二次根式的化简的教学设计
第2课时二次根式的化简
习水县第十中学穆仁贵
一、教学内容
人教版八年级下册16.1——《运用算术平方根进行二次根式的化简》
二、教学目标
1.通过运用算术平方根的意义进行二次根式的化简的探究，让学生进一步理解算术平方根的意义——(√a)2=a（a≥0）。
2.根据(√a)2=a（a≥0）对求二次根式进行化简，逐渐培养学生的计算能力。
3.探究√a2=a（a≥0），并运用此公式对二次根式进行化简，逐渐培养学生的计算能力。
4.类比(√a)2=a（a≥0）和2=a（a≥0）两个公式的区别，让学生进一步理解（a≥0）的重要性，在进行化简是要注意满足的条件。
三、教学重难点
重点：利用(√a)2=a（a≥0）和√a2=a（a≥0）两个公式进行二次根式的化简。
难点：(√a)2=a（a≥0）和2=a（a≥0）两个公式的探究和利用这两个公式进行二次根式化简。
四、教学过程
四、教学资源
【说明】教学资源可以是素材性资源，如文献资料、视频资料、音频资料等，也可以是条件性资源，如参观场馆、专用教室等。
二次根式的化简 教学设计.
二次根式的化简教学设计2 2008-01-21 （第1课时） 一、教学目标 1.掌握二次根式的性质 2.能够利用二次根式的性质化简二次根式 3.通过本节的学习渗透分类讨论的数学思想和方法 二、教学设计 对比、归纳、总结 三、重点和难点 1.重点：理解并掌握二次根式的性质 2.难点：理解式子中的可以取任意实数，并能根据字母的取值范围正确地化简有关的二次根式． 四、课时安排 1课时 五、教具学具准备 投影仪、胶片、多媒体 六、师生互动活动设计 复习对比，归纳整理，应用提高，以学生活动为主 七、教学步骤 （一）教学过程 【复习引入】 1．求值、、、… 求值、、、…
结论：当时，； 当时，． 2．求值、… 结论：当时，式子有意义，，对于，不能为负数． 3．求值、… 结论：当时，． 问：若根号内这个式子中的底数，根式还有意义吗？其值等于什么？ 例如，，其中－2与2互为相反数；，其中－3与3互为相反数；，其中与互为相反数． 【讲解新课】 提出问题：等于什么？引导学生讨论、猜测、联想，得到结论： 教师可结合学生的具体情况，将上面公式用最简练的语句表达，并反复提问中差学生，加深其印象，进一步提问：若时，能否等于，以增强学生的辨别能力，加强学生对公式的.理解和记忆． 例1 化简： （1）；（2）． 解：（略）． 注：可看作，把先写为； 可看作，把先写为． 例2 化简：． 分析：底数是非负数还是负数将直接影响结果，这时要注意条件，由条件，可得． ∴ ． 解：（略）． 例3 化简下列各式：
（1）（）；（2）（）； （3）（）；（4）（）． 解：（1）∵ ∴． ∴ ． （2）∵ ∴ ，即． ∴ ． （3）∵ ∴ ，即． ∴ ． （4）∵ ， ∵ ，即． ∴ ． 注：要从条件出发，判断根号下面式子的底数是非负数还是负数，再根据公式计算出结果，因此在解题过程中，也是先写出条件，后进行变形，判断底数的正、负． 在写解题步骤上，尽量完整，以减少失误，并训练学生的逻辑思维能力． （二）随堂练习 1．求值： （1）；（2）；（3）（）； （4）；（5）．
《二次根式化简》教学设计(宁 夏县级优课)
16.1 二次根式(2) 一、教材分析与处理 (一)教材的地位和作用：《二次根式》是人教版义务教育课程标准实验教科书《数学》八年级下册第十六章第一节.二次根式是在学习平方根基础上将具体数字抽象化，并且基于学习二次根式定义的基础上对二次根式的性质进行进一步的探究，本节课为学习二次根式的计算等知识做好了铺垫. (二)教学目标： 知识与技能目标： a ≥0）是一个非负数,掌握2=a （a ≥0）和a a =2， 并利用它们进行计算和化简． 过程与方法目标： （a ≥0）是 2=a （a ≥0）,运用结论解题；通 过具体数据的解答，探究（a ≥0），并利用这个结论解决具体问题． 情感与价值目标：通过本节课的学习培养学生准确计算和化简的严谨的学习精神，培养学生观察、分析、发现问题的能力，并且通过探究感受学习的乐趣和获得成果的成就感，进一步增强学生自主参与意识. ． (三)教学重点与难点: 1.重点： a ≥0）是一个非负数,掌握()()02 ≥=a a a 、a a =2,并利用它们进行计算和化简． 2.难点：引导学生自主探究推导得出()()02 ≥=a a a 、a a =2. 二、学生情况分析及对策 八年级学生已经学习了算数平方根，而且基本能够理解算数平方根的意义，并且能根据算数平方根进一步扩展探究二次根式的定义及二次根式有意义的条件，但是对于二次根式的意义及运算结果探究不深，而且有些同学不能深入理解二次根式的意义，这样学习本节课就产生了一定的困难.根据学生的实际情况和特点，我采取由特殊到一般，有简到难逐一探究、突破难点的教学方法进行本节课的教学. 三、教法与学法 1.教法：回顾旧知探究新知，教师设计情境，提出问题，引导学生通过观察，由具体到抽象，得到二次根式的性质，培养学生由特殊到一般的思想方法，先大胆猜想，再进一步探究，最终得到结论，并借助多媒体演示教学，增强课堂实例的直观性和启发性.
