变化率与导数教案
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第三章 变化率和导数 3．1．1瞬时变化率—导数
教学目标：
(1)理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念
(2)会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度
(3)理解导数概念 实际背景，培养学生解决实际问题的能力，进一步掌握在一点处的导数的定义及其几何意义，培养学生转化问题的能力及数形结合思想
教学过程：时速度我们是通过在一段时间内的平均速度的极限来定义的，只要知道了物体的运动方程，代入公式就可以求出瞬时速度了.运用数学工具来解决物理方面的问题，是不是方便多了.所以数学是用来解决其他一些学科，比如物理、化学等方面问题的一种工具，我们这一节课学的内容以及上一节课学的是我们学习导数的一些实际背景
一、复习引入
1、什么叫做平均变化率；
2、曲线上两点的连线（割线）的斜率与函数f(x)在区间[x A ，x B ]上的平均变化率
3、如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？
下面我们来看一个动画。从这个动画可以看出，随着点P 沿曲线向点Q 运动，随着点P 无限逼近点Q 时，则割线的斜率就会无限逼近曲线在点Q 处的切线的斜率。
所以我们可以用Q 点处的切线的斜率来刻画曲线在点Q 处的变化趋势 二、新课讲解
1、曲线上一点处的切线斜率
不妨设P(x 1，f(x 1))，Q(x 0，f(x 0))，则割线PQ 的斜率为0
101)
()(x x x f x f k PQ --=，
设x 1－x 0=△x ，则x 1 =△x ＋x 0， ∴x
x f x x f k PQ ?-?+=
)
()(00
当点P 沿着曲线向点Q 无限靠近时，割线PQ 的斜率就会无限逼近点Q 处切线斜率，即当△x 无限趋近于0时，x
x f x x f k PQ ?-?+=
)
()(00无限趋近点Q 处切线斜率。
2、曲线上任一点(x 0，f(x 0))切线斜率的求法：
x
x f x x f k ?-?+=
)
()(00，当△x 无限趋近于0时，k 值即为(x 0，f(x 0))处切线的斜率。
3、瞬时速度与瞬时加速度
(1)平均速度： 物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度 (2) 位移的平均变化率：
t
t s t t s ?-?+)
()(00
(3)瞬时速度：当无限趋近于0 时，
t
t s t t s ?-?+)
()(00无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t 0
时的瞬时速度
114 求瞬时速度的步骤：
1.先求时间改变量t ?和位置改变量)()(00t s t t s s -?+=?
2.再求平均速度t
s v ??=
3.后求瞬时速度：当t ?无限趋近于0，
t
s
??无限趋近于常数v 为瞬时速度 (4)速度的平均变化率：
t
t v t t v ?-?+)
()(00
(5)瞬时加速度：当t ?无限趋近于0 时，
t
t v t t v ?-?+)
()(00无限趋近于一个常数，这个常数称为
t=t 0时的瞬时加速度
注：瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率 三、数学应用
例1、已知f(x)=x 2
，求曲线在x=2处的切线的斜率。 变式:1.求21
()f x x
=
过点(1,1)的切线方程 2.曲线y=x 3
在点P 处切线斜率为k,当k=3时,P 点的坐标为_________ 3.
已知曲线()f x =
P(0,0)的切线斜率是否存在?
例2.一直线运动的物体，从时间t 到t t +?时，物体的位移为s ?，那么s t ??为（ ）
Ａ．从时间t 到t t +?时，物体的平均速度； Ｂ．在t 时刻时该物体的瞬时速度； Ｃ．当时间为t ?时物体的速度； Ｄ．从时间t 到t t +?时物体的平均速度 例3.自由落体运动的位移s(m)与时间t(s)的关系为s=22
1gt (1)求t=t 0s 时的瞬时速度 (2)求t=3s 时的瞬时速度 (3)求t=3s 时的瞬时加速度
点评：求瞬时速度，也就转化为求极限，瞬
3.1.2 导数的几何意义（1）
教学目的：
1. 了解平均变化率与割线之间的关系
2. 理解曲线的切线的概率
3. 通过函数的图像理解导数的几何意义 教学重点
函数切线的概念，切线的斜率，导数的几何意义 教学难点
理解导数的几何意义
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教学过程
的斜率探究曲线的切线及切线
是什么？
变化趋势时割线，趋近于点沿着曲线，，，，当点n n n n PP x f x P x f n x f x p ))(()()4321))(((00 =的斜率无限接近与切线的斜率割线PT k PP n n
)()
()(lim )()(lim '000000x f x
x f x x f x x x f x f k x n n x =?-?+=--=→?→?
