高中新课标数学基础知识汇编

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第一部分 集合与简易逻辑

1．理解集合中元素的意义．．．．．

是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？… ；

2．数形结合．．．．

是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决，特别是在集合的交、并、补的运算之中。注意φ是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。注意补集思想的应用（反证法，对立事件，排除法等）。

3．（1）含n 个元素的集合的子集数为2n ,真子集数为2n －1；非空真子集的数为2n -2；

（2）;B B A A B A B A =?=?? 注意：讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况；

（3）)()()();()()(B C A C B A C B C A C B A C I I I I I I ==。

4．四种命题：

⑴原命题：若p 则q ； ⑵逆命题：若q 则p ；

⑶否命题：若?p 则?q ；⑷逆否命题：若?q 则?p

注：原命题与逆否命题等价；逆命题与否命题等价。判断命题真假时常常借助判断其逆否命题的真假

5．充要条件的判断：

（1）定义法----正、反方向推理；

（2）利用集合间的包含关系：例如：若B A ?，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件；

6．逻辑连接词：

⑴且(and) ：命题形式 p ∧q ； p q p ∧q p ∨q ?p

⑵或（or ）：命题形式 p ∨q ； 真 真 真 真 假

⑶非（not ）：命题形式?p . 真 假 假 真 假

假 真 假 真 真

假 假 假 假 真

7．全称量词与存在量词

⑴全称量词-------“所有的”、“任意一个”等，用?表示；

全称命题p ：)(,x p M x ∈?； 全称命题p 的否定?p ：)(,x p M x ?∈?。

⑵存在量词--------“存在一个”、“至少有一个”等，用?表示；

特称命题p ：)(,x p M x ∈?； 特称命题p 的否定?p ：)(,x p M x ?∈?；

第二部分 函数、导数与不等式

（一）函数

1．映射：注意 ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一，或多对一。

2．函数定义域的求法：函数解析式有意义；符合实际意义；定义域优先原则

函数解析式的求法：代入法，凑配法，换元法，待定系数法，函数方程法

函数值域的求法：①观察法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④函数单调法；

⑤换元法 ；⑥不等式法（22

22b a b a ab +≤+≤）； ⑦数形结合法（斜率、距离、绝对值的意义等）；⑧函数单调法（2x x a 、、x sin 、x cos 等）；⑨导数法

3．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。

4．复合函数的有关问题（1）复合函数定义域求法：① 若f(x)的定义域为［a ，b ］,则

复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a ≤g(x)≤b 解出② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)

的定义域，相当于x ∈[a,b]时，求g(x)的值域。

（2）复合函数单调性的判定：①首先将原函数)]([x g f y =分解为基本函数：内函数

)(x g u =与外函数)(u f y =；②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性；③根

据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。

注意：外函数)(u f y =的定义域是内函数)(x g u =的值域。

5．函数的奇偶性⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．．．．

； ⑵)(x f 是奇函数?1)

()(0)()()()(-=-?=+-?-=-x f x f x f x f x f x f ；

⑶)(x f 是偶函数1)

()(0)()()()(=-?=--?=-?x f x f x f x f x f x f ； ⑷奇函数)(x f 在原点有定义，则0)0(=f ；

⑸在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性；

(6)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简(等价变形)，再判断其奇偶性；

6．函数的单调性

⑴单调性的定义：)(x f 在区间M 上是增（减）函数,,21M x x ∈??当21x x <时

)0(0)()(21><-x f x f )

0(0)]()()[(2121<>--?x f x f x x )0(0)()(2

121<>--?x x x f x f ； ⑵单调性的判定: ①定义法：注意：一般要将式子)()(21x f x f -化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号；②导数法（见导数部分）；③复合函数法（见4（2）同增异减）；④图像法。

注：证明单调性要用定义法或导数法；求单调区间，先求定义域；多个单调区间之间不能用“并集”、“或”；单调区间不能用集合或不等式表示。

7．函数的周期性

(1)周期性的定义：对定义域内的任意x ，若有)()(x f T x f =+ （其中T 为非零常数），则称函数)(x f 为周期函数，T 为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的最小

正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。

（2）三角函数的周期

①π2:sin ==T x y ；②π2:cos ==T x y ；③π==T x y :tan ；④

|

|2:)cos(),sin(ωπ?ω?ω=+=+=T x A y x A y ；⑤||:tan ωπω==T x y ； ⑶函数周期的判定：①定义法（试值） ②图像法 ③公式法（利用（2）中结论）

⑷与周期有关的结论：①)()(a x f a x f -=+或)0)(()2(>=-a x f a x f ?)

