高三平面向量及其应用复习专题doc

一、多选题

1．给出下列结论，其中真命题为（） A ．若0a ≠，0a b ?=，则0b =

B ．向量a 、b 为不共线的非零向量，则22

()a b a b ?=? C ．若非零向量a 、b 满足2

a b

a b +=+，则a 与b 垂直

D ．若向量a 、b 是两个互相垂直的单位向量，则向量a b +与a b -的夹角是

π 2．已知在平面直角坐标系中，点()10,1P ，()24,4P .当P 是线段12PP 的一个三等分点

时，点P 的坐标为（） A ．4,23??

???

B ．4,33??

???

C ．()2,3

D ．8,33?? ???

3．已知ABC ?是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC 、AB 上的两点，且

AE EB =，2AD DC =，BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是（）

A ．1A

B CE ?=- B ．0OE O

C +=

C ．32

OA OB OC ++=

D ．ED 在BC 方向上的投影为

4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，b ＝15，c ＝16，B ＝60°，则a 边为（） A ．8+33 B ．83161+

C ．8﹣33

D ．83161-

5．在ABC 中，角A ，B ，C 所对各边分别为a ，b ，c ，若1a =，2b =

，

30A =?，则B =（）

A ．30

B ．45?

C ．135?

D ．150?

6．如图，在平行四边形ABCD 中，,E F 分别为线段,AD CD 的中点，AF

CE G =，

则（）

A ．12AF AD A

B =+

B ．1

()2

EF AD AB =

+ C ．21

AG AD AB =-

D ．3BG GD =

7．在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，D 为BC 的中点，则以下结论正确的是（） A ．BD AD AB -= B ．1

()2

AD AB AC =

+ C ．8BA BC ?=

D ．AB AC AB AC +=-

8．（多选题）下列命题中，正确的是（） A ．对于任意向量,a b ，有||||||a b a b +≤+； B ．若0a b ?=，则00a b ==或； C ．对于任意向量,a b ，有||||||a b a b ?≤ D ．若,a b 共线，则||||a b a b ?=±

9．设a 、b 、c 是任意的非零向量，则下列结论不正确的是（） A ．00a ?= B ．()

()

a b c a b c ??=?? C ．0a b a b ?=?⊥

D ．(

)(

)

b b a b a a +-=?-

10．对于菱形ABCD ，给出下列各式，其中结论正确的为（） A ．AB BC =

B ．AB B

C =

C ．AB C

D AD BC -=+

D ．AD CD CD CB +=-

11．已知正三角形ABC 的边长为2，设2AB a =，BC b =，则下列结论正确的是（） A ．1a b +=

B ．a b ⊥

C ．()

4a b b +⊥

D ．1a b ?=-

12．如图所示，梯形ABCD 为等腰梯形，则下列关系正确的是（）

A ．A

B D

C =

B ．AB D

C =

C ．AB DC >

D ．BC AD ∥

13．点P 是ABC ?所在平面内一点,满足20PB PC PB PC PA --+-=,则ABC ?的形状不可能是( ) A ．钝角三角形

B ．直角三角形

C ．等腰三角形

D ．等边三角形

14．某人在A 处向正东方向走xkm 后到达B 处,他向右转150°,然后朝新方向走3km 到达C 处,3km ,那么x 的值为( ) A 3B ．3C ．3

D ．315．题目文件丢失！

二、平面向量及其应用选择题

16．在ABC ?

中，601ABC A b S ?∠=?=，，则2sin 2sin sin a b c

A B C

-+-+的值等于

（） A

．

．17．已知向量OA 与OB 的夹角为θ，2OA =，1OB =，=OP tOA ，

()1OQ t OB =-，PQ 在t t =0时取得最小值，则当01

t <<

时，夹角θ的取值范围为（） A ．0,3π?? ???

B ．,32ππ?? ???

C ．2,23

ππ??

???

D ．20,

3π?? ???

