(完整word版)No.49全国高中数学联合竞赛模拟试题
2011年全国高中数学联赛模拟题1
一试
考试时间上午8：00~9：20，共80分钟，满分120分
一、填空题（共8题，每题8分，64分）
1、已知函数)0(1
22
2<+++=b x c
bx x y 的值域为]3,1[，则=+c b 2、已知,R a ∈并且a x x a +>-222)0(>a ，则a 的取值范围是 3、设在xOy 平面上，2
0x
y ≤<，10≤≤x 所围成图形的面积为
3
1
，则集合},1),{(≤-=x y y x M }1),{(2+≥=x y y x N 的交集N M I 所表示的图形面积为
4、3322)(22+-+-=
x x x x x f 的最小值为
5、已知复数ααsin cos i z +=，ββsin cos i u +=，且i u z 5
3
54+=
+.则)tan(βα+＝ 6、过椭圆C ：12
32
2=+y x 上任一点P ，作椭圆C 的右准线的垂线PH （H 为垂足），延长PH 到点Q ，使|HQ|=λ|PH|(λ
≥1)。当点P 在椭圆C 上运动时，点Q 的轨迹的离心率的取值范围为 7、设][x 表示不超过x 的最大整数，则=++++]500[log ]3[log ]2[log ]1[log 3333Λ
8、设p 是给定的奇质数，正整数k 也是一个正整数，则k=____________ 二、解答题（共3题，共56分）
9、（本题16分） 在△ABC 中，A,B,C 所对边分别为c b a ,,，且3
4
cos cos ,10===a b B A c ，P 为△ABC 的内切圆上的动点，求点P 到A,B,C 的距离的平方和的最大值和最小值
10、（本题20分）数列}{n a 中，2,841==a a 且满足)(212+
++∈-=N n a a a n n n （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）
设)(,)
12(1
21+∈++=-=
N n b b b T a n b n n n n Λ，是否存在最大的正整数m ，使得对于任意的+∈N n ,均有
32
m
T n >
成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由。
11、（本题20分）给定圆P:222x y x +=及抛物线S:2
4y x =,过圆心P 作直线l ,此直线与上述两曲线的四个交点,自上而下顺次记为,,,A B C D ,如果线段,,AB BC CD 的长按此顺序构成一个等差数列,求直线l 的方程.
2011年全国高中数学联赛模拟题2
一试
考试时间上午8：00~9：20，共80分钟，满分120分
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.把答案填在横线上. 1.方程2
log sin 2x x π+=在区间(0,
]2
π
上的实根个数为_________________.
2.设数列1
18()
3
n -??
?-???
?
的前n 项和为n S ，则满足不等式1|6|125n
S -<的最小整数n 是_________________. 3.已知n （n N ∈，2n ≥）是常数，且1x ，2x ，L ，n x 是区间0,
2π??
????
内任意实数，则函数1212231(,,,)sin cos sin cos sin cos n n f x x x x x x x x x =+++L L 的最大值等于_________________.
4.圆周上给定10个点，每两点连一条弦，如果没有三条弦交于圆内一点，那么，这些弦在圆内一共有
_________________个交点.
5.一只虫子沿三角形铁圈爬行，在每个顶点，它都等机会地爬向另外两个顶点之一，则它在n 次爬行后恰好回到起始点的概率为_________________.
6.设O 是平面上一个定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足||||
AC AB
OP OA AC AB λλ-=+u u u r u u u r
u u u r u u u r u u u r u u u r ，其中[0,)λ∈+∞，则点P 的轨迹为_________________. 7.对给定的整数m ，符号
()m ?表示{}1,2,3中使()m m ?+能被3整除的唯一值，那么
201020102010(21)(22)(23)???-+-+-=_________________.
8.分别以直角三角形的两条直角边a ，b 和斜边c 为轴将直角三角形旋转一周，所得旋转体的体积依次为a V ，b V ，
c V ，则22a b V V +与2(2)c V 的大小关系是_________________.
二、解答题：本大题共3小题，共56分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
1.（本小题满分16分）是否存在实数a ，使直线1y ax =+和双曲线2
2
31x y -=相交于两点A 、B ，且以AB 为直径的圆恰好过坐标系的原点？
2.（本小题满分20分）求证：不存在这样的函数{}:1,2,3f Z →，满足对任意的整数x ，y ，若{}||2,3,5x y -∈，则()()f x f y ≠.
3.（本小题满分20分）设非负实数a ，b ，c 满足1a b c ++=，求证：1
9(19)4
abc ab bc ca abc ≤++≤+
2011年全国高中数学联赛模拟题3
一试
考试时间上午8：00~9：20，共80分钟，满分120分
一、填空题（共8题，每题8分，64分） 1、 若实数x 、y 满足条件12
2
=-y x ，则
x y x 212
+的取值范围是___________________.
2、已知c b a ,,为非负数，则c
b c b a a c c b a f +++=
),,(的最小值为 3、设AB 是椭圆122
22=+b
y a x （0>>b a ）的长轴，若把AB100等分，过每个分点作AB 的垂线，交椭圆的上半
部分于P 1、P 2、… 、P 99 ，F 1为椭圆的左焦点，则21111P F P F A F +++…B F P F 1991++的值是 4、从一个有88条棱的凸多面体P ，切去以其每个顶点为顶点的各一个棱锥，得到一个新的凸多面体Q ，这些被切
去的棱锥的底面所在的平面在P 上或内部互不相交，则凸多面体Q 的棱数是 。 5、设函数(): f x R R →，且满足，,x y R ?∈，
()()()()()23336f x f y f xy f x y f x x =+++-+，则()f x = .
6、一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a ，则这个球的体积为
7、设201021,,,a a a Λ均为正实数，且
2
1
212121201021=++++++a a a Λ，则201021a a a ???Λ的最小值为____________________.
8、若log 4(x+2y)+log 4(x-2y)=1，则|x|-|y|的最小值是_________. 二、解答题（共3题，共56分） 9、（本题16分）设S={1，2，…，n}，A 为至少含有两项的、公并非为正的等差数列，其项部都在S 中，且添加S 的其他元素等于A 后均不能构成与A 有相同公差的等差数列，求这种A 的个数（这里只有两项的数列也看做等差数列）.
