全国初中数学竞赛试题及答案

中国教育学会中学数学教学专业委员会

全国初中数学竞赛试题

一、选择題（共5小题，每小题6分，共30分Q

1 （甲）.如果实数Z b, C 在数轴上的位置如图所示，那么代数式4^-?a + b ?+^（c-a ）

2 + ?b+c ?

可 以化简为（

）.

b

（甲）.如果正比例函数y = ax （.a ≠ 0）与反比例函数y =~ ≠0 ）的图象有两个交点，其

X

中一个交点的坐标为（一3, -2）,那么另一个交点的坐标为（ ）.

(B) (3, -2) (C) (-2, 3) (D) (3, 2)

2（乙）.在平面直角坐标系Xoy 中，满足不等式√+y≤2^+2y 的整数点坐标（x,y ）的个数为（ ）.

△川?7是等边三角形.ZAz)C = 30o

, AD = 3, BD = 5, 则09的长为(

).

(A) 3√2 (B) 4 (C) 2√5

(D) 4.5

4（甲）.小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币?小倩对小玲说：“你若给我2元，我的

钱数将是你的力倍”；小玲对小倩说：'‘你若给我力元，我的钱数将是你的2倍”，其中为正

(A) 2c-a (B) 2a-2b (C) -a

(D) a

(乙).如果Λ = -2 + √2 ,那么1 +

一 的值为

2 + —

3 + α ).

(A) -√2

(B) √2

(C) 2

(D) 2√2

(A) (2, 3) (A) 10 (B) 9 (C) 7 (D) 5 2a+b, a+b+1这四个数据的平均 数与中位数之差的绝对值是（

).

、2a —I 1 1 (A) 1 (B)

(C)-

(D)-

4

2

4

3 （乙）.如

图， 四边形磁9中，AC t

別是对角线，

3 （甲）.如果a, b 为给定的实数，且1

整数，则力的可能值的个数是（

（A ） 1 （B ） 2 （C ） 3 （D ） 4

4（乙）.如果关于北的方程x 2-px-q = 0 （p, q 是正整数）的正根小于3,那么这样的方程的 个数是（

）.

（A ） 5 （B ） 6 （C ） 7 （D ） 8

5 （甲）.一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1, 2, 3, 4, 5, 6.掷两次骰子，设 其朝上的

面上的两个数字之和除以4的余数分别是0, 1, 2, 3的概率为P 。，p 1, p 2, p 3,则

Po, Py P 2f 巴中最大的是（

>?

二、填空题（共5小题，每小题6分，共30分）

6 （甲）.按如图的程序进行操作，规定：程序运行

从''输入一个值到"结果是否>487? ” 为 j ^Ξ→[×2∣→[ΞII→[Zpz!-4

*S

1 ----------- ?

一次操作.如果操作进行四次才停止，那么X 的取值围是 ____________ .

6 (乙).如果a, b, C 是正数，且满足d + b + c = 9, 1

1 IIo /

α

b

C

a +

b b+

c c+a 9

b +

c c + a a + b

为 ________ .

7(甲).如图，正方形磁9的边长为2√15 ,

E, F 分别是BC 的中点、,AF ￡ DE, DB

分别交于点尿N,则△必那的面积是 ________________ .

（乙）?如图所示，点A 在半径为20的圆0上，以OA 为一条对 矩形OBAC,设直线BC 交圆0于D 、E 两点，若OC = 12, 段

CE 、BD 的长度差是 ________________________ e

(A) P O (B) P l (C) p 2 (D) P 3

（乙）.黑板上写有1,

1

—, 1

3

并在黑板上写上数a+b+ab,则经过99次操作后，黑板上剩下的数

盅共K ）。个数字.每次操作先从黑板上的数中选取2个数

).

(A) 2012

(B) 101

(C) 100

(D) 99

角线作 则线

D

8（甲）.如果关于X的方程/+ΛX+-A2-3A+-= O的两个实数根分别为呂，A,那么气F的

4 2 x[-

值为___________ .

8 （乙）.设“为整数，且IWnW2012.若（√-w + 3）（∕r + w + 3）能被5整除，则所有"的个数为

________________ .

9（甲）.2位八年级同学和/〃位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场.记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分.比赛结束后，

所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则刃的值为 ______________ .

