高中数列综合讲义(知识点、解题方法和题型大全)

数列的综合讲义

一 高中数列知识点总结 1. 等差数列的定义与性质

定义：（为常数）， 等差中项：成等差数列

前项和 性质：是等差数列

（1）若，则

（2）数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，仍为等差数列，公差为d n 2；

（3）若三个成等差数列，可设为 （4）若是等差数列，且前项和分别为，则

（5）为等差数列（为常数，是关于的常数项为0的二次函数）

1n n a a d +-=d ()11n a a n d =+-x A y ，，2A x y ?=+n ()()

1112

2

n n

a a n n n S na

d +-==+

{}n a m n p q +=+m n p q a a a a +=+；232n n n n n S S S S S --，，……a d a a d -+，，n n a b ，n n n S T ，21

21

m m m m a S b T --=

{}n a 2n S an bn ?=+a b ，n

的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、

负分界项，

即：当，解不等式组可得达到最大值时的值.

当，由可得达到最小值时的值.

(6)项数为偶数n 2的等差数列，

有

),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n S Λ

nd S S =-奇偶，

1

+=

n n

a a S S 偶

奇. （7）项数为奇数12-n 的等差数列，

有

)()12(12为中间项n n n a a n S -=-，

n a S S =-偶奇，

1

-=

n n S S 偶

奇. 2. 等比数列的定义与性质

定义：

（为常数，），. 等比中项：成等比数列，或.

前项和：（要注意！）

n S 2n S an bn =+{}n a 100a d ><，10

0n n a a +≥??≤?n S n 100a d <>，10

0n n a a +≤??≥?n S n {}

n a {}

n a 1

n n

a q a +=q 0q ≠11n n a a q -=x G y 、、2G xy ?

=G =n ()11(1)1(1)1n n na q S a q q q =??

=-?≠?

-?

性质：是等比数列

（1）若，则

（2）仍为等比数列,公比为n q . 注意：由求时应注意什么？

时，； 时，.

二 解题方法

1 求数列通项公式的常用方法 （1）求差（商）法

如：数列，，求

解 时，，∴

①

时，

②

①—②得：，∴，∴

{}n a m n p q +=+m n p q a a a a =··232n n n n n S S S S S --，，……n S n a 1n =11a S =2n ≥1n n n a S S -=-{}n a 122111

25222n n a a a n +++=+……n a 1n =11

2152

a =?+114a =2n ≥12121111

215222

n n a a a n --+++=-+……122n n a =1

2n n a +=114(1)2(2)n n n a n +=?=?≥?

［练习］数列满足，求

注意到，代入得

；

又，∴是等比数列，

时，

（2）叠乘法

如：数列中，，求

解

，∴又，∴. （3）等差型递推公式

由，求，用迭加法

时，两边相加得

∴

（4）等比型递推公式

（为常数，）

可转化为等比数列，设

{}n a 1115

43

n n n S S a a +++==，n a 11n n n a S S ++=-1

4n n

S S +=14S ={}n S 4n n S =2n ≥113

4n n n n a S S --=-==……·{}n a 1131n n a n

a a n +==+，n a 3212112123n n a a a n a a a n --= (11)

n a a n

=13a =3n a n =110()n n a a f n a a --==，n a 2n ≥21321(2)

(3)()n n a a f a a f a a f n --=?

?-=?

???-=?…………1(2)(3)()n a a f f f n -=+++……0(2)(3)()n a a f f f n =++++……1n n a ca d -=+c d 、010c c d ≠≠≠，，()()111n n n n a x c a x a ca c x --+=+?=+-

令，∴，∴是首项为为公比的等比数列

∴，∴ （5）倒数法

如：，求 由已知得：

，∴ ∴为等差数列，，公差为，∴， ∴

(附：公式法、利用

{

1(2)1(1)

n n S S n S n n a --≥==

、累加法、累乘法.构造等差或等

比1n n a pa q +=+或1()n n a pa f n +=+、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法)

2 求数列前n 项和的常用方法 (1) 裂项法

把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项.

(1)c x d -=1d x c =-1n d a c ?

?+??-?

?1

1d a c c +-，1111n n d d a a c c c -??+

=+ ?--??·1111n n d d a a c c c -??=+- ?--??

11212

n

n n a a a a +==

+，n a 1211122n n n n a a a a ++==+11112

n n a a +-=1n a ??????11

1a =12()

()11111122n n n a =+-=+·2

1n a n =

+

如：是公差为的等差数列，求

解：由

∴ ［练习］求和： （2）错位相减法

若为等差数列，为等比数列，求数列（差比数列）前项和，可由，求，其中为的公比.

如：

①

②

①—②

时，，时， {}n a d 11

1

n

k k k a a =+∑

()()11111110k k k k k k d a a a a d d a a ++??

==-≠ ?+??

·11111

223111*********n

n

k k k k k k n n a a d a a d a a a a a a ==+++??

????????=-=-+-++-?? ? ? ? ???????????∑∑……11111n d a a +??=

- ???

111

112123123n

+

+++

+++++++ (1)

21

n n a S n ===-

+…………，{}n a {}n b {}n n a b n n n S qS -n S q {}n b 2311234n n S x x x nx -=+++++……()23412341n n n x S x x x x n x nx -=+++++-+·……()2111n n n x S x x x nx --=++++-……1x ≠()()

2

111n

n

n

x nx S x

x -=-

--1x =()

11232

n n n S n +=++++=

……

（3）倒序相加法

把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.

相加

［练习］已知，则

由

∴原式

(附：a.用倒序相加法求数列的前n 项和

如果一个数列{a n }，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n 项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。 b.用公式法求数列的前n 项和

对等差数列、等比数列，求前n 项和S n 可直接用等差、等比数列的前n 项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。 c.用裂项相消法求数列的前n 项和

121121n n n n n n S a a a a S a a a a --=++++?

?=++++?

............()()()12112n n n n S a a a a a a -=++++++ (2)

2

()1x f x x =+111(1)(2)(3)(4)234f f f f f f f ??????

++++++= ? ? ???????

2

222222

111()111111x x x f x f x x x x

x ??

?????+=+=+= ?+++????+ ???1111

1(1)(2)(3)(4)11132342

2f f f f f f f ?

??

??

???????=++

++++=+++= ? ? ???????????????????

裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有

限项，从而求出数列的前n项和。

d.用错位相减法求数列的前n项和

错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘

的形式。即若在数列{a n·b n}中，{a n}成等差数列，{b n}成等比数列，在和式的

两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出前n项和。

e.用迭加法求数列的前n项和

迭加法主要应用于数列{a n}满足a n+1=a n+f(n)，其中f(n)是等差数列或等比数列的条件下，可把这个式子变成a n+1-a n=f(n)，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出a n，从而求出S n。

f.用分组求和法求数列的前n项和

所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若

将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，

再将其合并。

g.用构造法求数列的前n项和

所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的前n项和。

)

未完待续需要联系

一线多年老师团队总结精髓……

更多精品资料在高数智库中！