人教版九年级数学上册期末试卷

人教版九年级数学上册期末试卷
人教版九年级数学上册期末试卷

2018-2019学年度九年级(上)期末数学试卷

一.选择题

1.抛物线y=(x+2)2+1的顶点坐标是()

A.(2,1)B.(2,﹣1)C.(﹣2,1)D.(﹣2,﹣1)

2.下列汽车标志中,是中心对称图形的有()个.

A.1 B.2 C.3 D.4

3.下列说法正确的是()

A.“任意画一个三角形,其内角和是360°”是随机事件

\

B.“明天的降水概率为80%”,意味着明天降雨的可能性较大

C.“某彩票中奖概率是1%”,表示买100张这种彩票一定会中奖

D.晓芳抛一枚硬币10次,有7次正面朝上,当她抛第11次时,正面向上的概率为

4.二次函数y1=x2﹣2x﹣1与反比例函数y2=﹣(x>0)的图象在如图所示的同一坐标系中,若y1>y2时,则x的取值范围()

A.﹣1<x<1 或x>2 B.1<x<2

C.x<1 D.0<x<1或x>2

5.在平面直角坐标系xOy中,以点(3,4)为圆心,4为半径的圆与y轴所在直线的位置关系是()A.相离B.相切C.相交D.无法确定

6.如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=5,点P是BC边上的一个动点(点P与点B、C都不重合),现将△PCD沿直线PD折叠,使点C落到点F处;过点P作∠BPF的角平分线交AB于点E.设BP=x,BE=y,则下列图象中,能表示y与x的函数关系的图象大致是()

*

A.B.C.D.

二.填空

7.请写出一个开口向上,并且与x轴只有一个公共点的抛物线的解析式.

8.已知x=0是方程x2+bx+b﹣3=0的一个根,那么此方程的另一个根为.

9.将油箱注满k升油后,轿车行驶的总路程S(单位:千米)与平均耗油量a(单位:升/千米)之间是反比例函数关系S=(k是常数,k≠0).已知某轿车油箱注满油后,以平均耗油量为每千米耗油0.1升的速度行驶,可行驶760千米,当平均耗油量为0.08升/千米时,该轿车可以行驶千米.

10.学校开展合唱社团活动,九年级(1)班有10名女生和若干名男生(包括小明)报名参加,现从中各选一名女生和一名男生参加合唱团,小明估算了一下,自己被选中的概率为,则共有名男生报名.11.如图,△ABO和△CDO是以点O为位似中心的位似图形,若点A(3,4),点C(,2),点D(2,1),则点D的对应点B的坐标是.

\

12.元旦晚会上,小刚用一张半径为25cm的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面(接缝忽略不计),如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为10cm,那么这张扇形纸板的圆心角应为度.

13.太原市公共自行车的建设速度、单日租骑量等四项指标稳居全国首位.公共自行车车桩的截面示意图如图所示,AB⊥AD,AD⊥DC,点B,C在EF上,EF∥HG,EH⊥HG,AB=75cm,AD=24cm,BC=25cm,EH=4cm,则点A到地面的距离是cm.

14.如图,P是抛物线y=x2﹣4x+3上的一点,以点P为圆心、1个单位长度为半径作⊙P,当⊙P与直线y=0相切时,点P的坐标为.

三、解答题

15.已知关于x的方程x2﹣(2k﹣1)x+k2=0

(1)若原方程有实数根,求k的取值范围

{

(2)选取一个你喜欢的非零整数值作为k的值,使原方程有实数根,并解方程.

16.如图,在平面直角坐标系中,已知等边△OAB的顶点A在反比例函数y=(x>0)图象上,当等边△OAB的顶点B在坐标轴上时,求等边△OAB顶点A的坐标和△OAB的面积.

17.仅用无刻度的直尺过点C作出圆的切线(保留作图痕迹,并简要的写出作图过程).

18.杂技团进行杂技表演,演员从跷跷板右端A处(OA=1米)弹跳到人梯顶端椅子B处,借助其弹性可以将演员弹跳到离地面最高处点P(,)

(1)若将其身体(看成一个点)的路线为抛物线的一部分,求抛物线的解析式.

(2)在一次表演中,已知人梯高BC=3.4米,演员弹跳到最高处点P后落到人梯顶端椅子B处算表演成功,为了这次表演成功,人梯离起跳点A的水平距离OC是多少米请说明理由.

/

四.解答题

19.某公司在羊年春节晚会上举行一个游戏,规则如下:有4张背面相同的卡片,正面分别是喜羊羊、美羊羊、慢羊羊、懒羊羊的头像,分别对应1000元、600元、400元、200元的奖金,现将4张纸牌洗匀后背面朝上摆放到桌上,让员工抽取,每人有两次抽奖机会,两次抽取的奖金之和作为公司发的年终奖金.现有两种抽取的方案:①小芳抽取方案是:直接从四张牌中抽取两张.②小明抽取的方案是:先从四张牌中抽取一张后放回去,再从四张中再抽取一张.你认为是小明抽到的奖金不少于1000元的概率大还是小芳抽取到的奖金不少于1000元的概率大请用树形图或列表法进行分析说明.

20.在如图的方格纸中,每个小方格都是边长为1个单位的正方形,△ABC的三个顶点都在格点上如图,已知直线PA交⊙O于A、B两点,AE是⊙O的直径,点C为⊙O上一点,且AC平分∠PAE,过C作CD⊥PA,垂足为D.

(1)求证:CD为⊙O的切线;

(2)若CD=2AD,⊙O的直径为20,求线段AC、AB的长.

22.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(0,6),B(8,0).点P从A点出发,以每秒1个单位的速度沿AO运动;同时,点Q从O出发,以每秒2个单位的速度沿OB运动,当Q点到达B点时,P、Q 两点同时停止运动.

(1)求运动时间t的取值范围;

(2)t为何值时,△POQ的面积最大最大值是多少

(3)t为何值时,以点P、0、Q为顶点的三角形与Rt△AOB相似

~

五、(本大题共10分)

23.每年淘宝网都会举办“双十一”购物活动,许多商家都会利用这个契机进行打折让利的促销活动.甲网店销售一件A商品成本为50元,网上标价80元.

(1)“双十一”购物活动当天,甲网店连续两次降价销售A商品吸引买主,问平均每次降价率为多少,才能使这件A商品的利润率为10%(≈)

(2)据媒体爆料,有一些淘宝商家在“双十一”购物活动当天,先提高商品的网上标价后再推出促销活动,存在欺诈行为.“双十一”活动之前,乙网店销售A商品的成本、网上标价与甲网店一致,一周可售出60

件A商品.在“双十一”购物活动这天,乙网店先将网上标价提高a%,再推出五折销售的促销活动,吸引了大量网购者,乙网店在“双十一”购物活动当天卖出的A商品数量也比原来一周卖出的A商品数量增加了a%,这样“双十一”活动当天乙网店的利润达到了3600元,求乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价为多少

六、(本大题12分)

24.课题学习:我们知道二次函数的图象是抛物线,它也可以这样定义:如果一个动点M(x,y)到定点A(0,m)(m>0)的距离与它到定直线y=﹣m的距离相等,那么动点M形成的图形就是抛物线y=ax2(a>0)的图象,如图所示.

(1)探究:当x≠0时,a与m有何数量关系

)

(2)应用:已知动点M(x,y)到定点A(0,4)的距离与到定直线y=﹣4的距离相等,请写出动点M 形成的抛物线的解析式.

(3)拓展:根据抛物线的平移变换,抛物线y=(x﹣1)2+2的图象可以看作到定点A(,)的距离与它到定直线y=的距离相等的动点M(x,y)所形成的图形.

(4)若点D的坐标是(1,8),在(2)中求得的抛物线上是否存在点P,使得PA+PD最短若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.

2015-2016学年江西省宜春市九年级(上)期末数学试卷

参考答案与试题解析

一.选择题

1.抛物线y=(x+2)2+1的顶点坐标是()

A.(2,1)B.(2,﹣1)C.(﹣2,1)D.(﹣2,﹣1)

【考点】二次函数的性质.

【分析】已知抛物线的顶点式可直接写出顶点坐标.

【解答】解:由抛物线的顶点坐标可知,抛物线y=(x+2)2+1的顶点坐标是(﹣2,1).

故选C.

