专题03 导数与函数零点(训练篇A)-用思维导图突破导数压轴题

专题03 导数与函数零点（训练篇A ）

-用思维导图突破解导数压轴题

《挑战压轴题?高中数学?精讲解读篇》（华东师大出版社第1-10版（2009-2019年））、《上海高考好题赏析》（浙江大学出版社2019年）、330多篇论文（文章）作者

特级教师文卫星

1.（2019年浙江第9题）设a ，b R ∈，函数32

,0,()11(1),0.3

2x x f x x a x ax x

=?-++??…若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则( )

A ．1a <-，0b <

B ．1a <-，0b >

C ．1a >-，0b >

D ．1a >-，0b <

思路点拨

当0x <时，()y f x ax b =--是一次函数，最多有一个零点；当0x …

时，()y f x =-ax b -可转化为函数g (x )=f (x )-ax 与直线y =b 恰有三个交点，根据g (x )的单调性可得a 、b 范围． 满分解答

解1 原题可转化为函数()()g x f x ax =-与直线y b =，恰有三个交点.

32

(1),0

()11(1),03

2a x x g x x a x x -

=?-+≥??， 当0x ≥时，()[(1)]g x x x a '=-+，

3

(0)(1)0,(0)0,()1)6

1(g g a g g a a +''=+=+=-=. 若1a ≤-，此时10a +≤，函数()g x 在()0,+∞单调递增，函数()()g x f x ax =-与直线y b =不可能有三个交点；

若1a >-，此时10a +>，函数()g x 在()0,1a +单调递减，在()1,a ++∞单调递增，函

数()()g x f x ax =-与直线y b =有三个交点，须3

(1)

6

(1)(0)0g a a g b +-<<+==，且

10a ->.

综上，正确答案为D.

解2 原题可转化为()y f x =与y ax b =+，恰有三个交点.

当0a =时，32,0

()11,03

2x x f x x x x

=?-≥??，其图象如图所

示，此时直线y b =与函数的图象有三个交点，需满足

1

(1)06

f b =-<<.排除A 、B 、C .正确答案为D .

2.（2017年新课标3理第11题）已知函数2

1

1()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，

则a = （ ）

（A ）12-

（B ）13 （C ）1

2 （D ）1 解1令2(2)x g x x =-，11

()()x x h x a e e

--+=+，很显然，()g x 的图像关于直线1x =对称，函数()x

x

y a e e -=+的图像关于y 轴对称，而()h x 的图象可看作是由()x

x

y a e e -=+的图象向右平移1个单位得到，所以()h x 的图像也关于直线1x =对称，即1x =为()f x 的对称轴，由题意知()f x 有唯一的零点，所以零点只能为1x =，即(1)120f a =-+=，解得：

1

2

a =

. 解2 函数()f x 的零点满足2112e e x x x x a --+-=-+（）

， 设1

1

()e

e

x x g x --+=+，则()211

1

1

1

1

1e 1

()e

e

e

e e

x x x x x x g x ---+----'=-=-

=. 当()0g x '=时，1x =；当1x <时，()0g x '<，函数()g x 单调递减； 当1x >时，()0g x '>，函数()g x 单调递增； 当1x =时，函数()g x 取得最小值，为(1)2g =.

设()2

2h x x x =-，当1x =时，函数()h x 取得最小值，为1-.

若0a ->，函数()h x 与函数()ag x -没有交点；

若0a -<，当(1)(1)ag h -=时，函数()h x 和()ag x -有一个交点，即21a -?=-，解得1

2

a =

.故选C. 3. （2020沈阳一模）已知函数1

()()1

x f x lnx a x -=-+． （1）讨论函数()f x 的单调性；

O

x

y

1