北师大附中高二期末考试(含详细答案和评分标准)

高二上学期期末考试数学备考试题

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的答案的编号用铅笔涂在答题卡上．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 1．若a b >且c ∈R ，则下列不等式中一定成立的是（ ）

A ．22a b >

B ．ac bc >

C ．22

ac bc > D ．a c b c ->- 2．在ABC V

中，1a =

，b =30A =o

，则B 等于（ ）

A ．60°

B ．60°或120°

C ．30°或150°

D ．120° 3．在数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，……中，第25项为（ ）

A ．25

B ．6

C ．7

D ．8

4．设:0p m ≤，q ：关于x 的方程2

0x x m +-=有实数根，则p ?是q 的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

5．若抛物线2

2y px =的焦点与椭圆22

162

x y +=的右焦点重合，则实数p 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4

6．若椭圆22

15x y m

+=

的离心率5e =，则实数m 的值为（ ）

A ．3

B ．3或253 C

D

3

7．底面是矩形的四棱柱1111ABCD A B C D -中，1114,3,5,60AB AD AA BAA DAA ===∠=∠=o

，则

1AC =（ ）

A

B

C

D

8．设x 、y 满足约束条件1

122

x y x y x y +??

--??-?

≥≥≤，若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值是7，则34a b +的

最

小值是（ ）

A ．4 B

．

77+ C ．24

7

D ．7

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．．．．．．．．．

． 9．过抛物线2

8y x =的焦点作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为 ． 10．等比数列{}n a 中，37a =，前三项之和321S =，则公比q 的值为 ．

11．若不等式2

20ax bx ++>的解集是1123x x ?

?

-

<

为()0,2，则双曲线的标准方程是 ． 13．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，11AA =，

则1BC 与平面11BB D D 所成角的正弦值为 ． 14．已知以点F 为焦点的抛物线2

4y x =上的两点A 、B 满足3AF FB =u u u r u u u r ，

则弦AB 的中点到准线的距离为 ．

1

A

1B

1C 1D

A

C D

三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明或演算步骤．

15．（本小题满分12分）双曲线与椭圆在x 轴上有公共焦点，它们的离心率是方程2

2520x x -+=的两根，

若椭圆焦距为4． （1）求椭圆的标准方程； （2）求双曲线的渐近线方程．

16．（本小题满分12分）已知数列{}n a 是等差数列，且12a =，12312a a a ++=．

（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令()

3n n n b a n *=?∈N ，求数列{}n b 的前n 项和的公式．

17．（本小题满分14分）已知ABC V 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且2a =，3cos 5

B =． （1）若4b =，求sin A 的值； （2）若AB

C V 的面积为4，求b 、c 的值．

18．（本题满分14分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，3AD =，12AA =，E 、F 分别 是线段AB 、BC 上的点，且1EB FB ==，以点A 为原点，1,,AB AD AA u u u r u u u r u u u r

分别为x 、y 、z 轴建立空

间

直角坐标系，用向量法．．．解决下列问题． （1）求二面角1C ED C --的正切值；

1D

1A

（2）求直线1EC 与1FD 所成角的余弦值．

19．（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，点()1,0A 、()1,0B -，已知CA =，BC 的垂直平 分线l 交线段AC 于点D ，当点C 在坐标平面运动时，点D 的轨迹图形设为E ． （1）求轨迹图形E 的标准方程；

（2）点P 为轨迹图形E 上一动点，点O 为坐标原点，设2

2

1PA PO λ=+，求实数λ的最大值．

20．（本小题满分14分）在数列{}n a 中，12a =，对于任意的,p q *

∈N ，有p q p q a a a +=+．

（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足：()()1

312423412121212121

n n n n

b b b b b a n -*=-+-++-∈+++++N L ，求数列{}n b 的通项公式；

（3）在（2）的条件下，设(

)3n

n n C b n λ*

=+∈N

，是否存在实数λ，当n *

∈N

时，1n n C C +>恒成

立？若存在，求实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由．

参考答案及评分标准

一、选择题：（8×5′ = 40′）

二、填空题：（6×5′ = 30′）

9．16 10．1或12

- 11．10- 12．22144y x -= 13．5 14．8

3

三、解答题：（80′） 15．（本小题满分12分）

解：（1）由2

2520x x -+=得11

2

x =，22x =………………………………………………………2分 ∴1

2

e =

椭，2e =双……………………………………………………………………………3分 设椭圆方程为()22

2210x y a b a b

+=>>，双曲线方程为()222210,0x y m n m n -=>>

它们的焦点为(),0c ±，且22222

4a b m n c -=+==……………………………………5分

∵1

2c e a =

=椭∴4a =………………………………………………………………………6分 ∴222

16412b a c =-=-= ………………………………………………………………7分

∴椭圆方程为

22

11612x y += …………………………………………………………………8分 （2）由（1）知2c

e m

==双，且2c = ∴1m =……………………………………………9分 ∴222

413n c m =-=-=…………………………………………………………………10分

∴双曲线方程为22

13

y x -=………………………………………………………………11分

0y ±=……………………………………………………12分 16．（本小题满分12分） 解：（1）∵12a =，12312a a a ++=

∴13312a d +=………………………………………………………………………………3分 ∴2d =………………………………………………………………………………………4分 ∴()2122n a n n =+-?= …………………………………………………………………6分

（2）由已知：23n

n b n =?…………………………………………………………………………7分 ∵2323436323n

n S n =?+?+?++?L ①………………………………………8分

2341

323436323n n S n +=?+?+?++?L ②………………………………………9分

①—②得 231

22323232323n n n S n +-=?+?+?++?-?L …………………………10分

()

16132313

n n n +-=

-?-…………………………………………………11分

∴1

113331332

22n n n n S n n +++-??