(x f 的周期为a 2；②)(x f y =的图象关于点)0,(),0,(b a 中心对称?)(x f 周期2b a -；

③)(x f y =的图象关于直线b x a x ==,轴对称?)(x f 周期为2b a -；

④)(x f y =的图象关于点)0,(a 中心对称，直线b x =轴对称?)(x f 周期4b a -；

8．幂、指、对的运算法则：

m n a =1m n m n

a a -=，，01a =，log 10a =，log 1a a =，lg 2lg51+=，log ln e x x =，log (0,1,0)

b a a N N b a a N =?=>≠>，log a N a N =，log log log

c a c b b a

=， log log m n a a n b b m

=。 9．基本初等函数的图像与性质 ⑴幂函数：αx y = （)R ∈α ；⑵指数函数：)1,0(≠>=a a a y x ；

⑶对数函数:)1,0(log ≠>=a a x y a ；⑷正弦函数:x y sin =；

⑸余弦函数：x y cos = ；（6）正切函数：x y tan =；⑺一元二次函数：c bx ax y ++=2； ⑻其它常用函数：①正比例函数：)0(≠=k kx y ；②反比例函数：)0(≠=k x

k y ；特别的x y 1=，函数)0(>+=a x

a x y ； 10．二次函数： ⑴解析式：①一般式：c bx ax x f ++=2)(；②顶点式：k h x a x f +-=2)()(，),(k h 为

顶点；③零点式：))(()(21x x x x a x f --= 。

⑵二次函数问题解决需考虑的因素：①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号。⑶二次函数问题解决方法：①数形结合；②分类讨论。

11．函数图象

⑴图象作法 ：①描点法（注意三角函数的五点作图）②图象变换法③导数法

⑵图象变换：

① 平移变换：ⅰ)()(a x f y x f y ±=→=，)0(>a ———左“+”右“-”；

ⅱ)0(,)()(>±=→=k k x f y x f y ———上“+”下“-”；

② 伸缩变换：

ⅰ)()(x f y x f y ω=→=， （)0>ω———纵坐标不变，横坐标伸长为原来的ω

1倍； ⅱ)()(x Af y x f y =→=， （)0>A ———横坐标不变，纵坐标伸长为原来的A 倍；

③ 对称变换：ⅰ)(x f y =??

→?)0,0()(x f y --=；ⅱ)(x f y =?→?=0

y )(x f y -=； ⅲ )(x f y =?→?=0x )(x f y -=； ⅳ)(x f y =??→

?=x y )(y f x =； ④ 翻转变换：

ⅰ|)(|)(x f y x f y =→=———右不动，右向左翻（)(x f 在y 左侧图象去掉）；

ⅱ|)(|)(x f y x f y =→=———上不动，下向上翻（|)(x f |在x 下面无图象）；

（3）函数图象（曲线）对称性的证明：

ⅰ证明函数)(x f y =图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）

的对称点仍在图像上；

ⅱ证明函数)(x f y =与)(x g y =图象的对称性，即证明)(x f y =图象上任意点关

于对称中心（对称轴）的对称点在)(x g y =的图象上，反之亦然；

注：①曲线C 1:f(x,y)=0关于点（a,b ）的对称曲线C 2方程为：f(2a －x,2b －y)=0;

②曲线C 1:f(x,y)=0关于直线x=a 的对称曲线C 2方程为：f(2a －x, y)=0;

③曲线C 1：f(x,y)=0,关于y=x+a(或y=－x+a)的对称曲线C 2的方程为f(y －a,x+a)=0(或f(－y+a,－x+a)=0);④f(a+x)=f(b －x) （x ∈R ）?→?y=f(x)图像关于直线x=2

b a +对称； 特别地：f(a+x)=f(a －x) （x ∈R ）?→?

y=f(x)图像关于直线x=a 对称； ⑤函数y=f(x －a)与y=f(b －x)的图像关于直线x=2

b a +对称； 12．函数零点的求法：⑴直接法（求0)(=x f 的根）；⑵图象法；⑶二分法.

13．函数的应用。求解数学应用题的一般步骤：①审题――认真读题，确切理解题意，

明确问题的实际背景，寻找各量之间的内存联系；②建模――通过抽象概括，将实际问

题转化为相应的数学问题，别忘了注上符合实际意义的定义域；③解模――求解所得

的数学问题；④回归――将所解得的数学结果，回归到实际问题中去。

（二）导数

14．导数： ⑴导数定义：f(x)在点x 0处的导数记作x x f x x f x f y x x x ?-?+='='

→?=)()(lim )(00000； ⑵常见函数的导数公式:

①'C 0=；②1')(-=n n nx

x ；③x x cos )(sin '=；④x x sin )(cos '-=； ⑤a a a x x ln )('=；⑥x x e e =')(；⑦a x x a ln 1)(log '=；⑧x

x 1)(ln '= 。 ⑶导数的四则运算法则：;)(;)(;)(2v v u v u v u

v u v u uv v u v u '-'=

''+'=''±'='± ⑷（理科）复合函数的导数：;x u x u y y '?'='

