单级倒立摆控制系统设计及MATLAB中的仿真

单级倒立摆控制系统设计及simulink仿真

摘要：倒立摆系统是一个典型的多变量、非线性、强藕合和快速运动的自然不稳定系统。因此倒立摆在研究双足机器人直立行走、火箭发射过程的姿态调整和直升机飞行控制领域中有重要的现实意义，相关的科研成果己经应用到航天科技和机器人学等诸多领域。单级倒立摆系统是一种广泛应用的物理模型。控制单级倒立摆载体的运动是保证倒立摆稳定性的关键因素。为了避免常用的物理反馈分析方法和运动轨迹摄像制导控制方法的某些缺点，本文从力学的角度提出对倒立摆的运动进行纯角度制导分析，完成了对倒立摆载体的角度制导运动微分方程的数学建模，设计了该模型的模糊控制系统，并利用 Matlab\simulink软件工具对倒立摆的运动进行了计算机仿真。实验表明，这种模糊控制配合代数解析方法的运算速度和计算机仿真的效果均较物理反馈制导控制方法有了一定的提高。该方法可以有效地改善单级倒立摆控制系统的性能。本论文的主要工作是研究了直线一级倒立摆系统的模糊控制问题，用Matlab和Simulink对一级倒立摆模糊控制系统进行了仿真，验证了设计的可行性。本文论述了一级倒立摆数学建模方法，推导出他们的微分方程，以及线性化后的状态方程。讨论了单级倒立摆系统的模糊控制方法和操作步骤。用Simulink实现了单级倒立摆模糊控制仿真系统，分别给出一级倒立摆系统控制量的响应曲线。通过仿真说明控制器的有效性和实现性。

关键词：单级倒立摆；仿真；模糊控制；运动；建模；Simulink

Design of single stage inverted pendulum control system

and Simulink simulation

Abstract: inverted pendulum system is unstable system with a typical multi variable, nonlinear, strong coupled and fast motion. So the research on the attitude adjustment of the double foot robot and the attitude adjustment of the rocket launching process and the helicopter flight control field have practical,significance. The related scientific research achievements have been applied to many fields such as aerospace science and robotics. Single inverted pendulum system is a widely used physical model. Controlling the movement of the single inverted pendulum is the key factor to guarantee the stability of the inverted pendulum. In order to avoid some shortcomings of common physical feedback analysis method and motion trajectory camera guidance control method, this paper presents a pure angle guidance analysis on the motion

of the inverted pendulum, and designs the fuzzy control system of the model. Experimental results show that the operation speed and computer simulation of this kind of fuzzy control combined with algebraic analysis method are improved by the physical feedback control method. This method can effectively improve the performance of a single stage inverted pendulum control system. In this paper, the main work of this paper is to study the fuzzy control of a linear inverted pendulum system, and the Matlab and Simulink to simulate the fuzzy control system of a single inverted pendulum, verify the feasibility of the design. And a mathematical modeling method of an inverted pendulum is described, their differential equations are derived, and the equation of state is linearized. The fuzzy control method and operation steps of single stage inverted pendulum system are discussed. Using Simulink to realize the fuzzy control simulation system of a single inverted pendulum, the response curve of the control of an inverted pendulum system is given. The effectiveness and the implementation of the controller are illustrated by simulation.

Keywords: Inverted pendulum; Simulation; Fuzzy control; Motion; modeling; Simulink 引言

倒立摆系统是研究控制理论的一种典型实验装置，具有成本低廉，结构简单，物理参

数和结构易于调整的优点，是一个具有高阶次、不稳定、多变量、非线性和强藕合特性的不稳定系统。在控制过程中，它能有效地反映诸如可镇定性、鲁棒性、随动性以及跟踪等许多控制中的关键问题，是检验各种控制理论的理想模型。迄今人们已经利用经典控制理论、现代控制理论以及各种智能控制理论实现了多种倒立摆系统的控制稳定。倒立摆主要有：有悬挂式倒立摆、平行倒立摆、环形倒立摆、平面倒立摆；倒立摆的级数有一级、二级、三级、四级乃至多级；倒立摆的运动轨道可以是水平的，也可以是倾斜的[1]：倒立摆系统己成为控制领域中不可或缺的研究设备和验证各种控制策略有效性的实验平台。同时倒立摆研究也具有重要的工程背景：如机器人的站立与行走类似双倒立摆系统；火箭等飞行器的飞行过程中，其姿态的调整类似于倒立摆的平衡等等。因此对倒立摆控制机理的研究具有重要的理论和实践意义

1倒立摆系统的控制方法简介

自从倒立摆产生以后，国内外的专家学者就不断对它进行研究，其研究主要集中在下面两个方面：（1）倒立摆系统的稳定控制的研究（2）倒立摆系统的自起摆控制研究[2]