二次根式混合化简计算题
二次根式混合化简计算题 4、，；5 745 屈4 422 1. . (5.48 6.27 4.15) , 3 yd时2,求代数式｛FP緒匚的值 5.已知: 1 2 3( 1■10)；7 . 10x . 10 1y .. 5 100z ?
的值. 17. 1 . 2 3、. 2 2 .5. x 3 .5 ab 0,b 4 .、、a 3b 6 ab a f 0,bf 0 1 3 5 ., 1 2 3 2 18.化简: 1 ..a 3b 5 a 0,b 0 19.. 把根号外的因式移到根号内: 2 .1 X 】1 20. 5； 2石 2.12 3 1
22. 7 4.3 7 4、. 3 35 23. .2 24. 2 1 "a 26.( 选 做） x. y 28.已知：x 3 /2 .3 2,y 2 1 . 3 2 25. —, Va a b /b 2 4 , 3xy2 3的值。 x y 2x y x y
29. 已知：a 1 .15，求a22的值。 a a 30. 已知：x, y为实数，且y p ?. x i ..^x 化简: y 3 ■, y2 8y 16。 31. v'x 3y 已知 x 3 x29 0,求 x-1 Y7! 的 值。 32 ( 1)—6 .45X(—4 48);(2) .(—64)X (—81); (3) ,1452—242; (4) 5b 2a 3能-3 33.化简： (1) 2700; (2) 202—162;
若最简二次根式3 4^1与1是同类二次根式，则 已知x ..2, y .2，则x3y 3 xy 已知x 则x2 2000 g .3 2 2001 已知：x, y为实数，且y p ,x 1 .1x3，化简: y2 8y 16。 已知A x29 的 值。 时, J 3x是二次根式. 时, ?、3 4x在实数范围内有意义. 比较大小: 3一 2 2.3 . ;.252242 计算: 3 . 5a 2 .10b 计算: 2 16b2c a2 当a= J3 时，贝U V15 a2__________ 若，;x :成立，则x满足-------------------------- 已知xy v 0，化简;比较大小: 1 2、7 1 4、3 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49.
二次根式的化简与计算
二次根式的化简与计算 【知识要点】 1．一般地，式子()0≥a a 叫做二次根式，这里的a 可以是数，也可以是代数式，它们都必须是非负数（即不小于0），a 的结果也是非负数． 2．二次根式的性质 （1） () ()02 ≥=a a a （2）()()()?? ? ??<-=>==000 02a a a a a a a （3）()0,0≥≥?=? b a b a b a （4） ()0,0>≥=b a b a b a 3．运算法则： （1）乘法运算：()0,0≥≥=?b a ab b a （2）除法运算： ()0,0>≥= b a b a b a 4．最简的二次根式： （1）被开方数因数是整数，因式是整式． （2）被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数． 5．分母有理化 定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化. 方法:①单项 a =来确定． ②两项二次根式：利用平方差公式()()22b a b a b a -=-+来确定． 如 : a 与a - 【经典例题】 例1．判断下列各式，是否是二次根式： ,12,4,,4,27,824233 +--a a a 2,21122 +?? ? ?? < -a a a
例2．计算下列各题： （1） () 2 7 （2）2 43??? ? ?? （3）() 2 23 （4）2 55??? ? ?? （5 （6 例4．把下列各式分母有理化 （1）12 1 （2） 2 33 （3） 12121 （4）50 3 51- 例5．化简 （1）121699?? （2）637? （3）221026- （4） ()()2512-?- 例6．计算 （1）??? ? ??-?32335 （2） ??? ? ??-?56215 （3）??? ? ??-?614123 （4）5433 1 12785??? -
《二次根式化简》教学设计1
16.1二次根式 第2课时 教学目标 知识与技能 1.理解(√a)2=a(a≥0)和2=a(a≥0),并利用它们进行计算和化简. 2.用具体数据结合算术平方根的意义推出(√a)2=a(a≥0)和探究2=a(a ≥0),会用这个结论解决具体问题. 3.了解代数式的概念. 过程与方法 在明确(√a)2=a(a≥0)和√a2=a(a≥0)的算理的过程中,感受数学的实用性. 情感态度与价值观 通过运用二次根式的性质化简的相关计算,解决一些实际问题,培养学生解决问题的能力. 教学重点与难点 【重点】掌握二次根式的性质,并能将二次根式的性质运用于化简.【难点】能运用二次根式的性质化简. 教学准备 【教师准备】教学所需的习题资料. 【学生准备】课前自学教材第3-4页的内容.
教学过程 一、新课导入 教师出示问题: 1.什么叫二次根式? 2.当a ≥0时,√a 叫什么?当a <0时,√a 有意义吗? 学生口答,老师点评. 通过前面的学习,我们知道了二次根式√a 具有双重非负性.今天我们主要 学习一些二次根式的其他性质. [设计意图] 复习旧知导入新知,让本节课自然过渡,为本节课学习奠定 了基础. 二、构建新知 1.二次根式的性质1:(√a )2=a (a ≥0) [过渡语] 我们先来探究性质1: (√a )2=a (a ≥0). 提问:你能解释下列式子的含义吗? (√4)2,(√)2,(√13)2 ,(√0)2. 学生口述,教师根据情况评价. (√4)2表示4的算术平方根的平方;(√)2表示2的算术平方根的平方;(√13)2 表示13的算术平方根的平方;(√0)2表示0的算术平方根的平方. 追问:根据算术平方根的意义填空,并说出得到结论的依据.
