河南省安阳市滑县2020-2021学年高二上学期期末数学(理)试题
河南省安阳市滑县2020-2021学年高二上学期期末数学(理)
试题
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题
1.不等式290x -<的解集为( ) A .{}
3x x > B .{}
3x x <-
C .{}
33x x -<<
D .{
3x x <-或}3x >
2.已知()2,3,1a =-,则下列向量中与a 平行的是( ) A .() 1,1,1 B .() 4,6,2-- C .() 2,3,5-
D .()23,5-,-
3.已知a 、b 、c ∈R ,则( ) A .22a b ac bc >?> B .
a b
a b c c
>?> C .11
0a b a b
>>?
< D .22a b a b >?>
4.在锐角中ΔABC ,角A,B 所对的边长分别为a,b .若2asinB =√3b,则角A 等于( ) A .π
12
B .π
6
C .π4
D .π3
5.已知0a >,则4a
a a -+的最小值为( ) A .2
B .3
C .4
D .5
6.已知变量x 、y 满足线性约束条件1
060x x y x y ≥??
-≤??+-≤?
,则2z x y =+的最小值是( )
A .3
B .2
C .4
D .5
7.等差数列{}n a 前几项和为S n ,且S 3=6,a 3=4,则公差d 等于() A .1
B .
53
C .2
D .3
8.在直三棱柱111ABC A B C -中,若90BAC ∠=,11AB AC AA ===,则异面直线
1BA 与1B C 所成角的余弦值为( )
A B .
6
C .0
D .
3
9.若点O 和点F 分别为椭圆2
212
x y +=的中心和右焦点,P 为椭圆上任意一点,则
OP FP ?的最小值为( )
A .
14
B .
13
C .
12
D .
23
10.已知等比数列{}n a 的公比0q >且1q ≠,其前n 项和为n S ,则23S a 与32S a 的大小关系为( ) A .2332S a S a > B .2332S a S a < C .2332S a S a =
D .不能确定
11.已知P 是双曲线()22
2
210169x y a a a
-=>上的点1F 、2F 是其左、右焦点,且120PF PF ?=,若12PF F ?的面积为9,则a 等于( )
A .2
B .1
C .3
D .4
12.已知F 是椭圆C :22
221x y a b +=(a>b>0)的右焦点,点P 在椭圆C 上,线段PF 与圆
222
()39
c b x y -+=
相切于点Q ,(其中c 为椭圆的半焦距),且2PQ QF =则椭圆C 的离心率等于( )
A .
3
B .
23
C .
2
D .
12
二、填空题
13.命题“x R ?∈,221x x ≥-”的否定为________.
14.设m 为常数,若点()0,5F 是双曲线2219
y x
m --=的一个焦点,则m =________.
15.已知集合1|
28,2x A x x R ?
?
=<<∈????
,{}|11,B x x m x R =-<<+∈,若x B ∈成立的一个充分不必要条件是x A ∈,则实数m 的取值范围是 . 16.斜率为
43
的直线l 经过抛物线()2
20y px p =>的焦点()1,0F 且与抛物线交于A 、B 两点,则线段AB 的长为________.
三、解答题
17.已知等差数列{a n }中,a 1=1,a 3=﹣3. (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式;
(Ⅱ)若数列{a n }的前k 项和S k =﹣35,求k 的值.
18.在ABC ?中,内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,已知()2
23a b c ab +=+. (1)求C 的值; (2)若ABC ?
的面积为
2
,c =a 、b 的值. 19.在等比数列{}n a 中,10a >,*n ∈N ,且328a a -=,又1a 、5a 的等比中项为16. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)设2
log 2n
n a b =,数列{}n b 的前n 项和为n S ,是否存在正整数k ,使得123
1111
n
k S S S S ++++
<对任意*n ∈N 恒成立?若存在,求出正整数k 的最小值;若不存在,请说明理由.
20.已知抛物线2y x =与直线()1y k x =-相交于A 、B 两点,O 为坐标原点. (1)求证:OA OB ⊥
;
(2)当OAB ?时,求k 的值.
21.如图所示,在四棱柱1111ABCD A B C D -中,侧棱1AA ⊥底面ABCD ,//AB DC ,
11AA =,3AB =,4=AD ,5BC =,6DC =.
(1)求证:CD ⊥平面11ADD A ;
(2)求直线1AA 与平面1AB C 所成角的正弦值.
22.已知椭圆()2
22:10
x C y a a
+
=>,焦距为.