10、（本题20分）已知F 为抛物线x y 42
=的焦点， M 点的坐标为(4,0)，过点F 作斜率为1k 的直线与抛物线交于A 、B 两点，延长AM 、BM 交抛物线于C 、D 两点，设直线CD 的斜率为2k ．（I ）求2
1
k k 的值；（II ）求直线AB 与直线CD 夹角θ的取值范围．
11、（本题20分）已知函数2
()2ln f x x x =-。（I ）若方程()0f x m +=在1[,]e e
内有两个不等的实根，求实数m ()()g x f x ax =-x (,0)A x ，(,0)B x ，且0x x <<。求证：
12'()0g px qx +<（其中正常数p 、q 满足1,p q q p +=≥）。
2011年全国高中数学联赛模拟题4
一试
考试时间上午8：00~9：20，共80分钟，满分120分
一、填空题（共8题，每题8分，64分） 1、 用区间表示函数1()ln(
1)3
x
f x x -=-+的定义域为 ； 2、在△ABC 中。若1sin cos 3
A A +=-，则cos2A = ；
3、在数列{}n a 中，1*
112,22()n n n a a a n N ++=-=∈,则使10n a >成立的最小正整数n 的值是 ；
4、已知()f x 是R 上的奇函数，对任意x R ∈，均有(2)()f x f x +=，且(0,1)x ∈时，2
()f x x =，则
3
()(1)2
f f -+= ；
5、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，△PAB 为等边三角形，O 为AB 边的中点，且PO ⊥平面ABCD ,则二面角P AC D --的余弦值为 ；
6、若正整数m 使得对任意一组满足12341a a a a =的正数1234,,,a a a a 都有
12341234
1111
m m m m a a a a a a a a +++≥
+++成立，则正整数m 的最小值为 7、函数22*()sin
cos ,()k
k f x x x k N =+∈的最小值为
8、将方程3
3[]40x x -?-=（[]x 表示不超过x 的最大整数）的实数解从小到大排列成12,,,k x x x L ，则
33312k x x x +++=L
二、解答题（共3题，共56分）
9、（本题16分）设二次函数2
()(,)f x x bx c b c R =++∈与x 轴有交点。若对一切x R ∈,有1
()0f x +≥
，且
2223()11
x f x +≤+，求,b c 的值。
10、（本题20分）记集合,5,6,7}{0,1,2,3,4
T =，)4,3,2,1(=i a i 是T 中可重复选取的元素． （1）若将集合}4,3,2,1,888{432231=∈+?+?+?=i T a a a a a M i 中所有元素按从小．到大．的顺序排列，求第2008个数所对应的)4,3,2,1(i =i a 的值；
（2）若将集合}4,3,2,1,8
888{
N 44
33221=∈+++=i T a a a a a i 中所有元素按从大．到小．的顺序排列，求第2008个数所对应的)4,3,2,1(i =i a 的值．
11、（本题20分）已知椭圆15
9x 2
2=+y 的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点，过2F 的直线交椭圆于C 、D 两点，且CD AB ⊥，垂足为P ．
（1）设P 点的坐标为),(00y x ，求5
92
20y x +的最值； （2）求四边形ACBD 的面积的最小值．
2011年全国高中数学联赛模拟题5
一试
考试时间上午8：00~9：20，共80分钟，满分120分
一、填空题（共8题，每题8分，64分）
1、整数x y z >>，且222 4.625x y z
++=，则,,x y z 分别为 。
的最小值为 。
3、已知集合23
0123{|777}A x x a a a a ==+?+?+?，其中{0,1,2,3,4,5,6}i a ∈，0,1,2,3i =且30a ≠。若正整
数,m n A ∈，且2010,m n m n +=>，符合条件的m 有 个 4、记)0(,)33(
)(),(2
2
≠++-=y y
x y x y x F ，则),(y x F 的最小值是 5、集合的容量是指集合中元素的和．则满足条件“}7,6,5,4,3,2,1{?A ，且若A a ∈时，必有A a ∈-8”的所有非空集合A 的容量的总和是 ．（用具体数字作答）
6、{}n a 为14a =的单调递增数列，满足22
111168()2n n n n n n a a a a a a +++++=++，则n a = 。 7、设,,a b c 为方程3
120x k x k --=的根（121k k +≠），则
111111a b c
a b c
+++++=--- 。 8、如图，记从“田字型”网格（由4个边长为1的正方形构成）的9个交点中任取3个构成三角形的面积记为ξ（当所取3点共线时，ξ＝0），则ξ的数学期望E ξ= 二、解答题（共3题，共56分） 9、（本题16分）求函数x 2cos sinx y += )(R x ∈的最大值和最小值．
10、（本题20分）设x ，y ，z 为正实数，求函数 ()()()()()xyz
1z 2z 3y 4x 4y 3x 21z ,y ,x f ++++=
的最小值。
11、（本题20分）n 2(n ≥4)个正数排成n 行n 列
a 11 a 12 a 13 a 14…… a 1n a 21 a 22 a 23 a 24…… a 2n a 31 a 32 a 33 a 34…… a 3n a 41 a 42 a 43 a 44…… a 4n … … … … …… … a n1 a n2 a n3 a n4…… a nn
其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等，已知a 24=1, 13
2011年全国高中数学联赛模拟题6
一试
考试时间上午8：00~9：20，共80分钟，满分120分
一、填空题（共8题，每题8分，64分） 1、
a ，最小值为
b ，则ab 等于 . 2、已知实数,b
c 满足2b c <<，且函数244y x x =-+，当b x c ≤≤时有最大值4c ，最小值b ，则b c +＝ .
3、已知集合}
{
110S x x x N +=<<∈，，对它的任一非空子集A ，可以将A 中的每一个元素k 都乘以(1)k
-再求和(例如，A={2,3,8}，则可求得和为(-1)2
×2+(-1)3
×3+(-1)8
×8=7),对S 的所有非空子集，这些和的总和
为 .
4、已知两个集合A=}{
(,)32x y x m y m m N +
==-+∈，，，B=}{2
(,)(1)x y x n y a n
n n N +==-+∈，，，若A
∩B ≠Φ，则整数a 的值为 .
5、函数f(x)的定义域为(0,+∞)，并且对任意正实数x ，都有2012
()(
)3f x xf x x
+=，则(2)f = . 6、,,a b c 是正整数，且成等比数列，b a -是一个完全平方数，666log log log 6a b c ++=，则a+b+c= .
7、已知2
()6,()f x x ax a y f x =+-=的图像与x 轴有两个不同的交点12(,0),(,0)x x 且
12123
83(1)(1)(16)(16)
a a x x a x a x -=-++----，则a 的值为 .
8、设n 为正整数，记1×2×…×n 为n!(例如1！=1，2！=1×2，5！=1×2×3×4×5)，若存在正整数23456
,,,,a a a a a 满足
3562431362!3!4!5!6!
a a a a a =++++，这里0i a i ≤<，i=2，3，4，5，6，则22222
23456a a a a a ++++等于 .
二、解答题（共3题，共56分）
9、（本题16分）已知点的序列*
),0,(N n x A n n ∈，其中1
,021=
=x x ，3A 是线段21A A 的中点，4A 是线段32A A 的
中点，n A ,Λ是线段)3(12≥--n A A n n 的中点，(1)写出n x 与21,--n n x x 之间的关系式)3(≥n ；(2)设n n n x x a -=+1，求{}n a 的通项公式。
10、（本题20分）已知，函数()|2|f x x x a =-，试求()f x 在区间[0,1]上的最大值()g a 。
11、（本题20分）已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的离心率为2，过点(0,)(0)P m m >斜率为1的直线l 交
双曲线C 于,A B 两点，且3,3AP PB OA OB ==u u u r u u u r u u u r u u u r
g (1)求双曲线方程；（2）设Q 为双曲线C 右支上动点，F 为双曲
线C 的右焦点，在x 轴负半轴上是否存在定点M ，使得2QFM QMF ∠=∠?若存在，求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由。
2011年全国高中数学联赛模拟题7
一试
考试时间上午8：00~9：20，共80分钟，满分120分
一、填空题（共8题，每题8分，64分）
12=所有实数解为 。
2、,x R ∈ 函数()2sin
3cos 23
x x
f x =+的最小正周期为 ． 3、设P 是圆2
2
36x y +=上一动点，A 点坐标为()20,0。当P 在圆上运动时，线段PA 的中点M 的轨迹方程为 4、设锐角三角形ABC 的边BC 上有一点D ，使得AD 把△ABC 分成两个等腰三角形，试求△ABC 的最小内角的
5、设z 是虚数，1
w z z
=+
，且12w -<<，则z 的实部取值范围为 . 6、设4
4
2
)1()1()(x x x x k x f --+-=。如果对任何]1,0[∈x ，都有0)(≥x f ，则k 的最小值为
7、若不等式271
25
11ax x x ππ+-+??
??< ?
???
??
对-1≤a ≤1恒成立，则x 的取值范围是 .
8、已知数列{a k }的通项a k =2k
，k=1，2，…，n ，则所有的a i a j (1≤i ≤j ≤n)的和为 . 二、解答题（共3题，共56分）
9、（本题16分）已知椭圆)1(12
22>=+a y a
x ，Rt ABC ?以A （0，1）为直角顶点，边AB 、BC 与椭圆交于两点
B 、
C 。若△ABC 面积的最大值为27
8
，求a 的值。
10、（本题20分）已知数列{a n }是首项为2，公比为
2
1
的等比数列，且前n 项和为S n ．（1）用S n 表示S n +1；（2）是否存在自然数c 和k ，使得
c
S c
S k k --+1＞2成立．
11、（本题20分）已知定义在R +上的函数f (x )满足 （i ）对于任意a 、b ∈R +，有f (ab )=f (a )+f (b )；（ii ）当x ＞1时，f (x )＜0；（iii ）f (3)=-1．现有两个集合A 、B ，其中集合A ={(p ,q )|f (p 2+1)-f (5q )-2＞0，p 、q ∈R +}，集合B ={(p ,q )|f (q p )+2
1
=0，p 、q ∈R +}．试问是否存在p 、q ，使?≠B A I ，说明理由．
2011年全国高中数学联赛模拟题8
一试
考试时间上午8：00~9：20，共80分钟，满分120分
一、填空题（共8题，每题8分，64分）
1
、函数()2f x x =__________________________.
2、设z 是复数，则|1||||1|z z i z -+-++的最小值等于__________________________.
