考研数学二真题及答案解析

2015年全国硕士研究生入学统一考试

数学二试题及答案解析

一、选择题：（1~8

小题,每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只

有一个选项是符合题目要求的。） (1)下列反常积分中收敛的是

(A)∫1√x +∞2xx (B)∫xxx

x

+∞2xx (C)∫1xxxx +∞2xx (D) ∫x

x x

+∞2

xx

【答案】D 。

【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。 ∫1√x +∞2xx =2√x |2

+∞

=+∞；

∫xxx x

+∞2xx =∫xxx +∞

2

x (xxx )=

1

2

(xxx )2|2

+∞

=+∞；

∫1xxxx +∞2xx =∫1

xxx +∞2x (xxx )=ln ?(xxx )|2

+∞

=+∞；

∫x x x +∞2xx =?∫x +∞2xx ?x =?xx ?x |2+∞+∫x ?x +∞2

xx =2x ?2?x ?x |2

+∞=3x ?2， 因此(D)是收敛的。

综上所述，本题正确答案是D 。

【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (2)函数x (x )=lim x →0

(1+

xxx x x

)x

2

x 在(-∞,+∞)内

(A)连续 (B)有可去间断点

(C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点 【答案】B

【解析】这是“1∞

”型极限，直接有x (x )=lim x →0

(1+

xxx x x

)x 2

x

=x

lim

x →0

x 2x (1+xxx x x ?1)=e

x lim

x →0xxxx

x

=x x (x ≠0),

x (x )在x =0处无定义，

且lim x →0

x (x )=lim x →0

x x =1,所以 x =0是x (x )的可去间断点，选B 。

综上所述，本题正确答案是B 。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限

(3)设函数x (x )={x αcos 1

x β,x >0，

0,x ≤0

(α>0,x >0).若x ′(x )在x =

0处连续，则

(A)α?β>1 (B)0<α?β≤1 (C)α?β>2 (D)0

【解析】易求出

x′(x)={xxα?1cos1

xβ

+βxα?β?1sin1

xβ

,x>0，

0,x≤0

再有x+′(0)=lim

x→0+x(x)?x(0)

x

=lim

x→0+

xα?1cos1

xβ

={

0, α>1,

不存在，α≤1，

x?′(0)=0

于是，x′(0)存在?α>1，此时x′(0)=0.

当α>1时，lim

x→0xα?1cos1

xβ

=0，

lim x→0βxα?β?1sin1

xβ

={

0, α?β?1>0,

不存在，α?β?1≤0，

因此，x′(x)在x=0连续?α?β>1。选A

综上所述，本题正确答案是C。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念，函数的左极限和右极限

(4)设函数x(x)在(-∞,+∞)内连续，其x′′(x)

二阶导函数x′′(x)的图形如右图所示，

则曲线x=x(x)的拐点个数为 A O B x

(A)0 (B)1

(C)2 (D)3

【答案】C

【解析】x (x )在(-∞,+∞)内连续，除点x =0外处处二阶可导。 x =

x (x )的可疑拐点是x ′′(x )=0的点及x ′′(x )不存在的点。

x ′′(x )的零点有两个，如上图所示，A 点两侧x ′′(x )恒正，对应的点不

是x =x (x )拐点，B 点两侧x ′′(x )异号，对应的点就是x =x (x )的拐点。

虽然f ′′(0)不存在，但点x =0两侧f ′′(x )异号，因而(0,f (0)) 是y =f (x )的拐点。

综上所述，本题正确答案是C 。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数单调性，曲线的凹凸性和拐点

(5)设函数x (μ,ν)满足x (x +x ,x

x

)=x 2?x 2，则?x ?μ|μ=1ν=1

与?x

?ν|μ=1

ν=1

依次是 (A)12

,0 (B)0,1

2

(C)?12

,0 (D)0,?1

2

【答案】D

【解析】先求出f (μ,ν)

令{μ=x +y ,ν=y x

,?{x =μ

1+ν,y =μν1+ν,

于是 f (μ,ν)=

μ2

(1+ν)

2

?μ2ν2(1+ν)2

=

μ2(1?ν)1+ν

=μ2(

21+ν

?1)

因此?f ?μ|μ=1ν=1

=2μ(2

1+ν

?1)|

(1,1)

=0

?f

?ν|μ=1ν=1

=?

