概率与统计.pdf
概率及统计（一）
概率的基础知
识1．确定事件
必然事件：一定条件下必然会发生的事件；不
可能事件：一定条件下必然不会发生的事件；
2．不确定事件(随机事件)：在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件；
3．概率：某件事情A发生的可能性称为这件事情的概率，记为P(A)；
P(必然事件)＝1，P(不可能事件)＝0，0＜P(不确定事件)＜1；列表法4．如果一项可以反复进行的试验具有以下特点：例如，事件A
的可能情况
⑴试验的结果是有限个，各种结果可能出现的机会是均等的；⑵任
何两个结果不可能同时出现，那么这样的试验叫做等可能试验
【例3】七年级五班在课外活动时进行乒乓球练习，体育委员根据场地情
况，将同学分成3人一组，每组用一个球台，甲乙丙三位同学用“手
心，手背”游戏(游戏时，手心向上简称“手心”，手背向上简称
“手背”)来决定哪两个人首先打球，游戏规则是：每人每次随机伸
出一只手，出手心或者手背，若出现“两同一异”(即两手心、一手
背或者两手背一手心)的情况，则同出手心或手背的两个人先打球，
另一人裁判，否则继续进行，直到出现“两同一异”为止。
⑴请你列出甲、乙、丙三位同学运用“手心、手背”游戏，出手一
次
出现的所有等可能的情况(用A表示手心，B表示手背)；
⑵求甲、乙、丙三位同学运用“手心、手背”游戏，出手一次出现
“两同一异”的概率。
【例4】“学雷锋活动日”这天，阳光中学安排七、八、九年级部分学生代表【例5】2008年北京奥运会吉祥物是“贝贝”、“晶晶”、“欢欢”、“迎迎
走出校园参与活动，活动内容有：”、“妮妮”，现将5个写有吉祥物名称的小球(小球的形状、大小一
A．打扫街道卫生；样、质地相同)放入一个不透明的盒子内搅匀。
B．慰问孤寡老人；⑴小明从盒子中任取一个球，取到“晶晶”的概率是多少？
C．到社区进行义务文艺演出。学校要求一个年级的学生代表只负责⑵小明从盒子中随机取出一个球(不再放回盒子中)，然后再从盒子中一项活动内容。取出第二个球，请你用列表法或者树状图表示出小明两次取到的球⑴若随机选一个年级的学生代表和一项活动内容，请你用列表法(或画所有情况，并求出两次取到的恰好是写有“欢欢”，“迎迎”(不
考虑顺序)的概率。
树状图)表示所有可能出现的结果；
⑵求九年级学生代表到社区进行义务文艺演出的概率。
【例6】甲、乙两同学用一副扑克牌中牌面数字分别是3、4、5、6的4张牌做【例7】某班毕业联欢会设计的即兴表演节目的摸球游戏，游戏采用一个不透
抽数游戏，游戏规则是：将这4张牌的正面全部朝下、洗匀，从中随明的盒子，里面装有五个分别标有数字1、2、3、4、5的乒乓球，这
机抽取一张，抽得的数作为十位上的数字，然后将所抽的牌放回，正些球除数字外，其他完全相同，游戏规则是参加联欢会的50名同学，
面全部朝下、洗匀，再从中随机抽取一张，抽得的数作为个位上的数每人将盒子乒乓球摇匀后闭上眼睛从中随机一次摸出两个球(每位同学
字，这样就得到一个两位数，若这个两位数小于45，则甲获胜，否则必须且只能摸一次)。若两球上的数字之和是偶数就给大家即兴表演一
乙获胜。你认为这个游戏公平吗？请运用概率知识说明理由。个节目；否则，下个同学接着做摸球游戏依次进行。
⑴用列表法或画树状图法求参加联欢会同学表演即兴节目的概率；
⑵估计本次联欢会上有多少个同学表演即兴节目。
【例8】如图，桌面上放置了红，黄，蓝三个不同颜色的杯子，杯子口朝上，【例9】一只不透明的袋子中，装有2个白球和一个红球，这些球除颜色外其
我们做蒙眼睛翻杯子(杯口朝上的翻为杯口朝下，杯口朝下的翻为杯口他都相同。
朝上)的游戏。⑴搅匀后从中摸出一个球，求摸出白球的概率。
⑴随机翻一个杯子，求翻到黄色杯子的概率；⑵搅匀后从中一次摸出两个球，请用树形图或列表法求这两个球
⑵随机翻一个杯子，接着从这三个杯子中再随机翻一个，请利用树状都是白球的概率。
图求出此时恰好有一个杯口朝上的概率。⑶从中连续取两次，每次取一球后放回，求取出的两球恰好有1个
红球的概率
【例10】在课外活动时，小丽，小王，小华做“互踢毽子”游戏，毽子从一人传到另一人就记为踢一次，⑴若从小丽开始，经过两次踢毽后，
求毽子踢到小华处的概率。⑵若从小丽开始踢，经过三次踢毽后，
小丽认为踢到她可能性最大，
你同意她的观点吗？请说明理由。
(完整版)山东科技大学概率统计简明教程主编卓相来第六章习题详细答案石油大学出版社
习题六 1. 设总体X ～)6,(μN ,从中抽取容量为25的一个样本,求样本方差2 S 小于9.1的概率. 解 X ～)6,(μN ,由2 2 )1(σS n -～)1(2-n χ,于是 {}()(){}(){}22 22 2519.1(1)9.12436.412436.466n S P S P p p χχ-???-<=<=<=-≥???? 10.050.95.=-= 2. 设1210,,,X X X L 是取自正态总体2 (0,0.3)N 的样本,试求1021 1.44i i P X =?? >???? ∑. 解：由() 2 1 2 n i i X u σ=-∑～2 ()n χ，于是 () ()(){}10210221221 1.441.4410160.10.30.3i i i i X P X P P χ==?? ?????? >=>=>=???????????? ∑∑. 3. 设总体X ～(,4)N a ,n X X X ,,,21Λ是取自总体X 的一个样本,X 为样本均值,试问样本容量n 分别为多大时,才能使以下各式成立， () ( )() () () 2 10.1; 20.1; 3{1}0.95.E X a E X a P X a -≤-≤-≤≥ 解 （1） 因为X ～4(,),N a n X ～(0,1),N 从而() 2 4X a n -～2 (1),χ于是 224 1,0.1,40.X a E E X a n n n ? ?- ?=-=≤≥ ? ??? 所以 （2 X ～(0,1),N 所以 2 22222 2 2x x x x E dx xe dx e d ∞∞ ∞ -- - -∞??=== -= ??? ?? 所以( ) 0.1,E X a -= ≤从而800 254.7,255.n n π > =≥故
