计算方法课件 1.1

计算方法的课后答案

《计算方法》习题答案 第一章 数值计算中的误差 1．什么是计算方法？（狭义解释） 答：计算方法就是将所求的的数学问题简化为一系列的算术运算和逻辑运算，以便在计算机上编程上机，求出问题的数值解，并对算法的收敛性、稳定性和误差进行分析、计算。 2．一个实际问题利用计算机解决所采取的五个步骤是什么？ 答：一个实际问题当利用计算机来解决时，应采取以下五个步骤： 实际问题→建立数学模型→构造数值算法→编程上机→获得近似结果 4．利用秦九韶算法计算多项式4)(5 3 -+-=x x x x P 在3-=x 处的值，并编程获得解。 解：400)(2 3 4 5 -+?+-?+=x x x x x x P ，从而 所以，多项式4)(5 3 -+-=x x x x P 在3-=x 处的值223)3(-=-P 。 5．叙述误差的种类及来源。 答：误差的种类及来源有如下四个方面： （1）模型误差：数学模型是对实际问题进行抽象，忽略一些次要因素简化得到的，它是原始问题的近似，即使数学模型能求出准确解，也与实际问题的真解不同，我们把数学模型与实际问题之间存在的误差称为模型误差。 （2）观测误差：在建模和具体运算过程中所用的一些原始数据往往都是通过观测、实验得来的，由于仪器的精密性，实验手段的局限性，周围环境的变化以及人们的工作态度和能力等因素，而使数据必然带有误差，这种误差称为观测误差。 （3）截断误差：理论上的精确值往往要求用无限次的运算才能得到，而实际运算时只能用有限次运算的结果来近似，这样引起的误差称为截断误差（或方法误差）。 （4）舍入误差：在数值计算过程中还会用到一些无穷小数，而计算机受机器字长的限制，它所能表示的数据只能是一定的有限数位，需要把数据按四舍五入成一定位数的近似的有理数来代替。这样引起的误差称为舍入误差。 6．掌握绝对误差（限）和相对误差（限）的定义公式。 答：设* x 是某个量的精确值，x 是其近似值，则称差x x e -=* 为近似值x 的绝对误差（简称误差）。若存在一个正数ε使ε≤-=x x e * ，称这个数ε为近似值x 的绝对误差限（简称误差限或精度）。 把绝对误差e 与精确值* x 之比* **x x x x e e r -==称为近似值x 的相对误差，称

第六章 计算方法简介

94 第六章 计算方法简介 §1 数值逼近 1.1 插值 许多实际问题都要用函数)(x f y =来表示某种内在规律的数量关系，其中相当一部分函数虽然可能在某个区间上具有很好的性质（连续、光滑等），但没有函数的表达式信息，我们只能通过实验或者观测得到函数在一些点i x 上的函数值 )(i i x f y =),2,1,0(n i =，这是一张函数表.有些函数虽然有解析式，但由于计算 复杂，使用不方便，我们通常也造一个函数表，例如三角函数表、平方根表等. 为了研究函数的性质，往往还需要求出不在函数表上的函数值，因此我们希望根据给定的函数表构造一个既能反映函数)(x f y =的性质、又便于计算的简单函数 )(x P ，用)(x P 来近似)(x f .这就是插值所要研究的问题. )(x P 称为)(x f 的插值函数.常用的插值函数是代数多项式或分段代数多项式. 1.1 Lagrange 插值 1.1.1 方法介绍 Lagrange 插值方法即，给定n 个插值节点以及对应的函数值信息， )(i i x f y =),2,1,0(n i =，利用n 次Lagrange 插值多项式公式，则对插值区间内 任意x 的函数值y 可通过下式近似求得： )()(1 1 ∏ ∑≠==--=n k j j j k j n k k x x x x y x y . 其中 ∏≠=--n k j j j k j x x x x 1称为插值基函数.可见，在Lagrange 插值中，对应1+n 个节点的 插值基函数一共有1+n 个，每个基函数是一个n 次多项式. 1.1.2 MATLAB 实现 Lagrange.m

计算方法作业第一章

习题二 1. 用二分法求方程0134=+-x x 在区间【0.3,0.4】内的根，要求误差不超过2102 1-?。 3.方程0123=--x x 在1.5附近有根，把方程写成4种不同的等价形式，并建立相应的迭代公式。 （1）231x x +=，32 11n n x x +=+ （2）211x x + =，=+1n x 211n x + （3）1 1 2 -= x x ，=+1n x 1 1-n x

（4）132-=x x ，= +1n x 13-n x 4.用迭代法求02.05 =--x x 的正根，要求准确到小数点后第5位 解：迭代公式:512.0+=+x x n 7.用迭代-加速公式求方程x e x -=在x=0.5附近的根，要求准确到小数点后第4位 解：迭代公式：x n e x -+=1，n n x q q x q x ---= +1111 8用埃特金加速法求方程13 -=x x 在区间【1,1.5】内的根，要求准确到小数点后第4位 解：迭代公式：13 1-=+x x n ，13 12-=++n n x x ，n n n n n n n x x x x x x x +--= ++-++122 1 212

