概率论与数理统计于电子专业的应用

概

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统

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电

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学院：

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论概率统计在电子专业中的应用

概率论与数理统计是一门十分重要的大学数学基础课,也是唯一一门研究随机现象规律的学科,它指导人们从事物表象看到其本质.的概率论与数理统计学实际应用背景很广范。正如世界知名概率学家、华裔数学家钟开莱于1974年所说：“在过去半个世纪中，概率论从一个较小的、孤立的课题发展为一个与数学许多其它分支相互影响、内容宽广而深入的学科。”概率论与数理统计学应用于自然科学、社会科学、工程技术、经济、管理、军事和工农业生产等领域.经过不断的发展,学科本身的理论和方法日趋成熟,在社会生活中,就连面试、赌博、彩票、体育和天气等等也都会涉及到概率学知识。近年来,概率统计知识也越来越多的渗透到诸如物理学、遗传学、信息论等学科当中。尤其在电子信息通信方面尤为重要，甚至是通信原理的基础课程。可以说,概率统计是当今数学中最活跃,应用最广泛的学科之一。在此文中，进一步讨论概率统计在电子信息方面的应用。

概率论与数理统计在电子电路的随机信号处理及实验中有着广泛的应用，通信工程中信号的接收和发射，都需要概率论与数理统计学的理论作为基础。因为，信号是信息的载体。信号源的输出都是随机的，怎样在随机信号中找出我们所需要的信息，就需要使用统计方法来描述。同时，对于接收者来说怎样从一个不缺定或不可预测的信号中获取我们所需要的信息，仍然需要再次利用统计学中的知识。

根据概率论与数理统计中的知识所描述，事件的概率就是对于一次随机试验E，S是它的样本空间，那么对于随机试验E中的每一个

事件A 都赋予一个实数，记为P （A ），这时，这个实数就是事件A 的概率。我们知道一个事件的不确定性可以用事件出现的频率来描述，可能性越小，概率越小；反过来说，可能性越大，则概率就越大。由此就可以看出，信息中包含的信息量与事件发生的概率密切相关。在此，我们可以判断出，当一个事件的不确定性越小时，它所携带的信息量就越大，因为我们可以从中获得更多的信息。这个时候，我们设有一个函数，它满足对于一个事件的概率P (x)，有对应的信息量I 满足I =f [P (x)],由以上总结得出：

1）P （x ）越小，则I 就越大；同样则有当P （x ）越大时，I 就越小。用数学式表达：P （x ）→1时，I →0;P （x ）→0时，I →∞. 2）因为信息所包含的信息量可以用概率来表述，所以概率的基本性质例如相加性对于信息也是满足的。就是对于概率论来说，设

,...,2

1

A A 是两两互不相容的事件，即对于A

A j

i

=?，i ≠

j,i,j=1,2,...,则

()()() (2)

1

2

1

++=A P A P A A P n

n

n

通过类比可得出若干个相互独立事件所提供的信息量就等于个独立事件所提供的信息量之和，也就是所谓的信息的相加性，即

()()[]()[]()[]

......2121++==x x x x P I P I P P I

由以上两点可以得出，信息量I 与事件出现的概率P （x ）的关系应满足一种数学关系，根据1）、2）可以知道信息量I 与事件出现的概率P （x ）的倒数成对数关系。此时，我们可以得出I 与P （x ）的对应关系，即

I=()

x P 1

log a

=-log a P （x ） 其中，a 的取值可以用来判断信息量的单位。通过这个公式，我们对信息量做出了较为直观的描述，从而对信息做出度量，为信息的传输和处理奠定了基础。

在信号的传输之前，我们需要对信号进行处理，这是因为对于信号源来说，它所发出的信号是一定的，但有时会具有较低的频谱分量，这种信号在很多信道中并不适合传输。因此，我们在信号传输之前需要对信号进行调幅。而需要调幅的信号就称为调幅（AM ）信号。 我们假设，一个调制信号m(t),叠加上直流A 0后与可形成调幅（AM ）信号。

调幅信号的时域表示为

s

AM

(t)=[A 0+m(t)]cos ωc t =A 0cos ωc t+m(t)cos ωc t

式中：m(t)为调制信号，它的均值为0；A 0是常数，表示的是叠加的直流分量。

AM 信号在1Ω电阻上的平均功率应该等于s AM （t ）的均方值即为其平方的时间平均，即

()[]t

t c

AM AM

t m A s P

ωcos 2

2

2

0)(+=

=

=()t t m t t t c c c A m A ωωωcos cos cos 2

02

2

2

2

02)(++

利用均方值可以很简单的计算出信号的总功率，通过改变高频载波的电流来改变低频谱分量，从而使原始的低频信号变换成为适合在信道中传输的已调信号，同时，也可以实现提高信号传输系统的抗干

扰能力。

由上文我们可以得出，信息具有不确定性，载有信息的信号是不可预测的，并且带有某种随机性，在信息的传输过程中，并非所有的信息都是有用的，而无用的那一部分，则被我们称为噪声。噪声更具有不确定性，并且也是不可预测的。在移动通信时，电磁波的传播路径在不断变化，同时，接收信号也是随机变化的。这时，通信中的信号源、噪声，以及信号传输特性都需要使用随机过程来描述。

对于随机过程，我们可以知道它是一个给定的时间函数；同时，在给定的任一时刻t1，全体样本在t1时刻的取值()tξ是一个不含t变化的随机变量。随机过程具有随机变量和时间函数的特点。随机过程的统计特性可以由分布函数和概率密度函数来描述，它可以分为一维、二维、...n维，当n越大时，则对随机过程的描述就越充分。同时我们也可以通过随机过程的数字特征（即均值、方差以及相关函数）更加简单直观的来描述随机过程的统计特性。