2μ2

(1+ν)2|

(1,1)

=?12

综上所述，本题正确答案是D 。

【考点】高等数学-多元函数微分学-多元函数的偏导数和全微分

(6)设D 是第一象限中由曲线2xx =1,4xx =1与直线x =x ,x =√3x 围成

的平面区域，函数f (x ,y )在D 上连续，则?f (x ,y )dxdy =D (A)

∫dθ

π3π4

∫f (r cos θ,r sin θ)1sin 2θ12sin2θ

rdr

(B) ∫dθπ3π4

∫

f (r cos θ,r sin θ)1√sin 2θ

1√2sin 2θ

rdr

(C) ∫dθπ3π4∫

f (r cos θ,r sin θ)1sin 2θ12sin 2θ

dr

(D) ∫dθπ3π4

∫

f (r cos θ,r sin θ)1√sin 2θ

1√2sin 2θ

dr

【答案】 B

【解析】D 是第一象限中由曲线2xy =1,4xy =1与直线y =x ,y =√3x 围成的

平面区域，作极坐标变换，将?f (x ,y )dxdy D 化为累次积分。 D 的极坐标表示为

π3≤θ≤π

4

，1

√

sin 2θ

≤θ≤1

√

2sin 2θ

，

因此

?f (x ,y )dxdy D =

∫dθπ3π4

∫

f (r cos θ,r sin θ)1

√sin2θ

1√2sin 2θ

rdr

综上所述，本题正确答案是B 。

【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分在直角坐标系和极坐标系下

的计算。

(7)设矩阵A=[11112x 14x 2],b =[1

x x 2]。若集合Ω={1,2}，则线性方程 xx =x 有

无穷多解的充分必要条件为

(A)x ?Ω,x ?Ω (B) x ?Ω,x ∈Ω (C)x ∈Ω,x ?Ω (D) x ∈Ω,x ∈Ω 【答案】D

【解析】Ax =b 有无穷多解?r (A |b )=r (A )<3

|A |是一个范德蒙德行列式，值为(a ?1)(a ?2),如果a ?Ω，则

|A |≠0，r (A )=3，此时Ax =b有唯一解，排除(A),(B) 类似的，若d ?Ω，则r (A |b )=3，排除(C)

当a ∈Ω,d ∈Ω时，r (A |b )=r (A )=2，Ax =b 有无穷多解 综上所述，本题正确答案是D 。

【考点】线性代数-线性方程组-范德蒙德行列式取值，矩阵的秩，线性方程组求解。

(8)设二次型x (x 1,x 2,x 3)在正交变换x =xx 下的标准形为2y 12+y 22?y 32,

其中x =(x x ,x x ,x x ),若Q =(x x ,?x x ,x x )在正交变换 x =xx 下的标准形为

(A) 2y 12?y 22+y 32 (B) 2y 12+y 22?y 32 (C) 2y 12?y 22?y 32 (D) 2y 12+y 22+y 32 【答案】A

【解析】设二次型矩阵为A ,则

x ?x xx

=x x xx

=[20001000?1

]

可见x x ,x x ,x x 都是A 的特征向量，特征值依次为2,1,-1，于是-x x 也是

A 的特征向量，特征值为-1，因此

x x xx =

x ?x xx

=[2000?10001

]

因此在正交变换x =xx 下的标准二次型为2y 12?y 22+y 32 综上所述，本题正确答案是A 。

【考点】线性代数-二次型-矩阵的秩和特征向量，正交变换化二次型为标准形。 二、填空题：(9~14)小题，每小题4分，共24分。 (9)设{

x =xxx xxx x ,x =3x +x 3,则x 2x

xx 2|x =1

=

【答案】48

【解析】由参数式求导法 xx

xx

=

x x ′x x

′=

3+3x 2

1

1+x 2

=3(1+x 2)2

再由复合函数求导法则得

x 2x xx 2

=x xx [3(1+x 2)2]=x xx [3(1+x 2)2

]xx xx =6(1+x 2)?2x ?1x

x

′

=12x (1+x 2)2, x 2

x

xx 2

|

x =1

=48

综上所述，本题正确答案是48。

【考点】高等数学-一元函数微分学-复合函数求导 (10)函数x (x )=x 22x 在x =0处的n 阶导数x (x )(0)= 【答案】x (x ?1)(xx2)x ?2(x =1,2,3,??) 【解析】

解法1 用求函数乘积的x 阶导数的莱布尼茨公式在此处键入公式。

x (x )(x )=∑x x x (x 2)x

(2x )

(x ?x )

x x =0

其中x x x =x !x !(x ?x )!,注意(x 2)x |x =0=0(x ≠2)，x x 2=x (x ?1)2

,于是 x (x )(0)=x x 2?2?(2x )(x ?2)

|

x =0

=x (x ?1)(xx2)x ?2

(x ≥2)

x ′(0)=0

因此x (x )(0)=x (x ?1)(xx2)x ?2

(x =1,2,3,??)