【点评】本题考查的是抛物线的顶点坐标,即抛物线y=(x+a)2+h中,其顶点坐标为(﹣a,h).2.下列汽车标志中,是中心对称图形的有()个.

A.1 B.2 C.3 D.4

【考点】中心对称图形.

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可.

【解答】解:第一个图形是中心对称图形;

第二个图形不是中心对称图形;

第三个图形是中心对称图形;

第四个图形不是中心对称图形.

故选:B.

【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后两部分重合.

<

3.下列说法正确的是()

A.“任意画一个三角形,其内角和是360°”是随机事件

B.“明天的降水概率为80%”,意味着明天降雨的可能性较大

C.“某彩票中奖概率是1%”,表示买100张这种彩票一定会中奖

D.晓芳抛一枚硬币10次,有7次正面朝上,当她抛第11次时,正面向上的概率为

【考点】概率的意义;随机事件.

【分析】根据随机事件的概念以及概率的意义结合选项可得答案.

【解答】解:A、任意画一个三角形,其内角和是360°是不可能事件,故此选项错误;

B、“明天的降水概率为80%”,意味着明天降雨的可能性较大,该说法正确,故此选项正确;

C、“某彩票中奖概率是1%”,表示买100张这种彩票可能会中奖,故此选项错误;

}

D、由于抛硬币正反出现的概率是相同的,不论抛多少次出现正面或反面的概率是一致的,即正面向上的概率为,故此选项错误.

故选B.

【点评】此题主要考查了概率的意义,关键是弄清随机事件和必然事件的概念的区别.

4.二次函数y1=x2﹣2x﹣1与反比例函数y2=﹣(x>0)的图象在如图所示的同一坐标系中,若y1>y2时,则x的取值范围()

A.﹣1<x<1 或x>2 B.1<x<2

C.x<1 D.0<x<1或x>2

【考点】二次函数与不等式(组).

【分析】直接求出两函数图象的交点横坐标,进而得出y1>y2时x的取值范围.

【解答】解:由题意可得:x2﹣2x﹣1=﹣,

解得:x1=1,x2=2,即两函数图象的交点横坐标为:1,2;

则y1>y2时,0<x<1或x>2.

故选:D.

【点评】此题主要考查了二次函数与不等式,正确得出函数交点横坐标是解题关键.

5.在平面直角坐标系xOy中,以点(3,4)为圆心,4为半径的圆与y轴所在直线的位置关系是()A.相离B.相切C.相交D.无法确定

【考点】直线与圆的位置关系;坐标与图形性质.

【分析】可先求出圆心到y轴的距离,再根据半径比较,若圆心到y轴的距离大于圆心距,y轴与圆相离;小于圆心距,y轴与圆相交;等于圆心距,y轴与圆相切.

]

【解答】解:依题意得:圆心到y轴的距离为:3<半径4,

所以圆与y轴相交,

故选C.

【点评】此题考查的是圆与直线的关系,即圆心到直线的距离大于圆心距,直线与圆相离;小于圆心距,直线与圆相交;等于圆心距,则直线与圆相切.

6.如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=5,点P是BC边上的一个动点(点P与点B、C都不重合),现将△PCD沿直线PD折叠,使点C落到点F处;过点P作∠BPF的角平分线交AB于点E.设BP=x,BE=y,则下列图象中,能表示y与x的函数关系的图象大致是()

A.B.C.D.

【考点】动点问题的函数图象.

【专题】压轴题.

【分析】证明△BPE∽△CDP,根据相似三角形的对应边的比相等求得y与x的函数关系式,根据函数的性质即可作出判断.

【解答】解:∵∠CPD=∠FPD,∠BPE=∠FPE,

又∵∠CPD+∠FPD+∠BPE+∠FPE=180°,

∴∠CPD+∠BPE=90°,

又∵直角△BPE中,∠BPE+∠BEP=90°,

∴∠BEP=∠CPD,

又∵∠B=∠C,

∴△BPE∽△CDP,

∴,即,则y=﹣x2+x,y是x的二次函数,且开口向下.

故选:C.

'

【点评】本题考查了动点问题的函数图象,求函数的解析式,就是把自变量当作已知数值,然后求函数变量y的值,即求线段长的问题,正确证明△BPE∽△CDP是关键.

二.填空

7.请写出一个开口向上,并且与x轴只有一个公共点的抛物线的解析式y=x2.

【考点】抛物线与x轴的交点.

【专题】计算题;二次函数图象及其性质.

【分析】开口向上即为a大于0,与x轴只有一个交点即为根的判别式为0,写出满足题意的抛物线解析式即可.

【解答】解:一个开口向上,并且与x轴只有一个公共点的抛物线的解析式为y=x2.

故答案为:y=x2

【点评】此题考查了抛物线与x轴的交点,抛物线与x轴的交点与根的判别式的关系为:两个交点即为根的判别式大于0;一个交点即为根的判别式等于0;没有交点即为根的判别式小于0.

%

8.已知x=0是方程x2+bx+b﹣3=0的一个根,那么此方程的另一个根为﹣3.

【考点】根与系数的关系.

【分析】根据方程的解的定义求出b的值,根据根与系数的关系列式计算即可.

【解答】解:∵x=0是方程x2+bx+b﹣3=0的一个根,

∴b﹣3=0,

解得,b=3

设方程的另一个根为a,

则a+0=﹣3,

解得,a=﹣3,

#

故答案为:﹣3.

【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系,掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系为:x1+x2=﹣,x1?x2=是解题的关键.

9.将油箱注满k升油后,轿车行驶的总路程S(单位:千米)与平均耗油量a(单位:升/千米)之间是反比例函数关系S=(k是常数,k≠0).已知某轿车油箱注满油后,以平均耗油量为每千米耗油0.1升的速度行驶,可行驶760千米,当平均耗油量为0.08升/千米时,该轿车可以行驶950千米.

【考点】反比例函数的应用.

【分析】根据“以平均耗油量为每千米耗油0.1升的速度行驶,可行驶760千米”利用反比例函数图象上的坐标特征即可求出k值,再带人a=求出S即可得出结论.

【解答】解:∵以平均耗油量为每千米耗油0.1升的速度行驶,可行驶760千米,

∴760=,解得:k=76,

∴当平均耗油量为0.08升/千米时,该轿车可以行驶的路程S==950(千米).

故答案为:950.

@

【点评】本题考查了反比例函数的应用,解题的关键是利用反比例函数图象上的坐标特征求出k值.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,根据点的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征求出反比例函数系数k的值是关键.

10.学校开展合唱社团活动,九年级(1)班有10名女生和若干名男生(包括小明)报名参加,现从中各选一名女生和一名男生参加合唱团,小明估算了一下,自己被选中的概率为,则共有15名男生报名.

【分析】设共有x名男生报名,再直接根据概率公式求解即可.

【解答】解:设共有x名男生报名,

∵从中选一名男生参加合唱团,小明被选中的概率为,

∴=,解得x=15(名).

故答案为:15.

【点评】本题考查的是概率公式,熟记随机事件的概率公式是解答此题的关键.

~

11.如图,△ABO和△CDO是以点O为位似中心的位似图形,若点A(3,4),点C(,2),点D(2,1),则点D的对应点B的坐标是(4,2).

【考点】位似变换;坐标与图形性质.

【分析】利用位似是特殊的相似,若两个图形△ABC和△A′B′C′以原点为位似中心,相似比是k,△ABC上一点的坐标是(x,y),则在△A′B′C′中,它的对应点的坐标是(kx,ky)或(﹣kx,﹣ky).

【解答】解:∵△ABO和△CDO是以点O为位似中心的位似图形,点A(3,4),点C(,2),

∴点D(2,1)的对应点B的坐标是:(2×2,1×2)即(4,2).

故答案为(4,2).

【点评】此题主要考查了位似变换的性质,正确理解位似与相似的关系,记忆以原点为位似中心的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键.

\

12.元旦晚会上,小刚用一张半径为25cm的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面(接缝忽略不计),如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为10cm,那么这张扇形纸板的圆心角应为144度.

【分析】首先根据地面半径求得圆锥的底面的周长,从而求得圆锥的弧长,利用弧长公式求解即可.

【解答】解:∵圆锥的底面半径为10cm,

∴圆锥的底面周长为20πcm,

设侧面展开扇形的圆心角为n°,

根据弧长公式得:=20π,

解得:n=144,

故答案为:144.

