名校高等代数考研《830高等代数》考研真题解析库

北大重大

第一部分名校考研真题

第1章多项式

一、判断题

1．设Q是有理数域，则P＝{α＋βi|α，β∈Q}也是数域，其中．（）[南京大学研]

【答案】对查看答案

【解析】首先0，1∈P，故P非空；其次令a＝α1＋β1i，b＝α2＋β2i其中α1，α2，β1，β2为有理数，故

a±b＝（α1＋β1i）±（α2＋β2i）＝（α1±α2）＋（β1±β2）i∈P

ab＝（α1＋β1i）（α2＋β2i）＝（α1α2－β1β2）＋（α1β2＋α2β1）i∈P

又令c＝α3＋β3i，d＝α4＋β4i，其中α3，α4，β3，β4为有理数且d≠0，即α4≠0，β4≠0，有

综上所述得P为数域．

2．设f（x）是数域P上的多项式，a∈P，如果a是f（x）的三阶导数f?（x）的k 重根（k≥1）并且f（a）＝0，则a是f（x）的k＋3重根．（）[南京大学研] 【答案】错查看答案

【解析】反例是f（x）＝（x－a）k＋3＋（x－a）2，这里f（a）＝0，并且f?（x）＝（k＋3）（k＋2）（k＋1）（x－a）k满足a是f（x）的三阶导数f?（x）的k重根（k≥1）．

3．设f（x）＝x4＋4x－3，则f（x）在有理数域上不可约．（）[南京大学研] 【答案】对查看答案

【解析】令x＝y＋1，则f（y）＝y4＋4y3＋6y2＋8y＋2，故由艾森斯坦因判别法知，它在有理数域上不可约．

二、计算题

1．f（x）＝x3＋6x2＋3px＋8，试确定p的值，使f（x）有重根，并求其根．[清华大学研]

解：f′（x）＝3（x2＋4x＋p）．且（f（x），f′（x））≠1，则

（1）当p＝4时，有（f（x），f′（x））＝x2＋4x＋4

所以x＋2是f（x）的三重因式，即f（x）（x＋2）3，这时f（x）的三个根为－2，－2，－2．

（2）若p≠4，则继续辗转相除，即

当p＝－5时，有（f（x），f′（x））＝x－1

即x－1是f（x）的二重因式，再用（x－1）2除f（x）得商式x＋8．故

f（x）＝x3＋bx2－15x＋8＝（x－1）2（x＋8）

这时f（x）的三个根为1，1，－8．

2．假设f1（x）与f2（x）为次数不超过3的首项系数为1的互异多项式，且x4＋x2＋1整除f1（x3）＋x4f2（x3），试求f1（x）与f2（x）的最大公因式．［上海交通大学研］

解：设6次单位根分别为

由于x6－1＝（x2）3－1＝（x2－1）（x4＋x2＋1），所以ε1，ε2，ε4，ε5是x4＋x2＋1的4个根.

由于ε13＝ε53＝－1，且x4＋x2＋1∣f1（x3）＋x4f2（x3），所以，分别将ε1，ε5代入f1（x3）＋x4f2（x3）可得

从而f1（－1）＝f2（－1）＝0

即x＋1是f1（x）与f2（x）的一个公因式．

同理，将ε2，ε4代入f1（x3）＋x4f2（x3）可得f1（1）＝f2（1）＝0，即x－1是f1（x）与f2（x）的一个公因式．

所以（x－1）（x＋1）是f1（x）与f2（x）的一个公因式．

又因为f1（x），f2（x）为次数不超过3的首项系数为1的互异多项式，所以（f（x），g（x））＝x2－1

三、证明题

1．设不可约的有理分数p/q是整系数多项式f（x）＝a0x n＋a1x n－1＋…＋a n－1x＋a n的根，证明：q∣a0，p∣a n[华中科技大学研]

证明：因为p/q是f（x）的根，所以（x－p/q）∣f（x），从而（qx－p）∣f（x）．又因为p，q互素，所以qx－p是本原多项式[即多项式的系数没有异于±l的公因子]，且

f（x）＝（qx－p）（b n－1x n－1＋…＋b0，b i∈z

比较两边系数，得a0＝qb n－1，a n＝－pb0?q∣a0，p∣a n

2．设f（x）和g（x）是数域P上两个一元多项式，k为给定的正整数．求证：f （x）∣g（x）的充要条件是f k（x）∣g k（x）[浙江大学研]

证明：（1）先证必要性．设f（x）∣g（x），则g（x）＝f（x）h（x），其中h （x）∈P（x），两边k次方得g k（x）＝f k（x）h k（x），所以f k（x）∣g k（x）（2）再证充分性．设f k（x）∣g k（x）