(1)求椭圆C的标准方程;
=+与椭圆C相交于A、B两点(A、B不是椭圆的顶点),(2)若一直线:l y kx m
以AB为直径的圆过椭圆C的上顶点,求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标.
参考答案
1.D 【解析】 【分析】
将所求不等式变形为290x ->,解此不等式即可得解集. 【详解】
将不等式290x -<变形为290x ->,解此不等式得3x <-或3x >. 因此,不等式290x -<的解集为{
3x x <-或}3x >. 故选:D. 【点睛】
本题考查一元二次不等式的求解,考查运算求解能力,属于基础题. 2.B 【分析】
根据空间向量共线定理进行求解即可. 【详解】
选项A :若()2,3,1a =-与() 1,1,1平行,则必存在实数1λ,使得()12,3,1λ-=() 1,1,1成立,
即1
11231λλλ
=??
-=??=?
,显然1λ无实数解,故本选项不符合题意; 选项B :若()2,3,1a =-与() 4,6,2--平行,则必存在实数2λ,
使得()22,3,1λ-=() 4,6,2--成立,即2
22224136212λλλλ
=-??
-=?=-??=-?
,故本选项符合题意;
选项C ::若()2,3,1a =-与() 2,3,5-平行,则必存在实数3λ,使得()32,3,1λ-=()
2,3,5-成立,即3
33223315λλλ
=??
-=-??=?
,显然3λ无实数解,故本选项不符合题意;
选项D ::若()2,3,1a =-与()23,5-,-平行,则必存在实数4λ,
使得()42,3,1λ-=()23,5-,-成立,即444223315λλλ
=-??
-=-??=?
,显然4λ无实数解,故本选项不符合题
意; 故选:B 【点睛】
本题考查了空间向量平行的判断,考查了数学运算能力,属于基础题. 3.C 【分析】
利用特殊值法以及不等式的基本性质可判断各选项中不等式的正误. 【详解】 对于A 选项,若0c
,则22ac bc =,A 选项错误;
对于B 选项,若0c <,则
a b
a b c c
>?<,B 选项错误; 对于C 选项,由不等式的基本性质知,若0a b >>,则0ab >,则a b ab ab
>,所以,11
a b <,
C 选项正确;
对于D 选项,取3a =-,2b =-,则22a b a b >?>/,D 选项错误. 故选:C. 【点睛】
本题考查利用已知条件判断不等式的正误,常用不等式的基本性质、特殊值法与作差(商)法来判断,考查推理能力,属于基础题. 4.D 【解析】
试题分析:∵2asinB =√3b ∴2sinAsinB =√3sinB ∴sinA =√3
2
∴A =π
3
考点:正弦定理解三角形 5.B 【分析】
将所求代数式变形为4
1a a
+
-,然后利用基本不等式可求出该代数式的最小值.
0a >
,由基本不等式得44113a a a a a -+
=+-≥=, 当且仅当2a =时,等号成立,因此,4a
a a
-+的最小值为3. 故选:B. 【点睛】
本题考查利用基本不等式求最值,考查计算能力,属于基础题. 6.A 【分析】
作出不等式组所表示的可行域,平移直线2z x y =+,观察该直线在y 轴上的截距最小时对应的最优解,代入目标函数计算即可. 【详解】
作出不等式组1
060x x y x y ≥??
-≤??+-≤?
所表示的可行域如下图中的阴影部分所示:
联立1
0x x y =??
-=?
,解得1x y ==,可得点()1,1A ,
平移直线2z x y =+,当该直线经过可行域的顶点()1,1A 时,直线2z x y =+在y 轴上的截距最小,此时目标函数2z x y =+取得最小值,即min 2113z =?+=
.
【点睛】
本题考查简单的线性规划问题,考查线性目标函数的最值问题,一般通过平移直线法找出最优解,考查数形结合思想的应用,属于基础题. 7.C 【解析】
设{a n }的公差为d ,首项为a 1 , 由题意得1132362
24
a d a d ??
+
=???+=?, 解得102a d =??=?. 本题选择C 选项. 8.C 【分析】
以点A 为坐标原点,AB 、AC 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系,利用空间向量法可计算出异面直线1BA 与1B C 所成角的余弦值. 【详解】
以点A 为坐标原点,AB 、AC 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间
直角坐标系A xyz -,则()10,0,1A 、()1,0,0B 、()11
,0,1B 、()0,1,0C ,
()11,0,1BA =-,()11,1,1B C =--,则()()2
11101110BA B C ?=-+?+?-=,
所以,11BA B C
⊥,因此,异面直线1BA 与1B C 所成角的余弦值为0
.