18．ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a b c ，

，.①若A B >，则sin sin A B >；②若sin 2sin 2A B =，则ABC 一定为等腰三角形；③若cos cos a B b A c -=，则

ABC 一定为直角三角形；④若3

B π

，2a =，且该三角形有两解，则b

的范围是

)

+∞.以上结论中正确的有（）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

19．三角形ABC 所在平面内一点P 满足PA PB PB PC PC PA ?=?=?，那么点P 是三角形ABC 的（） A ．重心

B ．垂心

C ．外心

D ．内心

20．a ，b 为单位向量，且27a b +=，则向量a ，b 夹角为（）

A ．30

B ．45?

C ．60?

D ．90?

21．在ABC 中，若()()

0CA CB CA CB +?-=，则ABC 为（） A ．正三角形

B ．直角三角形

C ．等腰三角形

D ．无法确定 22．在△ABC 中，AB ＝a ，BC ＝b ，且a b ?>0，则△ABC 是（） A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．等腰直角三角形

D ．钝角三角形

23．在△ABC 中，M 为BC 上一点，60,2,||4ACB BM MC AM ∠=?==，则△ABC 的面积的最大值为（）

A ．

B ．

C ．12

D ．183

24．已知非零向量AB 与AC 满足

0AB AC BC AB AC ?? ?+?= ?

且1

2AB AC AB AC ?=，则ABC 的形状是（） A ．三边均不相等的三角形

B ．等腰直角三角形

C ．等边三角形

D ．以上均有可能

25．如图，ADC 是等边三角形，ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠?＝，BD 与

AC 交于E 点.若2AB =，则AE 的长为（）

A ．62-

B ．

(62)2

- C ．62+ D ．

(62)2

+ 26．设ABC ?中BC 边上的中线为AD ，点O 满足2AO OD =，则OC =（）

A ．1233A

B A

C -

+ B ．

AB AC - C ．1233

AB AC -

D ．21

AB AC -

+ 27．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若222sin sin sin 0A B C +-=，

2220a c b ac +--=，2c =，则a =（）

A 3

B ．1

C ．

D 328．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若

()()(23)a b c a c b ac +++-=+，则cos sin A C +的取值范围为

A ．33)2

B ．3

(

3) C ．3(3]2

D ．3

(3)2

29．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a =2c =，2

cos 3

A =

，则b= A 2B 3

C ．2

D ．3

30．在矩形ABCD 中，3,3,2AB BC BE EC ===，点F 在边CD 上，若

AB AF 3→→=，则AE BF

→→的值为（） A ．0

B ．

C ．-4

D ．4

31．若两个非零向量a ，b 满足2a b a b b +=-=，则向量a b +与a 的夹角为( ) A ．

π B ．

π C ．

π D ．

π 32．ABC ?中，22:tan :tan a b A B =，则ABC ?一定是（）

A ．等腰三角形

B ．直角三角形

C ．等腰直角三角形

D ．等腰或直角三角形

33．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos 2c A a C c +=且

a b =，则cos B 等于（）

A B ．

C D 34．ABC 中，a ，b ，c 分别为A ∠，B ，C ∠的对边，如果a ，b ，c 成等差数列，

30B ∠=?，ABC 的面积为3

，那么b 等于（）

A B ．1C D ．2

35．在ABC ?中，若cos cos a A b B =，则ABC 的形状一定是（） A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形

D ．等腰或直角三角形

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、多选题 1．CD 【分析】

对于A 由条件推出或，判断该命题是假命题；对于B 由条件推出，判断该命题是假命题；对于C 由条件判断与垂直，判断该命题是真命题；对于D 由条件推出向量与的夹角是，所以该命题是真命题. 【详解解析：CD 【分析】

对于A 由条件推出0b =或a b ⊥，判断该命题是假命题；对于B 由条件推出

()