概率统计简明教程课后习题答案(工程代数同济大学版)
习题一解答 1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A： (1) 抛一枚硬币两次，观察出现的面，事件两次出现的面相同}； (2) 记录某电话总机一分钟， (2) 记X为一分钟 2. 袋中有10个球，分别编有号码1至10，从中任取1球，设取得球的号码是偶数}，取得球的号码是奇数}，取得球的号码小于5}，问下列运算表示什么事件： ；(2)AB；(3)AC；(4)AC；(5)；；解是必然事件； 是不可能事件； 取得球的号码是2，4}； 取得球的号码是1，3，5，6，7，8，9，10}； 取得球的号码为奇数，且不小于取得球的号码为5，7，9}； 取得球的号码是不小于5的偶数取得球的号码为6，8，10}； 取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10} 在区间[0,2]上任取一数，记，，求下列事件的表达式： ；(2)B；(3)A； 解 或 (3) 因为，所以； 或或或用事件 的运算关系式表示下列事件： (1) A出现，B,C都不出现（记为E1）； (2) A,B都出现，C不出现（记为E2）； (3) 所有三个事件都出现（记为E3）； (4) 三个事件中至少有一个出现（记为E4）； (5) 三个事件都不出现（记为E5）； (6) 不多于一个事件出现（记为E6）； (7) 不多于两个事件出现（记为E7）； (8) 三个事件中至少有两个出现（记为E8）。 解；AB； ；； ；； ； 5. 一批产品中有合格品和废品，从中有放回地抽取三次，每次取一件，设Ai表示事件“第i次抽到废品”，，试用Ai表示下列事件：
(1) 第一次、第二次中至少有一次抽到废品； (2) 只有第一次抽到废品； (3) 三次都抽到废品； (4) 至少有一次抽到合格品； (2) 只有两次抽到废品。 解；(2)A1A2A3；(3)A1A2A3；； 6. 接连进行三次射击，设Ai={第i次射击命中}，，三次射击恰好命中二次}，三次射击至少命中二次}；试用Ai表示B和C。 解 习题二解答 1．从一批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件产品，求其中恰有1件次品的概率。 解这是不放回抽取，样本点总数，记求概率的事件为A， 则有利于A的样本点数 于是 2．一口袋中有5个红球及2个白球，从这袋中任取一球，看过它的颜色后放回袋中，然后，再从这袋中任取一球，设每次取球时袋中各个球被取到的可能性相同。求 (1) 第一次、第二次都取到红球的概率； (2) 第一次取到红球，第二次取到白球的概率； (3) 二次取得的球为红、白各一的概率； (4) 第二次取到红球的概率。 解本题是有放回抽取模式，样本点总数记(1)(2)(3)(4)题求概率的事件分别为A,B,C,D. ⅰ)有利于A的样本点数，故 ⅱ) 有利于B的样本点数，故 20(ⅲ) 有利于C的样本点数，故 ⅳ) 有利于D的样本点数，故 3．一个口袋中装有6只球，分别编上号码1至6，随机地从这个口袋中取2只球，试求：(1) 最小号码是3的概率；(2) 最大号码是3的概率。 解本题是无放回模式，样本点总数 (ⅰ) 最小号码为3，只能从编号为3，4，5，6这四个球中取2只，且有一次抽到3，因而有利 样本点数为，所求概率为 (ⅱ) 最大号码为3，只能从1，2，3号球中取，且有一次取到3，于是有利样本点数为，
最新版概率统计简明教程期末复习题(含答案)
工程数学考试题 第一题：第五页 第五题 5.用事件A,B,C 的运算关系表示下列事件。 （1）A 出现，B ，C 都不出现； （2）A ，B 都出现，C 不出现； （3）所有三个事件都出现； （4）三个事件中至少有一个出现； （5）三个事件都不出现； （6）不多于一个事件出现；（7）不多于两个事件出现； （8）三个事件中至少有两个出现。 第二题：第六页 第七题 7.接连进行三次射击，设i A =｛第i 次射击命中｝（i=1，2，3），试用1A ，2A ，3A 表述下列事件。 （1）A=｛前两次至少有一次击中目标｝ （2）B=｛三次射击恰好命中两次｝ （3）C=｛三次射击至少命中两次｝ （4）D=｛三次射击都未命中｝ 第三题：第二十九页 例14 例 14 从次品率为p=0.2的一批产品中，有放回抽取5次，每次取一件，分别求抽到的5件恰好有3件次品以及至多有3件次品这两个事件的概率。 第四题：第二十九页 例 15 例 15 某公司生产一批同型号的医疗仪器，产品的80%无需调试即为合格品，而其余20%需进一步调试。经调试后，其中70%为合格品，30%为次品。假设每台仪器的生产是相互独立的。 （1）求该批仪器的合格率； （2）又若从该批仪器中随机地抽取3台，求恰有一台为次品的概率。 第五题：第三十一页 第一题 1.已知随机事件A 的概率P （A ）=0.5，随机事件B 的概率P （B ）=0.6及条件概率P （B|A ）=0.8，试求P （AB ）及)B A P(。 第六题：第三十三页 第十二题 12.设事件A ，B 相互独立。证明：A ，B 相互独立，B ,A 相互独立。 