⑸导数的应用：

① 利用导数求切线：注意：ⅰ所给点是切点吗？ⅱ所求的是“在”还是“过”该点的

切线？

② 利用导数判断函数单调性：ⅰ )(0)(x f x f ?>'是增函数；

ⅱ )(0)(x f x f ?<'为减函数；ⅲ )(0)(x f x f ?≡'为常数；

注：反之，成立吗？求单调区间，先求定义域。

③利用导数求极值：ⅰ求导数)(x f '；ⅱ求方程0)(='x f 的根；ⅲ列表得极值。

④利用导数最大值与最小值：ⅰ求的极值；ⅱ求区间端点值（如果有）；ⅲ得最值。

⑤利用导数处理恒成立问题，证明不等式，解决实际应用问题

15．（理科）定积分 ⑴定积分的定义：)(lim )(1i n i b

a n f n

a b dx x f ξ∑?=∞→-= ⑵定积分的性质：①??=b

a

b a dx x f k dx x kf )()( （k 常数）； ②???±=±b

a b a

b a dx x f dx x f dx x f x f )()()]()([2121； ③???+=b

c b

a c a dx x f dx x f dx x f )()()( （其中)

b

c a <<。 ⑶微积分基本定理（牛顿—莱布尼兹公式）：

?-==b a b a a F b F x F dx x f )()(|)()( ⑷定积分的应用：①求曲边梯形的面积：dx x g x f S b a |)()(|?-=

； ① 求变速直线运动的路程：?=

b a dt t v S )(；③求变力做功：?=b a dx x F W )(。

（三）不等式 16．均值不等式：2

222b a b a ab +≤+≤

注意：①积定和最小，和定积最大，一正二定三相等；②变形，2

)2(

222b a b a ab +≤+≤。 17．一元二次不等式的解集（联系图象）。尤其当0?=和0?<时的解集你会正确表示吗？设0a >,,x x 是方程20ax bx c ++=的两实根，且x x <，则其解集如下表：

键．”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是…”。

注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；若按所求变量讨论，最后应求并集. 提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必用集合的形式表示；

（2）不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。

19．不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）

1).恒成立问题 若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >

若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B < 2). 能成立问题 若在区间D 上存在实数x

使不等式()A x f >成立,则等价于在区间D 上()max f x A >； 若在区间D 上存在实数

x 使不等式()B x f <成立,则等价于在区间D 上的()min f x B <.

3). 恰成立问题

若不等式()A x f >在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()A x f >的解集为D ；

若不等式()B x f <在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()B x f <的解集为D .

20．求解线性规划问题的步骤是：

（1）列约束条件；（2）作可行域，写目标函数；（3）确定目标函数的最优解。

第三部分 三角函数、三角恒等变换与解三角形

1．角的概念的推广，象限角的概念，终边相同的角的表示

⑴角度制与弧度制的互化：π弧度 180=，180

1π

= 弧度，1弧度 )180(π='1857 ≈

⑵弧长公式：R l θ=；扇形面积公式：Rl R S 21212==θ。 2．三角函数定义：角α中边上任意一点P 为),(y x ，设r OP =||则：

,cos ,sin r x r y ==ααx

y =αtan ； 3．三角函数符号规律：一全正，二正弦，三两切，四余弦；

4．同角三角函数的基本关系：x x

x x x tan cos sin ;1cos sin 22==+； 5．诱导公式记忆规律：“奇变偶不变，符号看象限”；

6．正弦函数sin ()y x x R =∈、余弦函数cos ()y x x R =∈的性质：

（1）定义域：都是R 。

（2）值域：都是[]1,1-，对sin y x =，当()22x k k Z π

π=+∈时，y 取最大值1；当

()322

x k k Z ππ=+

∈时，y 取最小值－1；对cos y x =，当()2x k k Z π=∈时，y 取最大值1，当()2x k k Z ππ=+∈时，y 取最小值－1。 特别提醒：在解含有正余弦函数的问题时，要深入挖掘正余弦函数的有界性

（3）周期性：①sin y x =、cos y x =的最小正周期都是2π；②()sin()f x A x ω?=+和()cos()f x A x ω?=+的最小正周期都是2||

T πω=。 （4）奇偶性与对称性：正弦函数sin ()y x x R =∈是奇函数，对称中心是

()(),0k k Z π∈，对称轴是直线()2

x k k Z ππ=+∈；余弦函数cos ()y x x R =∈是偶函数，对称中心是(),02k k Z ππ?

?+∈ ???

，对称轴是直线()x k k Z π=∈（正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x 轴的直线，对称中心为图象与x 轴的交点） （5）单调性：()sin 2,222y x k k k Z π

πππ?

?=-+∈????

在上单调递增，在()32,222k k k Z ππππ??++∈???

?单调递减；cos y x =在[]()2,2k k k Z πππ+∈上单调递减，在[]()2,22k k k Z ππππ++∈上单调递增。特别提醒，别忘了k Z ∈！

正切函数tan y x =的图象和性质：

（1）定义域：{|,}2x x k k Z π

π≠+∈。遇到有关正切函数问题时，注意正切函数的定义域

（2）值域是R ，在上面定义域上无最大值也无最小值；

（3）周期性：是周期函数且周期是π，它与直线y a =的两个相邻交点之间的距离是

一个周期π。绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析

式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．

（4）奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是,02k π??

???

