复合函数单调性的求法与含参数问题
复合函数单调性的求法与含参数问题
（一）求复合函数解析式
例１、（1）设 f(x)=2x -3 g(x)=x 2+2 求f[g(x)]（或g[f(x)]）。
（2）已知：f(x)=x 2-x+3 求：f(x 1
) f(x+1)
（二）求复合函数相关定义域
一、已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域
例1、（1） 已知)(x f 的定义域为]30(，，求)2(2x x f +定义域。
（2）设()x x x f -+=22lg ，则??
?
??+??? ??x f x f 22的定义域为 （ ）
A. ()()4,00,4 -
B. ()()4,11,4 --
C. ()()2,11,2 --
D. ()()4,22,4 --
二、已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域
例2、 若函数()x f 23-的定义域为[]2,1-，求函数()x f 的定义域
三、已知复合函数()][x g f 的定义域，求()][x h f 的定义域
例3 、已知)1(+x f 的定义域为)32[，-，求()2-x f 的定义域。
（三）复合函数的单调性
判断复合函数的单调性的步骤如下：
(1)求复合函数定义域；
(2)将复合函数分解为若干个常见函数(一次、二次、幂、指、对函数)；
(3)判断每个常见函数的单调性；
(4)将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围；
(5)求出复合函数的单调性。
一、外函数与内函数只有一种单调性的复合型：
例1、已知函数y=log a (2-ax)在[0,1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是( )
(A).(0,1) (B).(1,2) (C).(0,2) (D).[2，+∞)
二、外函数只有一种单调性，而内函数有两种单调性的复合型：
例2、函数y=log
0.5
(x2+4x+4)在什么区间上是增函数？
例3、讨论函数y=0.8x2-4x+3的单调性。
三、外函数有两种单调性，而内涵数只有一种单调性的复合型：
例4 、在下列各区间中，函数y=sin(x+π
4
)的单调递增区间是( )
(A).[π
2
，π] (B).[0，
π
4
] (C).[-π，0] (D). [
π
4
，
π
2
]
例5、讨论函数y=(log
2x)2+log
2
x的单调性。
四、外函数与内函数都有两种单调性的复合型：
例6、已知函数f(x)=8+2x-x2，如果g(x)=f(2-x2)，那么g(x) ( ) (A).在区间(-1，0)上是减函数； (B).在区间(0， 1)上是减函数；
(C).在区间(-2，0)上是增函数； (D).在区间(0， 2)上是增函数.
（四）利用复合函数求参数取值范围
例1.已知函数f(x)=(x2-ax+3a)在区间[2，+∞)上是减函数，则实数a的取值范围是_______。
例2.若f(x)=log a (3-ax)在[0，1]上是减函数，则a 的取值范围是_______。
【反馈训练】
1．关于x 的函数212
log (2)y ax a a =-++在［1，+∞)上为减函数，则实数a 的取
值范围是 （ ）
A ．（－∞,0）
B ．(－1,0)
C ．(0,2]
D ．(－∞,－1)
2、函数164x y =-的值域是（ ）
（A ）[0,)+∞ （B ）[0,4] （C ）[0,4) （D ）(0,4)
3、 函数()412
x x f x +=的图象（ ） A. 关于原点对称 B. 关于直线y=x 对称
C. 关于x 轴对称
D. 关于y 轴对称
4、若函数2()1f x mx mx =++的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（ ）
(A)04m << (B) 04m ≤≤ (C) 4m ≥ (D) 04m <≤
三、解答题
1.已知函数()log (1)(01)x a f x a a =-<<
（1）求()f x 的定义域；
（2） 讨论()f x 的单调性。
2、求1)2
1()41(+-=x x y ，[]2,3-∈x 的值域。
3、已知函数11)(+-=x x a a x f )10(≠>a a 且 （1）求)(x f 的定义域及值域。
（2）讨论)(x f 的奇偶性。
（3）讨论)(x f 的单调性。
复合函数单调性的判断
复合函数单调性的判断))((x g f y = 以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”. 1求函数y=2 1log （4x-x 2）的单调区间. 2、 求函数()2 31x y =的单调性及最值 3.在区间(－∞，0)上为增函数的是 A. ) (log 21x y --= B.x x y -=1 C.y =－(x +1)2 D.y =1+x 2 3、求函数)12(log )(2 1+=x x f 的单调区间. 4、（1）函数3422)(-+-=x x x f 的递增区间为___________； （2）函数)34(log )(2 2 1-+-=x x x f 的递减区间为_________ 5、设函数)(x f 是减函数，且0)(>x f ，下列函数中为增函数的是 （ ） （A ）)(1 x f y -= （B ）)(2x f y = （C ）)(log 2 1x f y = （D ）2 )]([x f y =