2013-2014湘教版二次根式测试卷
第5章 二次根式检测题 （本检测题满分:100分，时间：90分钟） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1.（2012·武汉中考）若3x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A.3x < B.3x ≤ C.3x > D.3x ≥ 2.如果2(21)12a a -=-，那么（ ） A.a ＜ 12 B.a ≤12 C.a ＞12 D.a ≥12 3. 如果最简二次根式38a -与172a -能够合并，那么a 的值为（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 4.已知25523y x x =-+--, 则2xy 的值为（ ） A.15- B.15 C.152- D.152 5.下列各式计算正确的是（ ） A.83236-= B.5352105+= C.432286?= D.422222÷= 6.等式2111x x x -?+=-成立的条件是（ ） A.1x > B.1x <- C.1x ≥ D.1x -≤ 7.如果代数式4 3 x -有意义，那么x 的取值范围是（ ） A.3x ≠ B.3x < C.3x > D.3x ≥ 8.下列说法正确的是（ ） A.ab a b =? B.32(0)a a a a -?=≠ C.不等式21x ->的解集为1x > D.如果分式中的和都扩大为原来的3倍，那么分式的值扩大为原来的3倍 二、填空题（每小题3分，共24分） 9.化简: 2 3 = ；2318(0,0)x y x y >> =_________. 10.比较大小:10 3；22______π. 11.（1）（2012·吉林中考）计算123-=________； （2）（2012·山东临沂中考）计算1 482 -= ． 12.（2013·吉林中考）计算： × = .
二次根式的运算知识讲解
二次根式的运算（提高）知识讲解 【学习目标】 1、理解并掌握二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次根 式加减运算； 2、掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘 除运算； 3、会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算. 【要点梳理】 要点一、二次根式的加减 二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中. 要点诠释： （1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用. （2）二次根式加减运算的步骤： 1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式； 2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组； 要点二、二次根式的乘法及积的算术平方根 1.乘法法则：（a≥0，b≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变， 只把被开方数相乘. 要点诠释： (1).在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数). (2).该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算： ≥0，≥0，…..≥0）. (3).若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如. 2.积的算术平方根: （a≥0，b≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方 根的积. 要点诠释： (1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足a≥0，b≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了； (2)二次根式的化简关键是将被开方数分 解因数，把含有形式的a移到根号外面.
《二次根式化简》教学设计2
16.1.2二次根式化简 【教学目标】 1.知识与技能 （1）经历探索性质(a)2= a（a≥0）和2a=a（a≥0）的过程，并理解其意义； （2）会运用性质(a)2= a（a≥0）和2a= a（a≥0）进行二次根式的化简； （3）了解代数式的概念。 2.过程与方法 （1）从具体到抽象自主探究得到二次根式的性质，增强学生自主参与的意识。 （2）发展观察、归纳、概括等能力，发展有条理的思考能力以及语言表达能力。 3.情感态度和价值观 （1）通过师生共同活动，促进学生在学习活动中培养良好的情感，合作交流，主动参与的意识。 （2）在独立思考的同时，通过小组交流能够得到他人的认同并认同他人。 【教学重点】 理解二次根式的性质性质(a)2= a（a≥0）和2a=a（a≥0），并能用它们进行计算和化简。【教学难点】 引导学生自主探究推导出性质(a)2= a（a≥0）和2a=a（a≥0） 【教学方法】 引导学生通过观察，讨论，由具体到抽象，得出一般结论，并发现开平方运算与平方运算的互逆关系，培养学生由特殊到一般的思维方式。学生通过自学与小组合作学习相结合的方法探究推导并掌握二次根式的性质。 【课前准备】 教学课件，学案。 【课时安排】 1课时 【教学过程】 一、复习导入 【教师】上节课我们学习了二次根式的概念，了解了满足什么样的条件才能称为二次根式，现在，我们来复习一下吧。 课件展示复习题，学生快速回答。 【学生】形如a（a≥0）的式子叫做二次根式。
【教师】当a ≥0时，a 表示： ？ 【学生】a 的算术平方根，即当a ≥0时，a ≥0 【教师】同学们能回忆一下算数平方根的意义吗？ 学生讨论后师生共同回忆 二、新课教学 1.出示学习目标 （1）经历探索性质(a )2= a （a ≥0）和2a =a （a ≥0）的过程，并理解其意义； （2）会运用性质(a )2= a （a ≥0）和2a =a （a ≥0）进行二次根式的化简； （3）了解代数式的概念． 2．探究二次根式的性质1 【教师】之前我们学习了算术平方根，现在，大家根据算术平方根的意义填一下探究内容吧。 (4)2= ；(2)2 = ； (3 1 ) 2 = ； (0 )2 = 。 学生快速计算，请同学回答 【教师】大家的计算都很正确，现在，请大家思考一下，如果我们把被开方数换成a ，那么就会有得到什么结论呢？请同学们思考。 教师通过几何画板，借助数轴动态演示，帮助学生的到结论 请学生总结：(a )2= a （a ≥0） 【教师】这就是二次根式的第一个性质： (a )2= a （a ≥0） 解决问题：1.计算（1）：(3)2 ；（2）：(23)2 ． 2．探究二次根式性质2 【教师】接下来，我们来看第二个探究内容。 填空： 22= ；21.0= ； 2 32??? ??= ；20 = 。
二次根式的化简与计算
二次根式的化简与计算
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： ?