`

【点评】考查圆锥的计算,用到的知识点为:圆锥的底面周长=侧面展开图的弧长;

13.太原市公共自行车的建设速度、单日租骑量等四项指标稳居全国首位.公共自行车车桩的截面示意图如图所示,AB⊥AD,AD⊥DC,点B,C在EF上,EF∥HG,EH⊥HG,AB=75cm,AD=24cm,BC=25cm,EH=4cm,则点A到地面的距离是76cm.

【考点】勾股定理的应用.

【分析】分别过点A作AM⊥BF于点M,过点C作CN⊥AB于点N,利用勾股定理得出BN的长,再利用相似三角形的判定与性质得出即可.

【解答】解:过点A作AM⊥BF于点M,过点C作CN⊥AB于点N,如图所示:

∵AD=24cm,则NC=24cm,

∴BN===7(cm),

∵∠AMB=∠CNB=90°,∠ABM=∠CBN,

&

∴△BNC∽△BMA,

∴,

∴,

解得:AM=72,

故点A到地面的距离=72+4=76(cm).

故答案为:76.

【点评】此题主要考查了勾股定理的应用以及相似三角形的判定与性质,得出△BNC∽△BMA是解题关键.

14.如图,P是抛物线y=x2﹣4x+3上的一点,以点P为圆心、1个单位长度为半径作⊙P,当⊙P与直线y=0相切时,点P的坐标为(2+,1)或(2﹣,1)或(2,﹣1).

{

【考点】切线的性质;二次函数图象上点的坐标特征.

【分析】⊙P与直线y=0相切时就是:⊙P与x轴相切,半径为1个单位长度,即点P的纵坐标|y|=1,根据P是抛物线y=x2﹣4x+3上的一点,代入计算出x的值,并写出点P的坐标,一共有3种可能.

【解答】解:当y=1时,x2﹣4x+3=1,

解得:x=2±,

∴P(2+,1)或(2﹣,1),

当y=﹣1时,x2﹣4x+3=﹣1,

解得:x1=x2=2,

∴P(2,﹣1),

则点P的坐标为:(2+,1)或(2﹣,1)或(2,﹣1).

*

【点评】本题考查了切线的性质,并与二次函数相结合,首先理解圆的半径和点P的纵坐标有关,且点P 又在抛物线上,x、y的值满足解析式,所以列一元二次方程可求解.

三、解答题

15.已知关于x的方程x2﹣(2k﹣1)x+k2=0

(1)若原方程有实数根,求k的取值范围

(2)选取一个你喜欢的非零整数值作为k的值,使原方程有实数根,并解方程.

【考点】根的判别式.

【分析】(1)由方程有实数根结合根的判别式即可得出关于k的一元一次不等式,解不等式即可得出结论;

(2)根据(1)的结论,选k=﹣2,将其代入原方程,利用分解因式法解方程,此题得解.

【解答】解:(1)由已知得:

△=[﹣(2k﹣1)]2﹣4k2=﹣4k+1≥0,

解得:k≤.

∴若原方程有实数根,k的取值范围为k≤.

(2)当k=﹣2时,原方程为x2﹣5x+4=(x﹣1)(x﹣4)=0,

解得:x1=1,x2=4.

【点评】本题考查了根的判别式以及解一元二次方程,解题的关键是:(1)得出﹣4k+1≥0;(2)熟练掌握一元二次方程的解法.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,根据根的个数结合根的判别式得出不等式是关键.

16.如图,在平面直角坐标系中,已知等边△OAB的顶点A在反比例函数y=(x>0)图象上,当等边△OAB的顶点B在坐标轴上时,求等边△OAB顶点A的坐标和△OAB的面积.

;

【考点】反比例函数系数k的几何意义;反比例函数图象上点的坐标特征;等边三角形的性质.

【分析】根据等边三角形的性质和反比例系数k的几何意义即可求得A的在以及三角形AOC的面积,进而求得三角形AOB的面积.

【解答】解:当点B在x轴上时,如图1,

作AC⊥OB于C,

∵△AOB是等边三角形,

设OC=x,

∴AC=x,

∴A(x,x),

∵顶点A在反比例函数y=(x>0)图象上,

∴x?=4,

`

∴x=2,

∴A(2,2);

当点B在y轴上时,如图2,

作AC⊥y轴于C,

∵△AOB是等边三角形,

设OC=y,

∴AC=y,

∴A(y,y),

∵顶点A在反比例函数y=(x>0)图象上,

∴y?y=4,

∴y=2,

∴A(2,2);

S

=2××4=4.

△AOB

【点评】本题考查了等边三角形的性质,反比例函数系数k的几何意义,反比例函数图象上点的坐标特征.17.仅用无刻度的直尺过点C作出圆的切线(保留作图痕迹,并简要的写出作图过程).

【考点】作图—复杂作图;切线的性质.

,

【分析】直接利用垂径定理以及全等三角形的判定与性质和切线的判定方法得出答案.

【解答】解:1、AB的中垂线与BC的中垂线的交点即为圆心O;

2、连接OC并构造Rt△OEC≌Rt△CFD;

3、连接直线CD即为切线.

【点评】此题主要考查了复杂作图以及切线的判定与性质,正确找到圆心的位置是解题关键.

18.杂技团进行杂技表演,演员从跷跷板右端A处(OA=1米)弹跳到人梯顶端椅子B处,借助其弹性可以将演员弹跳到离地面最高处点P(,)

(1)若将其身体(看成一个点)的路线为抛物线的一部分,求抛物线的解析式.

(2)在一次表演中,已知人梯高BC=3.4米,演员弹跳到最高处点P后落到人梯顶端椅子B处算表演成功,为了这次表演成功,人梯离起跳点A的水平距离OC是多少米请说明理由.

|

【考点】二次函数的应用.

【分析】(1)设抛物线解析式为y=a(x﹣h)2+k,由已知条件可知h和k的值,再把点A的坐标代入求出a的值即可;

(2)由BC=3.4米,可知点B的纵坐标为,把其纵坐标代入抛物线的解析式求出其横坐标,即可得到人梯离起跳点A的水平距离OC.

【解答】解:

(1)设抛物线解析式为y=a(x﹣h)2+k,

∵最高处点P(,),

∴h=,k=,

∴y=a(x﹣)2+,

∵OA=1米,

|

∴点A的坐标为(0,1),

∴1=a×+,

解得:a=﹣,

∴y=﹣(x﹣)2+=﹣x2+3x+1;

(2)∵BC=3.4米,

∴B的纵坐标为,

∴=﹣x2+3x+1,

解得:x=4或1,

∴人梯离起跳点A的水平距离OC是4米.

【点评】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用.此题为数学建模题,借助二次函数解决实际问题.

$

四.解答题

19.某公司在羊年春节晚会上举行一个游戏,规则如下:有4张背面相同的卡片,正面分别是喜羊羊、美羊羊、慢羊羊、懒羊羊的头像,分别对应1000元、600元、400元、200元的奖金,现将4张纸牌洗匀后背面朝上摆放到桌上,让员工抽取,每人有两次抽奖机会,两次抽取的奖金之和作为公司发的年终奖金.现有两种抽取的方案:①小芳抽取方案是:直接从四张牌中抽取两张.②小明抽取的方案是:先从四张牌中抽取一张后放回去,再从四张中再抽取一张.你认为是小明抽到的奖金不少于1000元的概率大还是小芳抽取到的奖金不少于1000元的概率大请用树形图或列表法进行分析说明.

【考点】列表法与树状图法.

【专题】计算题.

【分析】先利用树状图展示两种方案的所有等可能的结果数,利用概率公式求出小明抽到的奖金不少于1000元的概率和小芳抽取到的奖金不少于1000元的概率,然后比较概率的大小即可.

【解答】解:小芳抽取方案

画树状图为:

共有12种等可能的结果数,其中抽取到的奖金不少于1000元的概率==;

,

小明抽取的方案:

共有16种等可能的结果数,其中抽取到的奖金不少于1000元的概率==

因为<,

所以小明抽到的奖金不少于1000元的概率大.

【点评】本题考查了列表法与树状图法:利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后利用概率公式求事件A或B的概率..