7、下列函数中，在区间]0,(-∞上是增函数的是 （ ） （A ）842+-=x x y （B ）)(log 21x y -=（C ）1 2+- =x y （D ）x y -=1 20.函数 342-+-=x x y 的单调增区间是 A.［1，3］ B.［2，3］ C.［1，2］ D.(－∞，2] 21.函数y= 在区间[4，5]上的最大值是_______，最小值是_______。 21.若函数f (x )在R 上是减函数，那么f (2x －x 2 )的单调增区间是 A.(－∞，1］ B.［－1，+∞) C.(－∞，－1］ D.［1，+∞) 31.函数y =log a 2(x 2 -2x -3)当x <-1时为增函数，则a 的取值范围是 A.a >1 B.-11或a <-1 例7.若f(x)=log a (3-ax)在[0，1]上是减函数，则a 的取值范围是_______。 例6.已知函数f(x)= (x 2-ax+3a)在区间[2，+∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是_____ 例6.已知函数f(x)= (x 2-ax+3a)在区间[2，+∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是_______。 分析如下： 令u=x 2-ax+3a ，y= u 。 因为y= u 在(0，+∞)上是减函数 ∴ f(x)= (x 2-ax+3a)在[2，+∞)上是减函数 u=x 2-ax+3a 在[2，+∞)上是增函数，且对任意x∈[2，+∞)，都有u ＞0。
函数含参数单调性问题
函数含参数单调性问题 知识点：已知函数在区间上单调或不单调，求解参变量的范围 思路提示： （1） 已知区间函数单调递增或单调递减，转化为导函数恒大于等于或小于等于零，先观 察导函数图像特点，如一次函数最值落在端点，开口向上抛物线最大值落在端点，开口向下抛物线最小值落在端点。 （2） 已知区间函数不单调，转化为导函数存在零点，且零点两侧异号。通常利用分离变 量法求解参数变量范围 类型一：已知单调区间求参数 例1：设.13)1(2 3)(23+++-=ax x a x x f （I ）若函数)(x f 在区间（1，4）内单调递减，求a 的取值范围； （II ）若函数a x x f =在)(处取得极小值是1，求a 的值，并说明在区间（1，4）内函数)(x f 的单调性.
变式：1.若函数y =3 1x 3－21ax 2+（a －1）x +1在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）内为增函数，试求实数a 的取值范围. 2.设函数∈+++-=a ax x a x x f 其中,86)1(32)(23R. （1）若)0,()(-∞在x f 上为增函数，求a 的取值范围. 3.已知函数32()3 m f x x x x =+-，()m R ∈，且函数()f x 在(2,)+∞上存在单调递增区间，求m 的取值范围；
4.知函数.,33)(2 3R m x x mx x f ∈-+= （1）若函数1)(-=x x f 在处取得极值，试求m 的值，并求)(x f 在点))1(,1(f M 处的 切线方程； （2）设0 复合函数的概念和性质 一、知识点内容和要求： 理解复合函数的概念，会求复合函数的单调区间 二、教学过程设计 （一）复习函数的单调性 引例：函数y=f（x）在上单调递减，则函数（a＞0，且a≠1）增减性如何？ （二）新课 1、复合函数的概念 如果y是a的函数，a又是x的函数，即y=f（a），a=g（x），那么y关于x的函数y=f[g（x）] 叫做函数y=f（x）和a=g（x）的复合函数，其中a是中间变量，自变量为x，函数值y。 例如：函数是由复合而成立。 函数是由复合而成立，a是中间变量。 2、复合函数单调性 由引例：对任意a，都有意义（a＞0且a≠1）且。 对任意， 当a＞1时，单调递增，当0＜a＜1时，单调递减。 ∵当a＞1时， ∵y=f（u）是上的递减函数∴ ∴ ∴是单调递减函数 类似地， 当0＜a＜1时， 是单调递增函数 一般地， 定理：设函数u=g（x）在区间M上有意义，函数y=f（u）在区间N上有意义，且当X∈M时，u∈N。有以下四种情况： （1）若u=g（x）在M上是增函数，y=f（u）在N上是增函数，则y=f[g（x）]在M上也是增函数； （2）若u=g（x）在M上是增函数，y=f（u）在N上是减函数，则y=f[g（x）]在M上也是减函数；（3）若u=g（x）在M上是减函数，y=f（u）在N上是增函数，则y=f[g（x）]在M上也是减函数；（4）若u=g（x）在M上是减函数，y=f（u）在N上是减函数，则y=f[g（x）]在M上也是增函数。即：同增异减。 注意：内层函数u=g（x）的值域是外层函数y=f（u）的定义域的子集。 例1、讨论函数的单调性 （1）（2） 解：① 又是减函数 ∴函数的增区间是（-∞，2]，减区间是[2，+∞）。 ②x∈（-1，3） 令 ∴x∈（-1，1]上，u是递增的，x∈[1，3）上，u是递减的。 ∵是增函数 ∴函数在（-1，1]上单调递增，在（1，3）上单调递减。 注意：要求定义域 练习：求下列函数的单调区间。 1、（1）减区间，增区间； （2）增区间（-∞，-3），减区间（1，+∞）； （3）减区间，增区间； 复合函数的单调性完全 解析与练习 文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58- 课题：函数的单调性(二) 复合函数单调性 北京二十二中刘青 教学目标 1.掌握有关复合函数单调区间的四个引理. 2.会求复合函数的单调区间. 3.必须明确复合函数单调区间是定义域的子集. 教学重点与难点 1.