第七题：第三十三页 第十五题 15.三个人独立破译一密码，他们能独立破译出的概率分别为0.25，.035，0.4，求此密码被破译出的概率。 第八题：第五十一页 例 19 例 19 某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）X 服从正态分布），（2 72σN ，且96分以上的考生占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率。 第九题：第五十四页 第十六题 16.设随机变量X 的密度函数为()?? ?<<=其他， , 0, 40, 2x x x f 试求： （1）常数A ； （2）P(0 课后答案网习w题w一w解.答https://www.360docs.net/doc/b313482039.html, 1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A ： (1) 抛一枚硬币两次，观察出现的面，事件A{两次出现的面相同} ； (2) 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数，事件A (3) 从一批灯泡中随机抽取一只，测试其寿命，事件A { 一分钟内呼叫次数不超过3 次}；{ 寿命在2000 到2500 小时之间}。 解(1){( ,), ( ,), ( ,), (, )} ，A{( ,), ( ,)}. (2) 记X 为一分钟内接到的呼叫次数，则 {X k | k0,1,2,LL} ， A {X k | k0,1,2,3} . (3) 记X 为抽到的灯泡的寿命（单位：小时），则 {X (0,)} ， A {X(2000,2500)} . 2. 袋中有10 个球，分别编有号码1 至10，从中任取1 球，设A {取得球的号码是偶数}，B {取得球的号码是奇数}，C {取得球的号码小于5}，问下列运算表示什么事件： (1) A U B ；(2) AB ；(3) AC ；(4) AC ；(5) A C；(6) B U C ；(7) A C . 解(1) A U B是必然事件； (2) AB 是不可能事件； (3) AC {取得球的号码是2，4}； (4) AC {取得球的号码是1，3，5，6，7，8，9，10}； (5) A C{取得球的号码为奇数，且不小于5} {取得球的号码为5，7，9}； (6) B U C B I C{取得球的号码是不小于5 的偶数} {取得球的号码为6，8，10}； (7) A C AC {取得球的号码是不小于5 的偶数}={取得球的号码为6，8，10} 3. 在区间[0 , 2] 上任取一数，记A (1) A U B ；(2) ；(3) ；(4) A U B .x 1 x 2 1 ，B x 1 x 4 3 ，求下列事件的表达式： 2 解(1) A U B x 1 x 3 ; 4 2 (2) A x 0 x 1 或1 x 2 2 I B x 1 x 4 1 U x1 x 3 ; 2 2 (3) 因为A B ，所以AB ； (4) A U B A U x 0 x 1 或 3 x 2x 0 x 1 1 x 1或 3 x 2 4. 用事件A, B, C 4 2 4 2 2 的运算关系式表示下列事件： (1) A 出现，B, C都不出现（记为E 1 ）； (2) A, B 都出现，C 不出现（记为E 2 ）； (3) 所有三个事件都出现（记为E 3 ）； (4) 三个事件中至少有一个出现（记为E 4 ）； (5) 三个事件都不出现（记为E 5 ）； (6) 不多于一个事件出现（记为E 6 ）； (7) 不多于两个事件出现（记为E 7 ）； (8) 三个事件中至少有两个出现（记为E 8 ）。 解(1) E 1 (3) E 3(5) E 5 AB C；(2) E 2 ABC ；(4) E 4 1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A ： (1) 抛一枚硬币两次，观察出现的面，事件A{两次出现的面相同} ； (2) 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数，事件A (3) 从一批灯泡中随机抽取一只，测试其寿命，事件A { 一分钟内呼叫次数不超过3 次}；{ 寿命在2000 到2500 小时之间}。 解(1){( ,), ( ,), ( ,), (, )} ，A{( ,), ( ,)}. (2) 记X 为一分钟内接到的呼叫次数，则 {X k | k0,1,2,LL} ， A {X k | k0,1,2,3} . (3) 记X 为抽到的灯泡的寿命（单位：小时），则 {X (0,)} ， A {X(2000,2500)} . 2. 袋中有10 个球，分别编有号码1 至10，从中任取1 球，设A {取得球的号码是偶数}，B {取得球的号码是奇数}，C {取得球的号码小于5}，问下列运算表示什么事件： (1) A U B ；(2) AB ；(3) AC ；(4) AC ；(5) A C；(6) B U C ；(7) A C . 解(1) A U B是必然事件； (2) AB 是不可能事件； (3) AC {取得球的号码是2，4}； (4) AC {取得球的号码是1，3，5，6，7，8，9，10}； (5) A C{取得球的号码为奇数，且不小于5} {取得球的号码为5，7，9}； (6) B U C B I C{取得球的号码是不小于5 的偶数} {取得球的号码为6，8，10}； (7) A C AC {取得球的号码是不小于5 的偶数}={取得球的号码为6，8，10} 3. 