()k Z ∈， 特别提醒：正(余)切型函数的对称中心有两类：一类是图象与x 轴的交点，另一类是渐近线与x 轴的交点，但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处。

（5）单调性：正切函数在开区间(),22k k k Z ππππ??-++∈ ???内都是增函数 函数sin()y A x ω?=+性质：类比于研究sin y x =的性质，只需将sin()

y A x ω?=+中的x ω?+看成sin y x =中的x ，但在求sin()y A x ω?=+的单调区间时，要特别注

意A 和ω的符号，通过诱导公式先将ω化正。

7．两角和与差的正弦、余弦、正切公式：①;sin cos cos sin )sin(βαβαβα±=±

②;sin sin cos cos )cos(βαβαβα =±③βαβαβαtan tan 1tan tan )tan( ±=

± 。 8．二倍角公式：①αααcos sin 22sin =；

②ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=；③α

αα2tan 1tan 22tan -=。 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。

注：（1

）()sin cos a x b x x θ+=

+(其中θ角所在的象限由a , b 的符号确定，θ角的值由tan b a

θ=确定)在求最值、化简时起着重要作用。 （2）了解几个重要恒等式（和积互化公式） 9．正、余弦定理⑴正弦定理

R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 2是ABC ?外接圆直径） 注：①C B A c b a sin :sin :sin ::=；②C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===；

⑵余弦定理：A bc c b a cos 22

22-+=等三个；注：bc a c b A 2cos 2

22-+=等三个。 ③C

B A c b a

C c B b A a sin sin sin sin sin sin ++++===。 特别提醒：（1）求解三角形中的问题时，一定要注意A B C π++=这个特殊性：,sin()sin ,sin

cos 22A B C A B C A B C π++=-+==； （2）求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角

互化。

10。几个公式:⑴三角形面积公式：

))(21(,))()((sin 2

121c b a p c p b p a p p C ab ah S ABC ++=---===?； ⑵内切圆半径r=c b a S ABC ++?2；外接圆直径2R=;sin sin sin C

c B b A a == 11．已知A b a ,,时三角形解的个数的判定：

A

其中h=bsinA,⑴A 为锐角时：①ab 时，一解（锐角）。

第四部分 平面向量

1．向量有关概念：

（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段（向量可以平移）。

（2）零向量：注意零向量的方向是任意的；（3）单位向量（4）相等向量：

（5）平行向量（也叫共线向量）：规定零向量和任何向量平行。（6）相反向量

2．平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使a =1λe 1＋2λe 2。

3．实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，它的长度和方向规定如下：()()1,2a a λλ=当λ>0时，λ的方向与的方向相同，当λ<0时，λ的方向与的方向相反，当λ＝0时，0a λ=，注意：λ≠0。

4．向量的线性运算

①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设,AB a BC b ==，那么向量AC 叫做a 与b 的和，即a b AB BC AC +=+=；

②向量的减法：用“三角形法则”：设,,AB a AC b a b AB AC CA ==-=-=那么，由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。

5．平面向量的数量积： （1）两个向量的夹角：对于非零向量，，作,OA a OB b ==，AOB θ∠=

()0θπ≤≤称为向量，的夹角，当θ＝0时，，同向，当θ＝π时，，反向，当θ＝2

π时，，垂直。 （2）平面向量的数量积：如果两个非零向量，，它们的夹角为θ，我们把数量||||cos a b θ叫做与的数量积（或内积或点积），记作：?，即?＝cos a b θ。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。

（3）在上的投影为||cos b θ，它是一个实数，但不一定大于0。

（4）?的几何意义：数量积?等于的模||a 与在上的投影的积。

（5）向量数量积的性质：设两个非零向量，，其夹角为θ，则： ①0a b a b ⊥??=；

②当，同向时，?＝a b ，特别地，222,a a a a a a =?==；当与反向时，?＝－a b ；当θ为锐角时，?＞0，且 a b 、

不同向，0a b ?>是θ为锐角的必要非充分条件；当θ为钝角时，?＜0，且 a b 、

不反向，0a b ?<是θ为钝角的必要非充分条件；

③非零向量a ，b 夹角θ的计算公式：cos a b

a b θ?=；④||||||a b a b ?≤。

6．向量的坐标运算：设1122(,),(,)a x y b x y ==，则：

①向量的加减法运算：12(a b x x ±=±，12)y y ±。

②实数与向量的积：()()1111,,a x y x y λλλλ==。

③若1122(,),(,)A x y B x y ，则()2121,AB x x y y =--，即一个向量的坐标等于表示这个

向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。

④平面向量数量积：1212a b x x y y ?=+。

⑤向量的模：2

22222||,||a x y a a x y =+==+。 ⑥两点间的距离：若()()1122,,,A x y B x y ，则()(212||AB x x y =-+-

⑦向量平行(共线)的充要条件：//a b a b λ?=22()(||||)a b a b ??=1212x y y x ?-＝0。

⑧向量垂直的充要条件：0||||a b a b a b a b ⊥??=?+=- 12120x x y y ?+=.特别地()()AB

AC

AB

AC

AB AC AB AC +⊥-

7．向量的运算律：（1）交换律：a b b a +=+，()

()a a λμλμ=，a b b a ?=?；

(2)结合律：()(),a b c a b c a b c a b c ++=++--=-+，()()()a b a b a b λλλ?=?=?；

（3）分配律：()(),a a a a b a b λμλμλλλ+=++=+，()a b c a c b c +?=?+?。 提醒：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即)()(?≠?