()()

a b a b ?≠?，判断该命题是假命题；对于C 由条件判断a 与b 垂直，判断该命题

是真命题；对于D 由条件推出向量a b +与a b -的夹角是2

，所以该命题是真命题. 【详解】

对于A ，若0a ≠，0a b ?=，则0b =或a b ⊥，所以该命题是假命题；对于B ，()()

cos cos a b

a b a b αα?==，而()()

a b

a b ?=，

由于a 、b 为不共线的非零向量，所以2

cos

1α≠，所以()()()2

a b a b ?≠?，

所以该命题是假命题；

对于C ，若非零向量a 、b 满足2

a b

a b +=+，22222a b a b a b ++?=+，所以

0a b ?=，则a 与b 垂直，所以该命题是真命题；

对于D ，以a 与b 为邻边作平行四边形是正方形，则a b +和a b -所在的对角线互相垂直，所以向量a b +与a b -的夹角是2

，所以该命题是真命题. 故选：CD. 【点睛】

本题考查平面向量的线性运算与数量积运算、向量垂直的判断，是基础题.

2．AD 【分析】

设，则，然后分点P 靠近点，靠近点两种情况，利用平面向量的线性运算求解. 【详解】设，则，

当点P 靠近点时，，则，解得，所以，

当点P 靠近点时，，则，解得，所以，故选：

解析：AD 【分析】

设(),P x y ，则()()1

2,1,4,4=-=--PP x y PP x y ，然后分点P 靠近点1P ，靠近点2P 两种情况，利用平面向量的线性运算求解. 【详解】

设(),P x y ，则()()1

2,1,4,4=-=--PP x y PP x y ，当点P 靠近点1P 时，121

PP =，则()()1421142x x y y ?=-????-=-??

，

解得432

x y ?=???=?，

所以4,23P ??

???

，当点P 靠近点2P 时，12

2PP PP =，则()()24124x x y y ?=-??-=-??

，解得833

x y ?=???=?，

所以8,33P ?? ???

，故选：AD 【点睛】

本题主要考查平面向量的线性运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

3．BCD 【分析】

以E 为原点建立平面直角坐标系，写出所有点的坐标求解即可. 【详解】

由题E 为AB 中点，则，

以E 为原点，EA ，EC 分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：所以，，

解析：BCD 【分析】

以E 为原点建立平面直角坐标系，写出所有点的坐标求解即可. 【详解】

由题E 为AB 中点，则CE AB ⊥，

以E 为原点，EA ，EC 分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：

所以，123

(0,0),(1,0),(1,0),3),()3E A B C D -，设123

(0,),3),(1,),(,3

O y y BO y DO y ∈==--，BO ∥DO ，所以2313y y =-，解得：3

y =

，即O 是CE 中点，0OE OC +=，所以选项B 正确；

OA OB OC OE OC OE ++=+==

，所以选项C 正确；因为CE AB ⊥，0AB CE ?=，所以选项A 错误；

123(3ED =，(1,3)BC =，

ED 在BC 方向上的投影为12

7326BC BC

ED +?==，所以选项D 正确.

故选：BCD 【点睛】

此题考查平面向量基本运算，可以选取一组基底表示出所求向量的关系，对于特殊图形可以考虑在适当位置建立直角坐标系，利于计算.

4．AC 【分析】

利用余弦定理：即可求解. 【详解】

在△ABC 中，b ＝15，c ＝16，B ＝60°，由余弦定理：，即，解得. 故选：AC 【点睛】

本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理，考查了基

解析：AC 【分析】

利用余弦定理：2222cos b a c ac B =+-即可求解. 【详解】

在△ABC 中，b ＝15，c ＝16，B ＝60°，由余弦定理：2222cos b a c ac B =+-，即216310a a -+=

，解得8a = 故选：AC 【点睛】

本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理，考查了基本运算，属于基础题.

5．BC 【分析】

用正弦定理求得的值，由此得出正确选项. 【详解】

解：根据正弦定理得：，由于，所以或. 故选：BC. 【点睛】

本题考查利用正弦定理解三角形，是基础题.