在区间[0 , 2] 上任取一数，记A (1) A U B ；(2) A B；(3) AB ；(4) A U B .x 1 x 2 1 ，B x 1 x 4 3 ，求下列事件的表达式： 2 解(1) A U B x 1 x 3 ; 4 2 (2) A B x 0 x 1 或1 x 2 2 I B x 1 x 4 1 U x1 x 3 ; 2 2 (3) 因为A B ，所以AB ； (4) A U B A U x 0 x 1 或 3 x 2x 0 x 1 或 1 x 1或 3 x 2 4. 用事件A, B, C 4 2 4 2 2 的运算关系式表示下列事件： (1) A 出现，B, C都不出现（记为E 1 ）； (2) A, B 都出现，C 不出现（记为E 2 ）； (3) 所有三个事件都出现（记为E 3 ）； (4) 三个事件中至少有一个出现（记为E 4 ）； (5) 三个事件都不出现（记为E 5 ）； (6) 不多于一个事件出现（记为E 6 ）； (7) 不多于两个事件出现（记为E 7 ）； (8) 三个事件中至少有两个出现（记为E 8 ）。 解(1) E 1 (3) E 3 (5) E 5AB C；(2) E 2 ABC ；(4) E 4 A B C；(6) E 6 ABC ； A U B U C ； A B C U AB C U A B C U A B C； (7) E 7ABC A U B U C ；(8) E 8 AB U AC U BC . 5. 一批产品中有合格品和废品，从中有放回地抽取三次，每次取一件，设A i 表示事件“第i 次 考试的形式、试卷结构 1. 考试形式为闭卷、笔试。满分100分，考试时间为120分钟。 2. 试卷内容比例：第一、二、三章约占27%，第四章约占29%，第六章约占14%，第七章约 占16%，第八、九、十章约占14%。 3. 试卷题型比例：填空题占15%，选择题占15%，计算题占49%，综合题占21%. 题型示例与答案 一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。） 1．在随机事件A ，B ，C 中至多有一个发生的事件可表示为_________________； 2．设随机事件A 与B 互斥，则P(AB)等于___________； 3．设随机变量X 的数学期望E(X)=a ，则E(2X+5)等于______________________； 4．设随机变量X 的方差D(X)=b, 则D(2X+5)等于______________________； 5．设随机变量X 服从正态分布N(μ，σ2), 则其密度函数f(x)=_______ __________。 二、单选题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。） 1. A 与B 是两个随机事件，若AB ≠φ，则A 与B 关系是（ ）。 (A) 对立； (B) 独立； (C)互斥； (D) 相容 2. 进行一系列独立的试验，每次试验成功的概率为p ，则在成功2次之前已经失败3 次的概率为： A ．32)1(4p p - B ．3)1(4p p - C ．32)1(10p p - D ．3 2)1(p p - 3. 设F(x)是随机变量X 的分布函数，则F(x)具有性质( )。 x x x x A F x 1B F x 1C F x 0D F x →+∞ →-∞ →+∞ →+∞ ====+∞()lim (),()lim (),()lim (),()lim (). 4. 设随机变量X 服从分布N(μ，σ2)，其数学期望和标准差分别是( )。 (A) μ，σ； (B) μ，σ 2； (C) σ, μ； (D)σ2，μ 5. 设?θ 是总体参数θ的无偏估计量，则有( )。 (A)D θ =θ?()； (B)E θ=θ?()； (C)θ=θ?； (D)2D θ =θ?() 三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分。要求解题有过程） 1.设两事件A 与B 互斥，且()()0.3,0.8P A P A B ==，求()P B 。 2.袋内装有4个白球，5个黑球，今从中任取两个球，求两个球均为白球的概率； 引言形形色色的概率统计问题 人们在日常生活和生产实践活动中，都会遇到这样或那样的随机现象；下面是其中一些有趣的问题。先从赌博说起。事实上，概率论正是起源于17世纪的赌博问题。由于赌博的趣味性和吸引力，使得概率论能够发展至今。请看概率论的第一个问题： 问题0.1：甲乙两人打赌，各押硬币的一面，先出现6次者赢100法郎。当赌博进行到5:3时因故终止，试问应如何分配赌金？ 有人说：甲应该得到全部的100法郎，因为这个赌博只有两种结果，而现在甲领先； 又有人说：既然比分是5：3，那么甲应该得到赌金的5/8，乙得另外的3/8。你以为呢？ 下面的三颗骰子赌博机问题盛行于狂欢节时的美国中西部和英格兰： 问题0.2：你从1到6之中选取一个数字（比如6），然后机器掷出三颗骰子。如果三颗骰子出现的三个数字都是你选取的数字6，机器会支付你3美元；如果三颗骰子的数字中有两个6，机器会支付你2美元；如果三颗骰子的数字中仅有一个6，机器会支付你1美元。只有当你选取的数字没有出现时，你才需要付给它钱——仅仅1美元。好象这个游戏看起来挺吸引人的，因为掷三颗骰子，你有三个机会能赢，并且有时你可赢取1美元以上，而1美元则是你的最大损失。请问你愿意赌吗？说说你的理由！ 在概率统计中，直觉是很重要的，我们常常凭直觉就能得到正确的结论。但是在好多情况下，直觉会让人误入歧途。我们给出的第3个问题大家也许曾经亲眼见到或有所耳闻：问题0.3：一个人有三张牌，一张两面都是黑色，一张两面都是红色，一张一面是黑色一面是红色。