注意： .01斜率处的切线的的斜率为曲线在点割线时，，那么当）设切线的倾斜角为（P PP x n →α.2点的导数的斜率可以求该）求曲线上某点的切线（ .3函数在该点的导数—）切线的斜率（ 练习
上的平均变化率为
，在区间函数]31[2.13x x y -=
=???+?+-=x
f
f x x x f ，则
，及附近一点，的图像上一点若函数)11()11(12)(.22
.
2021.3.32时的平均速度到）求（）求此物体的初速度；（是，其位移与时间的关系一个做直线运动的物体==-=t t t t s =
?-?-==→?x
x f x x f x x x f y x )
()(lim .11)(.40000则处的导数为在已知函数
导数的几何意义：
.)(0数在该点时的导数处的切线的斜率就是函在函数x x x f y ==
曲线在某点的切线 .3.
.2.1可以有多个甚至无数个不一定只有一个交点，）曲线的切线与切线并（则不存在切线，切线且唯一；若无极限如有极限，则在此点有限位置来判断与求解）要根据割线是否有极（）与该点的位置有关（.)21(1)(.12处的切线方程，在点求曲线例P x x f y +==
练习
处的切线方程为，在点）函数（)22
1(11--=x y
=-=k A x x y 处的斜率，，求曲线上点）已知（)21(322 导函数的定义
.
)()()()()(''''0y x f x f x x f x x f x x x f 或的导函数，记作为的一个函数，我们称它便是化时，变
当是一个确定的数，那么到处求导数的过程可以看在从求函数=
x
x f x x f y x f x ?-?+==→?)
()(lim
)(0
''即
注意
.)(1'量的比值的极限，不是变变量该变量该点的函数该变量与自是一个定值，是函数在数）函数在某一点处的导（x f .2而言的一区间内任一点）函数的导数：是指某（x
116 .)()(30'0处的函数值在处的导数就是导函数在）函数（x x x f x x f =
.]72(1.22处的斜率，的导数，及在求函数例++=x x y
3.2．3导数的几何意义(2)
教学目标：理解导数概念.掌握函数在一点处的导数定义及求法.掌握函数的导数的求法. 教学重点：导数的概念及其求法.及几何意义。 教学难点：对导数概念的理解. 教学过程： 复习引入
1．函数的导数值
函数y ＝f (x )，如果自变量x 在x 0处有增量?x ，则函数y 相应地有增量 ?y ＝f (x 0＋?x )－f (x 0)．
比值
x
y
??就叫做函数y ＝f (x )在x 0到x 0＋?x 之间的平均变化率，即 .)()(00x
x f x x f x y ?-?+=?? 如果当Δx →0时，
x
y
??有极限，我们就说函数y ＝f (x )在点x 0处可导，并把这个极限叫做f (x )在x 0处的导数(或变化率)记作f '(x 0)或0
x x y'
=，即 f '(x 0)＝x y
x ??→?0lim
=x
x f x x f x ?-?+→?)()(lim 000
2．函数y ＝f (x ) 的导函数
如果函数在开区间(a , b)内每点处都有导数，对于每一个x 0∈(a ，b )，都对应着一
个确定的导数f '(x 0)．从而构成一个新的函数f '(x )．称这个函数为函数y ＝f (x )在开区间内的导函数．简称导数．也可记作y '．
.)()(lim lim
')(' 00x
x f x x f x y y x f x x ?-?+=??==→?→?即
3．导数的几何意义
函数y ＝f (x ) 在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P （x 0, f (x 0)）处的切线的斜率．
也就是说，曲线y ＝f (x )在点P （x 0, f (x 0)）处的切线的斜率是f '(x 0)． 切线方程为 y －y 0＝f '(x 0) (x 0－x 0)． 练习：
1．当自变量从x 0变到x 1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数（A ） A ．在区间[x 0，x 1]上的平均变化率 B ．在x 0处的变化率 C ．在x 1处的导数 D ．在区间[x 0，x 1]上的导数 2．下列说法正确的是（C ）
A ．若f ′ (x 0)不存在，则曲线y = f (x )在点(x 0, f (x 0))处就没有切线