3、把能表示成两个正整数平方差的这种正整数，从小到大排成一列：123,,,,n a a a a L ，例如：
222222123213325437a a a =-==-==-=，，，224318a =-=L ，.那么2007a = .
4、在ABC ?中，3tan =
B ，3
2
2sin =
C ，63=AC ，则ABC ?的面积为 . 5、圆锥曲线0|3|102622=+--+-++y x y x y x 的离心率是 .
6、若m 、{}
22101010n x x a a a ∈=?+?+，其中{}1234567i a ∈，，，，，，，01
2i =，，，并且 636m n +=，则实数对(,)m n 表示平面上不同点的个数为 .
7、已知()122007122007f x x x x x x x =+++++++-+-++-L L （11≤≤-x ），且
2(32)(1),f a a f a -+=- 则a 的取值范围是
8、从正方体的八个顶点中随机选取三点，构成直角三角形的概率是__________________. 二、解答题（共3题，共56分） 9、（本题16分）当实数a 为何值时，关于x 的方程ln ax x =无解、一解、两解？
10、（本题20分）已知二次函数()()2
0f x x bx c b =++>在区间[]1,1-上的最小值为
3
4
，最大值为3. （1）求()f x 的表达式；（2）若()()1n a f n f n =--，其中2n ≥，且*
n N ∈.求证：
222223411111
4
n a a a a ++++ 11、（本题20分）已知ABC ?的三边长度各不相等，D ，E ，F 分别是A ∠，B ∠，C ∠的平分线与边BC ，CA ，AB 的垂直平分线的交点.求证：ABC ?的面积小于DEF ?的面积. 2011年全国高中数学联赛模拟题9 一试 考试时间上午8：00~9：20，共80分钟，满分120分 一、填空题（共8题，每题8分，64分） 1、()f x 是周期为5的奇函数，(1)8f =，则(2010)(2009)f f -= 。 2、设函数()313x x f x =+，若[]x 表示不大于x 的最大整数，则函数()()1122f x f x ? ???-+-+????????的值域是 。 3、0αβ≠, 123,,x x x 为多项式3 2 0x x x ααββ-++=的根，则 123123 111 ()( )x x x x x x ++++= 4、如图是一个数表，第一行依次写着从小到大的正整数，然后把每行的相邻两个数的和写在这两数的正中间的下方得到下一行，数表从左到右、从上到下无限。则2000在表中出现 次。 5、已知二次函数()221f x x mx =-+，若对于[]0,1上的任意三个实数,,a b c ， 函数值()()(),,f a f b f c 都能构成一个三角形的三边长，则满足条件的m 的值可以是 。 6、若0)(5 5 =+-+y x y x ，则=y 。 7、如图从第一格跳到第8格，规定每次只能跳一格或者2格，则不同的跳格方法总数 为 。 8、等比数列{}n a 中，120101,4a a ==，函数122010()()()()f x x x a x a x a =---L ，则函数在(0,0)处的切线方程为 。 二、解答题（共3题，共56分） 1 2 3 4 5 6 7 … 3 5 7 9 11 13 … 8 12 16 20 24 … 20 28 36 44 … 48 64 80 … 112 144 … … … … 9、（本题16分）如图，已知O 为ABC ?的外心，,,a b c 分别是角A 、B 、C 的对边，且满足CO AB BO CA ?=?u u u r u u u r u u u r u u u r 。（1） 推导出三边,,a b c 之间的关系式；（2）求 tan tan tan tan A A B C + 的值。 10、（本题20分）设直线:l y kx m =+（其中k ，m 为整数）与椭圆2211612x y +=交于不同两点A ，B ， 与双曲线22 1412 x y -=交于不同两点C ，D ，问是否存在直线l ，使得向量0AC BD +=u u u r u u u r ，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由． 11、（本题20分）已知函数()1 1f x x = -，n N +∈对于，定义()()()()11,n n f x f x f x f f x +==????，偶函数()g x 的定义域为{}0x x ≠，当0x >时，()()2009g x f x =。（1）求()g x ；（2）若存在实数(),a b a b <使得该函数在[],a b 上的最大值为ma ，最小值为mb ，求非零实数m 的取值范围。 2011年全国高中数学联赛模拟题10 一试 考试时间上午8：00~9：20，共80分钟，满分120分 一、填空题（共8题，每题8分，64分） 1、使关于x 的不等式k x x ≥-+ -63有解的实数k 的最大值是 2、已知2 2 {(,)|23},{(,)|}M x y x y N x y y mx b =+===+。若对所有,m R M N ∈≠?I 均有，则b 的取值范围是 3、设函数:,(0)1f R R f →=满足，且对任意,,x y R ∈都有 (1)()()()2f xy f x f y f y x +=--+，则()f x =_____________________。 4、若复数z 1，z 2满足| z 1|=2，| z 2|=3，123 322 z z i -= -，则z 1·z 2= ． 5、已知整数,,,x y z t 满足x y z t <<<，且22221314x y z t +++=，则x y z t +++= ． 6、甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为 23，乙在每局中获胜的概率为1 3 ，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望E ξ为 7、记集合T={0，1，2，3，4，5，6}，M=}4,3,2,1,|7777{ 4 4 33221=∈+++i T a a a a a i ，将M 中的元素按从大到小的顺序排列，则第2005个数是 8、将边长为2的正△ABC 沿高AD 折成直二面角B AD C --, 则三棱锥B ADC -的外接球的表面积是 二、解答题（共3题，共56分） 9、（本题16分）已知函数.ln 2 1)(2 x x x f += （1）求函数f(x)在区间[1，e]上的最大、最小值； （2）求证：在区间（1，∞+）上，函数f(x)的图象在函数3 3 2)(x x g =图象的下方； （3）设g(x)=f / (x)，求证：22)x (g )]x (g [n n n -≥-。 10、（本题20分）如图，抛物线2 2y x =及点()1,1P ，过点P 的不重合的直线1l 、2l 与 此抛物线分别交于点A ，B ，C ，D ．证明：A ，B ，C ，D 四点共圆的充要条件是直线1l 与2l 的倾斜角互补． 11、（本题20分）数列{}n a 满足：.,2 36 457,12 10N n a a a a n n n ∈-+==+ 证明：（1）对任意a N n ,∈为正整数；（2）对任意1,-∈a a N n 为完全平方数. 2011年全国高中数学联赛模拟题11 一试 考试时间上午8：00~9：20，共80分钟，满分120分 一、填空题（共8题，每题8分，64分） 1．方程9135x x +-=的实数解为 ． 2．函数sin cos y x x =+(x ∈R )的单调减区间是 . 3．函数()()()2 21f x x x =-+在区间[]0,2上的最大值是 ，最小值是 ． 4．在直角坐标系xOy 中，已知圆心在原点O 、半径为R 的圆与△ABC 的边有公共点，其中()4,0A =、()6,8B =、 ()2,4C =，则R 的取值范围为 ． 5．设函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +与()1f x -都是关于x 的奇函数，则函数()y f x =在区间[]0,100上至少有 个零点. ． 6．圆环形手镯上等距地镶嵌着4颗小珍珠，每颗珍珠镀金、银两色中的一种．其中镀2金2银的概率是 ． 7．在三棱锥A BCD -中，已知ACB CBD ∠=∠，ACD ADC BCD BDC ∠=∠=∠=∠ θ=， 且cos 10 θ=．已知棱AB 的长为，则此棱锥的体积为 ． 8．设复数列{}n x 满足1n x a ≠-，0，且11 n n n a x x x +=+．若对任意n ∈N * 都有3n n x x +=，则a 的值是 ． 二、解答题（共3题，共56分） 9、（本题16分）直角坐标系xOy 中，设A 、B 、M 是椭圆22 :14x C y +=上的三点．若3455 OM OA OB =+u u u u r u u u r u u u r ， 证明：线段AB 的中点在椭圆2 2212 x y +=上． 10、（本题20分）已知整数列{}n a 满足31a =-，74a =，前6项依次成等差数列，从第5项起依次成等比数列． (1) 求数列{}n a 的通项公式； (2) 求出所有的正整数m ，使得1212m m m m m m a a a a a a ++++++=． 11、（本题20分）求所有正整数x ，y ，使得2 3x y +与2 3y x +都是完全平方数． 2011年全国高中数学联赛12 一试 考试时间上午8：00~9：20，共80分钟，满分120分 一、填空题（本题满分64分，每小题8分） 1. 设1210,,,(1,)a a a ∈+∞L ，则1210 1210 200920092009 2009 log log log log a a a a a a +++L L 的最小值是 。 