;进而求出过抛物线焦点的直线方程；根据直线与抛物线的位置关系，利用两点间的距离公式，求表达式. 【难易程度】较难

【试题解析】（1）由题意知，可设抛物线C 的标准方程2

2y px =。（步骤1） 因为点(2,2)A 在抛物线C 上，所以1p =。（步骤2） 因此，抛物线C 的标准方程为2

2y x =.（步骤3） （2）由（1）可得焦点F 的坐标是1

(,0)2

，（步骤4） 又直线OA 的斜率为

2

12

=， 故与直线OA 垂直的直线的斜率为1-，（步骤5） 因此，所求直线方程是1

02

x y +-

=.（步骤6） (3) 解法一：设点D 和E 的坐标分别为11(,)x y 和22(,)x y ， 直线DE 的方程是()y k x m =-，0k ≠.（步骤7）

将y

x m k

=

+代入22y x =，有2220ky y km --=， 解得2

112mk y ±+=，（步骤8）

由2ME DM =知221122(121)mk mk ++=+-，化简得2

4k m

=，（步骤9） 因此2

2

2

212121221

()()(1)()DE x x y y y y k

=-+-=+

-（步骤10） 22

2214(12)9(1)(4).4

mk m m k k +=+=+

所以23

()4(0)2

f m m m m =

+>.（步骤11）

第22题图

解法二：设22

(,),(,)22s t D s E t ，由点(,0)M m 及2ME DM =u u u r u u u u r （步骤7）

得2

212(),02(0).22

s m m t s t -=--=-（步骤8） 因此2

2,t s m s =-=，

所以22

223()(2)(2)4(0)22

s f m DE s s s m m m ==-+--=+>.（步骤9）

23. （本题满分10分）

对于正整数2n …，用n T 表示关于x 的一元二次方程2

20x ax b ++=有实数根的有序数组

(,)a b 的组数，其中}{,1,2,a b n ∈…，（,a b 可以相等）；对于随机选取的}

{,1,2,a b n ∈…，（,a b 可以相等），记n P 为关于x 的一元二次方程2

20x ax b ++=有实数根的概率. （1）求2n T 和2n P ；

（2）求证：对任意正整数2n …，有1n P n

>. 【测量目标】计数原理，随机事件与概率，反证法.

【考查方式】定义一个数组，利用计数原理求随机事件的概率.通过反证法进行证明. 【难易程度】较难

【试题解析】（1）因为方程2

20x ax b ++=有实数根， 所以2

44a b ?=-…0，即2

b a ?.（步骤1） （i ）当2n a

n 剟时，有22n a ?，（步骤2）

又}

{

21,2,b n ∈…，，故总有2

b a ?，（步骤3）

此时，a 有21n n -+种取法，b 有2

n 种取法，

所以共有2

2

(1)n n n -+组有序数组(,)a b 满足条件；（步骤4） （ii ）当11a

n -剟时，满足21b

a 剟的

b 有2a 个，（步骤5）

故共有2

22

2

(1)(21)

123(1)6

n n n n --++++-=…组有序数组(,)a b 满足条件（步骤6）

由（i ）（ii)可得

2322

2

(1)(21)(6431)

(1)=66

n n n n n n n n T n n n ---++=-++（步骤7）

从而2

23243

6431

.6n n T n n n P n n

-++==（步骤8） (2)我们只需证明：

对于随机事件选取的}{

,1,2,a b n ∈…，， 方程2

20x ax b ++=无实数根的概率1

n P -<

.（步骤9） 若方程220x ax b ++=无实数根，则2

440,a b ?=-<，即2

a b <.（步骤10）

由b n ?知a <

因此，满足2

a b <的有序数组(,)a b 的组数小于（步骤11）

从而，方程2

20x ax b ++=无实数根的概率

1n P -<= 所以1

n P >-（步骤12）