8．向量中一些常用的结论：

（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；

（2）||||||||||||a b a b a b -≤±≤+，特别地，当 a b 、同向或有0?||||||a b a b +=+ ≥||||||||a b a b -=-；当 a b 、

反向或有0?||||||a b a b -=+≥||||||||a b a b -=+；当 a b 、不共线?||||||||||||a b a b a b -<±<+(这些和实数比较类似).

（3）在ABC ?中，①若()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，则其重心的坐标为

123123,33x x x y y y G ++++?? ???

。 ②1()3

PG PA PB PC =++?G 为ABC ?的重心，特别地0PA PB PC P ++=?为ABC ?的重心；

③PA PB PB PC PC PA P ?=?=??为ABC ?的垂心；

④向量()(0)||||

AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ?的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；

（4）向量 PA PB PC 、、中三终点A

B C 、、共线?存在实数αβ、使得PA PB PC αβ=+且1αβ+=.

附：（理科）P ，A ，B ，C 四点共面?)1z y x (=++++=且OC z OB y OA x OP 。

第五部分 数列

1．数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n ｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。

2．等差数列的有关概念：

（1）等差数列的判断方法：定义法1(n n a a d d +-=为常数）或11(2)n n n n a a a a n +--=-≥。

（2）等差数列的通项：1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-。

（3）等差数列的前n 和：1()2n n n a a S +=，1(1)2

n n n S na d -=+。 （4）等差中项：若,,a A b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且2a b A +=

3．等比数列的有关概念：

（1）等比数列的判断方法：定义法1(n n a q q a +=为常数），其中0,0n q a ≠≠或11

n n n n a a a a +-= (2)n ≥。

（2）等比数列的通项：11n n a a q -=或n m n m a a q -=。

（3）等比数列的前n 和：当1q =时，1n S na =；当1q ≠时，1(1)1n n a q S q

-=- 11n a a q q

-=-。 特别提醒：等比数列前n 项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n 项和时，首先要判断公比q 是否为1，再由q 的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q 是否为1时，要对q 分1q =和1q ≠两种情形讨论求解。

（4）等比中项：若,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等比中项。

提醒

：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个4．等差数列的性质：

（1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一

次函数，且斜率为公差d ；前n 和211(1)()222

n n n d d S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0.

（2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差

0d =，则为常数列。

（3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有

2m n p a a a +=.

（4）若{}n a 、{}n b 是等差数列，则{}n ka 、{}n n ka pb + (k 、p 是非零常数)、

*{}(,)p nq a p q N +∈、232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列，而{}n a a 成等比数列；若{}n a 是等比数列，且0n a >，则{lg }n a 是等差数列.

（5）在等差数列{}n a 中，当项数为偶数2n 时，S S nd =偶奇－；项数为奇数21n -时，S S a -=奇偶中，21(21)n S n a -=-?中（这里a 中即n a ）；:(1):奇偶S S k k =+。

（6）若等差数列{}n a 、{}n b 的前n 和分别为n A 、n B ，且()n n

A f n

B =，则2121

(21)(21)(21)n n n n n n a n a A f n b n b B ---===--. （7）“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和；“首负”

的递增等差数列中，前n 项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组

???

? ?????≥≤???≤≥++000011n n n n a a a a 或确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前n 项是关于n 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性*

n N ∈。

(8)如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，

且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数.

注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究n m a b =.

5．等比数列的性质：

（1）当m n p q +=+时，则有m n p q a a a a =，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a =.

(2) 若{}n a 是等比数列，则{||}n a 、*{}(,)p nq a p q N +∈、{}n ka 成等比数列；若

{}{}n n a b 、成等比数列，则{}n n a b 、{}n n

a b 成等比数列； 若{}n a 是等比数列，且公比1q ≠-，则数列232,,n n n n n S S S S S -- ，…也是等比数列。当1q =-，且n 为偶数时，数列232,,n n n n n S S S S S -- ，…是常数数列0，它不是等比数列.

(3)若10,1a q >>，则{}n a 为递增数列；若10,1a q <>, 则{}n a 为递减数列；若

10,01a q ><< ，则{}n a 为递减数列；若10,01a q <<<, 则{}n a 为递增数列；若0q <，则{}n a 为摆动数列；若1q =，则{}n a 为常数列.

(4) 当1q ≠时，b aq q

a q q a S n n n +=-+--=1111，这里0a

b +=，但0,0a b ≠≠，这是等比数列前n 项和公式的一个特征，据此很容易根据n S ，判断数列{}n a 是否为等比数列。

(5) m n m n m n n m S S q S S q S +=+=+

(6) 在等比数列{}n a 中，当项数为偶数2n 时，S qS =偶奇；项数为奇数21n -时，

1S a qS =+奇偶.