2. 已知,*x y N ∈，且1 2121999x y -+++=++++L L ，则将y 表示成x 的函数，其解析式是y = 。 3. 已知函数2()|2|f x x =-，若()()f a f b =，且0a b <<，则ab 的取值范围是 。 4. 满足方程22 2213log [2cos ()]2cos ()4 xy y y xy +=-++的所有实数对(,)x y = 。 5. 若 []a 表示不超过实数 a 的最大整数，则方程 2[tan ]2sin x x =的解是 。 6. 不等式223242x x ≤?+?的解集是 。 7. 设A 是由不超过2009的所有正整数构成的集合，即{1,2,,2009}A =L ，集合L A ?，且L 中任意两 个不同元素之差都不等于4，则集合L 元素个数的最大可能值是 。 8. 给出一个凸10边形及其所有对角线，在以该凸10边形的顶点及所有对角线的交点为顶点的三角形中，至少有两个顶点是该凸10边形顶点的三角形有 个。 二、解答题 9.（本题满分16分）设函数()f x 定义于区间[0,1]，满足(0)0,(1)1f f ==，且对任意,[0,1],x y x y ∈≤， 都有22()(1)()()2 x y f a f x a f y +=-+，其中常数a 满足01a <<，求a 的值。 10. （本题满分20分）如图，A 是双曲线2 214 x y -=的右顶点，过点A 的两条互相垂直的直线分别与双曲线的右支交于点,M N ，问直线MN 是否一定过 x 轴上一定点？如果不存在这样的定点，请说明理由；如果存在这样的定点P 试求出这个定点P 的坐标。 11. （本题满分20分）设正整数构成的数列{}n a 使得1091081019k k k a a a --+++≤L 对一切*k N ∈恒成立。记该数列若干连续项的和1 j p p i a =+∑为(,)S i j ，其中,*i j N ∈，且i j <。求证：所有(,)S i j 构成的集合等 于*N 。 2011年全国高中数学联赛13 一 试 一、填空题（本题满分64分，每小题8分） 1．在数列{}n a 中，12a =，21a =-，且21n n n a a a ++=-，1,2,n =L ．则2011a ＝ ． 2．设a ，b ，c 是正整数，且成等比数列，b a -是一个完全平方数，666log log log 6a b c ++=，则a b c ++= ． 23100111 111 a a a +++=---L ． 4．设1a <-，变量x 满足2x ax x +≤-，且2x ax +的最小值为1 2 -，则a =_______． 5．正整数500n ≤，具有如下性质：从集合{}1,2,,500L 中任取一个元素m ，则m 整除n 的概率是 1 100 ，则n 的最大值是 . 6．集合{1,2,…,2011}的元素和为奇数的非空子集的个数为 . 7．一个直径2AB =的半圆，过A 作这个圆所在平面的垂线，在垂线上取一点S ，使AS AB =，C 为半圆上一个动点，,N M 分别为A 在,SC SB 上的射影．当三棱锥S AMN -的体积最大时， BAC ∠=_________． 8．直线2y kx =-交抛物线28y x =于,A B 两点，若AB 中点的横坐标为2，则AB = . 二、解答题（第9题16分，第10、11题各20分，共56分） 9.（本小题满分16分）设[),,1x y z ∈+∞，，证明不等式 2222(22)(22)(22)()22x x y y z z xyz xyz -+-+-+≤-+． 10.（本小题满分20分）已知双曲线C ：22 221x y a b -=（0a >，0b >）的离心率为2，过点(0)P m ， （0m >）斜率为1的直线l 交双曲线C 于A 、B 两点，且3AP PB =u u u r u u u r ，3OA OB ?=u u u r u u u r ． （1）求双曲线方程； （2）设Q 为双曲线C 右支上动点，F 为双曲线C 的右焦点，在x 轴负半轴上是否存在定点M 使得2QFM QMF ∠=∠？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 11.（本小题满分20分） 设12,,,,n x x x L L 是不同的正实数.证明：12,,,,n x x x L L 是一个等比数 列的充分必要条件是：对所有整数(2)n ≥，都有 22 21112212121 n n n k k k x x x x x x x x x -=+-=-∑. 加 试 1. （本题满分40分）实数a 使得对于任意实数12345,,,,x x x x x ，不等式 22222 1234512233445()x x x x x a x x x x x x x x ++++≥+++ 都成立，求a 的最大值． 2. （本题满分40分）在直角三角形ABC 中，90B ∠=?，它的内切圆分别与边BC ，CA ，AB 相切与点D ，E ，F ，连接AD ，与内切圆相交于另一点P ，连接PC ，PE ，PF ．已知PC PF ⊥，求证：PE ∥BC ． F C B A 3．（本题满分50分）对正整数n ，记()f n 为数231n n ++的十进制表示的数码和． (1) 求()f n 的最小值； (2) 是否存在一个正整数n ，使得()f n =100？ 4．（本题满分50分）求满足如下条件的最小正整数n ，在圆O 的圆周上任取n 个点12,,,n A A A L ，则在2n C 个角(1)i j A OA i j n ∠≤<≤中，至少有2011个不超过120?． 2011年全国高中数学联赛14 一 试 第80炼 排列组合的常见模型 一、基础知识： （一）处理排列组合问题的常用思路： 1、特殊优先：对于题目中有特殊要求的元素，在考虑步骤时优先安排，然后再去处理无要求的元素。 例如：用0,1,2,3,4组成无重复数字的五位数，共有多少种排法？ 解：五位数意味着首位不能是0，所以先处理首位，共有4种选择，而其余数位没有要求， 只需将剩下的元素全排列即可，所以排法总数为44496N A =?=种 2、寻找对立事件：如果一件事从正面入手，考虑的情况较多，则可以考虑该事的对立面，再用全部可能的总数减去对立面的个数即可。 例如：在10件产品中，有7件合格品，3件次品。从这10件产品中任意抽出3件，至少有一件次品的情况有多少种 解：如果从正面考虑，则“至少1件次品”包含1件，2件，3件次品的情况，需要进行分类讨论，但如果从对立面想，则只需用所有抽取情况减去全是正品的情况即可，列式较为简 单。3310785N C C =-=（种） 3、先取再排（先分组再排列）：排列数m n A 是指从n 个元素中取出m 个元素，再将这m 个元素进行排列。但有时会出现所需排列的元素并非前一步选出的元素，所以此时就要将过程拆分成两个阶段，可先将所需元素取出，然后再进行排列。 例如：从4名男生和3名女生中选3人，分别从事3项不同的工作，若这3人中只有一名女生，则选派方案有多少种。 解：本题由于需要先确定人数的选取，再能进行分配（排列），所以将方案分为两步，第一步：确定选哪些学生，共有2143C C 种可能，然后将选出的三个人进行排列：33A 。所以共有213433108C C A =种方案 （二）排列组合的常见模型 1、捆绑法（整体法）：当题目中有“相邻元素”时，则可将相邻元素视为一个整体，与其他元素进行排列，然后再考虑相邻元素之间的顺序即可。 例如：5个人排队，其中甲乙相邻，共有多少种不同的排法 1．高中数学竞赛试题 ◇1986年上海高中数学竞赛试题 ◇1987年上海高中数学竞赛试题 ◇1987年上海市黄埔区高中数学选拔赛试题 ◇1988年上海市高一数学竞赛试题.doc ◇1988年上海高中数学竞赛试题 ◇1989年上海高中数学竞赛试题 ◇1990年上海高中数学竞赛试题 ◇1991年上海高中数学竞赛试题 ◇1992年上海高中数学竞赛试题 ◇1993年上海高中数学竞赛试题 ◇1994年上海高中数学竞赛试题 ◇1995年上海高中数学竞赛试题 ◇1996年上海高中数学竞赛试题 ◇1997年上海高中数学竞赛试题 ◇1998年上海高中数学竞赛试题 ◇1999年上海高中数学竞赛试题 ◇1999年上海市高中数学竞赛试题.doc ◇2000年上海高中数学竞赛试题 ◇2000年上海市高中数学竞赛试题.doc ◇2001年上海高中数学竞赛试题 ◇2002年上海市高中数学竞赛.doc ◇2003年上海高中数学竞赛试题 ◇杭州市第7届"求是杯"高二数学竞赛 ◇杭州市第8届"求是杯"高二数学竞赛 ◇北京市海淀区第9届高二数学竞赛团体赛 ◇北京市海淀区第10届高二数学竞赛团体赛 ◇北京市海淀区第11届高二数学竞赛团体赛 ◇1986年杭州市高中数学竞赛第二试试题 ◇1990年四川省高中数学竞赛一试试卷 ◇1991年四川省高中数学联合竞赛决赛试题 ◇1992年四川省高中数学联合竞赛决赛试题 ◇1996河北省高中数学联合竞赛 ◇1999年河北省高中数学竞赛试题 ◇2000年锦州市“语数外”三科联赛高一数学试题.doc ◇2000年创新杯数学竞赛高一初赛试卷.doc ◇2000年上海市中学生业余数学学校高一招生试题.doc ◇2000年河北省高中数学竞赛试卷.doc ◇2000年温州市高二数学竞赛 ◇2001年锦州市“语数外”三科联赛高二数学竞赛试题◇2001年温州市高一数学竞赛试卷.wps 高中数学必修排列组合和概率练习题 一、选择题（每小题5分，共60分） (1)已知集合A={1,3,5,7,9,11}，B={1,7,17}.