9.用牛顿法求方程0133=--x x 在20=x 附近的根，要求准确到小数点后第3位 解：迭代公式：3 31 32 31 ----=+n n n n n x x x x x 11.分别用单点和双点弦截法求方程013 =--x x 在【1,1.5】内的根，要求 51102 1 ||-+?≤ -n n x x 解：单点：)111() 111()1(1 13 1--------- =+n n n n x x x x 双点：)1() 1()1(3 13 1311--------- =---+n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x

数值计算方法第一章

第一章 绪 论 本章以误差为主线，介绍了计算方法课程的特点，并概略描述了与算法相关的基本概念，如收敛性、稳定性，其次给出了误差的度量方法以及误差的传播规律，最后，结合数值实验指出了算法设计时应注意的问题． §1.1 引 言 计算方法以科学与工程等领域所建立的数学模型为求解对象，目的是在有限的时间段内利用有限的计算工具计算出模型的有效解答。 由于科学与工程问题的多样性和复杂性，所建立的数学模型也是各种各样的、复杂的. 复杂性表现在如下几个方面：求解系统的规模很大，多种因素之间的非线性耦合，海量的数据处理等等，这样就使得在其它课程中学到的分析求解方法因计算量庞大而不能得到计算结果，且更多的复杂数学模型没有分析求解方法． 这门课程则是针对从各种各样的数学模型中抽象出或转化出的典型问题，介绍有效的串行求解算法，它们包括 (1) 非线性方程的近似求解方法； (2) 线性代数方程组的求解方法； (3) 函数的插值近似和数据的拟合近似； (4) 积分和微分的近似计算方法； (5) 常微分方程初值问题的数值解法； (6) 优化问题的近似解法；等等 从如上内容可以看出，计算方法的显著特点之一是“近似”． 之所以要进行近似计算，这与我们使用的工具、追求的目标、以及参与计算的数据来源等因素有关． 计算机只能处理有限数据，只能区分、存储有限信息，而实数包含有无穷多个数据，这样，当把原始数据、中间数据、以及最终计算结果用机器数表示时就不可避免的引入了误差，称之为舍入误差． 我们需要在有限的时间段内得到运算结果，就需要将无穷的计算过程截断， 从而产生截断误差． 如 +++=! 21 !111e 的计算是无穷过程，当用 ! 1 !21!111n e n ++++= 作为e 的近似时，则需要进行有限过程的计算，但产生了 截断误差e e n -．

计算方法作业第六章

1．考虑两个线性方程组，其系数矩阵如下 1211 11...23211111...1212341,121 1111...3452..............................121111... 12 21n n A A n n n n n ? ???? ?-??????--?? +?? ????==--??????+???? ??-?? ? ?????++-?? 问题的真解均取为[1,1,1,1,...1]T x =，线性方程组的右端项用这个真解计算出来。相应的问题分别称为问题I 和问题II 。请进行如下数值实验： （1） 对问题I 分别用Gauss 消元法，Cholesky 方法，修改的LDLT 算法，追赶法四 种方法求解，其中n=100； （2） 对问题II 分别用Gauss 消去法，列主元Gauss 消去法，不做行交换的列主元 Gauss 消去法求解，其中n=6； （3） 不断增加问题II 的矩阵阶数n=6,8,10,…,20，重复（2）的工作，看看会有什么 问题发生？解释其原因。 （1） Gauss ： 计算程序： n=100; A=2*eye(n); for i=1:n-1 A(i+1,i)=-1; A(i,i+1)=-1; end b=0; b(1)=1; b(100)=1; [x,XA]=GaussJordanXQ(A,b); Gauss 消元法源程序： %用Gauss 消元法解线性方程组 function [x,XA]=GaussJordanXQ(A,b) N = size(A); n = N(1); for i=1:(n-1)

for j=(i+1):n if(A(i,i)==0) disp('对角元素为0！'); %防止对角元素为0 return; end l = A(j,i); m = A(i,i); A(j,1:n)=A(j,1:n)-l*A(i,1:n)/m; %消元方程 b(j)=b(j)-l*b(i)/m; end end x=SolveUpTriangle(A,b); %通用的求上三角系数矩阵线性方程组的函数XA = A; %消元后的系数矩阵 （SolveUpTriangle.m）解上三角方程组源程序：%解上三角方程组 function x=SolveUpTriangle(A,b) N = size(A); n = N(1); x(n)=b(n)/A(n,n); for k=n-1:1 s=0; for i=k+1:n s=s+A(k,i)*x(i); end x(k)=(b(k)-s)/A(k,k); end 结果： x1=[0,0,0,…..0,0,1]T x2=[0,0,0,…..0,0,0.3820]T x3=[0,0,0,…..0,0,0.9900]T x4=[1,1,1,…..1,1,1]T Cholesky：