二次根式 【知识要点】 1．一般地，式子()0≥a a 叫做二次根式，这里的a 可以是数，也可以是代数式，它们都必须是非负数(即不小于0),a 的结果也是非负数. 2.二次根式的性质 （１)()()02≥=a a a （2）() ()() ?????<-=>==00002a a a a a a a (3）()0,0≥≥?=?b a b a b a (4）()0,0>≥=b a b a b a 3.运算法则： （１）乘法运算：()0,0≥≥=?b a ab b a (2)除法运算：()0,0>≥=b a b a b a 【化简以及分母有理化】 外移：2||a b a b = 内移:a b ， 当0a >时,2a b a b = 当0a <时,2a b a b =- 4．最简的二次根式： （１）被开方数因数是整数,因式是整式. （２)被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数． 5．分母有理化 定义:把分母中的根号化去，叫做分母有理化.
方法:①单项二次根式:利用a a a ?=来确定. ②两项二次根式：利用平方差公式()()22b a b a b a -=-+来确定. 如: a b +与a b -，a b a b +-与, a x b y a x b y +-与分别互为有理化因式。 a x b y a x b y +-与分别互为有理化因式。 例题. 化简：(1)3227a b = ； （2)32418a a ?= ． 例题32 27= . 2 3649y x ＝ ; 同类二次根式 (1)定义: 几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,那么这几个二次根式叫做同类 二次根式。 (2)判断方法: 注意以下三点： ①都是二次根式,即根指数都是2； ②必须先化成最简二次根式； ③被开方数相同. 【重难点解析】 1．化简二次根式：尽量把根号里的数写成几个数的平方的形式。 如:21223=?= 23 21832=?＝ 32 25052=?＝ 52 2.根号里的数比较大时，使用短除法把这个数分解成质数的幂的形式。 如29482379=??= 2379?，24202553=?＝ 253? ３．根号内有字母或代数式，观察它们所能分解出来的最小偶次数。如: 542 x x x x x =?=、()()()3232111x x x x x x +=++=()()11x x x x ++ 4．单项的分母有理化,可以直接分子分母同时乘以分母再约分。 如：11333333?==? 、 2223233233823233 ?====??
二次根式混合化简计算题
二次根式混合化简计算题 1. 2484554+-+ 2. 233232 6-- 3. 21 4 181 22 -+- 4. 3)154276485(÷+- 5.已知： 的值。求代数式22,211881-+- +++-+-=x y y x x y y x x x y 6 )(102 1 32531 -??； 7 z y x 10010101??-． 8. 521312321?÷； 9. )(b a b b a 1223÷?． (() 2 771+--
16. 已知：24 20-=x ，求221x x +的值． 17. ()1 ()2 ()(() 30,0a b -≥≥ ())40,0a b ()5()6?÷ ? 18. 化简： ())10,0a b ≥≥ ()2 ()3a 19.. 把根号外的因式移到根号内： ()1.-()(2.1x -
20. ( 231 ?++ ? 22. (() 2 771+-- 23. ((((2 2 2 2 1111- 24. 22 - 26. (选做
28. 已知：x y ==3243223 2x xy x y x y x y -++的值。 29. 已知：11a a +=221 a a +的值。 30. 已知：,x y 为实数，且13y x -+ ，化简：3y - 31. 已知()1 -1 -039 32 2y x x x y x ，求 =+-+-的值。 32（1）－645×（－448）； （2）（－64）×（－81）； （3）1452 －242 ； （4）3c 2ab 5c 2÷325b 2a
二次根式(A)单元夺冠试题 湘教版八年级下
二次根式A 一、填空题。 1、当x _______时，x—2 有意义。 2、若(x—3)(x—2) =x—3 .x—2 成立,则x应满足____ 。 3、若x>0,化简x2y = . 4、计算: 3y x· 3x2 y = 。 5、计算:( 28 －2 3 ＋7 )·7 ＋84 = 。 6、已知a=3＋2 2 ,b=3－2 2 ,则a2b－ab2= 。 7、已知一个菱形的两条对角线长分别为(4＋ 3 )cm，(4－ 3 )cm,则它的面积是 。 8、阅读:∵2＜ 5 ＜3，∴ 5 的整数部分是2,小数部分是( 5 －2)，∵3＜11 4，∴11 整数部分是否，小数部分是（11 —3）。若x表示10 的整数部分，y表示10 的小数部分，请计算：（10 +x）y= 。 