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高三数学函数的单调性人教版

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【本讲教育信息】

一. 教学内容：

函数的单调性

1. 概念：设函数)(x f 的定义域为

I

（1）增函数：如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值21,x x ，当

21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么称函数)(x f 在这个区间上是增函数。

（2）减函数：如果对于属于定义域I 内某个区间的任意两个自变量的值21,x x ，当

21x x <时，都有)()(21x f x f >，则称)(x f 在这个区间上是减函数。

（3）单调区间：如果函数)(x f y =在某个区间是增函数或减函数，则称函数)(x f y =在这一区间上具有（严格的）单调性，该区间叫做)(x f y =的单调区间。

注：① 中学单调性是指严格单调的，即不能是)()(21x f x f ≤或)()(21x f x f ≥

② 单调性刻画的是函数的“局部”性质。如x

y 1

=在)0,(-∞与),0(+∞上是减函数，

不能说x

y 1

=在),0()0,(+∞?-∞上是减函数。

③ 单调性反映函数值的变化趋势，反映图象的上升或下降

2. 单调性的判定方法（定义法、复合函数单调性结论，函数单调性性质，导数，图象）（1）定义法

[例1] 证明函数1)(3

1-=x x f 在R 上是增函数

证：设21x x <，则322

31231132121312

31121)()(x

x x x x x x x x f x f ++-=

-=-

而分子021<-=x x 分母04

3)21(3

2

2231

2

311

322

312

311

321

>++=+?+=x x x x x x x 故0)()(21<-x f x f 得证

补：讨论函数2

2)(x x a x f -=的单调性)10(≠a 时，对任R x ∈，02

()(x x x x a x f x f +--=，而)](2)[(2212122

11222x x x x x x x x +--=+--0> 即)()(12x f x f >故在)1,(-∞单增，同理在),1(+∞单减

1)(的单调性

解：设21x x <，则)11)((11)()(2

12x x x x x x x x x f x f -

1212112)()1)((x x x x x x x x +--=

（1）当1021≤<-x f x f 故)(x f 在]1,0(上是减函数，在),1[+∞上是增函数

[例3] 试求函数x

=)(（p 0≠）的单调区间分析：考虑到2

12112112212)()()()(x x p x x x x x p

x x p x x f x f --=+-+=-以下分类讨论（1）当p 0>时

① 若p x x -≤<21，则0)()(12>-x f x f ，)(x f 增 ② 若021<<≤-

x x p ，则0)()(12<-x f x f ，)(x f 减

③ 若p x x ≤<<210，则0)()(12<-x f x f ，)(x f 减

21x x p <≤，则0)()(12>-x f x f ，)(x f 增

① 若021<-x f x f 增 ② 若210x x <<，则0)()(12>-x f x f 增

综上所述，0>p 时，)(x f 在)0,[p -或],

0(p 上是减函数

)(x f 在],(p --∞或),[+∞p 上是增函数

时，在或上是增函数

另法，利用导数21)(x x f -

（1）若0>p 则

高考分式函数试题类型与解法研究 [例4] 讨论分式函数x

=)(的单调性（0≠ab ）以下只研究0,0>>b a 与0,0<>b a 两种情形对于0,0>

用对称性得到。

解：当0,0>>b a 时，由2

2))(()()(x a

b x a b x a a b x x

利用导数可知)(x f 在],(a b --∞与),[+∞a

上为单增函数 )(x f 在)0,[a b -

为单减函数当0,0<>b a 时，由0)(2>-='x

)(x f 在)0,(-∞与),0(+∞上为增函数，图象如下

[例5]（1997全国）甲、乙两地相距s 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地速度不得超过c 千米/小时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v （千米/时）的平方成正比，且比例系数为b ；固定部分为a 元

（1）把全程运输成本y （元）表示为速度v （千米/小时）的函数，并指出这个函数的

定义域；

（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶。解：

（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为

，全程运输成本为 )()(2v

bv s v s bv a y +=+=，],0(c v ∈

（2）依题意v b a s ,,,都为正数，故有ab s bv v

当且仅当bv v

=即b a v =时，上式中等号成立

① 若c b a

≤，则当b

v =时全程运输成本y 最小 ② 若

c b a >，函数)(bv v

s y +=在],0(c 上是减函数那么当且仅当c v =时，全程运输成本y 最小

综上所述可知，为使全程运输成本最小，当c b

≤时行驶速度应为b ab v =

>时，行驶速度应为c v =

[例6] 在ABC ?中，θ=∠===ACB c AB b AC a BC ,,,，现将ABC ?分别以BC 、AC 、AB 所在直线为轴，旋转一周，设所得三个旋转体的体积依次为321,,V V V 。