计算方法第一章习题

第一章习题 2．按四舍五入原则，将下列各数舍入成5位有效数字： 816．9567 6。000015 17。32250 1．235651 93。18213 0。01523623 答案：816。96 6。0000 17。323 1．2357 93。182 0。015236 3．下列各数是按四舍五入原则得到的近似数，它们各有几位有效数字？ 81．897 0。00813 6。32005 0。1800 答案：5 3 6 4 4．若1/4用0。25来表示，问有多少位有效数字？ 答案：任意多位 5．若a=1.1062 , b=0.947 是经过舍入后得到的近似值，问：a+b, ab 各有几位有效数字？ 答案：3 ， 3 因为45110211021--?=?= da 33102 11021--?=?=db 31234102 1102110211021)(----?=?≤?+?=+=+db da b a d 4)15(102110121---?=??=a d r ，2)13(1018 110921---?=??=b d r 22410181101811021)(---?≈?+?=+=b d a d ab d r r r 6．设y 1=0.9863, y 2=0.0062是经过舍入后作为x 1和x 2的近似值，求1/y 1和1/y 2的计算值与真值的相对误差限及y 1y 2和真值的相对误差限。 答案： 53)14()1(*1*111*11*1*11*11*1*1 1106.51018 110921102111 11------?=?=??=?≤-=-=-=-n y y y y y y y y y y y y y y α也可用5)14(111 121111106.5109 21111)1(1---?=??====y dy y dy y y y d y d r 同理 31)12()1(*2*22*2*2 2103.81012 11062110211 11------?=?=??=?≤-==-n y y y y y y α 3 35*2*22)1*11*2*1*2*12*12*121*2*1*2 *121104.8103.8106.5---?≈?+?≤-+-=-+-=-y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y

计算方法(李有法版)第一章课件

第一章 误差 §1.误差的来源 实际问题——?建立数学模型—?确定数值计算方法——?编制程序上机算出结果 模型误差 截断误差或方法误差 舍入误差 §2. 绝对误差、相对误差与有效数字 (1) 绝对误差与绝对误差限 定义： 绝对误差 x x x e e ?==***)( . 近似值------↑ ↑------精确值 通常，由于x 不知道，所以无法得*e ，故估计*e 的上界*ε，即 ***||||ε≤?=x x e 或 **ε±=x x . ↑------称为近似值*x 的绝对误差限，简称误差限。 (2) 相对误差与相对误差限 110 ,210021±=±=x x 定义： 相对误差 .)(**** x x x x e x e e r r ?=== 由于x 未知，所以** * x e e r ≈； Q **2*****1)(x e x e x e x e ?=?，当||**x e 较小时，***x e x e ?是**x e 的平方级，可以忽略不计，∴ 取** *x e e r =. 与绝对误差类似，只能估计相对误差绝对值的某个上界*r ε，即 **||r r e ε≤ ↑------近似值*x 的相对误差限， 得（差）。（好），%1010 1|)(| %21002|)(|2*1*=≤=≤x e x e r r .

(3) 有效数字 若近似值*x 的误差不超过某位数字的半个单位，而从该位数字到*x 最左边的那个非零数字（即自左向右看，第一个出现的非零数字）共有n 位，那么这n 位数字都称有效数字，并称*x 具有n 位有效数字。 X XX x L L =* 自左向右看，第一个非零数----↑ ↑-----误差不超过该位数的半个单位 例：L 14159.3==πx ，若取近似值14.3*≈x ，则01.0210015.0|)(|*×≤=L x e ，故*x 具有三位有效数字。 (4) 有效数字、绝对误差、相对误差之间关系如何呢？ 一般(*) )1010(10)1(121*???×++×+×±=n n m a a a x L 01≠a ，即n a a a ~ ;9~1:21是.9~0 且1)1(*102 1101021||+???×=××≤?n m n m x x m m a x a 10)1(||101*1×+≤≤×Q 111121***10211010| |||||+?+?×=××≤?=∴n m n m r a a x x x e 定理1：若用） （*式表示的近似值*x 具有n 位有效数字，则其相对误差满足不等式 11 *1021||+?×≤n r a e 其中1a 为*x 的第一个非零数字。 反之，有 定理2：若近似值*x 的相对误差满足不等式 11*10) 1(21||+?×+≤n r a e 其中1a 为*x 的第一个非零数字， 则它至少具有n 位有效数字。 证明： ,102 110)1(10)1(21||||||1111***+?+?×=×+?×+≤?=?n m m n r a a x e x x 所以*x 至少具有n 位有效数字。