二、选择题 9、下列各式①－1 2 ；②（—3）2；③9×（—3）；④ —2 —5 ；⑤a2+b2；⑥ 10—3；⑦—a （其中A<0)中,其中是二次根式的有( )： A. 3个 B.4个 C.5个 D.6个 10、下列各式运算正确的是( )： A 、(352)=3×(5)2=3×5=15；B、(－5)2=－(5)2=－5； C、(b－a)2=b—a（b≥a）； D、（ 3 a）2=3a； 11、若a、b为正实数，下列等式中一定成立的是（）： A、a2+b2=a2+b2； B、（a2+b2）2=a2+b2； C、（ a + b ）2= a2+b2； D、（a—b）2=a—b； 12、已知一个直角三角形的两边长分别是6和8，则第三边长为（）： A、10； B、8； C、27 ； D、27 或10； 13、化简（ 3 — 2 ）2008·（ 3 + 2 ）2009得（）： A、1； B、 3 — 2 ； C、 3 + 2 ； D、— 3 + 2 ； 14、下列计算正确的是（）： A、—16 —25 = —16 —25 = —4 —5 = 4 5 ； B、 3 4 =2 3 ； C、21 4 a4= 1 2 2 a2；D、 4a 81b2 = 2 9b a （其中a≥0，b＞0）； 15、计算：18 ÷（ 3 — 6 ）的结果是（）： A、 6 — 3 ； B、 3 ； C、— 6 —2 3 ； D、—3 3 ； 16、化简： 1 5 + 3 甲、乙两同学的解法如下：
二次根式混合化简计算题
二次根式混合化简计算题 1. 2484554+-+ 2. 2332326-- 3. 21418122 -+- 4. 3)154276485(÷+- 5.已知： 的值。求代数式22,211881-+-+++-+-=x y y x x y y x x x y 6 )(102132531-??； 7 z y x 10010101??-． 8. 521312321?÷； 9. )(b a b b a 1223÷?． (()2 771+--
16. 已知：2420-= x ，求221x x +的值． 17. ()1()2 ()(() 30,0a b -≥≥ ())40,0a b ()5()6?÷ ? 18. 化简： ())10,0a b ≥≥ ()2 ()3a 19.. 把根号外的因式移到根号内： ()1.-()(2.1x - 20.
(231 ?++ ? 22. (()2771+-- 23. ((((2222 1111- 24. 22 - 26. (选做 28. 已知：x y ==32432232x xy x y x y x y -++的值。
29. 已知：11a a + =221a a +的值。 30. 已知：,x y 为实数，且13y x -+ ，化简：3y - 31. 已知()1 -1-039322y x x x y x ，求=+-+-的值。 32（1）－645×（－448）； （2）（－64）×（－81）； （3）1452－242； （4）3c 2ab 5c 2÷325b 2a 33. 化简： （1）2700； （2）202－162； （3） 1681； （4）8a 2b c 2 ．
二次根式全章教案(湘教版八年级下册)
4.1 二次根式和它的化简（第一课时）教学内容：二次根式的概念及其运用 教学目标： a≥0）的意义解答具体题目．提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题． 教学重难点关键：1 a≥0）的式子叫做二次根式的概念； 2 （a≥0）”解决具体问题． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们独立完成下列三个问题： 问题1：已知反比例函数y=3 x ，那么它的图像 在第一象限横、?纵坐标相等的点的坐标是___________． 问题2：如图，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB边的长是__________．B A C 问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，甲这次射击的方差是S2，那么S=_________． 老师点评： 问题1：横、纵坐标相等，即x=y，所以x2=3．因为点在第一象限，所以 ． 问题2：由勾股定理得 问题3：由方差的概念得 S= 二、探索新知
都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子， （a ≥0）?的式子叫做二次根式，” 称为二次根号． （学生活动）议一议： 1．-1有算术平方根吗？ 2．0的算术平方根是多少？ 3．当a<0有意义吗？ 老师点评:（略） 例11 x （x>0）、 、1 x y +、x ≥0，y?≥0）． 分析；第二，被开方数是正数或0． （x>0）、（x ≥0，y ≥0）；不是二次根式的 1x 、1x y +． 例2．当x 分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，才能有意义． 解：由3x-1≥0，得：x ≥ 13 当x ≥1 3 在实数范围内有意义． 三、巩固练习 教材练习1、2、3． 四、应用拓展 例3．当x 1 1 x +在实数范围内有意义？ 分析：11x +在实数范围内有意义，0和11 x +中的x+1≠0． 解：依题意，得23010 x x +≥?? +≠? 由①得：x ≥-3 2 由②得：x ≠-1 当x ≥- 32且x ≠-11 1 x +在实数范围内有意义．
最新二次根式的化简与计算
二次根式的化简与计算 1 【知识要点】 2 1．定义：一般地，式子()0≥a a 叫做二次根式，这里的a 可以是数，也可以是代数 3 式，它们都必须是非负数（即不小于0），a 的结果也是非负数． 4 2．二次根式的性质 5 （1） () ()02 ≥=a a a 6 （2）() ()()?? ? ??<-=>==000 02a a a a a a a 7 （3）()0,0≥≥?=?b a b a b a 8 （4） ()0,0>≥=b a b a b a 9 3．运算法则： 10 （1）乘法运算：()0,0≥≥=?b a ab b a 11 （2）除法运算： ()0,0>≥= b a b a b a 12 4．最简的二次根式： 13 （1）被开方数因数是整数，因式是整式． 14 （2）被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数． 15 5．分母有理化 16 定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化. 17 方法:①单项 a =来确定． 18