(7)如果数列{}n a 既成等差数列又成等比数列，那么数列{}n a 是非零常数数列，故常数

数列{}n a 仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。

6．数列通项的求法：

⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。

⑵已知n S （即12()n a a a f n ++

+=）求n a ，用作差法：{11,(1),(2)n n n S n a S S n -==-≥。 已知12()n a a a f n =求n a ，用作商法：(1),(1)(),(2)(1)

n f n f n a n f n =??=?≥?-?。

⑶已知条件中既有n S 还有n a ，有时先求n S ，再求n a ；有时也可直接求n a 。

⑷若1()n n a a f n +-=求n a 用累加法：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++-

1a +(2)n ≥。 ⑸已知1()n n a f n a +=求n a ，用累乘法：121121

n n n n n a a a a a a a a ---=????(2)n ≥。 ⑹已知递推关系求n a ，用构造法（构造等差、等比数列）。

特别地，（1）形如1n n a ka b -=+、1n n n a ka b -=+（,k b 为常数）的递推数列都可

以用待定系数法转化为公比为k 的等比数列后，再求n a ；形如1n n n a ka k -=+的递

推数列都可以除以n k 得到一个等差数列后，再求n a 。

（2）形如11n n n a a ka b

--=+的递推数列都可以用倒数法求通项。 （3）形如1k n n a a +=的递推数列都可以用对数法求通项。

（7）（理科）数学归纳法。

（8）当遇到q a a d a a n n n n ==--+-+1

111或时，分奇数项偶数项讨论，结果可能是分段形式。

7．数列求和的常用方法：

（1）公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式。

（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合

并在一起，再运用公式法求和。

（3）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数

相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n 和公式的推导方法）.

（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相

乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n 和公式的推导方法）.

（5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：

①

111(1)1n n n n =-++； ②1111()()n n k k n n k

=-++； ③2211111()1211

k k k k <=---+，211111111(1)(1)1k k k k k k k k k -=<<=-++--； ④1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++

；⑤

11(1)!!(1)!

n n n n

=-++；

⑥=<<=

第六部分 复数 1．概念：

⑴z=a+bi ∈R ?b=0 (a,b ∈R)?z=z ? z 2≥0；

⑵z=a+bi 是虚数?b ≠0(a,b ∈R)；

⑶z=a+bi 是纯虚数?a=0且b ≠0(a,b ∈R)?z ＋z ＝0（z ≠0）?z 2<0；

⑷a+bi=c+di ?a=c 且c=d(a,b,c,d ∈R)；

2．复数的代数形式及其运算：设z 1= a + bi , z 2 = c + di (a,b,c,d ∈R)，则：

（1） z 1± z 2 = (a + b) ± (c + d)i ；⑵ z 1.z 2 = (a+bi)·(c+di)＝（ac-bd ）+ (ad+bc)i ；⑶

z 1÷z 2 ==-+-+))(())((di c di c di c bi a i d c ad bc d c bd ac 2

222+-+++ (z 2≠0) ; 3．几个重要的结论： 222221221221)2();(2)1(z z z z z z z z z z ==?+=-++；⑶i i 2)1(2±=±；⑷

;11;11i i i i i i -=+-=-+ ⑸i 性质：T=4；i i i i i i n n n n -=-===+++3424144,1,,1；;03424144=++++++n n n i i i i

（6）i 2

321±-=ω 以3为周期，且1,,1320===ωωωω；21ωω++=0； （7）z z z z z 111=

?=?=。 4．运算律：（1）);,())(3(;))(2(;2121N n m z z z z z z z z z m m m mn n m n m n m ∈=?==?+

5．共轭的性质：⑴2121)(z z z z ±=± ；⑵2121z z z z ?= ；⑶2121)(

z z z z = ；⑷ z z =。 6．模的性质：⑴||||||||||||212121z z z z z z +≤±≤-；⑵||||||2121z z z z =；⑶

|

|||||2121z z z z =；⑷n n z z ||||=； 第七部分 算法初步

1．程序框图：

⑴图形符号：

①终端框（起止况）输入、输出框；⑥连接点。

③

处理框（执行框）；④ 判断框；⑤ 流程线 ；

⑵程序框图分类:

①顺序结构：

注：循环结构分为：Ⅰ．当型（while型）——先判断条件，再执行循环体；

Ⅱ．直到型（until型）——先执行一次循环体，再判断条件。

2．基本算法语句：

⑴输入语句： INPUT “提示内容”；变量；输出语句：PRINT “提示内容”；表达式

赋值语句：变量=表达式

⑵条件语句：①②

IF 条件 THEN IF 条件 THEN

语句体语句体1

END IF ELSE

语句体2

END IF

⑶循环语句：①当型：②直到型:

WHILE 条件 DO

循环体循环体

WEND LOOP UNTIL 条件

3．算法案例：

⑴辗转相除法与更相减损法-----求两个正整数的最大公约数；

⑵秦九韶算法------求多项式的值；

⑶进位制----------各进制数之间的互化。

第八部分推理与证明

1．推理：

⑴合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过观察、分析、比较、联想，在进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们称为合情推理。

①归纳推理：由某类食物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理，简称归纳。

注：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。

②类比推理：由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理，简称类比。

注：类比推理是特殊到特殊的推理。

⑵演绎推理：从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理叫演绎推理。注：演绎推理是由一般到特殊的推理。

“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：⑴大前提---------已知的一般结论；⑵小前提---------所研究的特殊情况；⑶结论---------根据一般原理，对特殊情况得出的判断。

二．证明

⒈直接证明

⑴综合法

一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺推法或由因导果法。

⑵分析法

一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、定理、公理等），这种证明的方法叫分析法。分析法又叫逆推证法或执果索因法。