9（乙）.如果正数扛y, Z可以是一个三角形的三边长，那么称（x, y, Z）是三角形数.若（G b, C）和（1,1,1）均为三角形数，且aWbWc,则纟的取值围是 _______________ .

a b c C

10 （甲）如图，四边形磁9接于OQ

M是直径，AD=DC.分别延长胡，CD, 交点为E 餐BFIEC,

并与应'的延长线交于点E 若AE= AO t BC = 6,则CF的

长为_______ 10（乙）.已知"是偶数，且1 ≤H≤100.若有

唯一的正整数对（a, b）使得a2=b2+n成立，则这

样的"的个数为 _______________ ?

三、解答題（共4題，每題15分，共60分）

11 （甲）.已知二次函数y = X2+（∕W +3） X+7W +2,当一IVXV3时，恒有y <0；关于X的方程

Q

x2 + （w + 3） x+w+2 = 0的两个实数根的倒数和小于—二.求加的取值围.

10

11（乙）.如图所示，在直角坐标系XOy中，点A在y轴负半轴上，点

B、C分别在X轴正、负半轴上，

4 AO = & ΛB = AGsinZABC = -

。点D在线段AB上，连结CD交y

轴于点E,且SsCOE = ^SADE。试求

图像经过B、C、E三点的二次函数

的解析式。

12（甲）.如图，00的直径为AB,

oq过点O,且与G)O切于点B? C为00上的点，OC与00］交于点、D,且OD> CD.点、E 在OD 上,且DC=DE, BE的延长线与00、交于点、F ,求证：'BOCs卜DO「

12 (乙).如图，00的接四边形初09中，AC t別是它的对角线，M的中点/是△力別的心.求证:

(1)0/是妙的外接圆的切线;

(2)Aβ+AD = 2BD.

13(甲).已知整数Z b满足:a-b是素数，且"是完全平方数.

当α≥2012时，求E的最小值. 13（乙）.给定一个正整数”，凸”边形中最多有多少个角等于150。？并说明理由.

14 （甲）.求所有正整数？?，使得存在正整数血，X2,…，吃012，满足X L

1 2 2012

——F — + …+ --- = n.

X1 X2 x2012

14（乙）.将2, 3,…，n（n>2）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数α, b, C（可以相同），使得a—,求”的最小值.

参考解答

一、选择题

1(甲).C

解：由实数8, b, C 在数轴上的位置可知

bc t

所以 4?

a +

^? +y∣(c -a)2 + ?b+c ?=-a + (a+b) + (c-a)-(b+c) = —a .

1 (乙).B

^―：— = 1 — =1 —=— = 1 + Λ∕Σ — 1 = √2 .

2 1 1

2 + √2-l √2÷1

l + √2

2 （甲）.D

解：利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性，可知两个交点关于原点对称，因此另一 个交点的坐标为（3, 2）.

2 （乙）.B

解：由题设 ∕÷y≤2jv+2y, ? 0≤(x -l)2+(y-l)2 ≤2.

因为X, y 均为整数，所以有

解得

X = L x = l? ∫x = L .

x = 0, x = 0, 兀=0, X = 2, X = 29

y = 1； .y = 2; Iy=O;

y = 1： y = 0； 』=2； .y=1? y = 0;

以上共计9对（尤，y y

）.

3 (甲).D

ZBCD=ZBCA+ Z ACD=乙 DC 陕 ZACD =ZACE,

解：1+—

=1+

2 +——

3 + a

(X-I)2 = 0, (y-l)2 =0；

(x-l)' =0, 0 — 1)2 =1;

(—1)2=1,

()，一

(—1)—1, (y-i)2 = i ?

1 + (a +1) + (a + b +1) + (2a + b) 3 + 4α + 2b

4 4

中位数为 (α + l) + (α + b+l) 4 + 4α + 2b

2 4 于是

4 + 4α + 2b 3 + 4α + 2b 1 4 4 4'

3 (乙).B

解：如图, 以①为边作等边Z ?M,连接力E

解：由题设知，lvα + lvd + b+lv2d + b,所以这四个数据的平均数为

由于 AC = BC y CD = CE,

所以△财竺△衣BD=AE.

又因为ZAPC = 30。，所以ZADE = 90°.

在Rt?ADE中，AE = 5f AD = 3,

于是DE=^AE1-AD2 = 4,所以G?= DE = 4.

4(甲).D

解：设小倩所有的钱数为X元、小玲所有的钱数为y元，X, y均为非负整数?由题设可得

x+2 = n{y-2)f

y + n = 2(x-n)f

消去X得(2丫一7)/?=尸4,

2"(2-) + 15=ι +旦

2y-l Iy-I

因为M企为正整数，所以(Iy-I的值分别为1, 3, 5, 15,所以y的值只能为4, 5, 6, 11.从Iy-I

而/?的值分别为8, 3, 2, 1； X的值分别为14, 7, 6, 7.

