89知识讲解推理与证明、数学归纳法

推理与证明、数学归纳法

【考纲要求】

1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用．

2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．

3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．

4.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．

5.了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点．

6.了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． 【知识网络】

【考点梳理】

【高清课堂：推理与证明、数学归纳法407426 知识要点】

考点一：合情推理与演绎推理

1．推理的概念

根据一个或几个已知事实(或假设)得出一个判断，这种思维方式叫做推理．从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)叫做前提，一部分是由已知推出的判断，叫做结论．

2．合情推理

根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理称为合情推理．

合情推理又具体分为归纳推理和类比推理两类：

(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这

推 理 与 证 明

归纳

推 理

证 明

合情推理

演绎推理

数学归纳法

综合法 分析法 直接证明

类比

间接证明

反证法

些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理．简言之，归纳推理是由部分到整体、个别到一般的推理，归纳推理简称归纳．

(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理，类比推理简称类比．

3．演绎推理

从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．

三段论是演绎推理的一般模式，它包括： (1)大前提——已知的一般原理； (2)小前提——所研究的特殊情况；

(3)结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断． 要点诠释：

合情推理与演绎推理的区别与联系 （1）从推理模式看：

①归纳推理是由特殊到一般的推理． ②类比推理是由特殊到特殊的推理． ③演绎推理是由一般到特殊的推理． （2）从推理的结论看：

①合情推理所得的结论不一定正确，有待证明。 ②演绎推理所得的结论一定正确。

（3）总体来说，从推理的形式和推理的正确性上讲，二者有差异；从二者在认识事物的过程中所发挥的作用的角度考虑，它们又是紧密联系，相辅相成的。合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得的；演绎推理可以验证合情推理的正确性，合情推理可以为演绎推理提供方向和思路.

考点二：直接证明与间接证明 1．综合法

(1)定义：综合法是中学数学证明中最常用的方法，它是从已知到未知，从题设到结论的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断出发，经过一系列的中间推理，最后导出所要求证的命题．综合法是一种由因索果的证明方法，又叫顺推法．

(2)综合法的思维框图：

用P 表示已知条件，1i Q i =（，2，3，...，n ）为定义、定理、公理等，Q 表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：

1P Q ?（）→12Q Q ?（）→23Q Q ?（）→.........n Q Q ?（）

2．分析法

(1) 定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判断一个明显成立的条件(已知条件，定理，定义，公理)为止．这种证明方法叫做分析法．分析法又叫逆推法或执果索因法．

(2)分析法的思维框图：

1Q P ?（）→12P P ?（）→23P P ?（）

→.........得到一个明显成立的条件. 3．反证法

(1)定义：假设原命题的结论不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立．这样的证明方法叫反证法．反证法是一种间接证明的方法．

(2)应用反证法证明数学命题的一般步骤： ①分清命题的条件和结论．

②做出与命题结论相矛盾的假设．

③由假设出发，结合已知条件，应用演绎推理方法，推出矛盾的结果．

④断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假定不真，于是原结论成立，从而间接地证明原命题为真．

考点三：数学归纳法

数学归纳法证明命题的步骤：

（1）证明当n 取第一个值0n 时结论正确；

（2）假设当n k =0(*,)k N k n ∈≥时结论正确，证明1n k =+时结论也正确， 由（1）（2）确定对0*,n N n n ∈≥时结论都正确。

要点诠释： 1.在证明过程中 证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的普遍性.在第一步中，考察结论成立的最小正整数就足够了，没有必要再考察几个正整数，即使命题对这几个正整数都成立，也不能保证命题对其他正整数也成立；

证明了第二步，就获得了递推的依据，但没有第一步就失去了递推的基础.只有把第一步和第二步结合在一起，才能获得普遍性的结论；

2.用数学归纳法证明问题时 初始值的选取：

初始值0n 就是我们要证明的命题对象的最小自然数。根据题目不同，初始值不一定从

01n =开始。如，证明不等式22n n >，初始值应从05n =开始.