20.在如图的方格纸中,每个小方格都是边长为1个单位的正方形,△ABC的三个顶点都在格点上如图,已知直线PA交⊙O于A、B两点,AE是⊙O的直径,点C为⊙O上一点,且AC平分∠PAE,过C作CD⊥PA,垂足为D.

(1)求证:CD为⊙O的切线;

(2)若CD=2AD,⊙O的直径为20,求线段AC、AB的长.

【考点】切线的判定.

【分析】(1)欲证明CD为⊙O的切线,只要证明∠OCD=90°即可.

(2)作OF⊥AB于F,设AD=x,则OF=CD=2x,在Rt△AOF中利用勾股定理列出方程即可解决问题.【解答】证明:(1)连接OC.

∵点C在⊙O上,OA=OC,

∴∠OCA=∠OAC,

∵CD⊥PA,

2017-2018人教版九年级上册数学课本知识点归纳

2017-2018人教版九年级上册数学课本知识点归纳 第二十一章 二次根式 一、二次根式 1.二次根式:把形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式, “ ” 表 示二次根号。 2.最简二次根式:若二次根式满足:①被开方数不含分母;②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。这样的二次根式叫做最简二次根式。 3.化简:化二次根式为最简二次根式(1)如果被开方数是分数(包括小数)或分式,先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式,然后利用分母有理化进行化简。(2)如果被开方数是整数或整式,先将他分解因数或因式,然后把能开得尽方的因数或因式开出来。 4.同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,这几个二次根式叫做同类二次根式。 5.代数式:运用基本运算符号,把数和表示数的字母连起来的式子,叫代数式。 6.二次根式的性质 (1))0()(2≥=a a a )0(≥a a (2)==a a 2 )0(<-a a

(3))0,0(≥≥?=b a b a ab (乘法) (4))0,0(≥≥=b a b a b a (除法) 二、二次根式混合运算 1.二次根式加减时,可以把二次根式化成最简二次根式,再把被开方数相同的最简二次根式进行合并。 2.二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样,先乘方,再乘除,最后加减,有括号的先算括号里的(或先去括号)。 第二十二章一元二次方程 一、一元二次方程 1、一元二次方程 含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式)0(02≠=++a c bx ax ,其中2ax 叫做二 次项,a 叫做二次项系数;bx 叫做一次项,b 叫做一次项系数;c 叫做常数项。 二、降次----解一元二次方程 1.降次:把一元二次方程化成两个一元一次方程的过程(不管用什么方法解一元二次方程,都是要一元二次方程降次) 2、直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做 直接开平方法。直接开平方法适用于解形如x 2 =b 或b a x =+2)(的一元

人教版九年级数学上册知识点总结

人教版九年级数学上册知识点总结 21.1 一元二次方程 知识点一一元二次方程的定义 等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程。 注意一下几点: ①只含有一个未知数;②未知数的最高次数是2;③是整式方程。 知识点二一元二次方程的一般形式 一般形式:ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0).其中,ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项。 知识点三一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解,也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。 21.2 降次——解一元二次方程 21.2.1 配方法 知识点一直接开平方法解一元二次方程 (1)如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方,另一边是非负数,可以直接开平方。一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,根据平方根的定义可解得x1=a,x2=a . (2)直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程,如果p≥0,就可以利用直接开平方法。 (3)用直接开平方法求一元二次方程的根,要正确运用平方根的性质,即正数的平方根有两个,它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。

(4)直接开平方法解一元二次方程的步骤是:①移项;②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1;③两边直接开平方,使原方程变为两个一元二次方程; ④解一元一次方程,求出原方程的根。 知识点二配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫做配方法,配方的目的是降次,把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。 配方法的一般步骤可以总结为:一移、二除、三配、四开。 (1)把常数项移到等号的右边;⑵方程两边都除以二次项系数; ⑶方程两边都加上一次项系数一半的平方,把左边配成完全平方式;⑷若等号 右边为非负数,直接开平方求出方程的解。 21.2.2 公式法 知识点一公式法解一元二次方程 (1)一般地,对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),如果b2-4ac≥0,那么方程的两个 根为x= a ac b b 2 4 2 - ± - ,这个公式叫做一元二次方程的求根公式,利用求根公式,我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解,这种解方程的方法叫做公式法。 (2)一元二次方程求根公式的推导过程,就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程。 (3)公式法解一元二次方程的具体步骤: ①方程化为一般形式:ax2+bx+c=0(a≠0),一般a化为正值②确定公式中a,b,c 的值,注意符号; ③求出b2-4ac的值;④若b2-4ac≥0,则把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解,若b2-4ac<0,则方程无实数根。

人教版九年级上册数学知识点总结

人教版九年级上册数学知识点总结 一元二次方程 易错点: a≠0 和a=0 方程两个根的取舍 知识点一:一元二次方程的定义:等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程。 注意一下几点: ①只含有一个未知数;②未知数的最高次数是2;③是整式方程。 知识点二:一元二次方程的一般形式: 一般形式:ax2 + bx + c = 0(a ≠0).其中,ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项。 知识点三:一元二次方程的根:使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解,也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。 降次——解一元二次方程 配方法 / 知识点一:直接开平方法解一元二次方程 (1)如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方,另一边是非负数,可以直接开平方。一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,根据平方根的定义可解得x1=a,x2=a -. (2)直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程,如果p≥0,就可以利用直接开平方法。 (3)用直接开平方法求一元二次方程的根,要正确运用平方根的性质,即正数的平方根有两个,它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。 (4)直接开平方法解一元二次方程的步骤是:①移项;②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1;③两边直接开平方,使原方程变为两个一元二次方程;④解一元一次方程,求出原方程的根。 知识点二:配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫做配方法,配方的目的是降次,把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。 配方法的一般步骤可以总结为:一移、二除、三配、四开。 (1)把常数项移到等号的右边; (2)方程两边都除以二次项系数; (3)) (4)方程两边都加上一次项系数一半的平方,把左边配成完全平方式; (5)若等号右边为非负数,直接开平方求出方程的解。 公式法 知识点一:公式法解一元二次方程 (1)一般地,对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),如果b2-4ac≥0,那么方程的两个根为 x= a ac b b 2 4 2 - ± - ,这个公式叫做一元二次方程的求根公式,利用求根公式,我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解,这种解方程的方法叫做公式法。 (2)一元二次方程求根公式的推导过程,就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠ 0)的过程。

人教版九年级上册数学全册教案公开课

人教版九年级上册数学 全 册 教 案 第二十一章一元二次方程 21.1 一元二次方程 教学目标 知识技能 1.通过类比一元一次方程,了解一元二次方程的概念及一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),分清二次项及其系数、一次项及其系数与常数项等概念. 2.了解一元二次方程的解的概念,会检验一个数是不是一元二次方程的解.

数学思考与问题解决 通过丰富的实例,列出一元二次方程,让学生体会一元二次方程是刻画现实世界数量关系的有效模型,培养学生初步形成“模型思想”,增强学生应用数学知识解决实际问题的意识. 情感态度 使学生经历类比一元一次方程得到一元二次方程概念的过程,减少学生对新知识的陌生感,提高学生学习数学的兴趣. 重点难点 重点:通过类比一元一次方程,了解一元二次方程的概念及一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)和一元二次方程的解等概念,并能用这些概念解决简单问题. 难点:一元二次方程及其二次项系数、一次项系数和常数项系数的识别. 教学设计 活动一:创设情境 1.什么是方程?什么是一元一次方程? 2.指出下面哪些方程是已学过的方程?分别是什么方程? (1)3x+4=1;(2)6x-5y=7;(3)-=0;(4)y=5;(5)x2-70x +825=0;(6)7+=4;(7)x(x+5)=150;(8)-=0. 3.什么是“元”?什么是“次”?

