蛛网模型在市场经济中的应用

楚雄师范学院数学系《数学建模》课程

教学论文

题目：蛛网模型在市场经济中的应用

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蛛网模型在市场经济中的应用

摘要：当今世界，市场竞争日益激烈。在完全自由竞争的市场竞争中，一个时

期某种消费品上市量远大于需求，由于销售不畅价格下降。于是转与其他行业。过一段时将这种消费品上市量就会大减，供不应求价格有上涨，这样下一时期又会出现供大于求，价格下降的局面。这一不可避免的现象。在现实世界里这样的现象会出现在不同的形式，有的振幅减小趋向平稳，有的则振幅越来越大，如果没有外界政府的干预，将导致经济崩溃。

本文利用图形方法建立“蛛网模型”，对上述现象进行分析，给出市场经济趋于稳定的条件。再用差分方程对其进行解释。用MATLAB软件迭代的思想对模型稳定点分析。最后对模型进行适当的推广。

关键词：蛛网模型差分方程

一、 模型简介

蛛网模型 ——运用弹性原理解释某些生产周期较长的商品在失去均衡时发生的不同波动情况的一种动态分析理论。

蛛网理论，又称蛛网模型，是利用弹性理论来考察价格波动对下一个周期产量影响的动态分析，它是用于市场均衡状态分析的一种理论模型。 蛛网理论是20世纪30年代出现的一种关于动态均衡分析方法。

在新古典经济学中，蛛网模型引进时间变化的因素，通过对属于不同时期的需求量、供给量和价格之间的相互作用的考察，用动态分析的方法论述生产周期较长的商品的产量和价格在偏离均衡状态以后的实际波动过程及其结果。蛛网模型考察的是生产周期较长的商品，而且生产规模一旦确定不能中途改变，市场价格的变动只能影响下一周期的产量，而本期的产量则取决于前期的价格。因此，蛛网模型的基本假设是商品本期的产量决定于前期的价格。由于决定本期供给量的前期价格与决定本期需求量（销售量）的本期价格有可能不一致，会导致产量和价格偏离均衡状态，出现产量和价格的波动。

二、 符号说明及模型假设

2.1符号说明

x k ——第k 时段商品数量 y k ——第k 时段商品价格

f K ——f 在P0点斜率的绝对值 f K ——

g 在P0点斜率的绝对值

α——商品供应量减少1个单位的价格的上涨幅度

β——商品价格上涨1个单位时商品供应的增加量 2.2模型假设

1．蛛网模型不受金融危机的影响； 2．农农产品本身生长状况良好

三、 模型建立

3.1蛛网模型

记 x k ~第k 时段商品数量；y k ~第k 时段商品价格，设 （1）

它表示消费者对这种商品的去求关系，称为需求函数。下一时段商品的数量1

+k x )

(k k x f y =)

()(11++==k k k k x g y y h x ，或

由上一时段价格k y 决定，设

（2） 这里g 是h 的反函数，h 或g 反映生产者的供应关系，称供应函数。

上面两个图中，折线 4321,,,p p p p 形似蛛网，所以这种用曲线和供应曲线分析市场经济稳定性的图示法在经济学中称蛛网模型。实际上，需求曲线f 和供应曲线g 的具体形式通常是根据各个时段商品的数量和价格的一系列统计资料得到的。

一旦需求曲线和供应曲线被确定下来，商品价格和数量是否趋于稳定。就完全有这两条曲线在平衡点P0附近的形状决定。只要分析一下图1和图2的不同之处就会发现，在P0附近，图1的f 比g 陡峭。记f 在P0点斜率的绝对值为f K ，g 在P0点的斜率的绝对值为g K ，图形的直观告诉我们，当

f K <

g K （3） 时P0点事稳定的。当

f K >

g K （4） P0点事不稳定的。下面给出蛛网模型的另一种表达式——差分方程。

3.2差分方程

在P0点附近可以用直线来近似曲线f 和h ，设（1），（2）分别近似为

0),(00?--=-ααx x y y k k (5) 0),(001?-=-+ββy y x x k k (6)

消去k y 可得

(7) 对k 递推不难得到

（8）

P0点稳定的条件是

1<αβ （9）

2y

y 图1 P 0是稳定平衡点

图2 P 0是不稳定平衡点

y 0

)()(0101x x x x k k --=-+αβ )()(0

1

1

x x x x k

k --=-+αβ

P0点稳定的条件是

αβ（10）

1

>

α都是都是有量纲的，他们的大小都应该在同一量纲下比较。

应该指出β

α和的量纲互为倒数，所以αβ是无量纲量。就可以与1比较大小了，同时，β

在上述中我们把它看做r。

差分方程同时还可以用MATLAB求解，其代码如下：

>> clear;