【点睛】
本题考查异面直线所成角的余弦值的计算,建立空间直角坐标系,利用空间向量法求解是解答的关键,考查计算能力,属于基础题. 9.C 【分析】
设点P 的坐标为(),x y ,可得22
12
x y =-,且有x ≤≤,然后利用平面向量数量积
的坐标运算结合二次函数的基本性质可求出OP FP ?的最小值. 【详解】
设点P 的坐标为(),x y ,则2
2
12
x y =-,且有x ≤≤,()1,0F ,()1,FP x y =-,
()222
22212
111211122O x P FP x x y x x x x x ?=-+=-+=--+=+-,
2x -≤≤1x =时,OP FP ?取得最小值1
2
.
故选:C. 【点睛】
本题考查椭圆中向量数量积最值的计算,涉及到椭圆的有界性,考查计算能力与函数方程思想的应用,属于中等题. 10.B 【分析】
利用1a 和q 表示23S a 与32S a ,然后利用作差法可比较出23S a 与32S a 的大小关系. 【详解】
()
()222322*********S a S a a q q a q a q a q a q -=++?-+?=>,因此,2332S a S a <.
故选:B. 【点睛】
本题考查等比数列中相关项的大小比较,一般利用首项和公比相应的项进行表示,考查推理能力与计算能力,属于中等题. 11.B
利用勾股定理与双曲线的定义可求出12PF PF ?,结合三角形的面积公式可求出a 的值. 【详解】 由12
0PF PF ?=得12PF PF ⊥,
由勾股定理得(2
2
2
212
12100PF PF F F a +===,
由双曲线的定义得128PF PF a -=,
22
221212126421002a PF PF PF PF a PF PF ∴=+-?=-?,所以21218PF PF a ?=,
则12PF F ?的面积为2121
992
PF PF a ?==,0a >,解得1a =. 故选:B. 【点睛】
本题考查焦点三角形面积的计算,涉及双曲线的定义和勾股定理的应用,考查计算能力,属于中等题. 12.A 【分析】
由题意首先利用几何关系找到a 、b 的比例关系,然后计算椭圆的离心率即可. 【详解】
如图所示,设椭圆的左焦点为F 1,连接PF 1,
设圆心为C ,则圆心坐标为,03c ?? ???,半径为3
b r =, ∴|F 1F |=3|FC |,
∵PQ =2QF ,∴PF 1∥QC ,|PF 1|=b , ∴|PF |=2a ?b ,
∵线段PF 与圆相切于点Q , ∴CQ ⊥PF ,
∴PF 1⊥PF , ∴b 2+(2a ?b )2=4c 2,
()
2222(2)4b a b a b ∴+-=-,
3
2a b ∴=,则23
b a =,
c e a ∴===
故选:A . 【点睛】
椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质,求椭圆的离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法:
①求出a ,c ,代入公式c
e a
=
; ②只需要根据一个条件得到关于a ,b ,c 的齐次式,结合b 2=a 2-c 2转化为a ,c 的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围).
13.0x R ?∈,2
0021x x <-
【分析】
将全称命题的量词改变,结论否定可得出全称命题的否定. 【详解】
由题意可知,命题“x R ?∈,221x x ≥-”的否定为“0x R ?∈,2
0021x x <-”. 故答案为:0x R ?∈,2
0021x x <-.
【点睛】
本题考查全称命题否定的改写,属于基础题. 14.16- 【分析】
根据双曲线的焦点坐标可得出关于m 的等式,解出即可. 【详解】
由于点()0,5F 是双曲线22
19
y x m --=的一个焦点,则29525m -+==,解得16m =-.
故答案为:16-. 【点睛】
本题考查根据双曲线的焦点坐标求参数,考查运算求解能力,属于基础题. 15.2+∞(,) 【解析】
试题分析:1|
28,{|13}2x A x x R x x ?
?
=<<∈=-????
<<,因为x B ∈成立的一个充分不必要的条件是x A ∈,所以13m +>,即2m >.所以实数m 的取值范围是2+∞(,) 考点:充分条件和必要条件的应用 16.
25
4
【分析】
先根据抛物线的焦点坐标得出抛物线的标准方程,设点()11,A x y 、()22,B x y ,将直线l 的方程与抛物线的方程联立,利用韦达定理结合抛物线的焦点弦长公式可计算出线段AB 的长. 【详解】
由于抛物线()2
20y px p =>的焦点为()1,0F ,则
122
p
p =?=, 所以,抛物线的方程为2
4y x =,设点()11,A x y 、()22,B x y ,
直线l 的方程为()413y x =-,联立()24134y x y x ?