必须把要把归纳假设用上一次或者多次：

在由假设n k =时命题成立，证明1n k =+时命题也成立，必须把要把归纳假设用上一

次或者多次。必须把归纳假设“*

0(,)n k k n k =≥∈N 时命题成立”作为条件来推导出

“1n k =+时命题也成立”是第二步的关键，只有通过归纳假设的使用，才达到由n=k 的情况递推到n=k+1的情况，保证了命题的传递性。此处变形的方法较多，要在不同题型中逐步去体会，如证明整除问题、几何问题等。 【典型例题】

类型一：合情推理与演绎推理 例1．在数列{}n a 中，a 1=1，且12(*)2n

n n

a a n N a +=∈+，计算a 2，a 3，a 4，并猜想n a 的表达式.

【思路点拨】根据递推关系依次把n 的值代入就可以.

【解析】223a =

，324a =，425a =， 猜想：2

1

n a n =+.

【总结升华】本题是由部分到整体的推理，先把部分的情况都写出来，然后寻找规律，概括出整体的情况，是典型的归纳推理.

举一反三：

【变式1】图（a ）、（b ）、（c ）、（d ）为四个平面图形

（1）数一数，每个平面图各有多少个顶点？多少条边？它们将平面各分成了多少个区域？

（2）推断一个平面图形的顶点数V ，边数E ，区域数F 之间的关系. 【解析】平面图形 顶点数（V ) 边数(E ) 区域

数

(F )

a 3 3 2

b 8 12 6

c 6 9 5 d

10

15

7

（2）观察：3+2－3=2；8+6－12=2；6+5－9=2；10+7－15=2.

通过观察发现，它们的顶点数V 、边数E 、区域数F 之间的关系为：2V F E +-=. 【变式2】平面中有n 个圆，每两个圆都相交于两点，每三个圆都无公共点，它们将平面分成()f n 块区域，有(1)2f =，(2)4f =，(3)8f =，……，则()f n 的表达式是 .

【答案】2

()2f n n n =-+

例2．在三角形中有下面的性质： (1)三角形的两边之和大于第三边；

(2)三角形的中位线等于第三边的一半，且平行于第三边；

(3)三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形的内心； (4)三角形的面积1

()2

S a b c r =

++，（a b c 、、为三角形的三边长，r 为三角形的内切圆半径)．

请类比写出四面体的有关性质．

【思路点拨】利用三角形的性质，通过观察四面体的结构，比较二者的内在联系，从而类比出四面体的相似命题，提出猜想．

【解析】

(1) 四面体的三个面的面积之和大于第四个面的面积；

(2) 四面体的中位面的面积等于第四个面面积的四分之一，且平行于第四个面； (3) 四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体的内切球的球心； (4) 四面体的体积1234

1

()

3

V S S S S r =

+++，(1234S S S S 、、、为四面体的四个面的面积，r 为四面体的内切球半径).

【总结升华】

1. 把平面几何的问题类比立体几何的问题，常常有如下规律： (1)平面中的点类比为空间中的线； (2)平面中的线类比为空间中的面；

(3)平面中的区域类比为空间中的空间区域； (4)平面中的面积类比成空间中的体积．

2. 培养学生面对陌生情景的问题时，能从运用知识点，方法体系的角度去思考分析问题的解题策略.

举一反三：

【变式1】在Rt △ABC 中，若∠C=90°，则cos 2

A+cos 2

B=1，则在立体几何中，给出四面体性质的猜想.

【解析】考虑到平面中的图形是直角三角形，所以我们在空间选取有3个面两两垂直的四面体'''P A B C -，且三个面与面'''A B C 所以成的二面角分别是α，β，γ.

于是，把“在Rt △ABC 中，若∠C=90°，则cos 2

A+cos 2

B=1”类比到四面体'''P A B C -，我们猜想：三棱锥'''P A B C -中，若三个侧面''PA B 、''PB C 、''PA C 两两互相垂直且分别与底面所成的角为α，β，γ，则2

2

2

cos cos cos 1αβγ++=.

【变式2】由图1有面积关系：

''''

PA B PAB S PA PB S PA PB

???=?，则由图2有体积关系：'''

P A B C P ABC

V V --=________.

【答案】

''' PA PB PC PA PB PC

??

??

类型二：直接证明与间接证明

例3．已知a,b

≥

【证明一】分析法

≥

≥

即证(a b

+≥

，即证a b

+≥

显然a b

+≥

≥

【证明二】综合法

≥=

Q

（当且仅当a=b时取等号），

≥

举一反三：

【变式1】求证：

532

123

2

log19log19log19

++<.