随机过程的统计特性：

1）一维分布函数

2）一维概率密度函数

3）二维分布函数和二维概率密度

4）n维分布函数和n维概率密度函数

随机过程的数字特征

1）数学期望（均值或统计平均）

设随机过程()tξ在给定的时刻t1的取值()t1ξ是一个随机变量，

起概率密度函数为

()t x f 1

11

则()t 1

ξ的数学期望为

()[]()x t x f x t d E 1

1

1

1

1

1

,?∞

∞

-=ξ

因为，t 1使任意取得，所以 可以将t 1直接记为t ，而x 1可以直接写为x ,这时，上式就变为随机过程在任意时刻的数学期望，所以上式可以写为

()[]()dx t x x

t E f ?∞

∞-=,1

ξ

对于均值性质如下： 1）设C 是常数，则有E(C)=C;

2）设X 是一个随机变量，C 是常数，则有E(CX)=CE(X)； 3）设X 和Y 是任意两个随机变量，则有E(X+Y)=E(X)+E(Y)； 4）设X 和Y 是任意两个相互独立的随机变量，则有E(XY)=E(X).E(Y)。 本性质可以推广至任意个相互独立的随机变量之积的情况。 2）方差

方差就是均放置与均值平方之差，它表示在随机时刻t 对于均值的偏离程度。 3）相关函数

对于一维的概率密度函数用均值和方差就可以描述，对于二维概率密度函数的描述则仍需要引入概率论与数理统计学中的相关函数和协方差来对随机过程进行描述。 协方差函数

()()()[]()()[]

{}t t t t t t a a E B 221121,--=ξξ

=()[]()[]()dx dx t t x x f t x t x a a 212;12122211;,??∞

∞-∞

∞---式中：t 1、t 2——

为任意两个时刻；

()t a 1、()t a 2——所选取的两个时刻所得到的数学期望；

()t t x x f 2

,

1;2,

12

——二维概率密度函数。

相关函数

()()()[

]

()dx

dx t t x x f x x t t t t E R 2

1

2

,

1;2,

12

2

1

212,1?

?∞

∞-∞

∞

-==ξξ

式中：t 1、t 2——任取的两个时刻；

()t t x x f 2

,

1;2,

12

——二维概率密度函数

通过这些就可以对随机过程进行描述。通过对随机信号的描述我们可以正确的对信号做出判断和处理。但是，在对随机信号进行处理的过程中，我们难以避免的会遇到噪声和干扰，噪声和干扰会使我们在接收信号时，无法确定我们所收到的信号是否正确，更加的在增加了接收信号的不确定性，从而使信号的传输和接收产生误差。为了解决这个问题，在有限的条件下判断出信号的正确性，就需要通过统计推断中的假设检验理论来解决这个问题。

在统计学中，经过人们的长期实践，使得假设检验的一般过程比较明确。由于要检验的假设涉及总体均值μ，所以我们首先可以想到的是是否可以借助样本的均值x 这一统计量来进行判断。我们知道X 是μ的无偏估计，X 的观察值x 的大小在一定程度上，反映了μ的大小，所以，如果假设H 0为真，则一次实验的观察值x ，满足不等式

z a n

x 20

≥-σμ

几乎是不会发生的。现在，在一次实验中出现了满足z a n

x 20

≥-σμ

的x ，则我们可以怀疑原来假设的H 0的正确性而拒绝

H

，若出现的观测值x 满足

z a n

x 0

<-σμ

，

此时没有理由拒绝假设H 0，因此，只能接受H 0.

在信号的统计检测与估计中，对于假设检验的定义是认为一个被观测的物理系统可能出于M 个状态之一。我们就称“系统处于状态

j (j =1,2,...,M)为假设H j ”。

由于 对系统一般只能进行有限的检测，假定观测数据矢量为

[]v v v N v

T

~,...,~,~21~=，?

∈N

v ~，并令，()v P j ~为H j 为真时的观测数据

为v ~的条件概率密度；()M j j ,...,2,1=ζ为系统出于H j 时的先检概率，

显然有

()1~0≤≤v

P j 及 ()??N

v d v

P j

~~=1

10≤≤ζj

及

11

=∑=M

j j

ζ

()v P j

~又称为转移概率，它一般只决定于干扰与噪声。因为我们只能根据数据观测量来判断系统处于何种状态，但因为v

~是随机矢量，N 有限，所以要检测结果完全正确也是不可能的。

要判别在实际过程中，随机信号和有用信号存在的检测问题归结为:判别为在H H H M 1,1,0...-等M 个假设中的哪一个假设为真的问题。

经过进行统计判决的经验积累，在假设检验对信号进行统计判决时，一般遵循以下步骤：首先要对信号做出原假设；其次，选择出判决所要遵循的最佳准则；然后，进行试验，来获得进行信号统计所需要的资料；最后，根据数据和给定的最佳观测来进行统计判决。

这样，我们就可以根据判决结果来判断出信号的有无，从而使信

号的接收和传输简便，避免了在接收信号时遇到的噪声和干扰，不易出现误差。

本文介绍了利用概率来表示信号的不确定性从而便于对信号进行度量，利用均方值来判断改变信号的频谱，使信号便于在多重信道中传输，并介绍了均值，方差，相关函数等对于随机过程的描述等，然而这些仅仅是概率论与数理统计在电子通信专业的一部分应用。在研究信号处理与模拟信号时，我们更能发现，概率论与数理统计对于本专业的奠基作用。所以，我们在学习专业课程之前，更要打好数学基础，为未来深入研究学习做好准备工作。