活动二:一元二次方程及其相关概念的学习 自学教材第2~3页,思考教师所提下列问题: 1.问题1中列方程的等量关系是________,所列方程为________,化简后为________. 2.问题2中列方程的等量关系是________,为什么要乘?所列方程为________,化简后为________. 3.观察上面化简后的方程,会发现:等号两边都是________,只含有________个未知数,并且未知数的最高次数是________的方程,叫做一元二次方程. 4.任何一个方程都要化成它的一般形式,一元二次方程的一般形式为________(a≠________).为什么? 5.说出一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项,在确定各个系数时要注意什么? 设计意图:通过设问的方式来加深学生对一元二次方程的理解,排除学生对一元二次方程及其相关概念理解的障碍,让学生体会到一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型,同时,通过设问也给学生学习探究搭建了交流平台. 活动三:尝试练习 1.判断下列方程是否为一元二次方程. (1)3x+2=5y-3;(2)x2=4;(3)3x2-=0;(4)x2-4=(x+2)2;

新人教版九年级上册数学全册教案

《人教版九年级上册全书教案》 第二十一章二次根式 教材内容 1.本单元教学的主要内容: 二次根式的概念;二次根式的加减;二次根式的乘除;最简二次根式. 2.本单元在教材中的地位和作用: 二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的,它也是今后学习其他数学知识的基础.教学目标 1.知识与技能 (1)理解二次根式的概念. (2a≥02=a(a≥0(a≥0). (3(a≥0,b≥0; a≥0,b>0a≥0,b>0). (4)了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减. 2.过程与方法 (1)先提出问题,让学生探讨、分析问题,师生共同归纳,得出概念.?再对概念的内涵进行分析,得出几个重要结论,并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简.(2)用具体数据探究规律,用不完全归纳法得出二次根式的乘(除)法规定,?并运用规定进行计算. (3)利用逆向思维,?得出二次根式的乘(除)法规定的逆向等式并运用它进行化简.(4)通过分析前面的计算和化简结果,抓住它们的共同特点,?给出最简二次根式的概念.利用最简二次根式的概念,来对相同的二次根式进行合并,达到对二次根式进行计算和化简的目的. 3.情感、态度与价值观 通过本单元的学习培养学生:利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神,经过探索二次根式的重要结论,二次根式的乘除规定,发展学生观察、分析、发现问题的能力.教学重点 1a≥0a≥0)2=a(a≥0); (a≥0)?及其运用. 2.二次根式乘除法的规定及其运用. 3.最简二次根式的概念. 4.二次根式的加减运算. 教学难点 1a≥0)2=a(a≥0(a≥0)

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人教版九年级数学上册讲义(全册) 第二十一章二次根式 教材内容 1.本单元教学的主要内容: 二次根式的概念;二次根式的加减;二次根式的乘除;最简二次根式. 2.本单元在教材中的地位和作用: 二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的,它也是今后学习其他数学知识的基础. 教学目标 1.知识与技能 (1)理解二次根式的概念. (2)理解(a≥0)是一个非负数,()2=a(a≥0),=a(a≥0). (3)掌握·=(a≥0,b≥0),=·; =(a≥0,b>0),=(a≥0,b>0). (4)了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减. 2.过程与方法 (1)先提出问题,让学生探讨、分析问题,师生共同归纳,得出概念.?再对概念的内涵进行分析,得出几个重要结论,并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简. (2)用具体数据探究规律,用不完全归纳法得出二次根式的乘(除)法规定,?并运用规定进行计算.(3)利用逆向思维,?得出二次根式的乘(除)法规定的逆向等式并运用它进行化简. (4)通过分析前面的计算和化简结果,抓住它们的共同特点,?给出最简二次根式的概念.利用最简二次根式的概念,来对相同的二次根式进行合并,达到对二次根式进行计算和化简的目的. 3.情感、态度与价值观 通过本单元的学习培养学生:利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神,经过探索二次根式的重要结论,二次根式的乘除规定,发展学生观察、分析、发现问题的能力. 教学重点 1.二次根式(a≥0)的内涵.(a≥0)是一个非负数;()2=a(a≥0);=a(a≥0)?及其运用. 2.二次根式乘除法的规定及其运用. 3.最简二次根式的概念. 4.二次根式的加减运算. 教学难点 1.对(a≥0)是一个非负数的理解;对等式()2=a(a≥0)及=a(a≥0)的理解及应用.2.二次根式的乘法、除法的条件限制. 3.利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式. 教学关键 1.潜移默化地培养学生从具体到一般的推理能力,突出重点,突破难点. 2.培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力,?培养学生一丝不苟的科学精神. 单元课时划分 本单元教学时间约需11课时,具体分配如下: 21.1 二次根式3课时 21.2 二次根式的乘法3课时 21.3 二次根式的加减3课时 教学活动、习题课、小结2课时

九年级数学上册人教版教案

x 第二十一章 一元二次方程 21.1 一元二次方程 1.通过类比一元一次方程,了解一元二次方程的概念及一般式 ax 2+bx +c =0(a ≠0),分清二次项及其系数、一次项及其系数与常数项等概念. 2.了解一元二次方程的解的概念,会检验一个数是不是一元二次方程的解. 重点 通过类比一元一次方程,了解一元二次方程的概念及一般式 ax 2+bx +c =0(a ≠0)和一元二次方程的解等概念,并能用这些概念解决简单问题. 难点 一元二次方程及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别. 活动 1 复习旧知 1.什么是方程?你能举一个方程的例子吗? 2.下列哪些方程是一元一次方程?并给出一元一次方程的概念和一般形式. 1 (1)2x -1 (2)mx +n =0 (3) +1=0 (4)x 2=1 3.下列哪个实数是方程 2x -1=3 的解?并给出方程的解的概念. A .0 B .1 C .2 D .3 活动 2 探究新知

根据题意列方程. 1.教材第2页问题1. 提出问题: (1)正方形的大小由什么量决定?本题应该设哪个量为未知数? (2)本题中有什么数量关系?能利用这个数量关系列方程吗?怎么列方程? (3)这个方程能整理为比较简单的形式吗?请说出整理之后的方程. 2.教材第2页问题2. 提出问题: (1)本题中有哪些量?由这些量可以得到什么? (2)比赛队伍的数量与比赛的场次有什么关系?如果有5个队参赛,每个队比赛几场?一共有20场比赛吗?如果不是20场比赛,那么究竟比赛多少场? (3)如果有x个队参赛,一共比赛多少场呢? 3.一个数比另一个数大3,且两个数之积为0,求这两个数. 提出问题: 本题需要设两个未知数吗?如果可以设一个未知数,那么方程应该怎么列? 4.一个正方形的面积的2倍等于25,这个正方形的边长是多少?

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(此文档为word格式,下载后您可任意编辑修改!) 数学教案(七年级上册) 第1章有理数 第2章整式的加减 第3章一元一次方程 第4章图形认识初步 第一章有理数 1.1正数和负数 教学目标: 1、了解正数与负数是从实际需要中产生的。 2、能正确判断一个数是正数还是负数,明确0既不是正数也 不是负数。 3、会用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量。 重点:正、负数的概念 重点:负数的概念、正确区分两种不同意义的量。 2、正数和负数 教师:如何来表示具有相反意义的量呢?我们现在来解决问题4提出的问题。 结论:零下5℃用-5℃来表示,零上5℃用5℃来表示。 为了用数表示具有相反意义的量,我们把其中一种意义的量。如零上、向东、收入和高于等规定为正的,而把与它相反的量规定为负的。正的用小学学过的数(0除外)表示,负的用小学学过的数(0除外)在前面加上“-”(读作负)号来表示。根据需要,有时在正数前面也加上“+”(读作正)号。 注意:①数0既不是正数,也不是负数。0不仅仅表示没有,也可以表示一个确定的量,如温度计中的0℃不是没有表示没有温度,它通常表示水结成冰时的温度。②正数、负数的“+”“-”的符号是表示量的性质相反,这种符号叫做性质符号。

三、巩固知识 1、课本P3 练习 2、课本P4例 义。 四、总结 ①什么是具有相反意义的量?②什么是正数,什么是负数?③引入负数后,0的意义是什么? 五、布置作业 课本P5习题1.1第1、2题。 1.2.1有理数 教学目标: 1、正确理解有理数的概念及分类,能够准确区分正整数、0、负整数、正分数、负分数。 2、掌握有理数的分类方法,会对有理数进行分类,体验分类是数学上常用的处理问题的方法。 重点:正确理解有理数的概念 重点:有理数的分类 教学过程: 一、知识回顾,导入新课 什么是正数,什么是负数? 问题1:学习了负数之后,我们对数的认识范围扩大了,你能写出三个不同类型的数吗?(请三位同学上黑板上写出,其他同学在自己的练习本上写出,如果有出现不同类型的数,同学们可上黑板补充。)问题2:观察黑板上的这么数,并给它们分类。 先让学生独立思考,接着讨论和交流分类的情况,得出数的类型有5类:正整数、0、负整数、正分数、负分数。 二、讲授新课 1、有理数的定义 引导学生对前面的数进行概括,得出:正整数、零、负整数统称为整数;正分数和负分数统称分数。整数可以看作分母为1的分数,正整数、零、负整数、正分数和负分数都可以写成分数的形式,这样的数称为有理数,即整数和分数统称有理数。 2、有理数的分类 让学生在总结出5类数基础上,进行概括,尝试进行分类,通过交流和讨论,再加上老师适当的指导,逐步得出下面的两种分类方式。 (1)按定义分类:(2)按性质分类:

数学人教版九年级上册初中数学

新人教版初中数学九上圆周角教学设计 一、内容和内容解析 本节教学内容源于人教版九年级上册“24.1.4圆周角”,属于“空间与图形”领域中“圆”的内容。 圆心角、圆周角是与圆有关的角,圆周角是在垂径定理、圆心角及弧、弦、圆心角的关系定理的基础上学习的。圆周角定理及其推论对于角的计算、证明角相等、弧、弦相等以及证明圆中三角形相似等数学问题提供了十分便捷的方法和思路。 圆周角定理的证明,采用完全归纳法,通过分类讨论,把一般问题转化为特殊情况来证明,渗透了分类讨论和一般到特殊的化归思想,使学生学会化未知为已知、化复杂为简单、化一般为特殊或化特殊为一般的思考方法,提高学生分析问题和解决问题的能力,进一步发展学生的逻辑思维能力和演绎推理能力。 教学过程中,应注意积极创设问题情境,突出图形性质的探索过程,垂视直观操作和逻辑推理的有机结合,通过多种手段,如观察度量、实验操作、图形变换、逻辑推理等来发现和探索圆心角与圆周角、圆周角之间的数量关系,同时还要求学生能对发现的性质进行证明,使直观操作和逻辑推理有机的整合在一起,使推理论证成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续。 基于上述分析,确定本节教学重点是: 直观操作与推理论证相结合,探索并论证圆周角定理及其推论,发展推理能力,渗透分类讨论和化归等数学思想和方法。 二、目标和目标解析 1.理解圆周角的定义。通过与圆心角的类比,明确圆周角的两个特征:①顶点在圆上;②两边都与圆相交,会在具体情景中辨别圆周角。 2.掌握圆周角定理及其推论。经历操作、观察、猜想、分析、交流、论证等数学活动,体验圆周角定理 的探索过程,发展学生的逻辑思维能力和推理论证以及用几何言语表达的能力;提高运用数学解决实际问题的意识和能力,同时对学生进行辩证唯物主义的教育。 3.通过对圆周角定理的论证,渗透分类讨论、化归等数学思想和方法。 4.引导学生对图形进行观察、研究、添加辅助线,激发学生的好奇心和求知欲,并在运用数学知识解答 问题的活动中获取成功的体验,培养学习的自信心。 三、问题诊断分析 教师教学可能存在的问题:(1)创设问题情景,以具体的实际问题为载体,引导学生对概念和性质的学 习是新课程倡导的教学方法,在本课中要求列举一些典型的、贴近学生生活实际的例子是不容易做到的;(2)不能设计有效的数学问题,使学生通过有思维含量的数学问题,展开有效的数学教学活动,引导学 生积极地探索圆周角的性质,发展学生的教学思维;(3)过分强调知识的获得,忽略了数学思想和方法 的渗透;(4)对学生学习过程中所体现出来的态度和情感关注不够,以至于不能很好地激发好奇心和求 知欲,体验成功的乐趣,培养自信心。 学生学习中可能出现的问题:(1)对圆柱形海洋馆的构造缺乏了解,致使不能很好地理解视角、圆周角 等概念;(2)对完全归纳法、分类讨论等数学思想和方法理解有困难;(3)一般到特殊的转化、辅助线的添加、论证过程的书写等都将是学生学习过程中的弱点。 鉴于上述分析,确定本节的教学难点是:列举典型的、贴近学生生活实际的例子,通过设计有效的、有思维含量的数学问题,激活学生的数学思维,引导探索圆周角的性质,理解分类讨论证明数学命题的思想和方法。 四、教学支持条件设计 教学中,为帮助学生更好地探索发现圆周角与同弧所对的圆心角的关系,在学生动手操作的基础上,利用《几何画板》的度量功能和动画功能,准确、全面验证在试验操作中发现的结论,直观、形象地展现了同弧所对的圆周角与圆心角及同弧所对的圆周角之间的关系,感受过程的真实性,增强了学生的参与程度,提高了学习的积极性。

人教版九年级上册数学公式汇总

第二十一章 二次根式 1、一个正数有两个平方根;在实数范围内,负数没有平方根。 2、一般地,我们把形如 (a ≥0)的式子叫做二次根式,“ ”称为二次根号。 3、a (a ≥0)是一个非负数.当a 为带分数是,要把a 改写成假分数,即53 22要写成 53 8 4、二次根式的性质:(a )2=a (a ≥0), 2 a =a (a ≥0) 5、用基本运算符号(基本运算符号包括加、减、乘、除、乘方和开方)把数和表示数的字母连接起来的式子,我们称这样的式子为代数式。 6、二次根式的乘法规定:a ×b =ab (a ≥0,b ≥0) 7、二次根式的除法规定:b a =b a (a ≥0, b >0) 8、最简二次根式条件:①被开方数不含字母;②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 9、二次根式加减法法则:先将二次根式化成最简二次根式,再合并同类二次根式 10、同类二次根式即指被开方数相同的最简二次根式 11、平方差公式:a 2-b 2=(a+b)(a-b) 完全平方公式:(a ±b )2=a 2±2ab+b 2 12、二次根式除法没有分配率,任何非零数的零次幂都是1,(ab )m =a m b m 第二十二章 一元二次方程 1、 等号两边都是整式,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的方程,叫做一元二次方程。 2、 一元二次方程的一般形式:ax 2 +bx+c=0(a ≠0),其中ax 2 是二次项,a 是二次项系数;bx 是一次项,b 是一次项系数;c 是常数项。 3、 使方程左右两边的值相等的未知数的值,叫做这个方程的解,一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。 4、 解一元二次方程的方法: (1) 直接开方法:如果方程能化成x 2 =p 或(mx+n )2 =p(p ≥0)的形式,那么可得x=p ± 或mx+n=p ± (2) 配方法:步骤:第一步,把方程化成一般形式(二次项系数是1);第二步,把常 数项移到方程的右边;第三步,配方,方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方;第四步,把方程左边写成含有未知数的代数式的平方的形式,即(x-k )2 =h(h ≥0);第五步,用直接开平方法解方程。 (3) 公式法:Δ=b 2-4ac 叫做方程ax 2 +bx+c=0(a ≠0)根的判别式。当Δ>0时,方程 ax 2 +bx+c=0(a ≠0)有两个不相等的实数根;当Δ=0时,方程ax 2 +bx+c=0(a ≠0)有两个相

人教版九年级上册数学全册教案

第二十三章旋转 23.1 图形的旋转(1) 教学内容 1.什么叫旋转?旋转中心?旋转角? 2.什么叫旋转的对应点? 教学目标 了解旋转及其旋转中心和旋转角的概念,了解旋转对应点的概念及其应用它们解决一些实际问题.通过复习平移、轴对称的有关概念及性质,从生活中的数学开始,经历观察,产生概念,应用概念解决一些实际问题. 1.重点:旋转及对应点的有关概念及其应用. 2.难点与关键:从活生生的数学中抽出概念. 教具、学具准备 小黑板、三角尺 教学过程 一、复习引入 (学生活动)请同学们完成下面各题. 1.将如图所示的四边形ABCD平移,使点B的对应点为点D,作出平移后的图形.2.如图,已知△ABC和直线L,请你画出△ABC关于L的对称图形△A′B′C′. 3.圆是轴对称图形吗?等腰三角形呢?你还能指出其它的吗? (口述)老师点评并总结: (1)平移的有关概念及性质. (2)如何画一个图形关于一条直线(对称轴)?的对称图形并口述它既有的一些性质. (3)什么叫轴对称图形? 二、探索新知 我们前面已经复习平移等有关内容,生活中是否还有其它运动变化呢?回答是肯定的,下面我们就来研究. 1.请同学们看讲台上的大时钟,有什么在不停地转动?旋绕什么点呢??从现在到下课时钟转了多少度?分针转了多少度?秒针转了多少度? (口答)老师点评:时针、分针、秒针在不停地转动,它们都绕时针的中心.?如果从现在到下课时针转了_______度,分针转了_______度,秒针转了______度. 2.再看我自制的好像风车风轮的玩具,它可以不停地转动.如何转到新的位置?(老师点评略)3.第1、2两题有什么共同特点呢? 共同特点是如果我们把时针、风车风轮当成一个图形,那么这些图形都可以绕着某一固定点转动一定的角度. 像这样,把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转,点O叫做旋转中心,转动的角叫