2．间接证明------反证法

一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法。

附：数学归纳法（仅限理科）

一般的证明一个与正整数n 有关的一个命题，可按以下步骤进行：

⑴证明当n 取第一个值0n 是命题成立；

⑵假设当),(0*∈≥=N k n k k n 命题成立，证明当1+=k n 时命题也成立。

那么由⑴⑵就可以判定命题对从0n 开始所有的正整数都成立。

注：①数学归纳法的两个步骤缺一不可，用数学归纳法证明问题时必须严格按步骤进行； 0n 的取值视题目而定，可能是1，也可能是2等。

第九部分 概率、统计

1．抽样方法

⑴简单随机抽样：常用的简单随机抽样方法有：抽签法；随机数法。

⑵系统抽样：当总体个数较多时，可将总体均衡的分成几个部分，然后按照预先制定的

规则，从每一个部分抽取一个个体，得到所需样本，这种抽样方法叫系统抽样。

注：步骤：①编号；②分段；③在第一段采用简单随机抽样方法确定其时个体编号l ；

④按预先制定的规则抽取样本。

⑶分层抽样：当已知总体有差异比较明显的几部分组成时，为使样本更充分的反映总体的情况，将总体分成几部分，然后按照各部分占总体的比例进行抽样，这种抽样叫分层抽样。 注：每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数?N

n 2．总体分布的估计：用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法，即用样本平均数估计总体平均数（即总体期望值――描述一个总体的平均水平）；用样本方差估计总体方差（方差和标准差是描述一个样本和总体的波动大小的特征数，方差或标准差越小，表示这个样本或总体的波动越小，即越稳定）。一般地，样本容量越大，这种估计就越精确。总体估计要掌握：(1)“表”(频率分布表)；（2）“图”(频率分布直方图)。

提醒：直方图的纵轴(小矩形的高)一般是频率除以组距的商(而不是频率)，横轴一般是

数据的大小，

小矩形的面积表示频率。

3．总体特征数的估计：

⑴样本平均数∑==+???++=n i i n x n x x x n x 1

211)(1； ⑵样本方差])()()[(1222212x x x x x x n S n -+???+-+-=21

)(1x x n n i i -=∑= ； ⑶样本标准差])()()[(122221x x x x x x n S n -+???+-+-==21

)(1x x n n i i -∑= ；

4．相关系数（判定两个变量线性相关性）：∑∑∑===----=n i n i i i n i i i y y x x

y y x x r 11

221)()()

)(( 注：⑴r >0时，变量y x ,正相关；r <0时，变量y x ,负相关；

⑵①||r 越接近于1，两个变量的线性相关性越强；②||r 接近于0时，两个变量之

间几乎不存在线性相关关系。

5．独立性检验： 随机变量2

2

()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 注：2K 越大，说明两个分类变量，关系越强，反之，越弱。

6．概率：

（1）随机事件A 的概率0()1P A ≤≤，其中当()1P A =时称为必然事件；当()0

P A =时称为不可能事件P(A)=0；

（2）古典概型：基本事件的总数

包含的基本事件的个数A A P =)( （3）几何概型：等）区域长度（面积或体积试验的全部结果构成的积等）的区域长度（面积或体构成事件A A P =

)( ； （4）互斥事件（有一个发生）概率公式：P(A+B)=P(A)+P(B)；

第十部分 立体几何

1． 三视图与直观图：

（1） 三视图：长对正，宽相等，高平齐

（2） 直观图：（斜二侧画法规则）已知图形中平行于x 轴和z 轴的线段，在直观图中

保持长度和平行性不变，平行于y 轴的线段平行性不变，但在直观图中其长度

为原来的一半。

注：原图形与直观图面积之比为1:22。

2．表（侧）面积与体积公式：

⑴柱体：①表面积：S=S 侧+2S 底；②侧面积：S 侧=rh π2；③体积：V=S 底h

⑵锥体：①表面积：S=S 侧+S 底；②侧面积：S 侧=rl π；③体积：V=

31S 底h ： ⑶台体：①表面积：S=S 侧+S 上底 + S 下底；②侧面积：S 侧=l r r )('+π；

③体积：V=3

1（S+''S SS +）h ；

⑷球体：①表面积：S=24R π；②体积：V=3

34R π 。

3．位置关系的证明（主要方法）：

⑴直线与直线平行：①公理4；②线面平行的性质定理；③面面平行的性质定理。

⑵直线与平面平行：①线面平行的判定定理；②面面平行?线面平行。

⑶平面与平面平行：①面面平行的判定定理及推论；②垂直于同一直线的两平面平行。

⑷直线与平面垂直：①直线与平面垂直的判定定理；②面面垂直的性质定理。

⑸平面与平面垂直：①定义---两平面所成二面角为直角；②面面垂直的判定定理。

注：理科还可用向量法。

立体几何中平行、垂直关系证明的思路，主要利用线面关系的转化： 线∥线线∥面面∥面

判定线⊥线线⊥面面⊥面性质线∥线线⊥面面∥面←→?←→??→??←→?←→?←?