试以集合A 和B 中各取一个数作 为点的坐标,在同一直角坐标系中所确定的不同点的个数是C (A)32(B)33(C)34(D)36 解分别以{}1357911，，，，，和{}1711，，的元素为x 和y 坐标,不同点的个数为1163P P g 分别以{}1357911，，，，，和{}1711，，的元素为y 和x 坐标,不同点的个数为1163P P g 不同点的个数总数是1111636336P P P P +=g g ,其中重复的数据有(1,7),(7,1)，所以只有34个 (2)从1，2，3，…，9这九个数学中任取两个，其中一个作底数，另一个作真 数，则可以得到不同的对数值的个数为 (A)64(B)56(C)53(D)51 解①从1，2，3，…，9这九个数学中任取两个的数分别作底数和真数的“对数式”个数为292P ； ②1不能为底数，以1为底数的“对数式”个数有8个,而应减去； ③1为真数时，对数为0，以1为真数的“对数式”个数有8个,应减去7个； ④2324log 4log 92log 3log 9 ===，49241log 2log 32log 3log 9 == =，应减去4个 所示求不同的对数值的个数为29287453()C ---=个 （3）四名男生三名女生排成一排，若三名女生中有两名站在一起，但三名女生 不能全排在一起，则不同的排法数有 （A ）3600（B ）3200（C ）3080（D ）2880 解①三名女生中有两名站在一起的站法种数是23P ； ②将站在一起的二名女生看作1人与其他5人排列的排列种数是66P ，其中的 三名女生排在一起的站法应减去。站在一起的二名女生和另一女生看作1人与4名男生作全排列，排列数为55P ，站在一起的二名女生和另一女生可互换位置的排列，故三名女生排在一起的种数是1525P P 。 符合题设的排列数为： 26153625665432254322454322880P P P P -=?????-????=????=种（）（）（） 我的做法用插空法，先将4个男生全排再用插空743342274534522880A A C A A C A --= （4 ）由100+展开所得x 多项式中，系数为有理项的共有 （A ）50项（B ）17项（C ）16项（D ）15项 解1000100110011r 100r r 100100100100100100=C )+C )++C )++C --L L 1.如果log3m+log3n=4，那么m+n的最小值是( ) A.4 B.4 C.9 D.18 2.数列{a n}的通项为a n=2n-1，n∈N*，其前n项和为S n，则使S n＞48成立的n的最小值为( ) A.7 B.8 C.9 D.10 3.若不等式|8x+9|＜7和不等式ax2+bx-2＞0的解集相同，则a、b的值为( ) A.a=-8 b=-10 B.a=-4 b=-9 C.a=-1 b=9 D.a=-1 b=2 4.△ABC中，若c=2a cosB，则△ABC的形状为( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.锐角三角形 5.在首项为21，公比为的等比数列中，最接近1的项是( ) A.第三项 B.第四项 C.第五项 D.第六项 6.在等比数列中，，则等于( ) A. B. C.或 D.-或- 7.△ABC中，已知(a+b+c)(b+c-a)=bx，则A的度数等于( ) A.120° B.60° C.150° D.30° 8.数列{a n}中，a1=15，3a n+1=3a n-2(n∈N*)，则该数列中相邻两项的乘积是负数的是( ) A.a21a22 B.a22a23 C.a23a24 D.a24a25 9.某厂去年的产值记为1，计划在今后五年内每年的产值比上年增长10%，则从今年起到第五年，这个厂的总产值为( ) A.1.14 B.1.15 C.10×(1.16-1) D.11×(1.15-1) 10.已知钝角△ABC的最长边为2，其余两边的长为a、b，则集合P={(x,y)|x=a,y=b}所表示的平面图形面积等于( ) A.2 B.π-2 C.4 D.4π-2 11.在R上定义运算，若不等式对任意实数x成立，则( ) A.-1＜a＜1 B.0＜a＜2 C.-＜a＜ D.-＜a＜ 12.设a＞0，b＞0，则以下不等式中不恒成立的是( ) A. B. C. D. 二、填空题(本题共4小题，每小题4分，共16分，请把正确答案写在横线上) 13.在△ABC中，已知BC=12，A=60°，B=45°，则AC=____. 14.设变量x、y满足约束条件，则z=2x-3y的最大值为____. 15.《莱因德纸草书》(Rhind Papyrus)是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这 样的题目：把100个面包分给五人，使每人成等差数列，且使较多的三份之和的是较少的两份之和，则最少1份的个数是____. 16.设，则数列{b n}的通项公式为____. 三、解答题(本题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题12分)△ABC中，a，b，c是A，B，C所对的边，S是该三角形的面积，且 . (1)求∠B的大小； (2)若a=4，S=5，求b的值. 高中数学竞赛模拟试题一 一 试 （考试时间：80分钟 满分100分） 一、填空题（共8小题，5678=?分） 1、已知,点(,)x y 在直线23x y += 上移动,当24x y +取最小值时,点(,)x y 与原点的距离是 。 2、设()f n 为正整数n （十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如 ()22212312314 f =++=。记 1()() f n f n =， 1()(()) k k f n f f n +=， 1,2,3... k =，则 =)2010(2010f 。 3、如图，正方体1 111D C B A ABCD -中，二面角 1 1A BD A --的度数 是 。 4、在2010,,2,1 中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是 。 5、若正数c b a ,,满足 b a c c a b c b a +- +=+，则c a b +的最大值是 。 6、在平面直角坐标系xoy 中，给定两点(1,2)M -和(1,4)N ，点P 在X 轴上移动，当MPN ∠取最大值时，点P 的横坐标是 。 7、已知数列...,,...,,,210n a a a a 满足关系式18)6)(3(1=+-+n n a a 且30=a ，则∑=n i i a 01 的值是 。 8、函数sin cos tan cot sin cos tan cot ()sin tan cos tan cos cot sin cot x x x x x x x x f x x x x x x x x x ++++=+++++++在(,)2 x o π∈时的最 小值为 。 二、解答题（共3题，分44151514=++） 9、设数列}{n a 满足条件：2,121==a a ，且 ,3,2,1(12=+=++n a a a n n n ) 求证：对于任何正整数n ，都有：n n n n a a 111+≥+ 10、已知曲线m y x M =-22:，0>x ，m 为正常数．直线l 与曲线M 的实轴不垂直，且依次交直线x y =、曲线M 、直线x y -=于A 、B 、C 、D 4个点，O 为坐标原点。 （1）若||||||CD BC AB ==，求证：AOD ?的面积为定值； （2）若BOC ?的面积等于AOD ?面积的3 1，求证：||||||CD BC AB == 11、已知α、β是方程24410()x tx t R --=∈的两个不等实根，函数=)(x f 1 22 +-x t x 的定义域为[,]αβ. （Ⅰ）求);(min )(max )(x f x f t g -= （Ⅱ）证明：对于) 2 ,0(π∈i u )3,2,1(=i ，若1sin sin sin 321=++u u u ，则 64 3 )(tan 1)(tan 1)(tan 1321<++u g u g u g . 二 试 （考试时间：150分钟 总分：200分） 一、（本题50分）如图， 1O 和2 O 与 ABC ?的三边所在的三条直线都相 切，,,,E F G H 为切点，并且EG 、FH 的 延长线交于P 点。 求证：直线PA 与BC 垂直。 二、（本题50分）正实数z y x ,,，满 足 1≥xyz 。证明： E F A B C G H P O 1。 。 O 2 奥林匹克数学的技巧（上篇） 有固定求解模式的问题不属于奥林匹克数学，通常的情况是，在一般思维规律的指导下，灵活运用数学基础知识去进行探索与尝试、选择与组合。这当中，经常使用一些方法和原理（如探索法，构造法，反证法，数学归纳法，以及抽屉原理，极端原理，容斥原理……），同时，也积累了一批生气勃勃、饶有趣味的奥林匹克技巧。在2-1曾经说过：“竞赛的技巧不是低层次的一招一式或妙手偶得的雕虫小技，它既是使用数学技巧的技巧，又是创造数学技巧的技巧，更确切点说，这是一种数学创造力，一种高思维层次，高智力水平的艺术，一种独立于史诗、音乐、绘画的数学美。” 奥林匹克技巧是竞赛数学中一个生动而又活跃的组成部分。 2-7-1 构造 它的基本形式是：以已知条件为原料、以所求结论为方向，构造出一种新的数学形式，使得问题在这种形式下简捷解决。常见的有构造图形，构造方程，构造恒等式，构造函数，构造反例，构造抽屉，构造算法等。 例2-127 一位棋手参加11周（77天）的集训，每天至少下一盘棋，每周至多下12盘棋，证明这棋手必在连续几天内恰好下了21盘棋。 证明：用n a 表示这位棋手在第1天至第n 天（包括第n 天在内）所下的总盘数（1,2,77n =…），依题意 127711211132a a a ≤<<≤?=… 考虑154个数： 12771277,,,21,21,21a a a a a a +++…,? 又由772113221153154a +≤+=<，即154个数中，每一个取值是从1到153的自然数，因而必有两个数取值相等，由于i j ≠时，i i a a ≠ 2121i j a a +≠+ 故只能是,21(771)i j a a i j +≥>≥满足 21i j a a =+ 这表明，从1i +天到j 天共下了21盘棋。 