他将这三张牌放到帽子里，让你抽一张，但你只能看这张牌的一面。假定这面是红色，则这张牌肯定不是两面黑色，只能是两面红色或一面红一面黑。他提议和你来场赌博，他赌这张牌是两面红，赔率是1赔1。你认为公平吗？ 问题0.4：历史上有名的“生日问题”同样说明“直觉”有时真的不是很可靠！假定一年有365天，则由著名的抽屉原理可知，任意366人中至少有两人同一天生日。也就是说，需要366人，才能保证其中至少有两人同一天生日。但是现实生活中，大家可能留意到一个事实：一个47人的班级几乎就有两人同一天生日！这样的结果相信足以引起多数读者好奇的。这又是怎么回事呢？后面的古典概率模型将给出合理的解释。 问题0.5：“熊”了几年的中国股市近两年狂“牛”，许多对股票几乎一窍不通的老人家也前赴后继地投身到股市的洪流中。如果你是一个股民，也知道股市存在风险，自然希望能得到专家的帮助。但问题是，究竟谁可以算是股市行家呢？如果连续6个星期，你都收到某股市顾问对某种股票行情（上升或下降）正确预言的邮件，那么这名顾问要求你为第七个星期中这样的预言付费，你愿意吗？ 问题0.6：这是一个医学诊断问题，更应该是一个生活常识。有点医学知识的人也许知道，用甲胎蛋白法诊断肝癌，准确性是比较高的：由过去的资料估计灵敏度（即癌症患者检测结果呈阳性的概率）是95%、特异度（即正常人检测结果呈阴性的概率）是90%。如果在某次例行检查（譬如单位每年一度的体检）中，某人的检验结果是阳性，试问：他应该沮丧到什么程度？ 问题0.7：可预见的梦和巧合问题： 一个人做过一个梦，而梦中的事在现实中出现时，他很难不再相信有预感的存在。你以为呢？ 如果有两个人有难以置信的一系列相同的经历，而发生这种巧合的概率是一万亿分之一（1/1012），我们是否应该诧异呢？ 问题0.8：敏感性问题调查：为确定什么样的性行为最容易导致爱滋病，需要了解人群中进行过某种性行为的人所占的比例。试问：如何设计调查方案？ 解答这些形形色色的概率统计问题，需要有足够的概率统计知识。我们从基础开始。 考试的重点内容与要求 考试的范围是现用教材：工程数学—《概率统计简明教程》（同济大学应用数学系主编）第一、二、三、四、六、七、八、九、十章。以下按章次明确考试的重点与要求。 第一章随机事件 1.了解随机现象与随机试验，了解样本空间的概念。 2.理解随机事件的概念，掌握事件之间的关系与运算。 第二章事件的概率 1.了解事件频率的概念，了解概率的统计定义。 2.熟悉关于排列与组合的基本知识，掌握求排列数与组合数的公式。 3.了解概率的古典定义，会计算简单的古典概率。 4.了解概率的公理化定义，掌握概率的基本性质，并会解决比较简单的问题。 第三章条件概率与事件的独立性 1.了解条件概率的概念、概率的乘法定理与全概率公式，并会解决比较简单的应用问题。 2.理解事件的独立性概念，了解伯努利（Bernoulli）概型和二项概率的计算方法。 第四章随机变量及其分布 1.理解随机变量的概念，了解分布函数的概念和性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率。 2.理解离散型随机变量及分布律的概念，掌握0－1分布、二项分布，了解泊松（Poisson）分布。 3.理解连续型随机变量及其概率密度的概念。掌握正态分布，均匀分布，了解指数分布。 第六章随机变量的函数及其分布 掌握求简单随机变量函数的概率分布(重点是一维随机变量的函数及其分布)。 第七章随机变量的数字特征 1.理解数学期望与方差的概念，掌握它们的性质与计算。 2.掌握二项分布、正态分布、泊松分布等的数学期望与方差。 第八、九、十章 1、了解统计量定义，掌握常用统计量的计算；理解参数点估计的概念，掌握用矩估计法构造参数的估计量。 2、掌握用最大似然估计法构造参数的估计量，了解估计量的优良性评判准则。 上述列出的各章内容与要求是本次统考的重点内容和应当达到的合格要求。当中对所列内容按教学要求的不同，分为两个层次。属较高要求，应使考生深入领会和掌握，并能熟练应用。其中，概念、理论用“理解”一词表述，方法、运算用“掌握”一词表述。另一个层次，也是必不可少的，只是在教学要求上低于前者。其中，概念、理论用“了解”一词表述，方法、运算用“会”或“知道”表述。但切不可把后者理解成考试不考；考生应结合课本的例题与教师布置的习题抓好落实，既要弄清概念、又要掌握运算规律、总结解题方法，同时还要注意各章知识的区别与联系。通过做题熟练内容，加深理解。提高综合运用知识分析和解决问题的能力。 习题八 1. 已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布N(4.55,0.1082).现在测了5炉铁水，其含碳量（%）分别为 4.28 4.40 4.42 4.35 4.37 问若总体标准差不改变，总体均值有无显著性变化（α=0.05）? 1.【解】 0010 /20.025 0.025 : 4.55;: 4.55. 5,0.05, 1.96,0.108 4.364, (4.364 4.55) 3.851, 0.108 . H H n Z Z x x Z Z Z α μμμμ ασ ==≠= ===== = - ===- > 所以拒绝H0，认为总体平均值有显著性变化. 2. 某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取三十六名考生的成绩，算得平均成绩为65.5分，标准差为15分.问在显著性水平10 .0 = α下，能否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？ 2.