解法2

利用泰勒展开 x (x )=x 22

x

=x 2

x

xxx2

=

x 2∑(xxx2)

x

x !

∞x =0 =

∑xx x 2x !

x x +2=∞x =0∑xx x ?2

2(x ?2)!x x

∞x =2

由于泰勒展开系数的唯一性，得xx x ?22(x ?2)!=x (x )(0)

x !

可得x (x )(0)=x (x ?1)(xx2)

x ?2

(x =1,2,3,??)

综上所述，本题正确答案是x (x ?1)(xx2)x ?2 (x =1,2,3,??) 【考点】高等数学—一元函数微分学—高阶导数，泰勒展开公式

(11)设函数x (x )连续，φ(x )=∫xx (x )xx x 20

.若φ(1)=1，φ′

(1)=5,则

x (1)= 【答案】2

【解析】改写φ(x )=

x ∫x (x )xx x 2

0,由变限积分求导法得

φ′

(x )=∫x (x )xx x 2

0+xx (x 2)?2x =∫x (x )xx x 2

0+2x 2x (x 2)

由φ(1)=1=∫x (x )xx 10 ，φ′

(1)=∫x (x )xx 10+2x (1)=1+2x (1) 可得x (1)=2

综上所述，本题正确答案是2

【考点】高等数学—一元函数积分学—变限积分函数的性质及应用 (12)设函数y =y (x )是微分方程x ′′+x ′?2x =0的解，且在x =0处 y (x )取得极值3，则y (x )= 【答案】x ?2x +2x x

【解析】求y (x )归结为求解二阶常系数齐次线性方程的初值问题

{x ′′+x ′?2x =0y (0)=3，x ′(0)=0

由特征方程λ2

+λ?2=0 可得特征根 λ1=?2，λ2=1，于 是得通解 x =x 1x ?2x +x 2x x 又已知

{x 1+x 2=3?2x 1+x 2=0

?x 1=1，x 2=2

综上所述，本题正确答案是x ?2x +2x x

【考点】高等数学—常微分方程—二阶常系数齐次线性方程 (13)若函数x =x (x ,x )由方程x x +2x +3x +xxx =1确定，则 dz |(0,0)=

【答案】?1

3

xx ?2

3

xx

【解析】 先求x (0,0) ，在原方程中令x =0,x =0得

x3x=1?x(0,0)=0

方程两边同时求全微分得

x x+2x+3x(xx+2xx+3xx)+xxxx+xxxx+xxxx=0令x=0,x=0,x=0得

dx+2dy+3dz|

(0,0)

=0

dz|

(0,0)=?1

3

xx?2

3

xx

综上所述，本题正确答案是?1

3xx?2

3

xx

【考点】高等数学-多元函数微分学-隐函数的偏导数和全微分

(14)设3阶矩阵A的特征值为2,-2,1，x=x x?x+x,其中E为3

阶单位矩阵，则行列式|B|=

【答案】 21

【解析】A的特征值为2,-2,1,则B的特征值对应为3,7,1

所以|B|=21

【考点】线性代数—行列式—行列式计算

线性代数—矩阵—矩阵的特征值

三、解答题：15~23小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

(15)设函数x (x )=x +xxx (1+x )+xx xxx x ,x (x )=xx 3,若

x (x )与x (x )在x ?0时是等价无穷小，求x ,x ,x 的值。

【解析】利用泰勒公式

x (x )=x +xxx (1+x )+xx xxx x =x +x [x ?1

2

x 2

+1

3

x 3

+x (x

3)]

+xx [x +1

6

x 3

+x (x 3)]

=(1+x )x +(x ?x 2

)x 2+

x 3

x 3+x (x 3)

当x ?0时，x (x )~x (x )，则x =?1,x =?12

,x =?13

【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小的比阶，泰勒公式

(16)设A>0，D 是由曲线段x =xxxxx (0≤x ≤π

2

)及直线y =0,x =π

2

所

围成的平面区域，x 1,x 2分别表示D 绕x 轴与绕x 轴旋转所成旋转体的体积。

若x 1=x 2，求A 的值 【解析】 x 1=

x ∫x 2sin x 2

=

xx 2∫1?cos 2x

2

xx x

20=x 2x 2

4x 2

由A>0可得

x 2=2x ∫x x 2

0?xxxxxxx =?2πA ∫x x 20

x cos x

=?2πA (x xxx x |0x 2

?∫xxx x xx x 2

)