这个题目构造了一个抽屉原理的解题程序，并具体构造了154个“苹果”与153个“抽屉”，其困难、同时也是精妙之处就在于想到用抽屉原理。 例 2-128 已知,,x y z 为正数且()1xyz x y z ++=求表达式()()x y y z ++的最最小值。 解：构造一个△ABC ，其中三边长分别为a x y b y z c z x =+??=+??=+? ，则其面积为 1?== 另方面2()()2sin x y y z ab C ?++==≥ 故知，当且仅当∠C=90°时，取值得最小值2，亦即222()()()x y y z x z +++=+ 2001年某省普通高校对口升学 考试数学模拟试题（三） 一、选择题（本大题共15小题；每小题5分，共75分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设全集U = ｛0，1，2，3｝，集合M =｛0，1，2｝N =｛0，2，3｝，则U M N U e（ ） A ．空集 B ．｛1｝ C ．｛0，1，2｝ D ．｛2，3｝ 2．设x ，y 为实数，则x 2 = y 2的充分必要条件是（ ） A ．x = y B ．x = –y C ．x 3 = y 3 D ．| x | = | y | 3．点P (0, 1)在函数y = x 2 + ax + a 的图像上，则该函数图像的对称轴方程为（ ） A ．x = 1 B ．12x = C ．x = –1 D ．12 x =- 4．不等式x 2 + 1>2x 的解集是（ ） A ．｛x |x 1，x ∈R ｝ B ．｛x |x >1，x ∈R ｝ C ．｛x |x –1，x ∈R ｝ D ．｛x |x 0，x ∈R ｝ 5．点(2, 1)关于直线y = x 的对称点的坐标为（ ） A ．(–1, 2) B ．(1, 2) C ．(–1, –2) D ．(1, –2) 6．在等比数列｛a n ｝中，a 3a 4 = 5，则a 1a 2a 5a 6 =（ ） A ．25 B ．10 C ．–25 D ．–10 7．8个学生分成两个人数相等的小组，不同分法的种数是（ ） A ．70 B ．35 C ．280 D ．140 8．1tan151tan15+?=-? （ ） A ．3- B 3 C 3 D ．3 9．函数31()31 x x f x -=+（ ） A ．是偶函数 B ．是奇函数 C ．既是奇函数，又是偶函数 D ．既不是奇函数，也不是偶函数 10．掷三枚硬币，恰有一枚硬币国徽朝上的概率是（ ） A ．14 B ．13 C ．38 D ．34 11．通过点(–3, 1)且与直线3x – y – 3 = 0垂直的直线方程是（ ） A ．x + 3y = 0 B ．3x + y = 0 C ．x – 3y + 6 = 0 D ．3x – y – 6 = 0 12．已知抛物线方程为y 2 = 8x ，则它的焦点到准线的距离是（ ） A ．8 B ．4 C ．2 D ．6 13．函数y = x 2 – x 和y = x – x 2的图像关于（ ） A ．坐标原点对称 B ．x 轴对称 2018年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷） 一、填空题：本大题共 8小题，每小题 8分，共64分． 1.设集合{1,2,3,,99}A = ，{2}B x x A =∈，{2}B x x A =∈，则B C 的元素个数 . 解析：因为{1,2,3,,99}A = ，所以{2,4,6,,198}B = ,{1,2,3,,49}C = ,于是 {2,4,6,,48}B C = ，共24个元素. 2.设点P 到平面α Q 在平面α上，使得直线PQ 与α所成角不小于30 且不大于60 ，则这样的点Q 所构成的区域的面积为 . 解析：过点P 作平面α的垂线，这垂足为O ，则点Q 的轨迹是以O 为圆心，分别以1ON =和3OM =为半径的扇环,于是点Q 所构成的区域的面积为21S S S =-= 9 8πππ-=. 3. 将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为,,,,,a b c d e f ，则abc def +是偶数的概率为 . 解析：（直接法）将1,2,3,4,5,6随机排成一行，共有6 6720A =种不同的排法，要使 abc def +为偶数，abc 为与def 同为偶数或abc 与且def 同为奇数. （1）若,,a b c 中一个偶数两个奇数且,,d e f 中一个奇数两个偶数. 共324种情形； （2）若,,a b c 中一个奇数两个偶数且,,d e f 中一个偶数两个奇数. 共324种情形； 共有648种情形.综上所述，abc def +是偶数的概率为 6489 72010 =. （间接法）“abc def +是偶数”的对立事件为“abc def +是偶数”， abc def +是偶数分成两种情况：“abc 是偶数且def 是奇数”或“abc 是奇数且def 是偶数”，每 P O M N α 排列组合 一．选择题（共5小题） 1．甲、乙、丙三同学在课余时间负责一个计算机房的周一至周六的值班工作，每天1人值班，每人值班2天，如果甲同学不值周一的班，乙同学不值周六的班，则可以排出不同的值班表有（） A．36种B．42种C．50种D．72种 2．某城市的街道如图，某人要从A地前往B地，则路程最短的走法有（） A．8种 B．10种C．12种D．32种 3．某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（） A．72 B．120 C．144 D．168 4．现将甲乙丙丁4个不同的小球放入A、B、C三个盒子中，要求每个盒子至少放1个小球，且小球甲不能放在A盒中，则不同的放法有（） A．12种B．24种C．36种D．72种 5．从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（） A．300种B．240种C．144种D．96种 二．填空题（共3小题） 6．某排有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，则不同的坐法有种． 7．四个不同的小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有种（用数字作答）． 8．书架上原来并排放着5本不同的书，现要再插入3本不同的书，那么不同的 插法共有种． 三．解答题（共8小题） 9．一批零件有9个合格品，3个不合格品，组装机器时，从中任取一个零件，若取出不合格品不再放回，求在取得合格品前已取出的不合格品数的分布列10．已知展开式的前三项系数成等差数列． （1）求n的值； （2）求展开式中二项式系数最大的项； （3）求展开式中系数最大的项． 11．设f（x）=（x2+x﹣1）9（2x+1）6，试求f（x）的展开式中： （1）所有项的系数和； （2）所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和． 12．求（x2+﹣2）5的展开式中的常数项． 13．求值C n5﹣n+C n+19﹣n． 14．3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的种数．（1）选5名同学排成一行； （2）全体站成一排，其中甲只能在中间或两端； （3）全体站成一排，其中甲、乙必须在两端； （4）全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端； （5）全体站成一排，男、女各站在一起； （6）全体站成一排，男生必须排在一起； （7）全体站成一排，男生不能排在一起； （8）全体站成一排，男、女生各不相邻； （9）全体站成一排，甲、乙中间必须有2人； （10）全体站成一排，甲必须在乙的右边； （11）全体站成一排，甲、乙、丙三人自左向右顺序不变； （12）排成前后两排，前排3人，后排4人． 15．用1、2、3、4、5、6共6个数字，按要求组成无重复数字的自然数（用排列数表示）． 数学试卷 一、选择题 （1）设集合{}A=246，，，{}B=123，，，则A B= ……………………………………（ ） （A ）{}4 （B ）{}1,2,3,4,5,6 （C ）{}2,4,6 （D ）{}1,2,3 （2）函数y cos 3 x =的最小正周期是 ……………………………………（ ） （A ）6π （B ）3π （C ）2π （D ）3 π （3）021log 4()=3 - ……………………………………（ ） （A ）9 （B ）3 （C ）2 （D ）1 ） （4）设甲：1, :sin 62 x x π==乙，则 ……………………………………（ ） （A ）甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件； （B ）甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件； （C ）甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件； （D ）甲是乙的充分必要条件。 （5）二次函数222y x x =++图像的对称轴方程为 ……………………………………（ ） （A ）1x =- （B ）0x = （C ）1x = （D ）2x = （6）设1sin =2 α，α为第二象限角，则cos =α ……………………………………（ ） . （A ）32- （B ）22- （C ）12 （D ）32 （7）下列函数中，函数值恒大于零的是 ……………………………………（ ） （A ）2y x = （B ）2x y = （C ）2log y x = （D ）cos y x = （8）曲线21y x =+与直线y kx =只有一个公共点，则k= ………………………（ ） （A ）2或2 （B ）0或4 （C ）1或1 （D ）3或7 （9）函数lg 3-y x x =+的定义域是 ……………………………………（ ） （A ）（0，∞） （B ）（3，∞） （C ）(0，3] （D ）（∞，3] （10）不等式23x -≤的解集是 ……………………………………（ ） 【 （A ）{}51x x x ≤-≥或 （B ）{}51x x -≤≤ （C ）{}15x x x ≤-≥或 （D ）{}15x x -≤≤ （11）若1a >，则 ……………………………………（ ） （A ）12 log 0a < （B ）2log 0a < （C ）10a -< （D ）210a -< （12）某学生从6门课程中选修3门，其中甲课程必选修，则不同的选课方案共有…（ ） 2017高一数学竞赛试题 导读：我根据大家的需要整理了一份关于《2017高一数学竞赛试题》的内容，具体内容：在我们的学习生活中，考试试卷的练习是我们的重要学习方式，我们应该认真地对待每一份试卷!下面是有我为你整理的2017高一数学竞赛试题，希望能够帮助到你!一、选择题：(本大... 在我们的学习生活中，考试试卷的练习是我们的重要学习方式，我们应该认真地对待每一份试卷!下面是有我为你整理的2017高一数学竞赛试题，希望能够帮助到你! 一、选择题：(本大题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的) 1.已知 , 为集合I的非空真子集，且 , 不相等，若，则 ( ) A. B. C. D. 2.与直线的斜率相等，且过点(-4,3)的直线方程为 () A. = 32 B. =32 C. =32 D. =-32 3. 已知过点和的直线的斜率为1，则实数的值为 ( ) A.1 B.2 C.1或4 D.1或2 4. 已知圆锥的表面积为6 ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为 ( ) A. B.2 C. D. 5. 在空间中，给出下面四个命题，则其中正确命题的个数为 () ①过平面外的两点，有且只有一个平面与平面垂直; ②若平面内有不共线三点到平面的距离都相等，则∥; ③若直线l与平面内的无数条直线垂直，则l; ④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两平行线; A.3 B.2 C.1 D.0 6. 已知函数定义域是，则函数的定义域是 ( ) A. B. C. D. 7. 直线在同一坐标系中的图形大致是图中的 ( ) 8. 设甲，乙两个圆柱的底面面积分别为，体积为，若它们的侧面积相等且，则的值是 ( ) A. B. C. D. 9.设函数，如果，则的取值范围是 ( ) A. 或 B. C. D. 或 10.已知函数没有零点，则实数的取值范围是 () A. B. C. D. 11.定义在R上的偶函数满足：对任意的，有 .则 ( ) A. B. C. D. 12. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各个面中，直角三角形的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D. 高考数学轻松搞定排列组合难题二十一种方法 排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。 教学目标 1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。 2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力 3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有 m种不同的方法，在第2类 1 办法中有 m种不同的方法，…，在第n类办法中有n m种不同的方法，那么2 完成这件事共有： 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有 m种不同的方法，做第2步 1 有 m种不同的方法，…，做第n步有n m种不同的方法，那么完成这件事共2 有： 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 两个位置. ——教学资料参考参考范本——【高中教育】最新高中数学奥林匹克竞赛训练题（206） ______年______月______日 ____________________部门 第一试 一、填空题（每小题8分，共64分） 1。已知正整数组成等比数列，且则的最大值为 。 ()a b c a b c <<、、201620162016log log log 3,a b c ++=a b c ++ 2。关于实数的方程的解集为 。x 2 12sin 2222log (1sin )x x -=+- 3。曲线围成的封闭图形的面积为 。 2224x y y +≤ 4。对于所有满足的复数均有，对所有正整数，有，若 。 z i ≠z ()z i F z z i -= +n 1()n n z F z -=020162016,z i z =+=则 5。已知P 为正方体棱AB 上的一点，满足直线A1B 与平面B1CP 所成角 为，则二面角的正切值为 。1111ABCD A B C D -0 6011A B P C -- 6。已知函数，集合则A= 。 22 ()224,()2f x x x g x x x =+-=-+()()f x A x Z g x +?? =∈?? ?? 7。在平面直角坐标系中，P 为椭圆在第三象限内的动点，过点P 引圆的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，直线AB 与轴、轴分别交于点M 、 N ，则面积的最小值为 。 xOy 22 12516x y +=22 9x y +=x y OMN ? 8。有一枚质地均匀的硬币，现进行连续抛硬币游戏，规则如下：在抛掷的过程中，无论何时，连续出现奇数次正面后出现一次反面，则游戏停止；否则游戏继续进行，最多抛掷10次，则该游戏抛掷次数的数学期望为 。 二、解答题（共56分） 高三(职高)数学试题（三） （时间：120分钟 总分：150分） 一、 单项选择题：（本大题共15个小题，每小题3分，共45分。） 1. 设全集U ={x │4≤x ≤10,x ∈N}，A={4,6,8,10}，则C u A =（ ）。 A {5} B {5,7} C {5,7,9} D {7,9} 2. “a>0且b>0”是“a 2b>0”的（ ）条件。 A 充分不必要 B 必要不充分 C 充分且必要 D 以上答案都不对 3. 如果f (x)=ax 2+bx+c （a ≠0）是偶函数，那么g (x)=ax 3+bx 2－cx 是（ ）。 A 偶函数 B 奇函数 C 非奇非偶函数 D 既是奇函数又是偶函数 4. 设函数f (x)=lo g a x(a>0且a ≠1)，f (4)=2，则f (8)等于（ ）。 A 2 B 12 C 3 D 13 5. sin80°－ 3 cos80°－2sin20°的值为（ ）。 A 0 B 1 C －sin20° D 4sin20° 6. 已知向量a 的坐标为（1,x ），向量b 的坐标为（－8,－1），且a b + 与a b - 互相垂直，则（ ）。 A x=－8 B x=8 C x=±8 D x 不存在 7. 等比数列的前4项和是 203 ，公比q=1 3-，则a 1等于（ ）。 A －9 B 3 C 13 D 9 8. 已知2 1 2 3 ()() 3 2 y x -=，则y 的最大值是（ ）。 A －2 B －1 C 0 D 1 9. 直线l 1：x+ay+6=0与l 2：(a －2)x+3y+a=0平行，则a 的值为（ ）。 A －1或3 B 1或3 C －3 D －1 10. 抛物线y 2=－4x 上一点M 到焦点的距离为3，则点M 的横坐标为（ ）。 A 2 B 4 C 3 D －2 11. 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1，则A 1C 1与B 1C 所成的角为（ ）。 A 45° B 60° C 30° D 90° 12. 现有5套经济适用房分配给4户居民(一户居民只能拥有一套经济适用房)，则所有的分法种数为（ ）。 A 5！ B 20 C 45 D 54 13. 在△ABC 中，若a=2,b= 2 ,c= 3 +1,则△ABC 是（ ）。 A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 无法确定 14. 如图是函数y=2sin(x ω?+)在一个周期内的图像 (其中ω>0,?<2 π )，则ω、?正确的是（ ）。 A ω=2，?=6 π B ω=2，?=3 π C ω =1，?=6 π D ω =1，?=3 π 15. 某乐队有11名乐师，其中男乐师7人，现该乐队要选出一名指挥，则选出的指挥为女乐师的概率为（ ）。 A 711 B 14 C 47 D 411 6 π - 5 6 π o 2 －2 x y 高考数学专题之排列组 合综合练习 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 1．从中选个不同数字，从中选个不同数字排成一个五位数，则这些五位数中偶数的个数为（） A． B． C． D． 2．五个同学排成一排照相，其中甲、乙两人不排两端，则不同的排法种数为（）A．33 B．36 C．40 D．48 3．某校从8名教师中选派4名同时去4个边远地区支教（每地1名教师），其中甲和乙不能都去，甲和丙只能都去或都不去，则不同的选派方案有（） A．900种 B．600种 C．300种 D．150种 4．要从甲、乙等8人中选4人在座谈会上发言，若甲、乙都被选中，且他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有__________种（用数字作答）. 