2020-2021学年安徽省马鞍山市五校联考中考数学第三次模拟试题及答案解析
最新安徽省马鞍山市当涂县五校联考中考数学三模试卷
一、填空题（本题共10小题，每小题4分，共40分）
1．函数y=﹣x2+1的图象大致为（）
A． B． C． D．
2．在函数中，自变量x的取值范围是（）
A．x≥2 B．x≠2 C．x＞2 D．x＞﹣2
3．如图，△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，点O是位似中心，D、E、F分别是OA、OB、OC的中点，则△DEF与△ABC的面积比是（）
A．1：2 B．1：4 C．1：5 D．1：6
4．将抛物线y=x2﹣2x+1向下平移2个单位，再向左平移1个单位，所得抛物线的解析式是（）A．y=x2﹣2x﹣1 B．y=x2+2x﹣1 C．y=x2﹣2 D．y=x2+2
5．在△ABC中，若|sinA﹣|+（cosB﹣）2=0，则∠C=（）
A．30°B．60°C．90°D．120°
6．如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射到桌面后在地面上形成（圆形）的示意图．已知桌面直径为1.2米，桌面离地面1米．若灯泡离地面3米，则地面上阴影部分的面积为（）
A．0.36π米2 B．0.81π米2 C．2π米2D．3.24π米2
7．如图，铅球运动员掷铅球的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式是y=﹣x2+x+，则该运动员此次掷铅球的成绩是（）
A．6m B．12m C．8m D．10m
8．如图，在△ABC中，∠A=30°，tanB=，AC=，则AB=（）
A．4 B．5 C．6 D．7
9．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为x=﹣1．给出四个
结论：①b2＞4ac；②2a+b=0；③a﹣b+c=0；④5a＜b．其中正确结论是（）
A．②④B．①④C．②③D．①③
10．如图，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，CM的延长线交AB于点N，则S△DMN：S四边形
等于（）
ANME
A．1：5 B．1：4 C．2：5 D．2：7
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
11．某人沿着坡度i=1：的山坡走了50米，则他离地面米高．
12．已知：==，且3a﹣2b+c=9，则2a+4b﹣3c= ．
13．如图，点P在x轴上，且，点M也在x轴上，在OA上找点N，以P、M、N为顶点作正方形，则ON= （如结果中有根号，请保留根号）．
14．如图，矩形AOCB的两边OC、OA分别位x轴、y轴上，点B的坐标为B（，5），D是
AB边上的一点．将△ADO沿直线OD翻折，使A点恰好落在对角线OB上的点E处，若点E在一反比例函数的图象上，那么该函数的解析式是．
三、（本题共2小题，每小题8分，共16分）
15．计算：2sin45°﹣|﹣|﹣（﹣2015）0++3tan30°．
16．如图，在△ABC中，∠A=135°，AB=20，AC=30，求△ABC的面积．
四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
17．已知二次函数y=﹣2x2+8x﹣6．
（1）用配方法求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴；
（2）画出这个函数的大致图象，指出函数值不小于0时x的取值范围．
18．如图，在△ABC中，D是AB上一点，且∠ACD=∠B，已知AD=8cm，BD=4cm，求AC的
长．
五、（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
19．如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线y=与直线y=﹣x﹣（k+1）在第二象限的交点．AB⊥x轴于B，且S△ABO=．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC的面积．
20．如图某幢大楼顶部有广告牌CD．张老师目高MA为1.60米，他站立在离大楼45米的A处测得大楼顶端点D的仰角为30°；接着他向大楼前进14米、站在点B处，测得广告牌顶端点C的仰角为45°．（取，计算结果保留一位小数）
（1）求这幢大楼的高DH；
（2）求这块广告牌CD的高度．
六、（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
21．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，把边长分别为x1，x2，x3，…，x n的n个正方
形依次放入△ABC中，请回答下列问题：
（1）按要求填表：