教学重点是教会学生应用本节的引理求出所给的复合函数的单调区间. 2.教学难点是务必使学生明确复合函数的单调区间是定义域的子集. 教学过程设计 师：这节课我们将讲复合函数的单调区间，下面我们先复习一下复合函数的定义. 生：设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若AB ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量. 师：很好.下面我们再复习一下所学过的函数的单调区间. (教师把所学过的函数均写在黑板上，中间留出写答案的地方，当学生回答得正确时，由教师将正确答案写在对应题的下边.) (教师板书，可适当略写.) 例求下列函数的单调区间. 1.一次函数y=kx+b(k ≠0). 解当k ＞0时，(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间；当k ＜0时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间. 2.反比例函数y=x k (k ≠0). 解当k ＞0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调减区间，当k ＜0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调增区间. 3.二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0). 解当a ＞0时(－∞，－a b 2)是这个函数的单调减区间，(－a b 2，+∞)是它的单调增区间； 当a ＜0时(－∞，－a b 2)是这个函数的单调增区间，(－a b 2，+∞)是它的单调减区间； 4.指数函数y=ax(a ＞0，a ≠1). 解当a ＞1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a ＜1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间. 5.对数函数y=log a x(a ＞0，a ≠1). 解当a ＞1时，(0，+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a ＜1时，(0，+∞)是它的单调减区间. 师：我们还学过幂函数y=x n (n 为有理数)，由于n 的不同取值情况，可使其定义域分几种情况，比较复杂，我们不妨遇到具体情况时，再具体分析. 师：我们看看这个函数y=2x 2+2x+1，它显然是复合函数，它的单调性如何 导数专题------求函数的单调区间 1.设()()2 56ln f x a x x =-+,其中a R ∈,曲线 ()y f x =在点()()1,1f 处的切线与y 轴相交于点 ()0,6.(1)确定a 的值; (2)求函数()f x 的单调区间与极值. 2.设函数()()2 1x f x x e kx =--(k ∈R ) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间; 3.已知函数ln ()x x k f x e +=（k 为常数， 2.71828e =???是自然对数的底数），曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行. （Ⅰ）求k 的值；（Ⅱ）求()f x 的单调区间； 4. 的单调区间求设函数)(,0,ln )(22x f a ax x x a x f >+-= 的单调区间和极值。）求函数（处的切线的斜率；，在点（（时，求曲线当（设函数)(2))1(1)1)1(. 0),(,)1(3 1 ).5223x f f x f y m m R x x m x x x f ==>∈-++-= 。 的单调区间和极小值点求函数其中 （已知函数 ) ( .0 , ln ) 1( 2 1 ) .62 x f a x a x a x x f> + + - = 的单调区间。 ）求 （ 处的切线方程 ， 在点（ 时，求曲线当 已知函数 ) ( 2 )) 1( 1 ) ( 2 )1( , 2 ) 1 ln( ) ( .72 x f f x f y k x k x x x f = = + - + = 8. 的单调区间。 （ 求 已知函数) ), .( )1 ( ln ) (2x f R a ax x x a x f∈ - - - = 的单调区间。 讨论 已知函数) ( ), 1 (, ln ) ( .9x f x ax x x x f> - = 复 合 函 数 的 单 调 性 例 讲 山西忻州五寨一中 摄爱忠 高考主要考查：①求复合函数的单调区间；②讨论含参复合函数的单调性或求参数范围问题． ①“中间变量”是形成问题转化的桥梁. ②函数思想是解决问题的关键． 复合函数定义： 1. 设)(u f y =定义域为Ａ，)(x g u =的值域为Ｂ，若A B ?，则y 关于x 的函数)]([x g f y =叫做函 数 f 与 g 的复合函数，u 叫中间变量． 外函数：)(u f y =； 内函数：)(x g u = 复合函数的单调性：同增异减. 2. 若)(x g u = )(u f y = 则)]([x g f y = 增函数 增函数 增函数 减函数 减函数 增函数 增函数 减函数 减函数 减函数 增函数 减函数 3.求解复合函数的单调性的步骤如下： (1)求复合函数定义域； (2)将复合函数分解为若干个常见函数(一次、二次、幂、指、对函数)； (3)判断每个常见函数的单调性； (4)将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围； (5)求出复合函数的单调性。 