解析：BC 【分析】

用正弦定理求得sin B 的值，由此得出正确选项. 【详解】

解：根据正弦定理sin sin a b A B

=得：

sin 2sin 12

b A B a ===，

由于1b a =>=，所以45B =或135B =.

故选：BC. 【点睛】

本题考查利用正弦定理解三角形，是基础题.

6．AB 【分析】

由向量的线性运算，结合其几何应用求得、、、，即可判断选项的正误【详解】，即A 正确，即B 正确

连接AC ，知G 是△ADC 的中线交点，如下图示

由其性质有 ∴，即C 错误同理，

解析：AB 【分析】

由向量的线性运算，结合其几何应用求得12AF AD AB =+

、1

()2

EF AD AB =+、21

33AG AD AB =

+、2BG GD =，即可判断选项的正误【详解】 11

AF AD DF AD DC AD AB =+=+

=+，即A 正确 11

()()22

EF ED DF AD DC AD AB =+=+=+，即B 正确

连接AC ，知G 是△ADC 的中线交点，如下图示

由其性质有

||||1

||||2

GF GE AG CG == ∴211121

()333333AG AE AC AD AB BC AD AB =

+=++=+，即C 错误同理21212

()()33333

BG BF BA BC CF BA AD AB =+=++=-

211()333DG DF DA AB DA =

+=+，即1

()3

GD AD AB =- ∴2BG GD =，即D 错误故选：AB 【点睛】

本题考查了向量线性运算及其几何应用，其中结合了中线的性质：三角形中线的交点分中线为1:2，以及利用三点共线时，线外一点与三点的连线所得向量的线性关系

7．BC 【分析】

根据向量的加法和减法运算，以及向量的数量积运算可选项.

【详解】

对于A 选项：，故A 错；

对于 B 选项：因为D 为BC 的中点，，故B 正确；对于C 选项：，故正确；对于D 选项：，而，故

解析：BC 【分析】

根据向量的加法和减法运算，以及向量的数量积运算可选项. 【详解】

对于A 选项：BD AD BD DA BA -=+=，故A 错；对于 B 选项：因为D 为BC 的中点，

()

111

++++()222

AD AB BD AB BC AB BA AC AB AC ====+，故B 正确；

对于C 选项：cos 248BD BA BC BA BC B BA BC BA

?=??∠=??

=?=，故正确；

对于D 选项：2,AB AC AD AB AC CB +=-=，而2AD CB ≠，故D 不正确. 故选：BC. 【点睛】

本题考查向量的线性运算和向量的数量积运算，属于基础题.

8．ACD 【分析】

利用向量数量积的定义和运算法则逐项判断后可得正确的选项. 【详解】

由向量加法的三角形法则可知选项A 正确；当时，，故选项B 错误；因为，故选项C 正确；当共线同向时，，当共线反

解析：ACD 【分析】

利用向量数量积的定义和运算法则逐项判断后可得正确的选项. 【详解】

由向量加法的三角形法则可知选项A 正确；当a b ⊥时，0a b ?=，故选项B 错误；

因为||cos ||||a b a b a b θ?=≤，故选项C 正确；当,a b 共线同向时，||||cos 0||||a b a b a b ?==，

当,a b 共线反向时，||||cos180||||a b a b a b ?=?=-，所以选项D 正确. 故选：ACD. 【点睛】

本题考查向量加法的性质以及对向量数量积的运算规律的辨析，注意数量积运算有交换律，但没有消去律，本题属于基础题.