n 1 2 3
x n
（2）第n个正方形的边长x n= ；
（3）若m，n，p，q是正整数，且x m?x n=x p?x q，试判断m，n，p，q的关系．
22．如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME=∠A=∠B=α，且DM交AC于F，ME 交BC于G
（1）求证：△AMF∽△BGM；
（2）连接FG，如果α=45°，AB=，BG=3，求FG的长．
七、（本大题共14分）
23．某工厂生产的A种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销量为100万件，为了获得更好的效益，厂家准备拿出一定的资金做广告；根据统计，每年投入的广告费是x（十万元），产品的年销量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如表：
x（十万元）0 1 2
y 1 1.5 1.8
（1）求y与x的函数关系式；
（2）如果把利润看成销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S（十万元）与广告费x（十万元的函数关系式）；
（3）如果投入的年广告费为10万元～30万元，问广告费在什么范围内，工厂获得的利润最大？最大利润是多少？
参考答案与试题解析
一、填空题（本题共10小题，每小题4分，共40分）
1．函数y=﹣x2+1的图象大致为（）
A． B． C． D．
【考点】二次函数的图象．
【分析】根据二次函数的开口方向，对称轴，和y轴的交点可得相关图象．
【解答】解：∵二次项系数a＜0，
∴开口方向向下，
∵一次项系数b=0，
∴对称轴为y轴，
∵常数项c=1，
∴图象与y轴交于（0，1），
故选B．
2．在函数中，自变量x的取值范围是（）
A．x≥2 B．x≠2 C．x＞2 D．x＞﹣2
【考点】函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件．
【分析】根据二次根式的被开方数大于或等于0，分母不为0，解不等式求解即可．
【解答】解：∵是分式的分母，
∴x﹣2＞0，
解得x＞2，
故选C．
3．如图，△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，点O是位似中心，D、E、F分别是OA、OB、OC的中点，则△DEF与△ABC的面积比是（）
A．1：2 B．1：4 C．1：5 D．1：6
【考点】位似变换；三角形中位线定理；相似三角形的性质．
【分析】图形的位似就是特殊的相似，满足相似的性质，且位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比．因为D、E、F分别是OA、OB、OC的中点，根据三角形的中位线定理
可知：DF=AC，即△DEF与△ABC的相似比是1：2，所以面积的比是1：4．
【解答】解：∵D、F分别是OA、OC的中点，
∴DF=AC，
∴△DEF与△ABC的相似比是1：2，
∴△DEF与△ABC的面积比是1：4．
故选：B．
4．将抛物线y=x2﹣2x+1向下平移2个单位，再向左平移1个单位，所得抛物线的解析式是（）A．y=x2﹣2x﹣1 B．y=x2+2x﹣1 C．y=x2﹣2 D．y=x2+2
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】抛物线y=x2﹣2x+1化为顶点坐标式再按照“左加右减，上加下减”的规律平移则可．【解答】解：根据题意y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2向下平移2个单位，再向左平移1个单位，得y=（x ﹣1+1）2﹣2，y=x2﹣2．
故选C．
5．在△ABC中，若|sinA﹣|+（cosB﹣）2=0，则∠C=（）
A．30°B．60°C．90°D．120°
【考点】特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．
【分析】根据特殊角的三角函数值和非负数的性质计算．
【解答】解：∵|sinA﹣|+（cosB﹣）2=0，
∴sinA=，A=30°；
cosB=，B=30°．
∴∠C=180°﹣30°﹣30°=120°．
故选D．
6．如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射到桌面后在地面上形成（圆形）的示意图．已知桌面直径为1.2米，桌面离地面1米．若灯泡离地面3米，则地面上阴影部分的面积为（）
A．0.36π米2 B．0.81π米2 C．2π米2D．3.24π米2
【考点】相似三角形的应用．
【分析】桌面离地面1米．若灯泡离地面3米，则灯泡离桌面是2米，桌面与阴影是相似图形，相似比是2：3，两个图形的半径的比就是相似比，设阴影部分的直径是xm，则1.2：x=2：3解得：
x=1.8，因而地面上阴影部分的面积为0.81π米2．