4 (乙).C

解：由一元二次方程根与系数关系知，两根的乘积为一q<0,故方程的根为一正一负.由二次函数y = x2-px一q的图象知，当x = 3时，y>0,所以32-3p-q> 0,即3p + q<9?由于p, q 都是正整数，所以p = l, 1≤^≤5;或p = 2, 1≤^≤2,此时都有厶= p' + 4q>0.于是共有7

组(p, q)符合题意.

5（甲）.D

解：掷两次骰子，其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个，其和除以4的余数分别是0, 1, 2, 3的有序数对有9个，8个，9个，10个，所以

P。=養,P￡，P摞,P,=曙,因此P,最大?

JO 30 30 30

5（乙）.C

解：因为α + b+"+l = (α + l)(b+l),所以毎次操作前和操作后，黑板上的每个数加1后的乘

积不变.

设经过99次操作后黑板上剩下的数为X ,则

解得

X÷l = (l÷l)(l÷l)(l÷l)…(τ?÷i)

x+l = 101, X = IOO.

二、填空题

6 (甲).7

解：前四次操作的结果分别为

3x-2, 3(3L2)-2 = 9χ-8, 3(9χ-8)-2 = 27Jf-26, 3(27Jf-26) -2 = 81L80. 由已知得p27χ-26≤487,

lδ Ix-80 >487.

解得7

容易验证，当7

7

6 (乙).7

解：在一丄〒+丄+丄=W两边乘以α + b + c = 9得a+b b+c

c+a 9

C a b C a b

——-+ + ------- = 10 即 + --------- + ---- = 7

c + a a + b b + c C-Va

7 （甲）.8

解：连接处SZ?DW,所以记正方形ABCD的边长为2a.由题设易知ZXBFZV

AD AN DN _2

~BF~~NF~~BN~~i'

2 由此得AN = 2NF,

所以AN = -AF .

3

在Rt^ABF中，因为AB = 2a, BF = a,所以

于是

AF = ?∣AB2 + BF2

= >j5a ,

… AB 2书

COS ZBAF = = ------ .

AF 5 由題设可知△血礎△胡厂，所

以ZAED=ZAFB,

ZAME =180° - ZBAF - ZAED= 180° - ZBAF - ZAFB = 90 .

于是AM = AE? COS ZBAF =———a ,

5

MN = AN-AM=-AF-AM=^-a ,

3 15

8 (乙).1610

解：(/?2

-n + 3?tr + 幵 + 3)=(亍 +3尸-n 2 =n 4 +5n 2

+9

因此5∣(√÷9),所以n 4

≡ l(n?d 5),因此τ? = 5R±1,或5k±2

2012÷5 = 402 (2)

所以共有2012-402=1610个数

9 (甲).8

解：设平局数为α,胜(负)局数为b,由题设知2π + 3∕> = 130,由此得O ≤Δ≤43. 又 a +

b= W + UO" + 2),所以2α + 2/?=(加 +1)(加 + 2).于是

0≤ Z> = 130-(m + l)(m+2)≤43,

MN _ 4

AF =I5

] = 4 8 ■>

又 SWD =

2,

(2")?(2。) = 2矿，所以 5AWjVD = — SmFD = yτfl ^?

因为α = √15,所以SK W =8.

28

7 (乙).一

5

解：如图，设DE 的中点为M ,连接OM,则OM 丄DE. 因为 OB

= √202-122 =16,所以

“ OBOC 16×12

48

OM = -------- = ------ =——

BC 20 5 64

CE-BD = (EM - CM)—(DM - BM) = BM-CM=— 5 36 28 T -T

2

8 (甲).——

3

解：根据題意，关于X 的方程有

3 Q Δ=A 2

-4(—Z:2

-3/: + —) MO,

(?r -3)2

≤0.

由此得

9 3

又心沧0,所以（一3） W 从而此时方程为齐3営屯解得E 巧

2 3

87≤(m+l)(m+2)≤130,

由此得/M = 8 ,或in = 9.

当 /W = 8 时，Z? = 40? 4 = 5；当 ∕w = 9 时，Z? = 20, α = 35, α > "十'

=竺,不

合題设.

2 2

故 m = 8.

9 (乙).<-≤l

2 C

a + b> C(I)

-<→丄V ——+丄，两边乘以a 得 a b C c-a C

10 (甲).—

2

解：如图，连接应；BD, OD.