（i）若f（x）＝g（x）＝0，则f（x）∣g（x）

（ii）若f（x），g（x）不全为0，则令d（x）＝（f（x），g（x）），那么

f（x）＝d（x）f1（x），g（x）＝d（x）g1（x），且（f1（x），g1（x））＝1①

所以f k（x）＝d k（x）f1k（x），g k（x）＝d k（x）g1k（x）

因为f k（x）∣g k（x），所以存在h（x）∈P[x]（x），使得g k（x）＝f k（x）·h（x）

所以d k（x）g1k（x）＝d k（x）f1k（x）·h（x），两边消去d k（x），得g1k（x）＝f1k（x）·h（x）②

由②得f1（x）∣g1k（x），但（f1（x），g1（x））＝1，所以f1（x）∣g1k－1（x）这样继续下去，有f1（x）∣g1（x），但（f1（x），g1（x））＝1

故f l（x）＝c，其中c为非零常数．

所以f（x）＝d（x）f1（x）＝cd（x）?f（x）∣g（x）

3．设f（x），g（x）都是P[x]中的非零多项式，且g（x）＝s m（x）g1（x），这里m≥1．又若（s（x），g1（x））＝1，s（x）∣f（x）．证明：不存在f1（x），r（x）∈P[x]，且r（x）≠0，?（r（x））＜?（s（x））使

①

[浙江大学研]

证明：用反证法，若存在f1（x），r（x）使①式成立，则用g（x）乘①式两端，得

f（x）＝r（x）g1（x）＋f1（x）s（x）②

因为s（x）∣f（x），s（x）∣f1（x）s（x），由②式有s（x）∣r（x）g1（x）．但（s（x），g1（x））＝1，所以s（x）∣r（x）．这与?（r（x））＜?（s（x））矛盾．

4．设f（x）是有理数域上n次[n≥2]多项式，并且它在有理数域上不可约，但知f （x）的一根的倒数也是f（x）的根．证明：f（x）每一根的倒数也是f（x）的根．[南开大学研]

证明：设b是f（x）的一根，1/b也是f（x）的根．再设c是f（x）的任一根．下证1/c也是f（x）的根．

令g（x）＝f（x）/d，其中d为f（x）的首项系数，不难证明：g（x）与f（x）有相同的根，其中g（x）是首项系数为l的有理系数不可约多项式．

设g（x）＝x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0，（a0≠0）．由于

b n＋a n－1b n－1＋…＋a1b＋a0＝0①

（1/b）n＋a n－1（1/b）n－1＋…＋a1（1/b）＋a0＝0

?a0b n＋a1b n－1＋…＋a n－1b＋1＝0

?b n＋（a1/a0）b n－1＋…＋（a n－1/a0）b＋1/ a0＝0 ②

由g（x）不可约及①，②两式可得1/a0＝a0，a i/a0＝a n－i（i＝1，2，…，n－1）．故a0＝±1，a i＝±a n－i（i＝1，2，…，n－1）③

由③式可知，当f（c）＝0时，有f（c）＝0，且g（1/c）＝0，从而f（1/c）＝0．5．设f（x）是复系数一元多项式，对任意整数n有f（n）都是整数．证明：f（x）的系数都是有理数．举例说明存在不是整系数的多项式，满足对任意整数n，有f （n）是整数．［浙江大学研］

证明：设f（x）＝g（x）＋ih（x），g（x），h（x）∈R[x]

由于?n∈Z，f（n）＝g（n）＋ih（n）∈Z，所以h（x）＝0．

下证g（x）∈Q[x]．事实上，令

g（x）＝a0＋a1x＋…＋a m x m，a m≠0，a i∈R，i＝1，2，…，m

则有

a0＋a1＋…＋a m＝g（1）∈Z，

a0＋a1·2＋…＋a m·2m＝g（2）∈Z，

a0＋a1（m＋1）＋…＋a m（m＋1）m＝g（m＋1）∈Z.