【解答】解：设阴影部分的直径是xm，则
1.2：x=2：3
解得x=1.8，
所以地面上阴影部分的面积为：S=πr2=0.81πm2．
故选B．
7．如图，铅球运动员掷铅球的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式是y=﹣x2+x+，
则该运动员此次掷铅球的成绩是（）
A．6m B．12m C．8m D．10m
【考点】二次函数的应用．
【分析】依题意，该二次函数与x轴的交点的x值为所求．即在抛物线解析式中．令y=0，求x
的正数值．
【解答】解：把y=0代入y=﹣x2+x+得：
﹣x2+x+=0，
解之得：x1=10，x2=﹣2．
又x＞0，解得x=10．
故选D．
8．如图，在△ABC中，∠A=30°，tanB=，AC=，则AB=（）
A．4 B．5 C．6 D．7
【考点】解直角三角形．
【分析】作CD⊥AB于点D，构造直角三角形，运用三角函数的定义求解．
【解答】解：作CD⊥AB于点D．
由题意知，∵sinA=，
∴CD=ACsinA
=ACsin30°
=2×
=，
∵cosA=，
∴AD=ACcos30°
=2×
=3．
∵tanB==，
∴BD=2．
∴AB=AD+BD=2+3=5．
故选B．
9．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为x=﹣1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b=0；③a﹣b+c=0；④5a＜b．其中正确结论是（）
A．②④B．①④C．②③D．①③
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点在y轴的正半轴上得到c＞0，由对称轴为
x==﹣1可以判定②错误；
由图象与x轴有交点，对称轴为x==﹣1，与y轴的交点在y轴的正半轴上，可以推出b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，①正确；由x=﹣1时y有最大值，由图象可知y≠0，③错误．然后即可作出选择．
【解答】解：①∵图象与x轴有交点，对称轴为x==﹣1，与y轴的交点在y轴的正半轴上，
又∵二次函数的图象是抛物线，
∴与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
即b2＞4ac，正确；
②∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c＞0，
∵对称轴为x==﹣1，
∴2a=b，
∴2a+b=4a，a≠0，
错误；
③∵x=﹣1时y有最大值，
由图象可知y≠0，错误；
④把x=1，x=﹣3代入解析式得a+b+c=0，9a﹣3b+c=0，两边相加整理得
5a﹣b=﹣c＜0，即5a＜b．
故选B．
10．如图，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，CM的延长线交AB于点N，则S△DMN：S四边形
等于（）
ANME
A．1：5 B．1：4 C．2：5 D．2：7
【考点】三角形中位线定理．
【分析】本题的关键是求出S△DMN，先连接AM，由于DE是△ABC的中位线，那么DE∥BC，且DE=BC，
M是DE中点，于是可知，DM=BC，在△BCN中，利用平行线分线段成比例定理的推论，可得DN=BD，即，DN=AD，于是S△DMN=S△ADM，而S△ADM=S△ADE=S△ABC（可设S△ABC=1），那么S四边
也可求，两者面积比也就可求．
形ANME
【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE=BC，
若设△ABC的面积是1，根据DE∥BC，得△ADE∽△ABC，
∴S△ADE=，
连接AM，根据题意，得S△ADM=S△ADE=S△ABC=，
∵DE∥BC，DM=BC，
∴DN=BN，
∴DN=BD=AD．
∴S△DNM=S△ADM=，
∴S四边形ANME==，
∴S△DMN：S四边形ANME=：=1：5．
故选A．
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
11．某人沿着坡度i=1：的山坡走了50米，则他离地面25 米高．
【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
【分析】利用相应的坡度求得坡角，然后运用三角函数求垂直高度．
【解答】解：∵坡度i=1：，
∴他离地面的高度=50×sin30°=25（米）．
12．已知：==，且3a﹣2b+c=9，则2a+4b﹣3c= 14 ．
【考点】代数式求值．
【分析】根据题意列出三元一次方程组，求得a，b，c的值后，代入代数式求值．
【解答】解：由于==，3a﹣2b+c=9，
∴，
解得：b=7，a=5，c=8，
把a，b，c代入代数式得：
2a+4b﹣3c=2×5+4×7﹣3×8=14，
故本题答案为：14，
