2019年江苏省天一中学高三年级十二月份调研考试 数学试题含答案

2019年江苏省天一中学十二月份调研考试高三数学（Ⅰ）试题2019.12

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上

．．．．．．．．．

1. 设全集{|5,*}

U x x x N

=<∈，集合{1

A=，3}，{3

B=，4}，则()

U

C A B=_____.

2. 已知i是虚数单位，若复数(12)()

z i a i

=++的实部与虚部相等，则实数a的值为．

3. 函数2

()log(1)

f x x

=-的定义域为_____.

4. 从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，则甲、乙两人中有且只一个被选取的概率为．

5. 对一批产品的质量（单位：克）进行抽样检测，样本容量为800，检测结果的频率分布直方图如图所示．根据标准，单件产品质量在区间[25，30)内为一等品，在区间[20，25)和[30，35)内为二等品，其余为次品．则样本中次品件数为．

6. 如图是一个算法流程图，则输出的b的值为．

7.若抛物线22y px =(0)p >的焦点恰好是双曲线224

51x y

-=的右焦点，则p =____．

8. 已知函数())cos(2)(0)f x x x ???π=+-+<<是定义在R 上的奇函数，则()8

f π-的值为 ．

9. 已知数列{}n a 与2{}n

a n

均为等差数列(*)n N ∈，且12a =，则10a = ．

10. 如图，在ABC ?中，4AB =，2AC =，60BAC ∠=?，已知点E ，F 分别是边AB ，AC 的中点，点D 在边BC 上，若134

DE DF =，则线段BD 的长为 ．

11. 已知点(3,0)A -，(1,2)B --，若圆222(2)(0)x y r r -+=>上恰有两点M ，N ，使得MAB ?和NAB ?的面积均为4，则r 的取值范围是 ．

12. 已知函数2()234x a a x f x x x lnx e e --=--++，其中e 为自然对数的底数，若存在实数0x 使0()3f x =成立，则实数a 的值为 ．

13.已知函数3

2ln ,0

(),0

e x x

f x x x x >?=?+≤?，若函数2()()

g x f x ax =-有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是_____.

14. 在锐角三角形ABC ，AD 是边BC 上的中线，且AD AB =，则1

11

tan tan tan A

B C

+

+

的最小值为 ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. （本小题满分14分）

如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边的锐角α的终边与单位圆O 交于点A ，且点A 的纵

． （1）求3cos()4

πα-的值；

（2）若以x 轴正半轴为始边的钝角β的终边与单位圆O 交于点B ，且点B 的横坐标为，求αβ+的值．

16. （本小题满分14分）

如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 在棱BC 上，1AD C D ⊥，点E ，F 分别是1BB ，11A B 的中点． （1）求证：D 为BC 的中点； （2）求证：//EF 平面1ADC ．

17. （本小题满分14分）

某市有一特色酒店由10座完全相同的帐篷构成（如图1)．每座帐篷的体积为354m π，且分上下两层，其

中上层是半径为(1)r r …

（单位：)m 的半球体，下层是半径为rm ，高为hm 的圆柱体（如图2)．经测算，上层半球体部分每平方米建造费用为2千元，下方圆柱体的侧面、隔层和地面三个部分平均每平方米建造费用为3千元设所有帐篷的总建造费用为y 千元．

（1）求y 关于r 的函数解析式，并指出该函数的定义域；

（2）当半径r 为何值时，所有帐篷的总建造费用最小，并求出最小值.

18．（本小题满分16分）

如图，已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若椭圆C 经过点，离心率为12

，

直线l 过点2F 与椭圆C 交于A ，B 两点． （1）求椭圆C 的方程；

（2）若点N 为△12F AF 的内心（三角形三条内角平分线的交点），求△12F NF 与△12F AF 面积的比值； （3）设点A ，2F ，B 在直线4x =上的射影依次为点D ，G ，E ．连结AE ，BD ，试问：当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 是否相交于定点T ？若是，请求出定点T 的坐标；若不是，请说明理由．

19. （本小题满分16分）

设数列{}n a ，{}n b 分别是各项为实数的无穷等差数列和无穷等比数列． （1）已知11b =，23260b b b -+=，求数列{}n b 的前n 项的和n S ；

（2）已知22a =，4710++21a a a =，且数列{+}n n a b 的前三项成等比数列，若数列{}n b 唯一，求1b 的值. （3）已知数列{}n a 的公差为(0)d d ≠，且11122(1)22n n n a b a b a b n +++?+=-+，求数列{}n a ，{}n b 的通项公式（用含n ，d 的式子表达）；

20. （本小题满分16分）

设a 为实数，已知函数()x f x axe =()a R ∈． （1）当0a <时，求函数()f x 的单调区间；

（2）设b 为实数，若不等式2()2f x x bx +…对任意的1a …

及任意的0x >恒成立，求b 的取值范围； （3）若函数()()ln g x f x x x =++(0)x >有两个相异的零点，求a 的取值范围．

2019年江苏省天一中学十二月份调研考试

高三数学（Ⅱ）试题 2019.12

21．本题共2小题，每小题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A ．选修4—2：矩阵与变换 已知矩阵11a A b ??=?

?-??，A 的一个特征值2λ=，其对应的一个特征向量是121α??

=????

（1）求矩阵A ；

（2）设直线l 在矩阵1A -对应的变换作用下得到了直线:4m x y -=，求直线l 的方程．

B ．选修4—4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()4

R πθρ=∈，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐

标系，曲线C 的参数方程为4cos ,

(1cos 2x y ααα

=??=+?为参数）

，求直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标．

第22题、第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）

如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面四边形ABCD 为菱形，12A A AB ==，3

ABC π∠=，E ，F 分

别是BC ，1A C 的中点．

（1）求异面直线EF ，AD 所成角的余弦值； （2）点M 在线段1A D 上，

11A M

A D

λ=．若//CM 平面AEF ，求实数λ的值．

23．（本小题满分10分）

已知袋中装有大小相同的2个白球、2个红球和1个黄球．一项游戏规定；每个白球、红球 和黄球的分值分别是0分、1分和2分，每一局从袋中一次性取出三个球，将3个球对应的 分值相加后称为该局的得分，计算完得分后将球放回袋中．当出现第n 局得n 分(*)n N ∈的 情况就算游戏过关，同时游戏结束，若四局过后仍未过关，游戏也结束． （1）求在一局游戏中得3分的概率；

（2）求游戏结束时局数X 的分布列和数学期望()E X ．