而就这两方面而言，从目前的研究情况来看，大部分研究成果又都集中在第一方面即倒

立摆系统的稳定控制的研究。目前，倒立摆的控制方法可分如下几类：

PID 控制[3],该控制方法出现得最早。首先是对倒立摆系统进行力学分析,并在牛顿定律的基础上得到运动方程;然后,在平衡点附近对其进行线性化求出传递函数;最后,在要求系统的特征方程应有全部左半平面的根的条件下,设计闭环系统控制器。PID 控制具有原理简单、直观易懂、鲁棒性强、易于工程实现等优点。

状态反馈控制极点配置法是在动态特性和稳态特性都满足的条件下,将多变量闭环倒立摆系统极点配置在期望的位置上,来设计状态反馈控制器。

模糊控制被控对象、执行机构、过程输入输出通道、检测装置和模糊控制器五部分组成模糊控制系统。在设计模糊控制器时不需要建立被控对象的数学模型,只需要掌握现场操作人员或者有关专家的经验、知识或操作数据。运用模糊集理论进行的模糊计算的模糊控制方法得到的控制规律是定量的、确定性的条件语句。与传统控制方法不同的是模糊控制更接近于人的思维方法和推理习惯,更便于现场操作人员的理解和使用。因为模糊控制系统的鲁棒性强,因此更适用于非线性、时变、大延迟的系统控制[4] .

神经网络控制是(人工)神经网络理论与控制理论相结合的产物。它汇集了包括数学、生物学、神经生理学、脑科学、遗传学、人工智能、计算机科学、自动控制等学科的理论、技术、方法及研究成果,由于神经网络所具有的信息分布式存贮、大规模自适应并行处理和高度的容错性的特点,使其在倒立摆上得到广泛应用。

鲁棒控制的研究始于20世纪50年代，是一种解决非线性、复杂性和不确定性的工具，发展方向是面向那些不确定因素变化范围大和稳定裕度小的对象[5，6]。但是，鲁棒控制系统的设计要由高级专家完成。一旦设计成功，就不需太多的人工干预。另一方面，如果要升级或作重大调整，系统就要重新设计。

仿人智能控制的基本思想是通过对人运动控制的宏观结构和手动控制行为的综合模仿，把人在控制中的“动觉智能”模型化，提出了仿人智能控制方法。研究结果表明，仿人智能控制方法解决复杂、强非线性系统的控制具有很强的实用性。

云模型控制利用云模型实现对倒立摆的控制，用云模型构成语言值，用语言值构成规则，形成一种定性的推理机制。这种拟人控制不要求给出被控对象精确的数学模型，仅仅依据人的经验、感受和逻辑判断，将人用自然语言表达的控制经验，通过语言原子和云模型转换到语言控制规则器中，就能解决非线性问题和不确定性问题。

2 倒立摆的建模

本章研究倒立摆系统的数学模型推导。

系统建模可以分为两种：机理建模和实验建模。实验建模就是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号，激励研究对象并通过传感器检测其可观测的输出，应用数学手段建立起系统的输入和输出之间的关系。机理建模就是在了解研究对象的运动规律基

础上，通过物理、化学的知识和数学手段建立起系统内部的输入一状态关系。对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难。但是经过小心的假设忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统[7]，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。下面我们采用其中的牛顿一欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的数学模型。

2.1一级倒立摆的数学模型

在忽略了空气阻力，各种摩擦之后，可以将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组

成的系统，如图2—1所示。

各参数符号含义如下：

b小车摩擦系数单位：N/m/sec

F加在小车上的力单位：N

1摆杆转动轴心到杆质心的长度单位：m

M小车质量单位：Kg ；

m摆杆质量单位：kg

I摆杆惯量单位：kg

ψ摆杆与垂直向上方向的央角（ψ=θ-Π）单位：rad

θ摆杆与垂直向下方向的央角(考虑到摆杆初始位置为竖直向下) 单位：rad

图2—2是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中，N和助小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。

矢量定义如图2-2所示，图示方向为矢量正方向。

倒立摆的数学模型分析：

根据图2-2所示的倒立摆系统简图，设计和分析其模糊控制器。下面给出了该系统的微分方程（Kailaith ，1980；Craig ，1986）

()()()t u m dt d ml +=+-τθθsin lg 222 （1）

这里m 是摆杆的质量，l 是摆长，θ是从垂直方向上的顺时针偏转角，τ=u （t ）为作用于杆的逆时针扭矩{u （t ）是控制作用},t 是时间，g 是重力加速度常数。

假设dt d x x θθ==21,为状态变量，有等式（1）给出的非线性系统的的状态空间表达式为 21x dt x d = （2） ()()()