记

则有

（a0，a1，…，a m）T＝（g（1），g（2），…，g（m＋1））①

又显见∣T∣＝m!（m－1）!…2!1!≠0，由①式得

（a0，a1，…，a m）＝（g（1），g（2），…，g（m＋1））T－1

这里T－1是有理数域上的矩阵，g（1），g（2），…，g（m＋1）均为整数，所以a0，a1，…，a m∈Q．因此f（x）＝g（x）∈Q[x]．

取f（x）＝x2/2－1/2，有f（x）＝（x－n）（x/2＋n/2）＋（n2－1）/2

可见存在不是整系数的多项式f（x），对任一整数n，有f（n）＝（n2－1）/2∈Z．

第6章线性空间

一、选择题

1．下面哪一种变换是线性变换（）．[西北工业大学研]

A．B． C．

【答案】C查看答案

【解析】不一定是线性变换，比如则也不是线性变换，比如给而不是惟一的．

2．在n维向量空间取出两个向量组，它们的秩（）．[西北工业大学研] A．必相等B．可能相等亦可能不相等C．不相等

【答案】B查看答案

【解析】比如在中选三个向量组

(I)：0

(Ⅱ)

(Ⅲ)．

若选（I）（II），秩秩（II），从而否定A，若选（Ⅱ）（Ⅲ），秩（Ⅲ）＝秩（Ⅱ），从而否定C，故选B．

二、填空题

1．若

则V对于通常的加法和数乘，在复数域C上是______维的，而在实数域R上是______维的．[中国人民大学研]

【答案】2；4．查看答案

【解析】在复数域上令；则是线性无关的．

则

此即证可由线性表出．

在实数域上，令

若，其中，则

此即在R上线性关．

可由线性表出，所以在实数域R上，有

三、分析计算题

1．设V是复数域上n维线性空间，V 1和V2各为V的r1维和r2维子空间，试求

之维数的一切可能值．[南京大学研]

解：取的一组基，再取的一组基则

＝秩

2．设U是由生成的的子空间，W是由生成的的子空间，求

（1）U＋W：

（2）L∩W的维数与基底．[同济大学研]

解：（1）令

可得．所以

由于为的一个极大线性无关组，因此又可得

且，故为U＋W的一组基．

（2）令

因为秩＝3．所以齐次方程组①的基础解系由一个向量组成：

再令，则

故ζ为U∩W的一组基．

3．设A是数域K上的一个m×n,矩阵，B是一个m维非零列向量．令

（1）证明：W关于K n的运算构成K n的一个子空间；

（2）设线性方程组AX＝B的增广矩阵的秩为r．证明W的维数dimW＝n－r＋1：（3）对于非齐次线性方程组

求W的一个基．[华东师范大学研]

证明：（1）显然W≠，又

因为存在t1，t2使Aα＝t1B，Aβ＝t2B．所以

即kα＋lβ∈W，此说明W是K n的子空间．

（2）对线性方程组（A，B）X n＋1＝0，由题设，其解空间V的维数为（n＋1）－r （A，B）＝n－r＋1．

任取α∈W，存在t∈K，使

所以是线性方程组（A，B）X n＋1＝0的解．

这样，存在W到V的映射，显然，这是W形到V的一个双射．又

α1，α2∈W，k∈K，存在t1，t2∈K，使Aα1＝t1B，Aα2＝t2B，则

所以

且

可见W与V同构，从而有dim W＝dim V＝n－r＋1．

（3）由（2）W与如下齐次线性方程组解空间同构．

该方程组的一个基础解系为：

其在σ之下原像

即为W的一组基．

4．设V 1，V2均为有限维线性空间V的子空间，且，则和空间与另一个重合．[上海交通大学研]

证明：因为

所以

由题设

所以

即

当时，由得

此时

当时

因为，所以，此时

5．设V是数域K上n维线性空间，V1,…,Vs是V的s个真子空间，证明：（1）存在，使得

（2）存在V中一组基，使[北京大学研]

证明：（1）因V 1,…,Vs是V的真子空间，由上例，存在

（2）令，同样有且显然，线性无关．令，则存在，且线性无关，如此继续下去，可得线性无关向量组（构成V的基），且有

6．设V是定义域为实数集R的所有实值函数组成的集合，对于f，g∈V，a∈R，分别用下列式子定义f＋g与af：

则V成为实数域上的一个线性空间．

设f0（x）＝1，f1（x）＝cosx,，f2（x）＝cos2x，f3（x）＝cos3x，

（1）判断f0，f1，f2，f3是否线性相关，写出理由；

（2）用＜f，g＞表示f，g生成的线性子空间，判断＜f0，f1＞＋＜f2，f3＞是否为直和，写出理由．[北京大学研]

解：（1）令k0f0＋k1f1＋k2f2＋k3f3＝0，分别取x＝0，

得

解之得k0＝k1＝k2＝k2＝0，说明f0，f1，f2，f3线性无关．

（2）因为＜f，g＞＝L（f，g），所以

从而

又，故L（f0，f1，f2，f3）是＜f0，f1＞与＜f2，f3＞的直和．