解：按题意需检验 01 Hμ==70Hμ=70 00 m m 1 ：，： 因为总体()2 X~Nμ,s且15 s=， 故，选取检验统计量 X Z=， 从而拒绝域为3 z 1. α/20.05 z=z=65 又由已知可得x66.5n=36 =， 故有，=== |.70| |z| 1. 1. |x-μ| 865 所以，在显著水平a0. =1下，不可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分. 3. 在正常状态下，某种牌子的香烟一支平均1.1克，若从这种香烟堆中任取36支作为样本；测得样本均值为1.008（克），样本方差s2=0.1(g2).问这堆香烟是否处于正常状态.已知香烟（支）的重量（克）近似服从正态分布（取α=0.05）. 3.设 0010 /20.025 2 0.025 : 1.1;: 1.1. 36,0.05,(1)(35) 2.0301,36, 1.008,0.1, 6 1.7456, 1.7456(35) 2.0301. H H n t n t n x s x t t t α μμμμ α ==≠= ==-=== == === =<= 所以接受H0，认为这堆香烟（支）的重要（克）正常. 4. 试用第一节假设检验的基本思想. 方法和步骤验证定理1. 2. 3的第一条结论. 习题三解答 1．已知随机事件A 的概率5.0)(=A P ，随机事件B 的概率6.0)(=B P ，条件概率8.0)|(=A B P ，试求)(AB P 及)(B A P . 解 4.08.05.0)|()()(=?==A B P A P AB P )()()(1)(1)()(AB P B P A P B A P B A P B A P +--=-== 3.04.06.05.01=+--= 2．一批零件共100个，次品率为10%，从中不放回取三次（每次取一个），求第三次才取得正品的概率。 解 1078 9 989981989910090910= ?=????= p . 3．某人有一笔资金，他投入基金的概率为0.58，购买股票的概率为0.28，两项投资都做的概率为0.19 (1) 已知他已投入基金，再购买股票的概率是多少？ (2) 已知他已购买股票，再投入基金的概率是多少？ 解 记=A {基金}，=B {股票}，则19.0)(,28.0)(,58.0)(===AB P B P A P (1) .327.058.019 .0)()()|(=== A P A B P A B P (2) 678.028 .019 .0)()()|(=== B P AB P B A P . 4．给定5.0)(=A P ，3.0)(=B P ，15.0)(=AB P ，验证下面四个等式： ),()|(),()|(A P B A P A P B A P == )()|(B P A B P =，).()|(B P A B P = 解 )(2 1 3.015.0)()()|(A P B P AB P B A P ==== )(5.07.035 .07.015.05.0)(1)()()()()|(A P B P AB P A P B P B A P B A P ===-=--== )(3.05 .015 .0)()()|(B P A P AB P A B P ==== )(5 .015 .05.015.03.0)(1)()()()()|(B P A P AB P B P A P B A P A B P ==-=--== 5．有朋自远方来，他坐火车、船、汽车和飞机的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4， 若坐火车，迟到的概率是0.25，若坐船，迟到的概率是0.3，若坐汽车，迟到的概率是0.1，若坐飞机则不会迟到。求他最后可能迟到的概率。 解 =B {迟到}，=1A {坐火车}，=2A {坐船}，=3A {坐汽车}，=4A {乘飞机}，则 4 1==i i BA B ，且按题意 25.0)|(1=A B P ，3.0)|(2=A B P ，1.0)|(3=A B P ，0)|(4=A B P . 由全概率公式有： ∑==?+?+?==4 1145.01.01.03.02.025.03.0)|()()(i i i A B P A P B P 6．已知甲袋中有6只红球，4只白球；乙袋中有8只红球，6只白球。求下列事件的概率： (1) 随机取一只袋，再从该袋中随机取一球，该球是红球； (2) 合并两只袋，从中随机取一球，该球是红球。 168 第五章 大数定律与中心极限定理 我们知道，随机事件在某次试验中可能发生也可能不发生，但在大量的重复试验中随机事件的发生却呈现出明显的规律性，例如人们通过大量的试验认识到随机事件的频率具有稳定性这一客观规律.实际上，大量随机现象的一般平均结果也具有稳定性，大数定律以严格的数学形式阐述了这种稳定性，揭示了随机现象的偶然性与必然性之间的内在联系. 客观世界中的许多随机现象都是由大量相互独立的随机因素综合作用的结果，而其中每个随机因素在总的综合影响中所起作用相对微小.可以证明，这样的随机现象可以用正态分布近似描述，中心极限定理阐述了这一原理. §1 大 数 定 律 首先我们介绍证明大数定律的重要工具—切比雪夫（Chebyshev ）不等式. 1.1 切比雪夫不等式 定理 1.1 设随机变量X 数学期望()E X 和方差()D X 都存在，则对任意给定的正数ε，成立 {}2 () ()D X P X E X εε -≥≤ . （1.1） 证明 只对X 是连续型随机变量情形给予证明. 设X 的密度函数为()f x ，则有 {}()P X E X ε-≥()()d x E X f x x ε -≥= ? 