9．AB 【分析】

利用平面向量数量积的定义和运算律可判断各选项的正误. 【详解】

对于A 选项，，A 选项错误；

对于B 选项，表示与共线的向量，表示与共线的向量，但与不一定共线，B 选项错误；对于C 选项，

解析：AB 【分析】

利用平面向量数量积的定义和运算律可判断各选项的正误. 【详解】

对于A 选项，00a ?=，A 选项错误；

对于B 选项，()

a b c ??表示与c 共线的向量，()

a b c ??表示与a 共线的向量，但a 与c 不一定共线，B 选项错误；

对于C 选项，0a b a b ?=?⊥，C 选项正确；

对于D 选项，(

)()

22a b a b a b a b +?-=-=-，D 选项正确. 故选：AB. 【点睛】

本题考查平面向量数量积的应用，考查平面向量数量积的定义与运算律，考查计算能力与推理能力，属于基础题.

10．BCD 【分析】

由向量的加法减法法则及菱形的几何性质即可求解. 【详解】

菱形中向量与的方向是不同的，但它们的模是相等的，所以B 结论正确，A 结论错误；因为，，且，所以，即C 结论正确；因为，

解析：BCD

【分析】

由向量的加法减法法则及菱形的几何性质即可求解. 【详解】

菱形中向量AB 与BC 的方向是不同的，但它们的模是相等的，所以B 结论正确，A 结论错误；

因为2AB CD AB DC AB -=+=，2AD BC BC +=，且AB BC =，所以AB CD AD BC -=+，即C 结论正确；因为AD CD BC CD BD +=+=，

||||CD CB CD BC BD -=+=，所以D 结论正确.

故选：BCD 【点睛】

本题主要考查了向量加法、减法的运算，菱形的性质，属于中档题.

11．CD 【分析】

分析知，，与的夹角是，进而对四个选项逐个分析，可选出答案. 【详解】

分析知，，与的夹角是. 由，故B 错误，D 正确；由，所以，故A 错误；由，所以，故C 正确. 故选：CD 【点睛】

解析：CD 【分析】

分析知1a =，2=b ，a 与b 的夹角是120?，进而对四个选项逐个分析，可选出答案. 【详解】

分析知1a =，2=b ，a 与b 的夹角是120?.

由12cos12010a b ??=??=-≠，故B 错误，D 正确；

由()2

221243a b

a a

b b +=+?+=-+=，所以3a b +=，故A 错误；由()()2

144440a b b a b b +?=?+=?-+=，所以()4a b b +⊥，故C 正确.

故选：CD 【点睛】

本题考查正三角形的性质，考查平面向量的数量积公式的应用，考查学生的计算求解能

力，属于中档题.

12．BD 【分析】

根据向量的模及共线向量的定义解答即可；【详解】

解：与显然方向不相同，故不是相等向量，故错误；与表示等腰梯形两腰的长度，所以，故正确；向量无法比较大小，只能比较向量模的大小，故

解析：BD 【分析】

根据向量的模及共线向量的定义解答即可；【详解】

解：AB 与DC 显然方向不相同，故不是相等向量，故A 错误；

AB 与DC 表示等腰梯形两腰的长度，所以AB DC =，故B 正确；向量无法比较大小，只能比较向量模的大小，故C 错误；等腰梯形的上底BC 与下底AD 平行，所以//BC AD ，故D 正确；故选：BD . 【点睛】

本题考查共线向量、相等向量、向量的模的理解，属于基础题.

13．AD 【解析】【分析】

由条件可得，再两边平方即可得答案. 【详解】

∵P 是所在平面内一点，且， ∴，即， ∴，

两边平方并化简得， ∴，

∴，则一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，故

解析：AD 【解析】【分析】

由条件可得||||AB AC AC AB -=+，再两边平方即可得答案.

∵P 是ABC ?所在平面内一点，且|||2|0PB PC PB PC PA --+-=， ∴|||()()|0CB PB PA PC PA --+-=，即||||CB AC AB =+， ∴||||AB AC AC AB -=+，两边平方并化简得0AC AB ?=， ∴AC AB ⊥，

∴90A ?∠=，则ABC ?一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，故不可能是钝角三角形，等边三角形，故选：AD. 【点睛】

本题考查向量在几何中的应用，考查计算能力，是基础题.