=

+?=+-? ???

……………………………………………12分

17．（本小题满分14分）

解：（1）∵3

cos 05

B =>，且0B π<<

∴4sin 5

B == ………………………………………………………………2分

由正弦定理得sin sin a b

A B

=………………………………………………………………4分 42sin 25sin 45a B A b ?

===………………………………………………………………6分 （2）∵1

sin 42

ABC S ac B ==V …………………………………………………………………8分

∴14

2425

c ???= ∴5c =………………………………………………………10分

由余弦定理得222

2cos b a c ac B =+-

∴b =

==………………………14分

18．（本小题满分14分）

解：（1）以A 为原点，1,,AB AD AA u u u r u u u r u u u r

分别为x 、y 、z 轴的正向建立空间直角坐标系，则有

()()()()()110,3,0,0,3,2,3,0,0,4,1,0,4,3,2D D E F C ……………………………2分

于是，()3,3,0DE =-u u u r ，()11,3,2EC =u u u u r ，()14,2,2FD =-u u u u r

…………………………3分

设向量(),,n x y z =r

与平面1C DE 垂直，则有

133013202n DE x y x y z x y z n EC ?⊥-=??

??==-??

++=⊥???

r u u u r r u u u u r 令2z =，则1x y ==-∴()1,1,2n =--r

………………………………………………5分

∵向量()10,0,2AA =u u u r

与平面CDE 垂直

∴n r 与1AA u u u r

所成的角θ为二面角1C DE C --的平面角 ………………………………6分

∵11

cos 3n AA n AA θ?==

=?r u u u r r u u u r …………………………………8分

∴tan 2

θ=

………………………………………………………………………………9分

∴二面角1C DE C --

的正切值为2

…………………………………………………10分 （2）设1EC 与1FD 所成角为β，则

1111143222cos EC FD EC FD β?-+?+??==

=?u u u u r u u u u r

u u u u r u u u u r …………………12分

所以直线1EC 与1FD …………………………………………14分

19．（本小题满分14分）

解：（1）设(),D x y

∵l 是BC 的垂直分线∴DB DC =

∴2DB DA AC AB +==>=

∴D 点的轨迹图形E 是以A 、B 为焦点的椭圆，其中21a c ==………………5分

∴D 点的轨迹方程E ：2

212

x y +=………………………………………………………7分

（2）设()

,P x y ，x ?∈?，则2

22

PO x y =+……………………………………8分

()2

2

2

1PA x y =-+………………………………………………………………………9分

()2

2

2222

222222

111221PA x y x x y x

x y x y x y PO

λ--+--+=

=

==-+++………………………10分

点(),P x y 满足2212x y += ∴22

12x y =- ………………………………………11分 222411212

x x

x x λ=-=-++………………………………………………………………12分 当0x ≥时，1λ≤

当0x <时，设t x =-，则(

t ∈，244

1122t t t t

λ=+=+++

………………13分

∵2

t t

+≥ ∴1λ+≤

当且仅当t =

，即x =λ取得最大值1+……………………………14分

20．（本小题满分14分）

解：（1）取,1p n q ==，则112n n n a a a a +=+=+ ∴()

12n n a a n *

+-=∈N

∴{}n a 是公差为2、首项为2的等差数列 ∴2n a n =……………………………4分 （2）∵

()()1

31241234112121212121

n n n n b b b b b a n --+-++-=+++++L ≥ ①

∴()()2

31124112341122121212121

n n n n b b b b b a n -----+-++-=+++++L ≥ ② ①—②得：()()112221n n n

b n --=+≥ ∴()()()11

1222n n n b n -+=-+≥…………6分 当1n =时，113b a = ∴16b =，满足上式 ∴()()()11122n n n b n -+*

=-+∈N ……8分

（3）()()1

13122n n n n C λ-+=+-+?，假设存在λ，使()1n n C C n *+>∈N

即()()()

()1

1

21

3

122312

2n n n n n n λλ-++++-+?>+-+?

()

()()

()1

2

1

112

212

23323n

n n n n n n λ-+++???-+--+?>-=-??

?

()

()1

132

423n

n n λ+?-?+?>-?…………………………………………………………9分

当n 为正偶数时，()

132423n n λ+?+?>-?恒成立

∴max

max 31322213233n n n

n

λ??

??

??

??>-=- ????+???????+???

? ??????

? ∵22

max 11914212132323333n n ??

??

??-=-=-??????????

?+??+???

? ? ? ??????????

? ∴914λ>-…………11分 当n 为正奇数时，()

132423n n λ+-?+?>-?恒成立

∴min

min 31322213233n n n

n

λ??

??

??

??<= ????+???????+???

? ???

???? ∵11

min 1138212132323333n n ??

??

??==??????????

?+??+???

? ? ? ???

???????? ∴38λ<………………………13分 综上所述，存在实数93,148λ??∈- ???

，使n *

∈N 时，1n n C C +>恒成立…………………14分