2 2 ()[()] ()d x E X x E X f x x ε ε -≥-≤ ? 2 2 1 [()]()d x E X f x x ε +∞-∞ ≤ -? 169 2 () D X ε = . 称（1.1）为切比雪夫不等式，它的等价形式为 {}2 () |()|1.D X P X E X εε -<≥- （1.2） 切比雪夫不等式直观的概率意义在于：随机变量X 与它的均值()E X 的距离大于等于e 的概率不超过 2 1D X （）e .在随机变量X 分布未知的情 况下，利用切比雪夫不等式可以给出随机事件{()}X E X ε-<的概率的一种估计. 例如当ε= { 8|()|0.8889.9 P X E X -<=≥ 也就是说，随机变量X 落在以()E X 为中心，以为半径的邻域内的概率很大，而落在该邻域之外的概率很小. 随机变量X 的取值集中在()E X 附近，而这正是方差这个数字特征的意义所在. 例1.1 已知随机变量X 和Y 的数学期望、方差以及相关系数分别为 ()()2E X E Y ==,()1D X =,()4D Y =,,0.5X Y ρ=,用切比雪夫不等 式估计概率{6}P X Y -≥. 解 由于 ()()()0E X Y E X E Y -=-=, ,(,)1X Y Cov X Y ρ==, ()()()2(,)523D X Y D X D Y cov X Y -=+-=-=, 习题三解答 1．已知随机事件A 的概率5.0)(=A P ，随机事件B 的概率6.0)(=B P ，条件概率8.0)|(=A B P ，试求 )(AB P 及)(B A P . 解 4.08.05.0)|()()(=?==A B P A P AB P )()()(1)(1)()(AB P B P A P B A P B A P B A P +--=-== 3.04.06.05.01=+--= 3．某人有一笔资金，他投入基金的概率为0.58，购买股票的概率为0.28，两项投资都做的概率为0.19 (1) 已知他已投入基金，再购买股票的概率是多少？ (2) 已知他已购买股票，再投入基金的概率是多少？ 解 记=A {基金}，=B {股票}，则19.0)(,28.0)(,58.0)(===AB P B P A P (1) .327.058.019 .0)()()|(=== A P A B P A B P (2) 678.028 .019 .0)()()|(=== B P AB P B A P . 5．有朋自远方来，他坐火车、船、汽车和飞机的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4，若坐火车，迟到的概率是 0.25，若坐船，迟到的概率是0.3，若坐汽车，迟到的概率是0.1，若坐飞机则不会迟到。求他最后可能迟到的概率。 解 =B {迟到}，=1A {坐火车}，=2A {坐船}，=3A {坐汽车}，=4A {乘飞机}，则 4 1 ==i i BA B ，且按 题意 25.0)|(1=A B P ，3.0)|(2=A B P ，1.0)|(3=A B P ，0)|(4=A B P . 由全概率公式有： ∑==?+?+?==4 1 145.01.01.03.02.025.03.0)|()()(i i i A B P A P B P 6．已知甲袋中有6只红球，4只白球；乙袋中有8只红球，6只白球。求下列事件的概率： (1) 随机取一只袋，再从该袋中随机取一球，该球是红球； (2) 合并两只袋，从中随机取一球，该球是红球。 解 (1) 记=B {该球是红球}，=1A {取自甲袋}，=2A {取自乙袋}，已知10/6)|(1=A B P ， 14/8)|(2=A B P ，所以 70 41 1482110621)|()()|()()(2211= ?+?= +=A B P A P A B P A P B P (2) 12 72414)(== B P 10．设A 与B 独立，且q B P p A P ==)(,)(，求下列事件的概率：)(B A P ，)(B A P ，)(B A P . 解 pq q p B P A P B P A P B A P -+=-+=)()()()()( pq q q p q p B P A P B P A P B A P +-=---+=-+=1)1(1)()()()()( pq B P A P AB P B A P -=-==1)()(1)()( 11．已知B A ,独立，且)()(,9/1)(B A P B A P B A P ==，求)(),(B P A P . 解 因)()(B A P B A P =，由独立性有 )()()()(B P A P B P A P = 从而 )()()()()()(B P A P B P B P A P A P -=- 导致 )()(B P A P = 再由 9/1)(=B A P ，有 2 ))(1())(1))((1()()(9/1A P B P A P B P A P -=--== 所以 3/1)(1=-A P 。最后得到 .3/2)()(==A P B P 12．甲、乙、丙三人同时独立地向同一目标各射击一次，命中率分别为1/3，1/2，2/3，求目标被命中的概率。 解 记 =B {命中目标}，=1A {甲命中}，=2A {乙命中}，=3A {丙命中}，则 3 1 == i i A B ，因而 习题七 1. 已知总体X 的概率密度为(1),01, (,)0, x x f x θθθ?+<<=??其他. 其中1θ>-为未知参 数,n X X X ,,,21Λ是来自总体X 的一组样本,试求θ的最大似然估计量. 