人教版九年级数学上册期末测试题(含答案)

九年级数学上册期末测试题 一、选择题(每小题3分,共30分) 1.下列关于x 的方程中,是一元二次方程的有( ) A .221 x x + B .02=++c bx ax C .()()121=+-x x D .05232 2 =--y xy x 2.化简 1 321 21++ -的结果为( ) A 、23+ B 、23- C 、322+ D 、223+ 3.已知关于x 的方程2 60x kx --=的一个根为3x =,则实数k 的值为( ) A .2 B .1- C .1 D .2- 4.要使二次根式1-x 有意义,那么x 的取值范围是( ) (A )x >-1 (B ) x <1 (C ) x ≥1 (D )x ≤1 5.有6张写有数字的卡片,它们的背面都相同,现将它们背面朝上(如图 2),从中任意一张是数字3的概率是( ) A 、61 B 、31 C 、21 D 、3 2 6.已知x 、y 是实数,3x +4 +y 2 -6y +9=0,则xy 的值是( ) A .4 B .-4 C .94 D .-94 7、下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( ) A B C D 8.已知两圆的半径分别是5cm 和4cm ,圆心距为7cm ,那么这两圆的位置关系是( ) A .相交 B .内切 C .外切 D .外离 9.如图3,⊙O的半径为5,弦AB的长为8,M是弦AB上的动点,则线段OM长的最小值为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 10.已知:如图4, ⊙O 的两条弦AE 、BC 相交于点D,连接AC 、BE. 若∠ACB =60°,则下列结论中正确的是( ) A .∠AO B =60° B . ∠ADB =60° C .∠AEB =60° D .∠AEB =30° 二、填空题(每小题3分,共24分) 11.方程 x 2 = x 的解是______________________ 12.如图所示,五角星的顶点是一个正五边形的五个顶点.这个 五角星可以由一 个基本图形(图中的阴影部分)绕中心O 至少经过____________次旋转而得到, 每一次旋转_______度. 13.若实数a 、b 满足1 112 2+-+-= a a a b ,则a+b 的值为 ________. 14.圆和圆有不同的位置关系.与下图不同的圆和圆的位置关系是_____.(只填一种) 15.若关于x 方程kx 2–6x+1=0有两个实数根,则k 的取值范围是 . 16.如图6,在Rt △ABC 中,∠C=90°,CA=CB=2。分别以A 、B 、C 为圆心,以2 1AC 为半径画弧,三条弧与边AB 所围成的阴影部分的面积是______. 17.已知:如图7,等腰三角形ABC 中,AB=AC=4,若以AB 为直径的⊙O 与BC 相交于点D ,DE ∥AB ,DE 与AC 相交于点E ,则DE=____________。 18. 如图,是一个半径为6cm ,面积为π12cm 2的扇形纸片,现需要一个半径为R 的圆形纸片,使两张纸片刚好能组合成圆锥体,则R 等于 cm 三.解答题 19.(6 分)计算:÷ (6分)解方程:2(x+2)2=x 2 -4 图2 O A B M 图3 图4 图5 图7 图 6 12题图

部编人教版初三数学上册知识点总结

部编人教版初三数学上册知识点总结 初三数学上册知识点总结第21-22章 第21章二次根式 学生已经学过整式与分式,知道用式子可以表示实际问题中的数量关系。解决与数量关系有关的问题还会遇到二次根式。“二次根式” 一章就来认识这种式子,探索它的性质,掌握它的运算。 在这一章,首先让学生了解二次根式的概念,并掌握以下重要结论: 注:关于二次根式的运算,由于二次根式的乘除相对于二次根式的加减来说更易于掌握,教科书先安排二次根式的乘除,再安排二次根式的加减。“二次根式的乘除”一节的内容有两条发展的线索。一条是用具体计算的例子体会二次根式乘除法则的合理性,并运用二次根式的乘除法则进行运算;一条是由二次根式的乘除法则得到并运用它们进行二次根式的化简。 “二次根式的加减”一节先安排二次根式加减的内容,再安排二次根式加减乘除混合运算的内容。在本节中,注意类比整式运算的有关内容。例如,让学生比较二次根式的加减与整式的加减,又如,通过例题说明在二次根式的运算中,多项式乘法法则和乘法公式仍然适用。这些处理有助于学生掌握本节内容。 第22章一元二次方程 学生已经掌握了用一元一次方程解决实际问题的方法。在解决某些实际问题时还会遇到一种新方程——一元二次方程。“一元二次方程”一章就来认识这种方程,讨论这种方程的解法,并运用这种方程解决一些实际问题。 本章首先通过雕像设计、制作方盒、排球比赛等问题引出一元二次方程的概念,给出一元二次方程的一般形式。然后让学生通过数值代入的方法找出某些简单的一元二次方程的解,对一元二次方程的解加以体会,并给出一元二次方程的根的概念,

“22.2降次——解一元二次方程”一节介绍配方法、公式法、因式分解法三种解一元二次方程的方法。下面分别加以说明。 (1)在介绍配方法时,首先通过实际问题引出形如的方程。这样的方程可以化为更为简单的形如的方程,由平方根的概念,可以得到这个方程的解。进而举例说明如何解形如的方程。然后举例说明一元二次方程可以化为形如的方程,引出配方法。最后安排运用配方法解一元二次方程的例题。在例题中,涉及二次项系数不是1的一元二次方程,也涉及没有实数根的一元二次方程。对于没有实数根的一元二次方程,学了“公式法”以后,学生对这个内容会有进一步的理解。 (2)在介绍公式法时,首先借助配方法讨论方程的解法,得到一元二次方程的求根公式。然后安排运用公式法解一元二次方程的例题。在例题中,涉及有两个相等实数根的一元二次方程,也涉及没有实数根的一元二次方程。由此引出一元二次方程的解的三种情况。 (3)在介绍因式分解法时,首先通过实际问题引出易于用因式分解法的一元二次方程,引出因式分解法。然后安排运用因式分解法解一元二次方程的例题。最后对配方法、公式法、因式分解法三种解一元二次方程的方法进行小结。 “22.3实际问题与一元二次方程”一节安排了四个探究栏目,分别探究传播、成本下降率、面积、匀变速运动等问题,使学生进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。 初三数学上册知识点总结第23-24章 第23章旋转 学生已经认识了平移、轴对称,探索了它们的性质,并运用它们进行图案设计。本书中图形变换又增添了一名新成员――旋转。“旋转”一章就来认识这种变换,探索它的性质。在此基础上,认识中心对称和中心对称图形。 “23.1旋转”一节首先通过实例介绍旋转的概念。然后让学生探究旋转的性质。在此基础上,通过例题说明作一个图形旋转后的图形的方法。最后举例说明用旋转可以进行图案设计。 “23.2中心对称”一节首先通过实例介绍中心对称的概念。然后让学生探究中心对称的性质。在此基础上,通过例题说明作与一个图形成中心对称的图形的方法。这些内容之后,通过线段、平行四边形引出中心对称图形的概念。最后介绍关于原点对称的点的坐标的关系,以及利用这一关系作与一个图形成中心对称的图形的方法。