题型1：内外函数都只有一种单调性的复合型. 例 题1： ◇已知函数y=log a (2-ax)在[0,1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是( ) (A).(0,1) (B).(1,2) (C).(0,2) (D).[2，+∞) 解：设y= log a u ，u=2-ax ，∵a 是底数，所以a>0， ∵ 函数y=log a u 在u ∈[0,1]上是减函数，而u=2-ax 在区间x ∈[0,1]上是减函数， ∴ y= log a u 是u ∈(0, +∞)上的增函数，故a>1，还要使2-ax>0在区间上总成立， 令g(x)= 2-ax ，由{g(0)=2-a ·0>0 g(1)=2-a ·1>0 ，解得a<2，∴1 高一数学中函数的单调 性4种求法 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 高一数学中函数的单调性非常重要，分析函数的单调性方法有：定义法，图像法，性质法,复合法.下边结合例题加以说明： 1.定义法 例题已知函数y=x^3-x在（0，a]上是减函数，在[a,+)上是增函数，求a的值。 解分析函数在R+上的单调性 任取x1>x2>0 Y1-Y2=(X1^3-X2^3)-(X1-X2)=(X1-X2)(X1^2+X1X2+X2^2)-(X1-X2) =(X1-X2)(X1^2+X1X2+X2^2-1) 令y1-y2>0 所以 X1^2+X1X2+X2^2-1>0 因为X1^2+X1X2+X2^2-1>X2^2+X2X2+X2^2-1=3X2^2-1 当3X2^2-1>=0时即X2^2>=1/3 X2>=根号3/3时 y1-y2>0 函数是递增的 同理当3X1^2-1<=0时即X1<=根号3/3时 y1-y2<0 函数是递减的 故函数在R+上的增区间为[根号3/3,+）减区间为（0，根号3/3) 因此 a=根号3/3 一般情况下，用定义求函数的单调区间就是求出使y1-y2>0(<0)的x1,x2的取值范围，要变换不等式，求出x1和x2的范围，就可求出函数的单调区间。 2.图像法 例题求y=x+3/x-1的单调区间 解函数定义域为（-，1）并（1，+) Y=X+3/X-1=X-1+4/X-1=1+4/X-1 由图像可知函数在（-，1）和（1，+0）上递减。 函数的图像是解决这类问题的关键。 3.性质法 性质：增+增=增减+减=减 含有参数的函数单调性问题教学设计 胡蓉 一、教材地位 导数在新课标卷中以压轴题的形式考察，近五年最后一道压轴题都是含有参数的函数题，熟悉含参函数单调性问题的求解是非常重要的，它是解决含参函数极值、最值、零点等问题的基础。 二、教学背景与教学目标 笔者所教学生为重点中学文科学生，己经学完导数在研究函数中的应用三个课时，但是相对而言还比较零散，缺少整体联系但又具有一定的知识迁移能力。 学生在学习一元二次不等式时，经常遇到含参问题，需要进行讨论，因此对含参问题并不陌生。但是对于含参的函数的单调性问题，何时需要分类讨论，以及如何分类讨论做到不重不漏并不清楚，也没有形成解题系统。 三、教学重点、难点 重点：掌握含有参数的函数单调性问题分析及解决能力 难点：培养利用分类讨论、化归、数形结合、类比等数学思想与方法进行解题的意识 四、教学过程设计 （一）复习引入 （1）求函数()x x x f ln 2 12-=的单调区间 设计意图：师生共同解决此题，同时回顾了不含参函数单调区间的求解过程，也为解决例1搭建桥梁 解：函数定义域为()0,+∞，()2' 11x f x x x x -=-= 令()'0f x >得2101x x ->?>； 令()' 0f x <得21001x x -得20x a x ->?> 令()'0f x <得200x a x - 知识点五：函数解析式的求法 (1)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以 x 替代g (x )，便得f (x )的解析式(如例(1))； (2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法(如例(3))； (3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围(如例(2))； (4)方程思想：已知关于f (x )与f ? ?? ??1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )(如A 级T6)． 例6 （1）已知f ? ?? ??x ＋1x ＝x 2＋1 x 2，求f (x )的解析式； (2)已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )． 变式．(1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的解析式； (2)设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，求f (x )的解析式． 例7 已知2f （1/x ）+f （x ）=x(x ≠0) 。 求f （x ） 变式 已知f （1/x ）+af （x ）=ax(x ≠0，a ≠±1) 。 求f （x ）复合函数的概念和性质
复合函数的单调性完全解析与练习(终审稿)
含参函数的单调性习题
复合函数的单调性例讲
高一数学中函数的单调性4种求法
含有参数的函数单调性问题教学设计
函数的单调性及函数解析式的求法