>> x=0.3;

>> r=3.2;

>> for i=1:30

x=r*x*(1-x); y(i)=x;

end

>> x1(1)=0.3; y1(12)=0;

>> for i=1:29

x1(2*i+1)=y(i); x1(2*i)=x1(2*i-1);

y1(2*i)=y(i); y1(2*i+1)=y1(2*i);

end

>> x2=0:0.01:1; y2=x2; y3=r.*x2.*(1-x2);

>> plot(x1,y1,'k-',x2,y2,'k-',x2,y3,'k-')

如取令αβ=r=3.2，x0=0.3，可得下图：

四、模型分析

基于上述分析我们可以看到，当市场经济趋于不稳定时，政府有两种干预办法。

第一种办法，当α尽量小时，如α=0，需求曲线水平，如图3所示，这是无论供应曲线如何，（9）式总是成立的，经济总是稳定的。相当于政府控制物价，无论商品数量多少，命令价格不得改变。

另一种办法，β尽量小，如β=0.供应曲线竖直。于是无论曲线如何，也总是稳定的。这相当于控制市场上的商品数量，当供应量少于需求时，从外地收入或掉发投入市场。这需要政府有相当强的经济实力。

图3 第一种干预办法示意图 图4 第二种干预办法示意图

五、模型推广

假如生产者的素质和管理水平更高一些，他们决定商品价格数量，不是根据前一时期的价格，而是根据前两个时期的价格。不妨设

（11） 为二者的平均值的函数。相应的（2）式的表达式（6）修改为 （12） 其中β是平均价格上涨一个单位时，1+k x 的增量。

设曲求函数不变

（13）

得到二阶线性常系数差分方程

（14）

y 00?

?

? ??+=-+211k k k y y h x ]2/)[(0101y y y x x k k k -+=--+β)

(00x x y y k k --=-α ,2,1,)1(22012=+=++++k x x x x k k k αβαβαβ

由（14）的特征根

（15）

由（15）可以算出

（16）

要使特征根在单位圆内，必须

αβ<2 （17）

这就是P0的稳定的条件。与原有模型中P0点的稳定的条件（9）相比，参数α，

β的范围放大了。这是因为管理者水平和素质的提高，对市场经济稳定起着有利影响的必然结果。

六、模型应用

蜘蛛网模型在农产品周期分析中的应用。 从农产品供求弹性分析。在一般情况下，价格波动的幅度取决于供求弹性的大小，如果两者都有弹性，则供需常常会随着价格做出灵活调整，市场常常处于均衡状态，价格不会发生大起大落。如果一方缺少弹性或者两者都缺少弹性，供需的变化会带来价格波动大幅波动。由于农产品需求弹性较低，而供给长期又富有弹性，因而农产品价格周期性现象明显，价格也呈现周期性波动，农产品总体上呈现出不稳定的特征。

由于农产品往往是缺乏需求价格弹性的商品，所以，供给曲线S 斜率的绝对值小于需求曲线D 斜率的绝对值，即S 与D 相比较，前者较平缓。或者说，供给的价格弹性大于需求的价格弹性，这时，当市场由于受到外力的干扰偏离原有的均衡状态以后，实际价格和实际产量上下波动的幅度会越来越大，偏离均衡点越来远。

如图6所示，假定在第一期由于某种外在原因的干扰，实际产量由均衡水平Qe 减少为Q1 。根据需求曲线，消费者为了购买全部的产量Q1，愿意支付较高的价格P1，于是，实际价格上升为P1。根据第一期的较高的价格水平P1，按照供给曲线，生产者将第二期的产量增加为Q2.

在第二期，生产者为了出售全部的产量Q2，接受消费者所愿意支付的价格P 2，于是，实际价格下降为P2。根据第二期的较低的价格水平P2，生产者将第三期的产量减少为Q3。

在第三期，消费者为了购买全部的产量Q3，愿意支付的价格上升为P3，于是，实际价格又上升为P3。根据第三期的较高的价格水平P3，生产者又将第四

4

8)(22,1αβαβαβλ-±-=2

2,1αβ

λ=

期的产量增加为Q4。产量增加为Q4。

图6

如此循环下去，实际产量和实际价格波动的幅度越来越大，偏离均衡产量和均衡价格越来越远。图中的均衡点E所代表的均衡状态是不稳定的，被称为不稳定的均衡。因此，当供给曲线比需求曲线较为平缓时，即供给的价格弹性大于需求的价格弹性，得到蛛网模型不稳定的结果，相应的蛛网被称为“发散型蛛网”。

参考文献

【1】姜启源数学模型高等教育出版社

【2】王向东数学实验高等教育出版社

【3】徐全智数学建模高等教育出版社