②两项二次根式：利用平方差公式()()22b a b a b a -=-+来确定． 19 如: a b +与a b -，a b a b +-与， 20 a x b y a x b y +-与分别互为有理化因式。 21 练习： 22 1．判断下列各式,是二次根式有_________________. 23 ,12,4,,4,27,824233+--a a a 2,21122+??? ? ? <-a a a 24 2．下列各组二次根式中是同类二次根式的是（ ） 25 A ． B ． C ． D ． 26 3. 与最简二次根式是同类二次根式，则m=______． 27 28 4.若1＜x ＜2，则的值为（ ） 29 A ．2x ﹣4 B ．﹣2 C ．4﹣2x D ．2 30 5．实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+ 的结果是（ ） 31 32 A ．﹣2a+b B ．2a ﹣b C ．﹣b D ．b 33 6．若式子有意义，则x 的取值范围为（ ） 34 A ．x ≥2 B ．x ≠3 C ．x ≥2或x ≠3 D ．x ≥2且x ≠3 35
二次根式的化简(含字母)教学设计
《16.1二次根式化简》教学设计 姜杰 本节课教学内容“二次根式”是湘教版八年级下册第四章第l 节第一课时。主要内容是学习二次根式的定义和性质，重点是对二次根式的性质的理解及应用2. 难点是性质的区别与联系.本节课是一节新授课。在备课时我就按照目标让学生明白、过程让学生经历、结论让学生讨论、规律让学生总结的指导原则进行认真备课，尤其对例题与练习题也进行了精心的挑选，按照由易到难由简入繁的顺序安排，并且认真制作了课件，便于学生对重点内容的理解和难点的解决.在实际授课中，通过以下步骤让学生认识、理解、并掌握本节知识：（1）让学生回顾了算术平方根与平方根的概念，得出二次根式的定义后又复习了算术平方根具有双重非负性；（2）通过练习掌握如何判断一个式子是否是二次根式的条件，掌握二次根式在实数范围内有意义的条件；（3）通过练习让学生得出二次根式的两个性质，体会从特殊到一般的思维过程，进而掌握公式的一般推导方法。在整个学习过程中，突出引导学生自己得出结论，特别是二次根式的两个性质，学生自己就初步得出了结论，培养了学生总结规律的能力。 16.1二次根式 教学目的： 1、使学生理解二次根式的意义 2、理解和应用二次根式的性质a 0≥()0≥a 和()()02≥=a a a 及掌握二次根式 的化简. 3、掌握用解一元二次不等式的方法求二次根式的被开方数中字母的取值范围; 4、培养学生观察、分析、归纳、概括的能力。 教学重点：理解二次根式的意义及其性质 教学难点：难点是理解性质及掌握二次根式 的化简. 教具：多媒体课件 教学过程： 一、复习： 请回答下列问题 二次根式的性质 求下列各数的算术平方根的平方值，并说出这些值与原来的各数有什么关系？ 5.0,9 4,0,2,4 问：如果用字母a 表示数，上述结论是否成立？成立的条件是什么？ 答：如字母,0≥a 那么()a a =2， 我们得到 二次根式的基本性质 (1) ()()02≥=a a a 请判断下列各式是否成立？ 2a 2a
二次根式的化简与计算的策略与方法
二次根式的化简与计算的策略与方法 二次根式是初中数学教学的难点内容，读者在掌握二次根式有关的概念与性质后，进行二次根式的化简与运算时，一般遵循以下做法： ①先将式中的二次根式适当化简 ②二次根式的乘法可以参照多项式乘法进行，运算中要运用公式（， ） ③对于二次根式的除法，通常是先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算． ④二次根式的加减法与多项式的加减法类似，即在化简的基础上去括号与合并同类项． ⑤运算结果一般要化成最简二次根式． 化简二次根式的常用技巧与方法 二次根式的化简是二次根式教学的一个重要内容，对于二次根式的化简，除了掌握基本概念和运算法则外，还要掌握一些特殊的方法和技巧，会收到事半功倍的效果，下面通过具体的实例进行分类解析． 1．公式法 【例1】计算①；② 【解】①原式 ②原式 【解后评注】以上解法运用了“完全平方公式”和“平方差公式”，从而使计算较为简便．2．观察特征法 【例2】计算： 【方法导引】若直接运用根式的性质去计算，须要进行两次分母有理化，计算相当麻烦，观察原式中的分子与分母，可以发现，分母中的各项都乘以，即得分子，于是可以简解如下： 【解】原式．
【例3】把下列各式的分母有理化． （1）；（2）（） 【方法导引】①式分母中有两个因式，将它有理化要乘以两个有理化因式那样分子将有三个因式相等，计算将很繁，观察分母中的两个因式如果相加即得分子，这就启示我们可以用如下解法： 【解】①原式 【方法导引】②式可以直接有理化分母，再化简．但是，不难发现②式分子中的系数若为“1”，那么原式的值就等于“1”了！因此，②可以解答如下： 【解】②原式 3．运用配方法 【例4】化简 【解】原式 【解后评注】注意这时是算术根，开方后必须是非负数，显然不能等于“” 4．平方法 【例5】化简 【解】∵