??←→?←→? （1） 线面平行的判定：

a b b a a ∥，面，∥面???ααα

线面平行的性质：

αααβαβ∥面，面，∥?=? b a b

（2）线面垂直的判定： a b a c b c b c O a ⊥，⊥，，，⊥?=?αα

线面垂直的性质：

a b a b ⊥面，⊥面∥αα?

（3）面面垂直的判定：

a a ⊥面，面⊥αββα?? 面面垂直的性质：

面⊥面，，，⊥⊥αβαβαβ =??l l a a a

注：证明过程中，定理条件必须叙述完整

4.结论：

（1）从一点O 出发的三条射线OA 、OB 、OC ，若∠AOB=∠AOC ，则点A 在平面∠

BOC 上的射影在∠BOC 的平分线上；

（2）长方体的性质①长方体体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为,,,γβα则：

cos 2α+cos 2β+cos 2γ=1；sin 2α+sin 2β+sin 2γ=2 。

②长方体体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为,,,γβα则

有cos 2α+cos 2β+cos 2γ=2；sin 2α+sin 2β+sin 2γ=1 。 a

O

α b c a b α α a l

β a b α

（3）正四面体的性质：设棱长为a ，则正四面体的：高：a h 36=；②对棱间距离：a 2

2； ③相邻两面所成角余弦值：3

1；④内切球半径：a 126；外接球半径：a 46； 第十一部分 解析几何

（一）直线与圆

1．直线的倾斜角和斜率

直线的倾斜角：（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l 重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。当直线l 与x 轴重合或平行时，规定倾斜角为0；

（2）倾斜角的范围[0,)π。

直线的斜率：

（1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ，即k ＝tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；

（2）斜率公式：经过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线的斜率为()212

121x x x x y y k ≠--= 2．直线方程⑴点斜式：)( x x k y y -=- ；⑵斜截式：b kx y += ；⑶截距式：

1=+b

y a x ；⑷两点式：121121x x x x y y y y --=-- ；⑸一般式：0=++C By Ax ，（A ，B 不全为0）。（直线的方向向量：（),A B -，法向量（),B A

提醒：(1)直线方程的各种形式都有局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线，还有截距式）；(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等?直线的斜率为-1或直线过原点；直线两截距互为相反数?直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等?直线的斜率为1±或直线过原点。

3．两条直线的位置关系：

4

（1）知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+；

（2）知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(它不适用于斜率为0的直线)；

（3）知直线过点00(,)x y ，当斜率k 存在时，常设其方程为00()y k x x y =-+，当斜

率k 不存在时，则其方程为0x x =；

（4）与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为10Ax By C ++=；

（5）与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为10Bx Ay C -+=.

提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解。

5．点到直线的距离及两平行直线间的距离：

（1）点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=

的距离d =；

（2）两平行线1122:0,:0l Ax By C l Ax By C ++=++=

间的距离为d =

。 6．圆的方程：⑴标准方程：①222)()(r b y a x =-+- ；②222r y x =+ 。

⑵一般方程：022=++++F Ey Dx y x （)0422>-+F E D

⑶圆的参数方程：{cos sin x a r y b r θθ=+=+（θ为参数），其中圆心为(,)a b ，半

径为r 。

特别提醒：Ax 2+Bxy+Cy 2+Dx+Ey+F=0表示圆?A=C ≠0且B=0且D 2+E 2－4AF>0；

7．圆的方程的求法：⑴待定系数法；⑵几何法；⑶圆系法。

8．圆系：⑴)1(,0)(2222211122-≠=+++++++++λλF y E x D y x F y E x D y x ； 注：当1-=λ时表示两圆交线。

⑵)1(,0)(2

2-≠=+++++++λλC By Ax F Ey Dx y x 。

9．点、直线与圆的位置关系：（主要掌握几何法）

⑴点与圆的位置关系：（d 表示点到圆心的距离）

①?=R d 点在圆上；②?R d 点在圆外。

⑵直线与圆的位置关系：（d 表示圆心到直线的距离）

①?=R d 相切；②?R d 相离。

⑶圆与圆的位置关系：（d 表示圆心距，r R ,表示两圆半径，且r R >）

①?+>r R d 相离；②?+=r R d 外切；③?+<<-r R d r R 相交；

④?-=r R d 内切；⑤?-<

10．与圆有关的结论：

（1）以A(x 1，y 2)、B(x 2,y 2)为直径的圆的方程：(x －x 1)(x －x 2)+(y －y 1)(y －y 2)=0。

（2）过x 2+y 2=r 2上的点M(x 0,y 0)的切线方程为：x 0x+y 0y=r 2；

过圆(x -a)2+(y -b)2=r 2上的点M(x 0,y 0)的切线方程为：(x 0-a)(x -a)+(y 0-b)(y -b)=r 2；

（3）从圆外一点引圆的切线一定有两条，可先设切线方程，再根据相切的条件，运用几何方法（抓住圆心到直线的距离等于半径）来求；过两切点的直线（即“切点弦”）方程的求法：先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的圆，该圆与已知圆的公共弦就是过两切点的直线方程；

（4）切线长：过圆220x y Dx Ey F ++++=（222()()x a y b R -+-=）外一点00(,)P x y

；