（1）求2

13V V V T +=

（用c b a ,,，θ表示）

（2）若θ为定值，并令x c

a =+，将T 表示为x 的函数，写出这函数的定义域，并求这函数的最大值u

（3）当θ在],3

内变化时，求u 的最大值。

解：（1）设ABC ?的BC 、AC 、AB 边上的高分别为321,,h h h ，由θsin 1b h =，

θsin 2a h =，c

ab c ah h θ

得 θππ22211sin 331ab a h V ==，θπ

π22222sin 331b a b h V ==，

2233sin 331c

于是得(*))(213c b a ab

V V V T +=+=

（2）令x c

a =+，则由θcos 2222a

)cos 1(2)cos 1(2)(22222θθ+-=?+-+=ab x c c ab b a c

cos 1(2)1(2

222θθc x c x ab -=+-=?代入（*）得

cos 412cos 4)1(2cos 4)()1(2

x x c c x c b a c x T -=?-=?+-=θθθ

当θ为定值时，)cos 1()2

2θ++-+≥b a b a c

（当且仅当b a =时，取等号）

又由0>>+c b a ，知

1>+c b a ，所以函数)(x T 的定义域为]2

(2cos 41)(2

x x x T -=θ在]2csc ,1(θ上递增，所以当2csc θ=x ，即b a =时，T

取最大值，此时2csc 41]2sin 2sin

1[2cos 412θ

（3）由于),3[ππθ∈，2sin

θ=u 是减函数，从而当3πθ=时，u 取最大值为21

注：分式函数变通形式，函数)0(2

x x y 的单调性将函数式变形为a x a a x a x a a x y +++=++-=2

令a x t +=，则a t

-+= 由单调性，在],0(a t ∈即]0,(a x -∈上单减在),[+∞∈a t 即),0[+∞∈x 上单增在)0,[a t -∈即),2[a a x --∈上单减在],(a t --∞∈即]2,(a x --∞∈上单增

（2）复合函数的单调性

在复合函数)]([x g f y =中，设)(u f y =和)(x g u =都是单调函数 ① 若)(u f y =为增函数，则)]([x g f y =的增减性与)(x g u =相同；

② 若)(u f y =为减函数，则)]([x g f y =的增减性与)(x g u =相反。

利用复合函数单调性的结论求单调区间的步骤（1）先确定复合函数)]([x g f y =的定义域（2）在定义域内分别研究)(x g u =及)(u f y =的单调性（分拆）

（3）列表，得结论

[例7] 讨论函数2

2)(x x f -=的单调性

解：由11

)21()(-=x x f 知定义域),1()1,1()1,(+∞?-?--∞

12-=x u ，u

以下先研究，1

2-=x u 的单调性

(=在R 上为减函数，故利用复合函数单调性结论知)(x f 在)1,(--∞及)

0,1(-上是减函数，在（0，1）及（1，∞+）上是增函数。

补：（95高考）已知)2(log ax y a -=在[0，1]是减函数，则a 的取值范围是（ B ） A.（0，1） B.（1，2） C.（0，2） D. ),2[+∞

解：依题意1>a ，又a x ax 202-故212

（也可由0>x ，x a 2<，2)2

（∵ ]1,0[∈x ）从而2

[例8] 讨论x

的单调性解：由

?>+-011x x 定义域（1,1-）令x x

11，u y lg = 而1111+--=+-=x x x x u 1

-=+-+-=x x x 当)1,1(-∈x 时2

1+-=u 是减函数，故

y +-=11lg 在其定义域（1,1-）上是减函数

[例9] 讨论)26(log )(2

1--=x x x f 的单调性

解：由?>-+?>--0)23)(12(0262

x x x x 定义域)3

2()21,(∞+?--∞ 令262

--=x x u ，u y 2

1log =，以下先考虑262

--=x x u 的单调性

由2449)121(62--

=x u 结合定义域知它在)21,(--∞单减，在),3

(+∞上单增

故)26(log )(2

1--=x x x f ，在)2

,(--∞上是增函数

2(+∞上是减函数

[例10]（1989全国）已知)2()(,28)(2

2x f x g x x x f -=-+=，求)(x g 的单调区间。

解：依题意定义域为R ，令2

2x u -=，2

28)(u u u f -+=

则)]([)(x u f x g =

2x u -=知其在)0,(-∞上单增，在),0(+∞上单减

而9)1(28)(2

+--=-+=u u u u f 知，)(u f 在)1,(-∞单增，在),1(+∞单减又由11212

-x ；111212

<<-?>-?>x x u 所以)(x g 单减区间)0,1(-和),1(+∞单增区间)1,(--∞与（0，1）

（3）利用单调性性质

结论1：两增函数的和在公共定义域上仍为增函数 [例11] 讨论函数x x x f -+=

1)(2的单调性解：定义域R x ∈ ① 若0≤x ，121+=x y 与x y -=2均为减函数故x x y y x f -+=+=1)(221也是减函数

② 若x 0≥时

11)(2由121+=

x y 与x y =2都是增函数

且021>+y y ，2

)(y y x f +=

是减函数

综上，)(x f 在R 上是减函数，此结论用到以下事实。

又如讨论),(R b a a x b

的单调性解：a

x a

b a x a b a x y +-+

=+-++=1 利用反比例函数的单调性可知当b a <时，a

x b

x y ++=在),(a --∞与),(+∞-a 上是减函数

当b a >时，a

x b

在),(a --∞与),(+∞-a 上是增函数结论2：若函数)(x f y =在区间],(b a 上是减函数，在区间),[c b 上是减函数，则)(x f 必是区间（c a ,）上的减函数。