八年级数学上册二次根式湘教版
八年级数学上册第5章二次根式（湘教版） 第5章二次根式 5.1 二次根式第1课时二次根式的概念及性质 1.了解二次根式的概念. 2.理解并掌握二次根式的性质：(a)2＝a(a≥0)和a2＝a(a≥0).(重点) 自学指导：阅读教材P155～157，完成下列问题. (一)知识探究 1.形如a的式子叫作二次根式，根号下的数叫作被开方数.只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义. 2.二次根式的性质：(1)(a)2＝a(a≥0)；(2)a2＝|a|＝a（a≥0），－a（a<0）. (二)自学反馈 1.下列各式中，一定是二次根式的是(C) A.－7 B.3m C.1＋x2 D.2x 二次根式应满 足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或 0. 2.代数式x＋1有意义，则x的取值范围是(A) A.x≥－1 B.x≠1 C.x≥1 D.x≤－1 二次根式有意义的条件是：被开方数大于等于零. 活动1 小组讨论例1 当x是怎样的实数时，二次根式x－1在实数范围内有意义？解：由x －1≥0，解得x≥1. 因此，当x≥1时，x－1在实数范围内有意义. 例2 计算： (1)(5)2；(2)(22)2. 解：(1)(5)2＝5. (2)(22)2＝ 22×(2)2＝4×2＝8. 例3 计算： (1)（－2）2；(2)（－1.2）2. 解：(1)（－2）2＝22＝2. (2)（－1.2）2＝1.22＝1.2. 活动2 跟踪训练 1.若（a－3）2＝a－3，则a的取值范围是(D) A.a<3 B.a≤3 C.a>3 D.a≥3 2.把下列非负数写成一个非负数的平方的形式： (1)5＝(5)2；(2)3.4＝(3.4)2；(3)16＝(16)2；(4)x＝(x)2(x≥0). 3.当x是怎样的实数时，下列二次根式有意义？ (1)－x；(2)5－2x；(3)x2＋1. 解：(1)由－x≥0，得x≤0.因此，当x≤0时，－x有意义. (2)由5－2x≥0，得x≤52.因此，当x≤52时，5－2x有意义. (3)由x2＋1≥0，得x为任意实数.因此，当x为任意实数时，x2＋1都有意义. 4.计算： (1)(11)2； (2)（－6）2；(3)(－25)2；(4)－2（18）2. 解：(1)11.(2)6.(3)20.(4)－14. 活动3 课堂小结本节课你有什么收获？ 第2课时二次根式的化简 1.了解最简二次根式的概念. 2.会利用
二次根式加减法教学设计
二次根式的加减法 【学习目标】 1、熟练进行二次根式的化简。 2、了解同类二次根式的概念，会识别同类二次根式。 3、会利用二次根式的加减运算法则进行计算。 教学重难点及突破 重点：二次根式加减法运算。 难点：1、同类二次根式的概念及其判断方法 * 2、熟练进行二次根式加减法的运算。 突破：二次根式加减法运算的关键在于二次根式化简，在讲解过程中引入几个整式加减法的运算。 教学方法：启发引导，讲练结合为主，自主探究 教学准备： 教师准备：多媒体课件精选二次根式的加减的例题。 学生准备：复习最简二次根式，预习二次根式的加减运算法则。 教学步骤 （一）、明确目标: 。 学习二次根式化简的目的是为了能将一些最终能化为同类二次根式项相合并，从而达到化繁为简的目的，本节课就是研究二次根式的加减法．（二）、整体感知: 同类二次根式的概念应分二层含义去理解（1）化简后（2）被开方数还相同．通过正确理解二次根式加减法的法则来准确地实施二次根式加减法的运算，应特别注意合并同类二次根式时仅将它们的系数相加减，根式一定要保持不变，并可对比整式的加减法则以增加对合并同类二次根式的理解，增强综合运算的能力． 教学设计： 一、复习回顾最简二次根式、整式加减法等知识，引入二次根式加减法 1、如何判断一个二次根式是否是最简二次根式
2与可以化简吗 （学生回答） ) A、判断是否为最简二次根式的两条标准： （1）被开方数不含分母； （2）被开方数中所有因数或因式的幂的指数都小于2。 B可以化简 3、什么是同类项 （） 4、如何进行整式的加减运算 （课件出示练习题让学生计算）（计算17题1、2小题） " 5、计算：（1）2x-3x+5x （2） 22 23 a b ba ab +- （教师点评：上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并．同类项合并就是字母不变，系数相加减．） （教师提出问题）二次根式的加减运算与整式的加减运算有什么相似之处这就是今天要探讨的问题——二次根式的加减运算 二、引出同类二次根式并让学生进行判断 1、自学课本第10—11页内容，完成下面的题目： A、什么是同类二次根式 B、判断是否同类二次根式时应注意什么 （学生回答）：几个二次根式化成_______________后，如果它们的 ________相同，那么这几个二次根式称为同类二次根式。 > 判断是否同类二次根式注意问题： （1）被开方数相同。 （2）二次根式不能再化简。 （3）与二次根式的系数无关 （学生练习）
湘教版数学八年级上册5.1二次根式