()t u ml x l g dt x d 2121sin -= （3） 从所周知，当偏转角θ很小时，有sin （θ）=θ，这里所测得θ用弧度表示。由此式可将状态空间表达式线性化，并得

21x dt x d = （4）

()()()22121t u ml x l g dt x d -= （5）

若所测1x 用度表示，2x 用每秒度表示，当取l=g 和m=()2

180g

π时，线性离散时间状态空间表达式可用矩阵查分方程表式 ()()()k x k x k x 2111+=+ （6） ()()()()k u k x k x k x -+=+2121 （7）

在此问题中，设上述两变量的论域为

221≤≤-x 和s rad x s rad 552≤≤-,则设计步骤为

第1步。首先，对1x 在其论域上建立三个隶属度函数，即如图 1所示的正值（P ）、零

x在其论域上亦建立3个隶属度函数，即图2所示的正值（P）、（Z）和负值（N）。然后，对

2

零（Z）和负值（N）。

x的分区

图2-3 输入

1

x的分区

图2-4输入

2

第2步。为划分控制空间（输出），对()k u在其论域上建立5个隶属度函数，()24

u，如图3（注意，图上划分为7段，但此问题中只用了5段）。

-k

≤

24≤

图2-5输出u 的分区

第3步。用表1所示的3*3规则表的格式建立9条规则（即使我们可能不需要这么多）。本系统中为使倒立摆系统稳定，将用到θ和dt d θ。表中的输出即为控制作用u(t)。 X1 x2

P Z N P

PB P Z Z

P Z N N Z N NB

表1模糊控制规则表

第4步。我们可用表1中规则导出该控制问题的模型。并用图解法来推导模糊运算。假设初始条件为

()

101=x 和 ()s rad x 402-= 然后，我们在上例中取离散步长30≤≤k ，并用矩阵差分方程式导出模型的四部循环式。模型的每步循环式都会引出两个输入变量的隶属度函数，规则表产生控制作用u(k)的隶属度函数。我们将用重心法对控制作用的隶属度函数进行精确化，用递归差分方程解得新的1x 和2x 值为开始[8，9]，并作为下一步递归差分方程式的输入条件。

分别为1x 和2x 的初始条件。从模糊规则表（表1）有

If(1x =P)and(2x =Z),then(u=P)

If(1x =P)and(2x =N),then(u=Z)

If(1x =Z)and(2x =Z),then(u=Z)

If(1x =Z)and(2x =N),then(u=N)

表示了控制变量u 的截尾模糊结果的并。利用重心法精确化计算后的控制值为u=-2。 在已知u=-2控制下，系统的状态变为

()()()3001211-=+=x x x （8）

()()()()10001212-=-+=u x x x （9）

依次类推，可以计算出下一步的控制输出u(1)。模糊控制器能够满足倒立摆的运动控制。

3模糊控制器的建立

3.1在MTALAB 中的fuzzy 控制器的建立与封装

在命令窗口中输入：fuzzy 然后回车可得出如下图所示：

图3-1 模糊控制器设置界面

然后对其各个变量进行设置其步骤如下图3-2：

对输入变量X1进行设置如下图3-3所示：

变量X2的设置如下图3-4所示：

输出量的设置图3-5所示：

模糊规则控制表的设置如下图3-6所示：

设置出来的效果图如图3-7(a),(b),(c)所示：

（a）

（b）

（c)

3.2 最终在simulink中的搭建出来的框图如下：

图3-8 单级倒立摆在MTALAB中simulink仿真的框架图

主要的状态空间模块的参数设置如下：

4仿真结果以及分析

通过（fuzzy)模糊控制模块，可以和包含模糊控制器的fis文件联系起来[10]，还可以随时改变输入输出论域，隶属度函数以及模糊规则。仿真结果如下图：图4-1和图4-2。

图4-1

分析如下：从图4-1仿真图中可以看出，仿真时间大概在1秒左右趋于平衡，但是图中曲线最终稳定在-2.3左右，而不是在0附近稳定，说明仿真参数可能没有设置合适，但是本人水平有限，没有找到原因，但大致猜想，曲线应该最终稳定于0附近。

图 4-2

从图4-1从图4-2仿真图中可以看出，仿真时间大概也在1秒左右趋于平衡，图中曲线最终稳定在0.3左右，接近于0附近稳定，基本实现了仿真预期效果。

5结语

从仿真结构来看，采用Mamdani模糊模型，可以获得良好的控制精度和响应速度[12]。本章主要完成了两个任务:一是在Matlab7.0的Simulink环境下建立了倒立摆系统的仿真模块，并采用位置模糊控制器控制的方法建立了一级倒立摆系统；二是对一级倒立摆系统进行了模糊控制的仿真试验，主要分析了模糊控制器的各个参数对仿真的影响，从而筛选出一组比较适合的参数，通过仿真实现对一级倒立摆的稳定控制。

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