由S 〃是00的直径林乙BCA =ZBDA = 90° . 依题设ZBFC= 90° ,四边形磁9是00 的接四边

形，所以

乙 BCF =ZBAD,

所以RgBCFSR 仏BAD ,因此—.

依题意得:

>丄(2)'所以>C ~a ，代入

(2)#

a

化简得a 2-3ac+ c 2

<0,

c-a

两边除以得

另一方面：aWbWc,所以

C

综合得乎V 加］

另解：可令- = k,由(1)得b>Q-k)c, C

3-√5 . 3 + √5 -、詬

-----

2

代入(2)化筒得k 2

-3k + l<0,解得 所以k

2

<0

IV 旦+ ￡即巳

CF AD

因为血是C)O的半径，AD = CD,所以血垂直平分应；OD//BC,

于是5δ=I=2?因此

DE = 2CD=2AD, CE = 3AD.

RA 3

由Z?AQ S∕WB,知DE?EC = AE?BE.因为AE =——，BE = -BA,

2 2

所以2AD^AD = - -BA, BA= 2^2 AD t故

2 2

CF唯BC=生吾

10 （乙）.12

解：依题意得n = a2-b2 =（a + b?a-b）

由于"是偶数，a+b、a-b同奇偶，所以n是4的倍数，即n = 4k t

当1 ≤w≤100时，4的倍数共有25个，但要满足题中条件的唯一正整数对（d, b）,则:

k = p或k = p?,其中P是素数，因此，k只能取下列12个数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、

4、9、25,从而这样的n有12个。

三、解答題

H （甲）?解：因为当一IVXV3时，恒有y<0,所以

△=（加+ 3）2 —4（加+2）> 0,

即（7?7 + 1）2 >0,所以7W≠-1.

............... （3

.............. 分）当兀=一1时，yWO；当X = 3时，y ≤0 ,即

（-1）2 + （In + 3）（-1） + /?? + 2 ≤ 0 ,

且3’+ 3（加+ 3） +加+ 2 WO ,

解得TWW —5.

............... （8

.............. 分）

设方程F+（M+3）X+（M+2）= 0的两个实数根分别为不，x2,由一元二次方程根与系数的关系得x1+x2 =-（π?+3）, x i x2 =In+2.

ELI 1 9 _ n. X1+x, ∕π + 39

因为—+ —<——，所以----------- ------ < ——，

X l x2 10 x1x2加 +2 10

解得TWV-12,或加>一2.

因此w<-12.

11 （乙）.解：因为SinZABC = ^^- = — , AO = 8,

AB 5

所以AB= 10.由勾股定理，得BO = >JAB2-AO2 =6.

易知AABO 9 ∕?ACO,因此CO=BO= 6.

于是A（0,-8）, B（6,0）, C（-6,0）.

设点〃的坐标为（m f ri）.

由SbCOE = SMDE,得SHCDB = SMOB '

所以^BC?? n ? = ^AOBO t i×12（-π）= ∣×8×6. 解得

n = -4.

因此〃为力3的中点，点〃的坐标为（3, — 4）. 因此他肋分别为個，BC

的两条中线，点、E为AABC的重心, 8

所以点E的坐标为（0,--）.（也可由直线CD交y轴于点E来求得.）设

经过〃，C、E三点的二次函数的解析式为y =Λ（X-6）（X+6）.

2

将点E的坐标代入，解得a =—.

27

O Q

故经过E C t E三点的二次函数的解析式为y = ^-x2-y 12 （甲）.证明：连接BD,因为OB为C）Ol的直径，所以上ODB = 90。.又因为DC=DE,所以△磁是等腰三角形.

................ （5 分）

设BC与OQ交于点M ,连接如，则ZOMB = 90°.又因为O C =

OB,所以

ZBOC = IZDOM = IZDBC = 2ADBF = ZDO I F

又因为ZBOC, ZDO I F分别是等腰'BOC、等腰ADOf的顶角,所以

（10 分）

12 （乙）?证明：（1）如图，根据三角形心的性质和同弧上圆

周角相等的性质知：ZCID = ZIAD+ZIDA,

ABOC^^DO I F .

（15

ACDI = ACDB+ZBDI = ABAC+ ZIDA = ZlAD^ ZIDA.

所以 ZeID = ZCDl, CI= CD. 同理，CI = CB . 故点C 是的外心.

连接OA, OC t 因为/是胚的中点，且OA=OC t 所以OJ r

丄AC,即OILCI . 故刃是△宓外接圆的切线.