另解：设：===x，
则：a=5x，b=7x，c=8x
3a﹣2b+c=9可以转化为：15x﹣14x+8x=9，解得x=1
那么2a+4b﹣3c=10x+28x﹣24x=14x=14．
故答案为：14．
13．如图，点P在x轴上，且，点M也在x轴上，在OA上找点N，以P、M、N为顶点作正方形，则ON= 2或3﹣或3+（如结果中有根号，请保留根号）．
【考点】解直角三角形；坐标与图形性质．
【分析】根据题意，因为PN是边还是对角线没有明确，所以分①PN是正方形的边长，②PN是正方形的对角线，且∠OPN=45°与∠OPN=135°两种情况进行讨论，设出ON的长度是2x，然后表示出正方形的边长与OP的长度，再根据OP的长度列式求解．
【解答】解：设ON=2x，
①如图1，当PN是正方形的边长时，
∴OP=2x?cos30°=2x×=x，
又∵OP=，
∴x=1，
∴ON=2x=2；
②如图2，PN是正方形的对角线，且∠OPN=45°时
∵∠AOP=30°，
∴OM=2x?cos30°=2x×=x，
MP=MN=ON?sin30°=2x×=x，
又∵OP=，
∴x+x=，
解得x=，
∴ON=2x=3﹣；
③如图3，PN是正方形的对角线，且∠OPN=135°时，
∵∠AOP=30°，
∴OM=2x?cos30°=2x×=x
MP=MN=ON?sin30°=2x×=x，
又∵OP=，
∴x﹣x=，
解得x=，
∴ON=2x=3+．
综上所述，ON的值为：2或3﹣或3+．
故答案为：2或3﹣或3+．
14．如图，矩形AOCB的两边OC、OA分别位x轴、y轴上，点B的坐标为B（，5），D是
AB边上的一点．将△ADO沿直线OD翻折，使A点恰好落在对角线OB上的点E处，若点E在一
反比例函数的图象上，那么该函数的解析式是y=﹣．
【考点】待定系数法求反比例函数解析式；矩形的性质．
【分析】此题要求反比例函数的解析式，只需求得点E的坐标．
根据点B的坐标，可知矩形的长和宽；从而再根据锐角三角函数求得点E的坐标，运用待定系数法进行求解．
【解答】解：过E点作EF⊥OC于F
由条件可知：OE=OA=5，，
所以EF=3，OF=4，
则E点坐标为（﹣4，3）
设反比例函数的解析式是y=
则有k=﹣4×3=﹣12
∴反比例函数的解析式是y=．
故答案为y=．
三、（本题共2小题，每小题8分，共16分）
15．计算：2sin45°﹣|﹣|﹣（﹣2015）0++3tan30°．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂，特殊角的三角函数值，以及绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．
【解答】解：原式=2×﹣﹣1+3+3×=﹣﹣1+3+=2+．
16．如图，在△ABC中，∠A=135°，AB=20，AC=30，求△ABC的面积．
【考点】解直角三角形．
【分析】过点B作BE⊥AC，根据勾股定理可求得BE，再根据三角形的面积公式求出答案．【解答】解：过点B作BE⊥AC，
∵∠A=135°，
∴∠BAE=180°﹣∠A=180°﹣135°=45°，
∴∠ABE=90°﹣∠BAE=90°﹣45°=45°，
在Rt△BAE中，BE2+AE2=AB2，
∵AB=20，
∴BE==10，
∵AC=30，
∴S△ABC=AC?BE=×30×10=150．
四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
17．已知二次函数y=﹣2x2+8x﹣6．
（1）用配方法求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴；
（2）画出这个函数的大致图象，指出函数值不小于0时x的取值范围．
【考点】二次函数的性质；二次函数的图象．
【分析】（1）用配方法将抛物线的一般式转化为顶点式，可求顶点坐标和对称轴；
（2）准确画出抛物线与x轴的交点，开口方向，函数值小于0，图象在x轴的下方，观察图象得出x的取值范围．
【解答】解：（1）y=﹣2x2+8x﹣6=﹣2（x2﹣4x）﹣6=﹣2（x﹣2）2+2，
这个二次函数图象的顶点坐标为（2，2），对称轴为直线x=2．
（2）图象如下：
函数值不小于0时，1≤x≤3．
18．如图，在△ABC中，D是AB上一点，且∠ACD=∠B，已知AD=8cm，BD=4cm，求AC的长．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】由题意易证△ACD∽△ABC，根据相似三角形的性质，可得=，又AD+BD=AB，代入
即可求出．
【解答】解：∵在△ACD和△ABC中，
，
∴△ACD∽△ABC，
∴=，
∵AD=8cm，BD=4cm，
∴AB=12cm，
∴=，
∴AC=cm．
五、（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