=-???=?,消去y 得241740x x -+=, 12174x x ∴+=
,121725
2244AB x x =++=+=.
故答案为:254
. 【点睛】
本题考查抛物线的焦点弦长的计算,涉及韦达定理与抛物线定义的应用,考查计算能力,属于中等题.
17.(Ⅰ)a n =1+(n ﹣1)×(﹣2)=3﹣2n (Ⅱ)k=7
【解析】
试题分析:(I )设出等差数列的公差为d ,然后根据首项为1和第3项等于﹣3,利用等差数列的通项公式即可得到关于d 的方程,求出方程的解即可得到公差d 的值,根据首项和公差写出数列的通项公式即可;
(II )根据等差数列的通项公式,由首项和公差表示出等差数列的前k 项和的公式,当其等于﹣35得到关于k 的方程,求出方程的解即可得到k 的值,根据k 为正整数得到满足题意的k 的值.
解:(I )设等差数列{a n }的公差为d ,则a n =a 1+(n ﹣1)d 由a 1=1,a 3=﹣3,可得1+2d=﹣3,解得d=﹣2, 从而,a n =1+(n ﹣1)×(﹣2)=3﹣2n ; (II )由(I )可知a n =3﹣2n , 所以S n =
=2n ﹣n 2,
进而由S k =﹣35,可得2k ﹣k 2=﹣35, 即k 2﹣2k ﹣35=0,解得k=7或k=﹣5, 又k ∈N +,故k=7为所求.
点评:此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n 项和的公式化简求值,是一道基础题.
18.(1)3
C π
=;(2)23a b =??
=?或3
2a b =??=?
. 【分析】
(1)将题干中的等式变形为222a b c ab +-=,利用余弦定理可求出cos C 的值,结合角C 的取值范围可得出角C 的值;
(2)根据三角形的面积公式和余弦定理列出关于a 、b 的方程组,解出即可. 【详解】
(1)将等式()2
23a b c ab +=+变形为222a b c ab +-=,
由余弦定理得2221
cos 222
a b c ab C ab ab +-===,0C π<<,故3C π=;
(2
)由题意有:22127
ab a b ab ?=???+-=?
22
613ab a b =??+=?,解得23a b =??=?或32a b =??=?. 【点睛】
本题考查利用余弦定理解三角形,同时也考查了利用余弦定理和三角形面积求边长,考查运算求解能力,属于基础题.
19.(1)12n n a +=;(2)存在,且k 最小值为2.
【分析】
(1)设等比数列{}n a 的公比为q ,根据题意求出3a 和2a 的值,即可求出q 的值,然后利用等比数列的通项公式可得出数列{}n a 的通项公式; (2)求出n b 与n S ,利用裂项求和法求出123
1111
n
S S S S ++++
,可得出该代数式的取值范围,由此可得出正整数k 的最小值. 【详解】
(1)设数列{}n a 的公比为q ,由题意可得2
310a a q =>,故316a =,
328a a -=,28a ∴=,3
2
2a q a ∴=
=,122112822n n n n n a a q a q ---+∴===?=; (2)
2log 2n n b n ==,()
1212
n n n n S b b b +∴=++
+=
. ()1211211n S n n n n ??==- ?++??
, 123
11111111111112212122334
11n S S S S n n n ???
?∴
++++
=-+-+-++
-=-< ? ?++????
, 因此,正整数k 的最小值为2. 【点睛】
本题考查等比数列通项公式的求解,同时也考查了数列不等式的恒成立问题,涉及等差数列的前n 项和以及裂项求和法的应用,考查计算能力,属于中等题. 20.(1)见解析;(2)1
6
k =±
.
【分析】
(1)设点()11,A x y 、()22,B x y ,将直线AB 的方程与抛物线方程联立,列出韦达定理,利用平面向量数量积的坐标运算计算出0OA OB ?=,即可证明出OA OB ⊥;
(2)由题意得出OAB ?的面积为121
2
OAB S y y ?=-=代入韦达定理即可求得k 的值. 【详解】
(1)设()11,A x y ,()22,B x y ,
若0k =,则抛物线2y x =与直线()1y k x =-只有一个交点,所以,0k ≠,
联立方程()2
1y x y k x ?=??=-??,消去x 得2
0ky y k --=,则有121y y =-.
因为211y x =,2
22y x =,所以()2
12121x x y y ==.
所以1212110OA OB x x y y ?=+=-=,故OA OB ⊥;
(2)由题可知直线经过点()1,0N ,则OAB ?可拆分为OAN ?和ONB ?. 所以121211
22
AOB OAN OBN S S S ON y y y y ???=+=?-=-.