14．AB 【分析】

由余弦定理得，化简即得解. 【详解】

由题意得,由余弦定理得, 解得或. 故选：AB. 【点睛】

本题主要考查余弦定理的实际应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

解析：AB 【分析】

由余弦定理得293

cos306x x

+-=，化简即得解.

【详解】

由题意得30ABC ?∠=,由余弦定理得293

cos306x x

+-=

解得x =x 故选：AB. 【点睛】

本题主要考查余弦定理的实际应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

15．无

二、平面向量及其应用选择题

【解析】

分析：先利用三角形的面积公式求得c 的值，进而利用余弦定理求得a ，再利用正弦定理求解即可.

详解：由题意，在ABC ?中，

利用三角形的面积公式可得011

sin 1sin 6022

ABC S bc A c ?==???=，解得4c =，

又由余弦定理得2

2cos 116214132

a b c bc A =+-=+-???

，解得a =，

由正弦定理得2sin 2sin sin sin a b c a A B C A -+===

-+，故选A. 点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题. 17．C 【解析】【分析】

根据向量的数量积运算和向量的线性表示可得，

()()2

254cos 24cos 1PQ PQ t t θθ==+-++，根据二次函数的最值可得出

012cos 54cos t θθ

+，再由01

05t <<，可求得夹角θ的取值范围.

【详解】因为2cos OA OB θ?=，()1PQ OQ OP t OB tOA =-=--，

()()22

254cos 24cos 1PQ PQ t t θθ==+-++，

∵PQ 在t t =0时取得最小值，所以012cos 54cos t θθ

+，又01

05t <<，则

12cos 1054cos 5

θθ+<

<+，得1

cos 02θ-<<，∵0θπ≤≤，

所以223ππθ<<，

故选：C. 【点睛】本题考查向量的数量积运算和向量的线性表示，以及二次函数的最值和分式不等式的求

解，关键在于由向量的模的平方等于向量的平方，得到关于角度的三角函数的不等式，属于中档题. 18．B 【分析】

由大边对大角可判断①的正误，用三角函数的知识将式子进行化简变形可判断②③的正误，用正弦定理结合三角形有两解可判断④的正误. 【详解】

①由正弦定理及大边对大角可知①正确； ②可得A B =或2

A B π

，ABC 是等腰三角形或直角三角形，所以②错误；

③由正弦定理可得sin cos sin cos sin A B B A C -=，结合()sin sin sin cos sin cos C A B A B B A =+=+ 可知cos sin 0=A B ，因为sin 0B ≠，所以cos 0A =，因为0A π<<，所以2

A π

=，因此③正确；

④由正弦定理

sin sin a b A B =得sin sin sin a B b A A

==，因为三角形有两解，所以

2,332

A B A πππ

>>=≠

所以sin A ?

∈????

，即)

b ∈

，故④错误.

故选：B 【点睛】

本题考查的是正余弦定理的简单应用，要求我们要熟悉三角函数的和差公式及常见的变形技巧,属于中档题. 19．B 【分析】

先化简得0,0,0PA CB PB CA PC AB ?=?=?=，即得点P 为三角形ABC 的垂心. 【详解】

由于三角形ABC 所在平面内一点P 满足PA PB PB PC PC PA ?=?=?，则()()()

0,0,0PA PB PC PB PA PC PC PB PA ?-=?-=?-= 即有0,0,0PA CB PB CA PC AB ?=?=?=，即有,,PA CB PB CA PC AB ⊥⊥⊥，则点P 为三角形ABC 的垂心. 故选：B. 【点睛】