【证明】待证不等式的左端是3个数和的形式，右端是一常数的形式，而左端3个分母的真数相同，由此可联想到公式

1

log

log

a

b

b

a

=，转化成能直接利用对数的运算性质进行化简的形式.

∵

1

log

log

a

b

b

a

=，

∴左边

191919

log52log33log2

=++23

191919

log5log3log2

=++

23

19

log(532)

=??

19

log360

=

∵

1919

log360log3612

<=，

∴

532

123

2

log19log19log19

++<.

【变式2】若tan()2tan ,αβα+=求证：3sin sin(2)βαβ=+. 【证明】由tan()2tan ,αβα+=，得

sin()2sin cos()cos αβα

αβα

+=+，

即sin()cos 2cos()sin .αβααβα+=+ （*） 另一方面，要证3sin sin(2)βαβ=+， 即证3sin[()]sin[()]αβααβα+-=++，

即证3[sin()cos cos()sin ]sin()cos cos()sin αβααβααβααβα+-+=+++， 化简，得sin()cos 2cos()sin αβααβα+=+. ∵上式与(*)式相同. 所以，命题成立.

例4．已知a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求证：a,b,c>0 【证明】假设a ≤0

若a<0，∵abc>0，∴bc<0 又由a+b+c>0，则b+c>-a>0

∴ab+bc+ca=a(b+c)+bc<0 ，与题设矛盾 若a=0，则与abc>0矛盾， ∴必有a>0

同理可证：b>0，c>0 举一反三：

【变式1】在锐角三角形ABC 中，求证：sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++ 【证明】∵在锐角三角形ABC 中，2

A B π+>，

∴

02

2

A B π

π

>>

->，

∵在(0,

)2

π内正弦函数单调递增，

∴sin sin(

)cos 2

A B B π

>-=,即sin cos A B >

同理，sin cos B C >，sin cos C A >

∴sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++

例5.设二次函数2

()(0)f x ax bx c a =++≠中的a 、b 、c 均为奇数， 求证：方程()0f x =无整数根.

【思路点拨】由于要证明的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰，所以可考虑用反证法.对于本题可通过奇偶数分析得出结论.

【证明】假设方程 ()0f x =有整数根n ，则2

0an bn c ++=成立，

所以()0n an b c ++=.

因为c 为奇数，所以()n an b +也为奇数，且n 与an b +都必须为奇数.

因为已知a 、b 为奇数，又n 为奇数，

所以an b +为偶数，这与an b +为奇数矛盾， 所以假设不成立，原命题成立.

【总结升华】反证法适宜证明“存在性”、“唯一性”，带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的数学问题.

举一反三：

【高清课堂：推理与证明、数学归纳法407426 例5】

【变式1】若,,a b c 都为实数，且2

22

a x z π

=-+，2

23

b y x π

=-+

，2

26

c z y π

=-+

，

求证：,,a b c 中至少有一个大于0.

【证明】假设,,a b c 都不大于0，则0a ≤，0b ≤，0c ≤， 所以0a b c ++≤ 又2

22(2)(2)(2)236

a b c x z y x z y π

ππ

++=-+

+-++-+

222(21)(21)(21)3x x y y z z π=-++-++-++- 222(1)(1)(1)30x y z π=-+-+-+->.

因为2

(1)0x -≥，2

(1)0y -≥，2

(1)0z -≥，30π->， 所以2

2

2

(1)(1)(1)30a b c x y z π++=-+-+-+->， 所以0a b c ++>，这与0a b c ++≤矛盾，

所以假设不成立，原命题成立. 类型三：数学归纳法

（2015 江苏高考）已知集合X={1，2，3}，Y n ={1，2，3，…，n ）（n ∈N *），设S n ={（a ，b ）|a 整除b 或b 整除a ，a ∈X ，B ∈Y n }，令f （n ）表示集合S n 所含元素的个数． （1）写出f （6）的值；

（2）当n≥6时，写出f （n ）的表达式，并用数学归纳法证明． 【思路点拨】（1）f （6）=6+2++=13；

（2）根据数学归纳法的证明步骤，分类讨论，即可证明结论． 【解析】：（1）f （6）=6+2++=13；

（2）当n≥6时，f（n）=．

下面用数学归纳法证明：

①n=6时，f（6）=6+2++=13，结论成立；

②假设n=k（k≥6）时，结论成立，那么n=k+1时，S k+1在S k的基础上新增加的元素在（1，k+1），（2，k+1），（3，k+1）中产生，分以下情形讨论：