因为121
y y k
+=
,121y y =-,所以12y y -==
所以当AOB S ?==16k =±. 【点睛】
本题考查直线与抛物线的综合问题,涉及两直线垂直的证明以及利用三角形的面积求参数,考查运算求解能力与推理能力,属于中等题. 21.(1)证明见解析;(2)6
7
. 【分析】
(1)取CD 的中点E ,连接BE ,证明出四边形ABED 为平行四边形,由此可得出BCE ?各边边长,利用勾股定理逆定理可证明出BE CD ⊥,进而得出CD AD ⊥,再由侧棱1AA ⊥底面ABCD ,可得出1CD AA ⊥,利用线面垂直的判定定理可证明出CD ⊥平面11ADD A ;
(2)以D 为原点,DA 、DC 、1DD 的方向为x 、y 、z 轴的正方向建立空间直角坐标系,计算出平面1AB C 的一个法向量,利用空间向量法可求出直线1AA 与平面1AB C 所成角的正弦值. 【详解】
(1)取CD 的中点E ,连接BE .
//AB DE ,3AB DE ==,∴四边形ABED 为平行四边形, //BE AD ∴且4BE AD ==.
在BCE ?中,
4BE =,3CE =,5BC =,222BE CE BC ∴+=,90BEC ∴∠=,即
BE CD ⊥,又//BE AD ,所以CD AD ⊥.
1AA ⊥平面ABCD ,CD ?平面ABCD ,1AA CD ∴⊥.
又1AD AA A ?=,
CD 平面11ADD A ;
(2)以D 为原点,DA 、DC 、1DD 的方向为x 、y 、z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,则()4,0,0A ,()0,6,0C ,()14,3,1B ,()14,0,1A ,
所以()4,6,0AC =-,()10,3,1AB =,()10,0,1AA =.
设平面1AB C 的法向量
(),,n x y z =,则由1
0AC n AB n ??=???=??,得46030x y y z -+=??+=?, 取2y =,得()3,2,6n =-. 设直线1AA 与平面1AB C 所成角为θ, 则111
6
sin cos ,7
36n AA AA n n AA θ?==
=
=?.
因此,直线1AA 与平面1AB C 所成角的正弦值为67
. 【点睛】
本题考查直线与平面垂直的证明,同时也考查了利用空间向量法计算直线与平面所成角的正弦值,考查推理能力与计算能力,属于中等题.
22.(1)2213
x y +=;
(2)存在,直线l 过定点10,2??- ???. 【分析】
(1)根据椭圆的焦距求出a 的值,进而可得出椭圆的标准方程;
(2)设点()11,A x y 、()22,B x y ,将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立,列出韦达定理,根据以AB 为直径的圆过椭圆C 的上顶点()0,1Q ,得0QA QB ?=,利用平面向量数量积的坐标运算,并代入韦达定理,可得出k 与m 所满足的等式,即可得出直线l 所过定点的坐标. 【详解】
(1)设椭圆C 的焦距为2c
,有2c =,1c <,所以,椭圆的焦点在x 轴上,
得c =2
12a -=
,得a =C 的标准方程为2
213
x y +=;
(2)由方程组22
13
y kx m x y =+???+=??,得()22
13x kx m ++=, 即22212103k x kmx m ??
+++-=
???
. ()22222211144140333k m k m k m ???
??=-+-=-+> ? ????
?,即22310k m -+>.
设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y 、()22,x y ,
则122613km x x k +=-+,()
212231
13m x x k
-=+,()121222213m y y k x x m k ∴+=++=+, ()()()22
12121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++
()22222222
22
3163131313k m k m m k m k k k --=
-+=+++. 以AB 为直径的圆过椭圆的上顶点()0,1Q ,AQ BQ ∴⊥,即0QA QB ?=, 即()()()112212122111
1QA QB x x x y y x y y y y +?=+-+--=+(
)22
222
222
3132422
1013131313m m
k m m m k k k k
----=
+-+==++++, 化简得2210m m --=,1m ∴=或1
2
m =-
. 当1m =时,直线:1l y kx =+过定点()0,1Q ,与已知矛盾.
当12m =-时,满足22310k m -+>,此时直线l 为12y kx =-过定点10,2??- ???. ∴直线l 过定点10,2?
?- ??
?.
【点睛】
本题考查椭圆方程的求解,同时也考查了椭圆中直线过定点问题,一般将直线方程与椭圆方程联立,利用韦达定理设而不求法求解,考查运算求解能力,属于中等题.