本题主要考查向量的运算和向量垂直的数量积，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

20．C 【分析】

首先根据题的条件27a b +=

，得到2()7a b +=，根据a ，b 为单位向量，求得

2a b ?=

，进而求得向量夹角. 【详解】因为27a b +=

，所以2()7a b +=，

即2

447a a b b +?+=，因为2

1a b ==，所以12

a b ?=，所以1

cos ,2

a b <>=

，因为向量a ，b 夹角的范围为[0,180]??，所以向量a ，b 夹角的范围为60?，故选：C. 【点睛】

该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的平方与向量模的平方是相等的，已知向量数量积求向量夹角，属于简单题目. 21．C 【分析】

利用平面向量的数量积的运算性质可得(CA CB + 2

22)()0CA CB CA CB b a -=-=-=，从而可得答案．【详解】解：

在ABC 中，(CA CB + 2

22)()0CA CB CA CB b a -=-=-=，

a b ∴=，

ABC ∴为等腰三角形，故选：C ．【点睛】

本题考查三角形形状的判断，考查向量的数量积的运算性质，属于中档题． 22．D 【分析】

由数量积的定义判断B 角的大小，得三角形形状．【详解】

由题意cos()0a b a b B π?=->，∴cos()0B π->，cos 0B ->，cos 0B <，又B 是三角形内角，∴

B π

π<<．

∴ABC 是钝角三角形．

故选：D ．【点睛】

本题考查考查三角形形状的判断，解题关键是掌握数量积的定义．向量夹角的概念． 23．A 【分析】

由已知条件，令||AC a =，||BC b =，则在△ACM 中结合余弦定理可知48ab ≤，根据三角形面积公式即可求最大值【详解】

由题意，可得如下示意图

令||AC a =，||BC b =，又2BM MC =，即有1||||33

b CM CB =

= ∴由余弦定理知：222||||||2||||cos AM CA CM CA CM ACB =+-∠

2221216()332333

a a

b ab ab ab

b =+-?≥-=，当且仅当3a b =时等号成立

∴有48ab ≤

∴113sin 4812322ABC S ab C ?=≤?=故选：A 【点睛】

本题考查了正余弦定理，利用向量的知识判断线段的长度及比例关系，再由余弦定理并应用基本不等式求三角形两边之积的范围，进而结合三角形面积公式求最值 24．C 【分析】

AB 和AC

AC 分别表示向量AB 和向量AC 方向上的单位向量，0AB AC BC AB AC ??

?+?= ?

??表示A ∠平分线所在的直线与BC 垂直，可知ABC 为等腰三角形，再由1

AB AC AB

可求出A ∠，即得三角形形状。【详解】

由题的，∵0AB AC BC AB AC ??

?+?= ???

，∴A ∠平分线所在的直线与BC 垂直，∴ABC 为等腰三角形.又12AB AC AB

，∴1cos 2A =，∴3

A π

=，故ABC 为等边三角形. 故选：C

【点睛】

本题考查向量的几何意义和三角形角平分线的性质，以及求两个向量的夹角，是一道中档难度的综合题。

25．A 【分析】

由条件求得∠BCD ＝150°，∠CBE ＝15°，故∠ABE ＝30°，可得∠AEB ＝

105°．计算sin105°，代入正弦定理sin30sin105AE AB

=??

，化简求得AE =-．【详解】

由题意可得，AC ＝BC ＝CD ＝DA =BAC ＝45°，∠BCD ＝∠ACB +∠ACD ＝90°+60°

＝150°．又△BCD 为等腰三角形，∴∠CBE ＝15°，故∠

ABE ＝45°﹣15°＝30°，故

∠BEC ＝75°，∠AEB ＝105°．

再由 sin105°＝sin （60°+45°）＝sin60°cos45°+cos60°sin45

°=，

△ABE

中，由正弦定理可得

sin30sin105AE AB

=??

， ∴12

=，∴AE =），故选:A ．

【点睛】

本题考查勾股定理、正弦定理的应用，两角和的正弦公式，属于中档题． 26．A 【分析】

作出图形，利用AB 、AC 表示AO ，然后利用平面向量减法的三角形法则可得出

OC AC AO =-可得出结果.

【详解】如下图所示：