19．如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线y=与直线y=﹣x﹣（k+1）在第二象限的交点．AB⊥x轴于B，且S△ABO=．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC的面积．
【考点】反比例函数综合题．
【分析】（1）欲求这两个函数的解析式，关键求k值．根据反比例函数性质，k绝对值为3且为负数，由此即可求出k；
（2）交点A、C的坐标是方程组的解，解之即得；
（3）从图形上可看出△AOC的面积为两小三角形面积之和，根据三角形的面积公式即可求出．【解答】解：（1）设A点坐标为（x，y），且x＜0，y＞0，
则S△ABO=?|BO|?|BA|=?（﹣x）?y=，
∴xy=﹣3，
又∵y=，
即xy=k，
∴k=﹣3．
∴所求的两个函数的解析式分别为y=﹣，y=﹣x+2；
（2）由y=﹣x+2，
令x=0，得y=2．
∴直线y=﹣x+2与y轴的交点D的坐标为（0，2），
A、C两点坐标满足
∴交点A为（﹣1，3），C为（3，﹣1），
∴S△AOC=S△ODA+S△ODC=OD?（|x1|+|x2|）=×2×（3+1）=4．
20．如图某幢大楼顶部有广告牌CD．张老师目高MA为1.60米，他站立在离大楼45米的A处测得大楼顶端点D的仰角为30°；接着他向大楼前进14米、站在点B处，测得广告牌顶端点C的仰角为45°．（取，计算结果保留一位小数）
（1）求这幢大楼的高DH；
（2）求这块广告牌CD的高度．
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
【分析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形Rt△DME与Rt△CNE；应利用ME﹣NE=AB=14构造方程关系式，进而可解即可求出答案．
【解答】解：（1）在Rt△DME中，ME=AH=45米；
由，得DE=45×=15×1.732=25.98米；
又因为EH=MA=1.6米，
因而大楼DH=DE+EH=25.98+1.6=27.58≈27.6米；
（2）又在Rt△CNE中，NE=45﹣14=31米，
由，得CE=NE=31米；
因而广告牌CD=CE﹣DE=31﹣25.98≈5.0米；
答：楼高DH为27.6米，广告牌CD的高度为5.0米．
六、（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
21．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，把边长分别为x1，x2，x3，…，x n的n个正方
形依次放入△ABC中，请回答下列问题：
（1）按要求填表：
n 1 2 3
x n
（2）第n个正方形的边长x n= ；
（3）若m，n，p，q是正整数，且x m?x n=x p?x q，试判断m，n，p，q的关系．
【考点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质．
【分析】（1）根据相似三角形的性质就可以求出第一个正方形的边长，其它正方形的边长求法相同；
（2）根据所求x n的一般式进行计算．
【解答】解：（1）设第一个正方形的边长是x，则，
同理得到，
两式相加得到
解得x=，
同理解得：第二个的边长是=，第三个的边长是=；
n 1 2 3
x n
（2）依此类推，第n个正方形的边长是；
（3）∵x m?x n=x p?x q，∴
∴
∴m+n=p+q．
22．如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME=∠A=∠B=α，且DM交AC于F，ME 交BC于G
（1）求证：△AMF∽△BGM；
（2）连接FG，如果α=45°，AB=，BG=3，求FG的长．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】（1）由∠DME=∠A=∠B=α，易得∠AMF+∠BMG=180°﹣α，∠AMF+∠AFM=180°﹣α，即可得∠AFM=∠BMG，然后由有两角对应相等的三角形相似，即可证得△AMF∽△BGM；
（2）由α=45°，可得AC⊥BC且AC=BC，又由△AMF∽△BGM，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得AF的长，继而可求得CF与CG的长，然后由勾股定理求得FG的长．
【解答】（1）证明：∵∠DME=∠A=∠B=α，
∴∠AMF+∠BMG=180°﹣α，
∵∠A+∠AMF+∠AFM=180°，
∴∠AMF+∠AFM=180°﹣α，
∴∠AFM=∠BMG，
∴△AMF∽△BGM；
（2）解：当α=45°时，可得AC⊥BC且AC=BC，
∵M为AB的中点，
∴AM=BM=2，
∵△AMF∽△BGM，
∴，
∴AF===，AC=BC=4?cos45°=4，
∴CF=AC﹣AF=4﹣=，CG=BC﹣BG=4﹣3=1，
∴FG===．
七、（本大题共14分）