《最短路径问题》的反思及应用

《最短路径问题》的反思及应用

我们知道，有效地开发和利用课本，对于学生的学习具有重要的意义。学生对于课本上例题或习题能否吃透，直接影响着学生的学习效果。因此教师要引导学生挖掘教材，引导学生进行反思，从中领悟问题解决过程的数学内涵。

有这样一个问题：

如图1所示，牧马人从A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地。牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短?

分析 我们把河边近似看做一条直线l (如图2)，P 为直线l 上的一个动点，那么，上面的问题可以转化为：当点P 在直线l 的什么位置时，AP 与PB 的和最小。

如图3所示，作点B 关于直线l 的对称点'B ，连接'AB ，交直线l 于点P ，则点P 就是牧马人到河边饮马的位置。事实上，点'B 与点A 的线段'AB 最短，由对称性质知，'PB PB =，因为''PA PB PA PB AB +=+=，即点P 到点A 、B 的距离之和最小。 上述路径问题，是利用轴对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离，基本思路是运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长。从解题过程不难看出，本题蕴含着三个数学思想方法:数学模型思想，转化思想，对称思想。如果学生一旦认识或明白这些思想方法，就能举一反三，再复杂的问题也会迎刃而解。

一、基本应用

如图4，点O 是矩形ABCD 的中心，E 是AB 上的点，沿CE 折叠后，点B 恰好与点O 重合，若3BC =，则折痕CE 的长为多少?

分析 沿CE 折叠后，点B 恰好与点O 重合，则点B 、点O 关于直线CE 对称，3CO CB ==，1122

ACB ∠=∠=∠，点O 是矩形ABCD 的中心，知26AC CO ==。所以12302

ACB ∠=∠=?，又在Rt CBE ∠中，30BCE ∠=?，3BC =，若设BE x =，则

2CE x =，得222(2)3x x -=，1x =2x （舍去），所以2CE x ==

二、拓展应用

如图5两条公路BA 、BC 相交于点B ，在两条公路之间的P 点有一个油库，若要在公

路BA 、BC 上各设置一个加油站Q 和R ，设置在何处，可使油车从油库出发经过一个加油站Q (或R )，再到另一个加油站R (或Q )，最后回到油库所走的路程最短，即PQ QR RP ++最小。

分析 要比较封闭曲线间的长度大小是有些困难的，我们仍然利用轴对称的方法，找到P 关于BA 、BC 的对称点'P 、''P ，连接'''P P ，由对称性易知：'PQ P Q =，''PR P R =，此时'''PQ QR RP P Q RQ P R ++=++，欲使PQ QR RP ++最小，应在'"P P ，上取Q 、R 点为'"P P 分别与AB 、CB 的交点，此时PQR 的周长最小。

三、灵活运用

如图6，一只蚂蚁欲从圆柱形的桶外点A 爬到桶内点B 去寻找食物，已知点A 到桶口的距离AC 为12cm ，点B 到桶口的距离BD 为8cm ，CD 弧长为15cm ，若蚂蚁爬行的是最短路线，应该怎样走?

分析 将圆柱侧面展开得如图7，这样所求问题可化为在CD 上求一点P ，使得PA PB +最小，因此，作点B 关于CD 的对称点'B ，连接'AB ，交CD 于点P ，线段'AB 就是最短的路线长，即蚂蚁应该沿AP 到PB 的路线走最短。过'B 作'B E AC ⊥交AC 的延长线于E ，则20AE cm =，'15B E cm =，根据勾股定理得'25AB =。故蚂蚁爬行的最短路线为25cm 。

本题将该模型思想迁移到空间几何问题中运用，其解决问题的基本思路是“化曲为平”，把立体几何问题转化为平面几何问题来思考。