1）若k+1=6t，则k=6（t﹣1）+5，此时有f（k+1）=f（k）+3=（k+1）+2++，结论成立；

2）若k+1=6t+1，则k=6t，此时有f（k+1）=f（k）+1=k+2+++1=（k+1）

+2++，结论成立；

3）若k+1=6t+2，则k=6t+1，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）

+2++，结论成立；

4）若k+1=6t+3，则k=6t+2，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）

+2++，结论成立；

5）若k+1=6t+4，则k=6t+3，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）

+2++，结论成立；

6）若k+1=6t+5，则k=6t+4，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）

+2++，结论成立．

综上所述，结论对满足n≥6的自然数n均成立．

【总结升华】本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，正确归纳是关键

举一反三：

【变式1】(2015 赫章县校级模拟)设数列{}n a 满足2

11,1,2,3,n n n a a na n +=-+=???

(1)当12a =时，求432,,a a a 并由此猜测n a 的一个通项公式； (2)当31≥a 时，证明对所有的1≥n ,有 ①2+≥n a n ②

2

1

11111111321<+???++++++n a a a a . 【解析】(1)由21=a 得3112

12=+-=a a a ，由32=a 得41322

23=+-=a a a 由43=a 得51332

34=+-=a a a ，由此猜想()11≥+=n n a n

(2)①数学归纳法证明：

①当n=1时，2131+=≥a ，不等式成立. ②假设当n=k 时不等式成立，即2+≥k a k 那么

()()()35212211+≥+=+-++≥+-=+k k k k k k a a a k k k

也就是说，当1+=k n 时，211++≥+k a k 由①②可知，对于任意正整数n,均有2+≥n a n . ②由()11+-=+n a a a n n n 及①可得：

对2≥k ，有()()121121111111+=++-+-≥++-=----k k k k k a k k a k a a a

()112122211111-+=+-+≥∴---a a a k k k k

112

1

1111-?+≤+∴

k k a a 2

12

1121131121212111111

111111121321<-??? ??-+≤??? ?????++++≤+???++++++∴

-k

k n

a a a a a

【变式2

】已知()2f x x =+，又数列{}n a 的前n 项和n S 满足1()n n S f S -=,

12a =.

(1) 求数列{}n a 的前n 项和n S 及通项n a ； (2) 若12111

lg(

),lg 4n n n n a b c S S S n

=+++=L ，试比较1b 与1c ；2b 与2c ；3b 与3c 的大小，猜测n b 与n c (*n N ∈)的大小关系并加以证明；

【解析】（1

）由()2f x x =+, 1()n n S f S -=可求得：21)2(+=-n n S S , ∴21=

--n n S S ,

∴}{n S 为等差数列，且首项211==a S

，公差d =

(1)n d =

-=，即22n S n =,

∴当1n =时，1122(211)a S ===?-, 当2n ≥时，12(21)n n n a S S n -=-=-, ∴42n a n =-.

(2)111lg

2b c ==；2115lg()lg 288b =+=, ,86

lg 2=c 22b c <； 72

60

lg

1210lg ,7249lg 33===c b , ∴33b c <. 猜测：n n b c ≤.

下面用数学归纳法证明：

①验证1n =,2n =时n n b c ≤成立. ②假设n=k 时，n n b c ≤成立.

即k

a S S S k k 4lg )1

11lg(

21≤+++Λ成立，等价于k

k a S S S k k 21

1411121-=≤+++Λ. 则当1n k =+时，2121)

1(212111111++-≤+++++k k S S S S k k Λ 2

2)

1(21

)1(2121])1(211[)1(21211++++-=+--++-k k k k k k 0)

1(21

)1(212

<+++-=

k k k ∴)

1(211)1(212112+-<++-k k k ∴)

1(4lg )1(42

)1(4lg ))1(211lg())1(21211lg(12+=+-+=+-<++-

+k a k k k k k k 即1n k =+时，11k k b c ++≤成立.

由①，②可得n n b c ≤对任意*n N ∈成立.