5．有五名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲不能站在最左端，而乙必须站在丙的左侧（不一定相邻），则不同的站法种数为__________．(用数字作答） 6．有个座位连成一排，现有人就坐，则恰有个空位相邻的不同坐法是 __________． 7．现有个大人，个小孩站一排进行合影.若每个小孩旁边不能没有大人，则不同的合影方法有__________种．（用数字作答） 8．（2018年浙江卷）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答) 9．由0，1，2，3，4，5这6个数字共可以组成______.个没有重复数字的四位偶数． 10．将四个编号为1,2,3,4的小球放入四个编号为1,2,3,4的盒子中. (1)有多少种放法 2019年**一中高一数学竞赛奥赛班试题（决赛） 及答案 （时间：5月16日18：40～20：40） 满分：120分 一、 选择题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分） 1．已知 M =},13|{},,13|{},,3|{Z n n x x P Z n n x x N Z n n x x ∈-==∈+==∈=，且 P c N b M a ∈∈∈,,，设c b a d +-=，则∈d （ ） A. M B. N C. P D.P M 2.函数()1 42-+ =x x x x f 是（ ） A 是偶函数但不是奇函数 B 是奇函数但不是偶函数 C 既是奇函数又是偶函数 C 既不是奇函数也不是偶函数 3.已知不等式m 2 ＋(cos 2 θ－5)m ＋4sin 2 θ≥0恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A . 0≤m ≤4 B . 1≤m ≤4 C . m ≥4或x ≤0 D . m ≥1或m ≤0 4.在△ABC 中，c b a ,,分别是角C B A ,,所对边的边长，若 0sin cos 2sin cos =+- +B B A A ，则 c b a +的值是（ ） A.1 B.2 C.3 C.2 5. 设 0a b >>, 那么 2 1 () a b a b + - 的最小值是 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6．设ABC ?的内角A B C ,,所对的边,,a b c 成等比数列，则B C B A C A cos tan sin cos tan sin ++的取值范围是 （ ） A. (0,)+∞ B. C. D. )+∞． 二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分） 7.母线长为3的圆锥中，体积最大的那一个的底面圆的半径为 8．函数| cos sin |2sin )(x x e x x f ++=的最大值与最小值之差等于 。 2013-2014年度第二学期高三第一次模拟 数学试卷 总分：100分 考试时间：90分钟 命题人：XXX 一、单项选择题。（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题列出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1.设集合{|03,},M x x x N =≤<∈则M 的真子集个数为 （ ） A.3 B.6 C.7 D.8 2. 448log 3log 12log 4-+等于 （ ） A.1 3 - B.1 C. 1 2 D.5 3 - 3.若f (x )是偶函数，它在[)0,+∞上是减函数,且f （lg x ）>f (1),则x 的取值范围是（ ） A. ( 110，1) B. (0，1 10) (1，+∞) C. (1 10 ，10) D. (0，1) (10，+∞) 4.已知5343sin ,(,),cos ,(,2),13252 ππ ααπββπ=-∈=∈则αβ+是 （ ） A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 5.已知过点A （1，a ），和B （2，4）的直线与直线x-y+1=0垂直，则a 的值为（ ） A.1 5 B.1 3 C.3 D.5 6.对于直线m 和平面α、β，其中m 在α内，“//αβ”是“//m β”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 7.若椭圆2221(1)x y a a +=>的离心率2 2e =，则该椭圆的方程为 （ ） A.2 2 21x y += B.2 2 21x y += C.22 12x y += D.2214 x y += 8.设f （x ）是定义在(,)-∞+∞内的奇函数，且是减函数。若0a b +>，则（ ） 班级 考号 姓名 …………………………………….装…………订…………线………………………………………………………. 历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题45 排列组合（学生版） 一．选择题（共20小题） 1．（2009?全国卷Ⅰ）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( ) A．150种B．180种C．300种D．345种2．（2010?广东）为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定．每个彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁．在每个闪烁中，每秒钟有且只有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒．如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是() A．1205秒B．1200秒C．1195秒D．1190秒3．（2007?全国卷Ⅱ）5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有() A．10种B．20种C．25种D．32种4．（2006?湖南）在数字1，2，3与符号+，-五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是() A．6B．12C．24D．18 5．（2009?陕西）从1，2，3，4，5，6，7这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为() A．432B．288C．216D．108 6．（2014?辽宁）6把椅子排成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为() A．144B．120C．72D．24 7．（2012?浙江）若从1，2，3，?，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有() A．60种B．63种C．65种D．66种8．（2012?北京）从0、2中选一个数字．从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位 数学奥林匹克竞赛中的不变量技巧 在一个变化的数学过程中常常有个别的不变元素或特殊的不变状态，表现出相对稳定的较好性质，选择这些不变性作为解题的突破口是一个好主意。 例1.从数集{}3,4,12开始，每一次从其中任选两个数,a b ，用345 5 a b -和435 5 a b +代替它们，能否通过有限多次代替得到数集{}4,6,12。 解：对于数集{},,a b c ，经过一次替代后，得出3 443,,5 5 5 5a b a b c ??-+???? ， 有2222223443()()5555 a b a b c a b c -+++=++ 即每一次替代后，保持3个元素的平方和不变（不变量）。 由22222234124612++≠++知，不能由{}3,4,12替换为{}4,6,12。 例2.设21n +个整数1221,,,n a a a +…具有性质p ；从其中任意去掉一个，剩下的2n 个数可以分成个数相等的两组，其和相等。证明这2n+1个整数全相等。 证明：分三步进行，每一步都有“不变量”的想法： 第一步 先证明这2n+1个数的奇偶性是相同的 因为任意去掉一个数后，剩下的数可分成两组，其和相等，故剩下的2n 个数的和都是偶数，因此，任一个数都与这2n+1个数的总和具有相同的奇偶性； 第二步 如果1221,,,n a a a +…具有性质P ，则每个数都减去整数c 之后，仍具有性质P ，特别地取1c a =，得21312110,,,,n a a a a a a +---… 也具有性质P ，由第一步的结论知，2131211,,,n a a a a a a +---…都是偶数； 第三步 由21312110,,,,n a a a a a a +---…为偶数且具有性质P ，可得 31 211210, ,,,222 n a a a a a a +---… 都是整数，且仍具有性质P ，再由第一步知，这21n +个数的奇偶性相同，为偶数，所以都除以2后，仍是整数且具有性质P ，余此类推，对任意的正整数k ，均有 31 211210, ,,,222n k k k a a a a a a +---…为整数，且具有性质P ，因k 可以任意大，这就推得 21312110n a a a a a a +-=-==-=…即 1221n a a a +===…。高中数学100个热点问题(三)： 排列组合中的常见模型
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