人教版九年级上册数学课本知识点归纳

人教版九年级上册数学课本知识点归纳 第二十一章二次根式 一、二次根式 1. 二次根式:把形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式,“”表示二次根号。 2. 最简二次根式:若二次根式满足:①被开方数不含分母;②被开方数中 不含能开得尽方的因数或因式。这样的二次根式叫做最简二次根式。 3. 化简:化二次根式为最简二次根式(1)如果被开方数是分数(包括小数)或分式,先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式,然后利用分 母有理化进行化简。(2)如果被开方数是整数或整式,先将他分解因数或因式,然后把能开得尽方的因数或因式开出来。 4. 同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,这几个二次根式叫做同类二次根式。 5. 代数式:运用基本运算符号,把数和表示数的字母连起来的式子,叫代 数式。 6. 二次根式的性质 (1)((2) a )2 a 2 a(a a 0) a(a a(a 0) 0) (3)ab a ? a a ( a b( a 0, b 0,b 0) ( 乘法) 0) (4) b b( 除法) 二、二次根式混合运算 1. 二次根式加减时,可以把二次根式化成最简二次根式,再把被开方数相同的最简二次根式进行合并。

2 2. 二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样,先乘方,再乘除,最后 加减,有括号的先算括号里的(或先去括号) 。 第二十二章一元二次方程 一、一元二次方程 1、一元二次方程 含有一个未知数 ( 一元) ,并且未知数的最高次数是 2( 二次) 的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式 ax 2 bx c 0(a 0) ,其中 ax 2 叫做二次项, a 叫做二次项系数; bx 叫做一次项, b 叫做一次项系数; c 叫做常数项。 二、降次 ---- 解一元二次方程 1. 降次:把一元二次方程化成两个一元一次方程的过程 ( 不管用什么方法 解一元二次方程,都是要一元二次方程降次 ) 2、直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方 法。直接开平方法适用于解形如 x =b 或 ( x a) 2 b 的一元二次方程。根据平方 根的定义可知, x a 是 b 的平方根,当 b 0 时, x a b , x a b , 当 b<0 时,方程没有实数根。 3、配方法:配方法的理论根据是完全平方公式 a 2 2ab b 2 (a b)2 ,把 公式中的 a 看做未知数 x ,并用 x 代替,则有 x 2bx b 2 (x b) 2 配方法解一元二次方程的步骤是:①移项、②配方 ( 写成平方形式 ) 、③用 直接开方法降次、④解两个一元一次方程、⑤判断 2 个根是不是实数根。 4、公式法:公式法是用 求根公式, 解一元二次方程的解的方法。 一元二次方程 ax 2 bx c 0(a 0) 的求根公式: x b b 4 ac ( b 2 4 ac 0 ) 当b 2 2 a 4ac >0 时,方程有两个实数根。 。 2 2

人教版九年级数学上册知识点总结

人教版九年级数学上册知识点总结 第二十一章 二次根式 21.1 二次根式 知识点一 二次根式的概念 (1) 一般地,我们把形如 a (a ≥0)的式子叫做二次根式。二次根式a 的实质是一个 非负数a 的算术平方根。其中“ ”叫做二次根号。 (2) 正确理解二次根式的概念,要把握以下几点: ① 二次根式是在形式上定义的,必须含有二次根号“ ”。如 4是二次根式,虽 然 4=2,但2不是二次根式。 ② 被开方数a 必须是非负数,即a ≥0.如 3-就不是二次根式,但式子) 3(-2 是二次根式。 ③ “ ”的根指数为2,即“2 ”,一般省略根指数2,写作“ ”,注意,不 可误认为根指数是“1”或“0”。 提示:判断是不是二次根式,一看形式,二看数值,即形式上要有二次根号,被开方数要是非负数。 知识点二 二次根式的性质 (1) a (a ≥0)既是二次根式,又是非负数的算术平方根,所以它一定是非负 数,即a ≥(a ≥0),我们把这个性质叫做二次根式的非负性。 (2)( a )2 = a (a ≥0),这个性质可以正用,也可以逆用,正用时常用于二次根 式的化简和计算,可以去掉根号;逆用时可以把一个非负数写成完整平方数的形式,常用于多项式的因式分解。 (3) a 2 = a (a ≥0),这个性质可以正用,也可以逆用,正用时用于二次根式的化 简,即当被开方数能化为完全平方数(式)时,就可以利用该性质去掉根号;逆用时可以把一个非负数化为一个二次根式。 知识点三 代数式 定义:用基本运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方)把数和表示数的字母连接起来的式子,叫做代数式。 21.2 二次根式的乘除 知识点一 二次根式的乘法法则 一般地,对二次根式的乘法规定: a · b =ab (a ≥0,b ≥0),即二次根式相乘, 把被开方数相乘,根指数不变。 知识点二 积的算术平方根的性质 ab =a ·b (a ≥0,b ≥0),积的算术平方根等于积中各个因式的算术平方根 的积。 知识点三 二次根式的除法法则

最新人教版九年级数学上册期末试卷及答案

九年级上期数学期末检测 一、精心选一选(每小题3分,共30分) 1、下列函数中,自变量x 的取值范围是x ≥2的是( )。 A. y=x --2 B.y= x x 2- C.y=2 4x - D.y=2 1--x 2.如图中∠BOD 的度数是( ) A .55° B .110° C .125° D .150° 3.如图,⊙O 是△ABC 的内切圆,切点分别是D 、E 、F ,已知∠A=100°,∠C=30°,则∠DFE 的度数 是( ) A.55° B.60° C.65° D.70° 第2题 第3题 4.有一个不透明的布袋中,红色、黑色、白色的玻璃球共有40个,除颜色外其它完全相同。小李通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在15%和45%,则口袋中白色球的个数很可能 是( ) A .6 B .16 C .18 D .24 5.化简x x 1 - 得( )。 A.x -- B.x - C.x - D.x 6.一元二次方程ax 2+bx+c=0中,若a >0,b <0,c <0,则这个方程根的情况是( )。 A.有两个正根 B.有两个负根 C.有一正根一负根且正根绝对值大; D.有一正根一负根且负根绝对值大。 7.在⊿ABC 中,∠A =50°,O 为⊿ABC 的内心,则∠BOC 的度数是( )。 A.115° B.65° C.130° D.155° 8.关于x 的一元二次方程(k-1)x 2-2x +3=0有两不等实根,则k 的取值范围是( )。 A.k < 34 B.k <34 且k ≠1 C.0

人教版数学九年级上册全册含课后练习

21.1 二次根式(1)(民中) 第一课时 一、教学目标: (a ≥0)的意义解答具体题目. 二、教学重难点: 1a ≥0)的式子叫做二次根式的概念; 2a ≥0)”解决具体问题. 三、 教学过程: 例1. 下列式子,哪些是二次根式,、1x x>0)、 、、1x y +(x ≥0,y?≥0). 例2. 当x 在实数范围内有意义? 四、应用拓展:例3.当x + 11x +在实数范围内有意义? 例4(1)已知,求x y 的值. (2)=0,求a 2004+b 2004的值. 五、归纳小结: 1(a ≥0)的式子叫做二次根式, 2.要使二次根式在实数范围内有意义,必须满足被开方数是非负数. 六、课后作业: (一)选择题: 1.下列式子中,是二次根式的是( ) A . B C D .x 2.下列式子中,不是二次根式的是( ) A B C D .1x 3.已知一个正方形的面积是5,那么它的边长是( ) A .5 B C .15 D .以上皆不对 (二)填空题: 1.形如________的式子叫做二次根式;面积为a 的正方形的边长为_____;负数______平方根. (三)综合提高题: 1.某工厂要制作一批体积为1m 3的产品包装盒,其高为0.2m ,按设计需要,?底面应做成

正方形,试问底面边长应是多少? +x2在实数范围内有意义? 2.当x是多少时, x 3. 4.x有()个. A.0 B.1 C.2 D.无数 5.已知a、b=b+4,求a、b的值. 21.1 二次根式(2)(民中) 第二课时 一、教学目标: a≥02=a(a≥0),并利用它们进行计算和化简.二、教学重难点: 1a≥0)是一个非负数;)2=a(a≥0)及其运用. 2.难点:a≥0)是一个非负数;用探究的方法导出)2=a (a≥0). 三、教学过程: 例1计算 )2 1.22.(23.24.( 2 四、应用拓展: 例2 计算 1.2(x≥0)2.2 3.24.2 例3在实数范围内分解下列因式: (1)x2-3 (2)x4-4 (3) 2x2-3 五、归纳小结 1a≥0)是一个非负数;2.2=a(a≥0);反之:a=2(a≥0).六、布置作业 1.教材P8复习巩固2.(1)、(2)P9 7. 七、课后作业: (一)选择题:1

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