B ．若曲线y = f (x )在点(x 0, f (x 0))处有切线，则f ′ (x 0)必存在
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C ．若f ′ (x 0)不存在，则曲线y = f (x )在点(x 0, f (x 0))处的切线斜率不存在
D ．若曲线y = f (x )在点(x 0, f (x 0))处的切线斜率不存在，则曲线在该点处就没有切线 3．已知曲线，上一点)3
8,2(313P x y =
求⑴点P 处的切线的斜率；⑵点P 处的切线的方程．
解：⑴,313x y =x y y x ??='∴→?0lim x
x x x x ?-?+=→?33
031)(3
1lim x
x x x x x x ??+?+?=→?3
220)()(33lim 31 ])(33[lim 31
220
x x x x x ?+?+=
→?,2x =.4222=='=x y ∴点P 处的切线的斜率等于4． ⑵在点P 处的切线的方程是),2(43
8
-=-
x y 即.016312=--y x 新课讲授：
例1． 教材例2。 例2． 教材例3。
练习：甲、乙二人跑步的路程与时间关系以及百米赛跑路程和时间关系分别如图①②，试问： （1）甲、乙二人哪一个跑得快？ （2）甲、乙二人百米赛跑，
问快到终点时，谁跑得较快？ 解：（1）乙跑的快；（2）乙跑的快. 例3．教材P10面第5题 例4．教材P11面第3题。
例5．已知：曲线12
-=x y 与13
+=x y 在0x 处的切线互相垂直，求的值。
例6．已知点M (0, –1)，F (0, 1)，过点M 的直线l 与曲线31
443
y x x =-+在x = –2处的切线平行.
（1）求直线l 的方程；
（2）求以点F 为焦点，l 为准线的抛物线C 的方程.
解：（1）∵0(2)(2)
(2)lim x f x f f x
?→-+?--'-=?= 0. ∴直线l 的斜率为0，其方程为y = –1.
（2）∵抛物线以点F (0, 1)为焦点，y = –1为准线. 设抛物线的方程为x 2
= 2py ，则
1,22
p
p ==. 故抛物线C 的方程为x 2
= 4y .
课堂小结
导数的几何意义
函数y ＝f (x ) 在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P （x 0, f (x 0)）处的切线的斜率．
也就是说，曲线y ＝f (x )在点P （x 0, f (x 0)）处的切线的斜率是f '(x 0)．
118 切线方程为 y －y 0＝f '(x 0) (x 0－x 0)． 课后作业
3．2．4．导数与导函数的概念
教学目标：
1、知识与技能：理解导数的概念、掌握简单函数导数符号表示和求解方法； 理解导数的几何意义；
理解导函数的概念和意义；
2、过程与方法：先理解概念背景，培养解决问题的能力；再掌握定义和几何意义，培养转化问题的能力；最后求切线方程，培养转化问题的能力
3、情感态度及价值观；让学生感受事物之间的联系，体会数学的美。 教学重点：
1、导数的求解方法和过程；
2、导数符号的灵活运用 教学难点：
1、 导数概念的理解；
2、导函数的理解、认识和运用 教学过程 一、情境引入
在前面我们解决的问题： 1、求函数2
)(x x f =在点（2，4）处的切线斜率。
x x
x f x f x y ?+=?-?+=??4)()2(，故斜率为4 2、直线运动的汽车速度V 与时间t 的关系是
12-=t V ，求o t t =时的瞬时加速度。
t t t
t v t t v t V o o o ?+=?-?+=??2)
()(，故瞬时加速度为2t 二、知识点讲解
上述两个函数)(x f 和)(t V 中，当x ?(t ?)无限趋近于0时，t V ??(y
x
??)都无限趋近于一个常数。
归纳：一般的，定义在区间（a ，b ）上的函数)(x f ，)(b a x o ，∈，当x ?无限趋近于0时，
x
x f x x f x y o o ?-?+=??)()(无限趋近于一个固定的常数A ，则称)(x f 在o x x =处可导，并称A 为)(x f 在o x x =处的导数，记作)('o x f 或o x x x f =|)('， 上述两个问题中：（1）4)2('=f ，（2）o o t t V 2)('= 三、几何意义：
我们上述过程可以看出