解 构造似然函数11 ()(;)(1)()n n n j j j j L f x x θθθθ=== =+∏∏, 故1ln ()ln(1)ln()n i j L n x θθθ==++∑， 令 1 ln ()ln 01n j j d L n x d θθθ==+=+∑， 所以θ的最大似然估计量为 1 ? 1.ln n j j n x θ ==--∑ 2. 已知总体X 的概率密度为(1),, (,)0,C x x C f x θθθθ-+?>=?? 其他. 其中0>C 为已知，1 >θ为未知参数，n X X X ,,,21Λ是来自总体X 的样本，试求θ的矩估计量与最大似然估计量. 解 (1)()()1 c C E X xf x dx x C x dx θθθ θθ∞ ∞ -+-∞ = == -? ?， 由1-= θθC X ,所以θ的矩估计量为C X X -=θ?. 构造似然函数(1) 1 ()n j j L C x θθθθ-+== ∏, 12,,,,n x x x C >L 1 ln ()ln ln (1)ln ,n j j L n n c x θθθθ==+-+∑ 令方程 1 ln ()ln ln 0,n j j d L n n C x d θθθ==+-=∑ 所以θ的最大似然估计量为1 ln ln n j j n X n C θ== -∑) . 3. 设总体X 服从参数为n ，p 的二项分布,n 为已知,p 为未知,),,,(21n X X X Λ是总体X 的一个样本,),,,(21n x x x Λ为其样本观察值,试求 概率论与数理统计简明教程(丁正生杨力著)课后答案下载《概率论与数理统计简明教程》是xx年7月1日由高等教育出版社出版的图书。以下是由关于概率论与数理统计简明教程(丁正生杨力著)课后答案下载地址，希望大家喜欢! 点击进入：概率论与数理统计简明教程(丁正生杨力著)课后答案下载地址 《概率论与数理统计简明教程》在内容选材上，以必需和够用为原则，且符合教学大纲的最基本要求，模块结构，实用简明、易教易学。《概率论与数理统计简明教程》内容包括：随机事件与概率、随机变量及其分布、多维随机变量及其分布、随机变量的数字特征、大数字定律和中心极限定理、数理统计的基本概念、参数估计、假设检验、SPSS及其应用、随机过程的基本知识、马尔可夫链、平稳随机过程。 第一章随机事件与概率 1.1随机事件 1.2概率的统计定义 1.3古典概型 1.4条件概率 1.5事件的独立性 习题1 第二章随机变量及其分布 2.1随机变量及其分布函数 2.2离散型随机变量及其分布律 2.3连续型随机变量及其密度函数 2.4随机变量函数的分布 习题2 第三章多维随机变量及其分布 3.1二维随机变量 3.2边缘分布 3.3随机变量的独立性 3.4两个随机变量函数的分布 习题3 第四章随机变量的数字特征 4.1数学期望 4.2方差 4.3协方差和相关系数 4.4矩、协方差矩阵 习题4 第五章大数字定律和中心极限定理 5.1大数定律 5.2中心极限定理 习题5 第六章数理统计的基本概念 6.1数理统计的方法与内容 6.2总体与样本 6.3纺8以计量及其分布 习题6 第七章参数估计 7.1点估计及其求法 7.2估计量的评选标准 7.3区间估计 习题7 第八章假设检验 8.1假设检验的基本方法 8.2参数假设检验 8.3分布假设检验 习题8 第九章SPSS及其应用 9.1SPSS简介 9.2SPPS统计分析实例 9.3利用好帮助文档 第十章随机过程的基本知识 10.1随机过程的概念 10.2随机过程的分布与数字特征 10.3泊松过程及维纳过程 习题10 华南理工大学广州汽车学院基础部关于10级《概率论与数理统计》期末统考的通知 通知要点 ●考试的重点内容与要求 ●考试的形式与试卷结构 ●题型示例与答案 考试的重点内容与要求 考试的范围是现用教材：工程数学—《概率统计简明教程》（同济大学应用数学系主编）第一、二、三、四、五、六、七、八、九、十章。以下按章次明确考试的重点与要求。 第一章随机事件 1.了解随机现象与随机试验，了解样本空间的概念。 2.理解随机事件的概念，掌握事件之间的关系与运算。 第二章事件的概率 1.了解事件频率的概念，了解概率的统计定义。 2.熟悉关于排列与组合的基本知识，掌握求排列数与组合数的公式。 3.了解概率的古典定义，会计算简单的古典概率。 4.了解概率的公理化定义，掌握概率的基本性质，并会解决比较简单的问题。 第三章条件概率与事件的独立性 1.了解条件概率的概念、概率的乘法定理与全概率公式，并会解决比较简单的应用问题。 2.理解事件的独立性概念，了解伯努利（Bernoulli）概型和二项概率的计算方法。 第四章随机变量及其分布 1.理解随机变量的概念，了解分布函数的概念和性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率。 2.理解离散型随机变量及分布律的概念，掌握0－1分布、二项分布，了解泊松（Poisson）分布。 3.理解连续型随机变量及其概率密度的概念。掌握正态分布，均匀分布，了解指数分布。 第五章二维随机变量及其分布 1.了解二维随机变量的概念，理解二维随机变量的联合分布函数的概念。 2.了解二维离散型随机变量的分布律的概念，理解二维连续型随机变量的概率密度的概念。 3.掌握二维随机变量的边缘分布。 第六章随机变量的函数及其分布 掌握求简单随机变量函数的概率分布(重点是一维随机变量的函数及其分布)。 第七章随机变量的数字特征 1.理解数学期望与方差的概念，掌握它们的性质与计算。 2.掌握二项分布、正态分布、泊松分布等的数学期望与方差。《工程数学概率统计简明教程(同济大学应用数学系)》课后答案【khdaw_lxywyl】
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