数论综合三(学生版)
学科培优数学
“数论综合三”
学生姓名授课日期
教师姓名授课时长
知识定位
数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力。数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”。因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重。
知识梳理
涉及知识点多、解题过程比较复杂的整数综合题，以及基本依靠数论手段求解的其他类型问题．
例题精讲
【试题来源】
【题目】己知五个数依次是13，12， 15， 25，20它们每相邻的两个数相乘得四个数，这四个数每相邻的两个数相乘得三个数，这三个数每相邻的两个数相乘得两个数，这两个数相乘得一个数。请问最后这个数从个位起向左数、可以连续地数到几个0？
【试题来源】
【题目】有4个不同的自然数，它们当中任意2个数的和是2的倍数，任意3个数的和是3的倍数．为了使得这4个数的和尽可能地小，这4个数分别是多少?
【试题来源】
【题目】将数字4,5,6,7,8,9各使用一次，组成一个被667整除的6位数，那么，这个6位数除以667的结果是．
【试题来源】
【题目】在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有多少个?
【试题来源】
【题目】从1,2,3,……n中，任取57个数，使这57个数必有两个数的差为13，则n的最大值为_______。
【试题来源】
【题目】一个自然数与自身相乘的结果称为完全平方数。已知一个完全平方数是四位
数，且各位数字均小于7。如果把组成它的数字都加上3，便得到另外一个完全平方数，
求原来的四位数。
【试题来源】
【题目】4个不同的真分数的分子都是1，它们的分母有2个是奇数、2个是偶数，而且2个分母是奇数的分数之和与2个分母是偶数的分数之和相等．这样的奇数和偶数很多，小明希望这样的2个偶数之和尽量地小，那么这个和的最小可能值是多少?
习题演练
【试题来源】
【题目】有一电话号码是 ABC-DEF-GHIJ ，其中每个字母代表一个不同的数字。每一部分的数字是按递减顺序排列的，也就是 ABC，DEF 和 GHIJ，还有 D，E 和 F 是连续的偶数; G，H，I 和 J 是连续的奇数; A+B+C=9，那么A 是什么？
【试题来源】
【题目】在给定的圆周上有2000个点．任取一点标上数1；按顺时针方向从标有1的点往后数2个点，在第2个点上标上数2；从标有2的点再往后数3个点，在第3个点上标上数3；……；依此类推，直至在圆周上标出1993．对于圆周上的这些点，有的点可能标上多个数，有的点可能没有被标数．问标有数1993的那个点上标的最小数是多少?
【试题来源】
【题目】设1，3，9，27，81，243是6个给定的数，从这6个数中取出若干个数，每个数
至多取一次，然后将取出的数相加得到一个和数，这样共可得到63个不同的数．把这些数从小到大排列起来依次是1，3，4，9，10，12，…，那么其中第39个数多少?
【试题来源】
【题目】证明：形如11，111，1111，11111，…的数中没有完全平方数．
【试题来源】
【题目】有10个整数克的砝码（允许砝码重量相同），将其中一个或几个放在天平的右边，待称的物品放在天平的左边，能称出1，2，3，…，200的所有整数克的物品来；那么，这10个砝码中第二重的砝码最少是克。
【试题来源】
【题目】是否存在一个六位数A，使得A，2A，3A，…，500000A中任意一个数的末尾6个数码不全相同?
【试题来源】
【题目】将某个17位数各位数字的排列顺序颠倒，再将得到的新数与原来的数相加．试说明，所得的和中至少有一个数字是偶数．
【试题来源】
【题目】对于两个不同的整数，如果它们的积能被和整除，就称为一对“好数”，例如70与30．那么在1，2，…，16这16个整数中，有“好数”多少对?
【试题来源】
【题目】甲、乙两人进行下面的游戏：两人先约定一个自然数N，然后由甲开始，轮流把0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中的一个填入图28-1的某个方格中，每一方格只能填一个数字，但各方格所填的数字可以重复．当6个方格都填有数字后，就形成一个六位数．如果这个六位数能被N整除，那么乙获胜；如果这个六位数不能被N整除，那么甲获胜．设N小于15，问当N取哪几个数时．乙能取胜?
【试题来源】
【题目】已知m，n，k为自然数，m ≥ n ≥k，n2m+2n-2k是100的倍数,求m + n - k 后的最小值．
【试题来源】
【题目】任意选取9个连续的正整数，即它们的乘积为P，最小公倍数为Q．我们知道，P 除以Q所得到的商必定是自然数，那么这个商的最大可能值是多少?
【试题来源】
【题目】对于n个奇质数，如果其中任意奇数个数的和仍是质数，那么称这些数构成“奇妙数组”，而n就是这个数组的“阶数”．例如11，13，17就是“奇妙数组”，因为11，13，17和11+13+17=41都是质数．
(1)证明：“奇妙数组”的“阶数”最大值为4；
(2)对于“阶数”为4的“奇妙数组”，求这4个质数的乘积的最小值．
【试题来源】
【题目】已知A、B、C、D、E、F六个人分别看了5、5、6、8、8、10场演出，成人的票价是儿童票价的2倍，均为整数元，又知，门票共支出1026元；那么成人门票每张多少元？
【试题来源】
【题目】如图4×3的矩形框中，每行的数字和相等，每列的数字和也相等。（行和列的数字和不一定相等），那么在“？”处应填上的式子为。
【试题来源】
【题目】黑板上写着1至2010共2010个自然数，小明每次擦掉两个奇偶性相同的数，再写上它们的平均数，最后黑板上只剩下一个自然数，这个数可能的最大值与最小值的差是_____
【试题来源】
【题目】a、b、c为三个自然数，且a>b>c，它们除以13的余数分别是2，9，11，那么（a+b+c）(a-b)(b-c)除以13的余数是_______
【试题来源】
【题目】When 31513 and 34369 are such divided by a certain 3-digit number ，the remainders are equal . Find this remainder .
Answer: .