证：任取),(21c a x x ∈、且21x x <

若],(,21b a x x ∈，则)()(21x f x f >，若),[,21c b x x ∈，)()(21x f x f > 若),(1b a x ∈，),[2c b x ∈，则)()(1b f x f >，)()(2x f b f ≥ 从而)()(21x f x f >

综上，对),(,21c a x x ∈且21x x <，总有)()(21x f x f >得证上例利用定义法对于21x x <

212121x x x x x f x f ++--+=-

0]1

2112<-<++++-

-=x x x x x x x x

结论3：设)(x f y =是单调函数，则其反函数)(1

x f y -=也是单调函数，且)

(x f y =与其反函数)(1

x f

y -=有相同的单调性。

证：不妨设)(x f 是增函数，设21x x <，)(),(21

211

1x f

y --==（用反证法）

如果21y y ≥，则因)(x f y =是增函数，故)()(21y f y f ≥

即21x x ≥这与21x x <矛盾，故21y y <，因此)(1

x f

例子：对数函数与指数函数对底a 的不同情形具有相同的单调性。（4）利用函数的图象

[例12] 讨论函数543)(2

-+=x x x f 的单调性

解：?????<--≥-+=0

,5430,543)(2

2x x x x x x x f 即???

????<--≥-+=0,319)32(30,3

19)32(3)(22x x x x x f

利用图象

（5）利用导数

函数)(x f y =在区间],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且在),(b a 内 ① 如果0)(>'x f ，那么函数)(x f y =在区间],[b a 上单调增加 ② 如果0)(<'x f ，那么函数)(x f y =在区间],[b a 上单调减少由此得到确定单调区间的方法 ① 确定函数)(x f 的定义域),(b a ② 求导数)(x f '

③ 令0)(='x f 解此方程，求出在区间),(b a 内的全部实根，并按从小到大的顺序排列为n c c c ,,,21

④ 确定区间),(),,(),,(211b c c c c a n 内导数符号

⑤ 在某区间内，若0)(>'x f ，那么函数)(x f 在这个区间内递增，若0)(<'x f 那么函数)(x f 在这区间内递减。

【模拟试题】

2. 设（a，b）、（c，d）都是函数f（x）的单调增区间，且x1∈（a，b），x2∈（c，d），x1＜x2，则f（x1）与f（x2）的大小关系是（）

A.f（x1）＜f（x2）

B.f（x1）＞f（x2）

C. D.不能确定

的单调递减区间是（）

4. 函数y=

A.［0，+∞］

B.（－∞，0）

D.（－∞，0）∪（0，+∞）

B. C. 6. 设函数f （x ）=（2a －1）x +b 是R 上的减函数，则有（）

21 C.a >－2

7. R

A. 函数值域相同，增减性不同

B. 为相同的函数

C. 函数值域不同，增减性相同

D. 函数值域、增减性都不同

二、填空题。

10. 已知函数f（x）=4x2－mx+1在（－∞，－2）上递减，在［－2，+

f（1）=__________.

11. ___________，

减区间为___________。

12. f(x且f(x)

13. ___________，减区间是___________。

14. ___________。

15. a的取值范围是___________。

三、解答题。

16.

17. 求证：函数f（x）=x+（a>0）在区间（0，a］上是减函数.

18. a和b是实数。

（2）判断（1）中命题的逆命题是否正确，并证明你的结论。

【试题答案】

1. D

2. D

3. D

4.C

5. D

6.D

7. B

8. D

9. B

11.

13.

14.

15.

的定义域为，任取且

R 上单调递减

17．证明:设0

f （x 1）－f （x 2）=（x 1+1x a ）－（x 2+2x a

）=（x 1－x 2）+2112)(x x x x a -

=（x 1－x 2）·

x x ->0，即f （x 1）>f （x 2）. 因此函数f （x ）=x +x

（a >0）在区间（0，a ］上是减函数. 说明:用上述方法还可以证明函数f （x ）=x +x

（a >0）在［a ，+∞］上是增函数，在

（－∞，－a ）上也是增函数,在（－a ，0）上是减函数，并让学生记住证法和结论.

（2）逆命题正确。

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