初中数学试卷 5.1二次根式 一、填空题 1．a +1表示二次根式的条件是______． 2．当x ______时，12 -- x 有意义，当x ______时，3 1+x 有意义． 3．若无意义2+x ，则x 的取值范围是______． 4．直接写出下列各式的结果： (1)49＝_______； (2)2)7(_______； (3)2 )7(-_______； (4)2)7(--_______； (5)2)7.0(_______；(6)22])7([- _______． 二、选择题 5．下列计算正确的有( )． ①2)2(2 =- ②22=- ③2)2(2=- ④2)2(2-=- A ．①、② B ．③、④ C ．①、③ D ．②、④ 6．下列各式中一定是二次根式的是( )． A ．23- B ．2)3.0(- C ．2- D ．x 7．当x =2时，下列各式中，没有意义的是( )． A ．2-x B ．x -2 C ．22-x D ．22x -
8．已知,21)12(2a a -=-那么a 的取值范围是( )． A ．2 1> a B ．2 1< a C ．2 1≥ a D ．2 1≤ a 三、解答题 9．当x 为何值时，下列式子有意义? (1);1x - (2);2x - (3);12+x (4) ?+-x x 21 10．计算下列各式： (1);)23(2 (2);)1(22+a (3);)4 3 (22-?- (4).)3 23 (2- 综合、运用、诊断 一、填空题 11．x 2-表示二次根式的条件是______． 12．使 1 2-x x 有意义的x 的取值范围是______． 13．已知411+=-+-y x x ，则x y 的平方根为______． 14．当x =－2时，2244121x x x x ++-+-＝________． 二、选择题 15．下列各式中，x 的取值范围是x ＞2的是( )．
二次根式的化简教学设计
二次根式的化简教学设计 (第1课时) 一、教学目标 1.把握二次根式的性质 2.能够利用二次根式的性质化简二次根式 3.通过本节的学习渗透分类讨论的数学思想和方法 二、教学设计 对比、归纳、总结 三、重点和难点 1.重点:理解并把握二次根式的性质 2.难点:理解式子中的可以取任意实数,并能根据字母的取值范围正确地化简有关的二次根式. 四、课时安排 1课时 五、师生互动活动设计 复习对比,归纳整理,应用提高,以学生活动为主 六、教学步骤 (一)教学过程 复习引入 1.求值、、、… 求值、、、… 结论:当时,
当时, . 2.求值、… 结论:当时,式子有意义, ,对于, 不能为负数. 3.求值、… 结论:当时, . 问:若根号内这个式子中的底数,根式还有意义吗?其值等于什么? 例如, ,其中-2与2互为相反数; ,其中-3与3互为相反数; ,其中与互为相反数. 讲解新课 提出问题: 等于什么?引导学生讨论、猜测、联想,得到结论: 教师可结合学生的具体情况,将上面公式用最简练的语句表达,并反复提问中差学生,加深其印象,进一步提问:若时, 能否等于,以增强学生的辨别能力,加强学生对公式的理解和记忆. 例1 化简: (1) ;(2) . 解:(略). 注: 可看作,把先写为; 可看作,把先写为 . 例2 化简: . 分析:底数是非负数还是负数将直接影响结果,这时要注重条件,由条件,可得 . ∴ . 解:(略). 例3 化简下列各式:
(1) ( );(2) ( ); (3) ( );(4) ( ). 解:(1)∵ ∴ . ∴ . (2)∵ ∴ ,即 . ∴ . (3)∵ ∴ ,即 . ∴ . (4)∵ , ∵ ,即 . ∴ . 注:要从条件出发,判定根号下面式子的底数是非负数还是负数,再根据公式计算出结果,因此在解题过程中,也是先写出条件,后进行变形,判定底数的正、负. 在写解题步骤上,尽量完整,以减少失误,并练习学生的逻辑思维能力. (二)随堂练习 1.求值:
二次根式运算和化简超级经典
二次根式运算和化简(超级经典)
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
二次根式的运算 【知识梳理】 1、 当0≥a 时，称a 为二次根式，显然0≥a 。 2、 二次根式具有如下性质： （1）() ()02≥=a a a ； （2）?? ?<-≥==时；，当时，，当002a a a a a a （3）()00≥≥?=b a b a ab ，； （4）()00>≥=b a b a b a ，。 3、二次根式的运算法则如下： （1）()()0≥±=±c c b a c b c a ； （2）()()0≥=a a a n n 。 4、设Q m d c b a ∈，，，，，且m 不是完全平方数，则当且仅当d b c a ==，时， m d c m b a +=+。 5、二次根式是代数式中应掌握的非常复杂的内容，其运算常用到换元、拆项相消、分解相约等方法，还应注意运用乘法公式、分母有理化等技巧，最后的结果一定要化成最简二次根式的形式。 6、最简二次根式与同类二次根式 （1）一个根式经过化简后满足： 被开方数的指数与根指数互质； 被开方数的每一个因式的指数都小于根指数； 被开方数不含分母。 适合上述这些条件的根式叫做最简根式。 （2）几个根式化成最简根式后，如果被开方数都相同，根指数也都相同，那么这几个根式叫做同类根式。
【例题精讲】 【例1】已知254245222+-----=x x x x y ，则=+22y x ___________________。 【巩固一】若y x ，为有理数，且42112=+-+-y x x ，则xy 的值为___________。 【巩固二】已知200911+-+ -=x x y ，则=+y x _______________________。 【拓展】若m 适合关系y x y x m y x m y x --?+-= -++--+19919932253， 求m 的值。 【例2】当b a 2<时，化简二次根式a b ab a b a a 2 2442+--。 【巩固】 1、化简()2 232144--+-x x x 的结果是__________________。