(2)如图，过点/作IEVAD 于点E,设Oe 与BD 交于点、F.

由 BC = CD t 知 OClBD.

因为乙CBF=乙IAE, BC=Cl= Al t 所以 RtABCF RtAAIE.所以 BF= AE. 又因为 I 是HABD 的心,所以 AB + AD —BD = 2AE+BD-BD = 2BF = BD. 故 AB+AD=2BD.

也可由托勒密定理得：ABCD^ADBC = ACBD ,再将AC = IBC = ICD 代入即得结论

AB+AD=2BD o

13 （甲）.解：设a —b = m （m 是素数），ab = n （/?是自然数）. 因为 （少"b ）?-4刃方

=@—6）2, 所以

（2^—/?）2—4/?2 = /?, (2a —∕zH ?2∕?) (2a-m-2n) - m.

（5

分）

（1）当时，因为 2a~m^2n 与 2a — m~2n 都是正整数，且 2a —m^2n>2a-m-2n （/? 为素

数)，所以 2a-m^2n=m 1

, 2a-∕n -2n= 1.

（10 分）

又 $$2012,即+1)

- >2012.

4

又因为〃是素数，解得加$89.此时，S M °9[1） =2025.

4

当 α = 2025 时，w = 89, Z? = 1936, /7 = 1980. 此时，&的最小值为2025.

（2）当”二0时，因为α≥2012t 所以b = O,从而得&的最小值为2017 （素数）。

解得

a=

(W7 + 1)2

于是 a-m=

(∕∏-D 2

综上所述，所求的8的最小值为2017。……（15分）

13 （乙）?解：设凸n边形最多有k个角等于150° ,则每个150°角的外角

都等于30° ,

而凸n边形的n个外角和为360。，所以R≤ —— = 12,只有当H = 12时，

30

k才有最大值12. .................. （5分）下面我们讨论n≠l2时的情况：

（1）当w >12时，显然，k的值是11；

（2）当" = 3,4,5,6,7 时，k 的值分别为1, 2, 3, 4, 5；

（3）................................. 当” = 8,9,10,11 时，k 的值分别为7, 8, 9, 10. （10 分）

综上所述，当3≤H≤7时，凸n边形最多有n-2个角等于150。；当8≤H≤11时，凸n边形最多有71 —1个角等于150° ；当77 = 12时，凸n边形最多有12个角等于150° ；当n>l2时，凸n 边形最多有11个角等于150。。.……（15分）

14 （甲）.解：由于X], X2,…，兀20口都是正整数，且x I

X l >1, x2≥2, ???, X2012 >2012.

工E) 1 2 2012 一1 2 2012

2012 = 2°12?

于是n =—I ------------- W —I . ? ?+

A m?2 1 2

（5分）当= 1 时，令X l = 2012, x2= 2×2012,…，X2012 = 2012x2012,则

2012 I

--- =1.

?^2012

（10 分）当n = k-3t-1 时，其中1 ≤? ≤ 2011,令X l = 1, x2 = 2,…，x lc=k

x k+ι =(2012-/:)(^ + 1), x k+2 = (2012-/:)(^ + 2), x2012 = (2012-∕τ)× 2012 ,则

?+?+???+^^+c2012^υ?^?^+1≈,7?

2012

综上，满足条件的所有正整数/?为1, 2, ???, 2012.

（15 分）14（乙）.解：当n = 2l6-1时，把2,3,???,∕z分成如下两个数组:

｛ 2,3,28,28 + l, ???,216-l｝和｛4,5, ???,2'-1｝. 在数组｛ 2,3,28,28 + l, ???,2W-1｝中，由于33<2S,（28）2>2W-1,所以其中不存在数a,b,c,使得a h = c.

在数组｛4,5, ...,28-l｝中，由于44>28-l,

所以其中不存在数a,b,c,使得∕=c.

所以，n≥2l6.

下面证明当n = 2l6时，满足题设条件?

不妨设2在第一组，若才=4也在第一组，则结论已经成立.故不妨设才=4在第二组.同理可设44 = 28在第一组，（F）'=?1*5在第二组.

此时考虑数8.如果8在第一组，我们取α = 2,b = 8,c = 2*,此时a h=c i如果8在第二组，我们取α = 4,b = 8,c = 2",此时a h = c.

综上，n = 2i6满足题设条件.

所以，"的最小值为2".

（注：也可以通过考虑2, 4, 16, 256, 65536的分组情况得到力最小值为65536.）