=2xx

又x1=x2可得A=8

π

【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分的应用

(17)已知函数x(x,x)满足

′′(x,x)=2(x+1)x x,x x′(x,0)=(x+1)x x,x(0,x)=x2+2x x xx

求x(x,x)的极值。

【解析】

′′(x,x)=2(x+1)x x，得

由x xx

x x′(x,x)=(x+1)2x x+x(x)

又已知x x′(x,0)=(x+1)x x可得

x x+x(x)=(x+1)x x

得x(x)=x x x ,从而

x x′(x,x)=(x+1)2x x+x x x

对x积分得x(x,x)=(x+1)2x x+(x?1)x x+ψ(y)

又x(0,x)=x2+2x，所以ψ(y)=0

所以x(x,x)=(x+1)2x x+(x?1)x x

于是x x ′(x ,x )=(2x +2)x x , x xx ′′(x ,x )=(x +x 2+2x +2)x x ,

x xx ′′(x ,x )=2x x

令x x ′(x ,x )=0，x x ′(x ,x )=0得驻点(0,-1)，所以

A=x xx ′′(0,?1)=1 B=x xx ′′(0,?1)=0

C=x xx ′′(0,?1)=2

由于B 2?AC <0，A >0,所以极小值为x (0,?1)=?1

【考点】高等数学—多元函数微分学—二元函数的无条件极值 (18)计算二重积分?x (x +x )xxxx x ,

其中D={(x ,x )|x 2+x 2≤2,x ≥x 2} 【解析】

因为区域D 关于y 轴对称，所以?xxxxxx x =0

原式=?x 2xxxx =2∫xx ∫x 2xx √

2?x

2

x 2

10D =2∫x 2(√2?x 2?x 2)xx 1

=2∫x 2√2?x 2xx 1

0?2∫x 4xx 1

令x =√2xxx x ,则 ∫x 2√2?x 2xx 10=∫4x

4

0xxx 2xxxx 2xxx =12∫(1?x

40

xxx4x )xx =x 8

又∫x 4xx 10=15

所以二重积分=x 4?2

5

【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分的计算

(19)已知函数 x (x )=

∫√1+x 2xx +∫√

1+x x 2

1xx 1

x

，求x (x )的零点个

数 【解析】

x ′(x )=?√1+x 2+2x √1+x 2,令x ′(x )=0，得驻点x =1

2

,

当x <1

2时，x ′(x )<0, x (x )单调减少；

当x >12

时，x ′(x )>0, x (x )单调增加；

因为x (1)=0，所以x (x )在(1

2,+∞)上存在唯一零点。

又x (12

)

x (x )=+∞，所以x (x )在(?∞，1

2

)上存在唯一零点。

综上可知，x (x )有且仅有两个零点。

【考点】高等数学—一元函数微分学—方程的根（零点问题）

(20)已知高温物体置于低温介质中，任一时刻改物体温度对时间的变化率与该时

刻物体和介质的温差成正比。现将一初始温度为120℃的物体在20℃恒温介质中冷却，30min 后该物体降温至30℃，若要将该物体的温度继续降至21℃，还需冷却多长时间？

【解析】

设该物体在t时刻的温度为x(x)℃，由题意得

xx

=?x(x?20)

xx

其中k为比例系数，k>0.解得

x=xx?xx+20

将初始条件T(0)=120代入上式，解得C=100

,所以

将x=30,x=30代入得x=xx10

30

x+20

x=100x?xx10

30

令T=21，得t=60,因此要降至21摄氏度，还需60-30=30（min）

【考点】高等数学—常微分方程—一阶常微分方程，微分方程应用

(21)已知函数x(x)在区间[x,+∞]上具有2阶导数，x(x)=0,x′(x)> 0,x′′(x)>0.设x>x,曲线x=x(x)在点(x,x(x))处的切线与x轴的交点是(x0,0),证明x

【解析】

曲线x=x(x)在点(x,x(x))处的切线方程是

x?x(x)=x′(x)(x?x) ,

解得切线与x轴交点的横坐标为

x 0=x ?x (x )

x ′(x )

由于x ′(x )>0，故x (x )单调增加。由x >x 可知x (x )>x (x )=0.

又x ′(x )>0,故x (x )

x ′(x )>0,即有x 0

x 0?a =b ?x (x )

x ′(x )?x

=

(x ?x )x ′(x )?x (x )

x ′(x )

由拉格朗日中值定理得

x (x )=x (x )?x (x )=x ′(x )(x ?x ),x

因为x ′′(x )>0，所以x ′(x )单调增加，从而x ′(x )0,即x 0>x 综上所述，x

【考点】高等数学—一元函数微分学—微分中值定理

(22)设矩阵x =[x 10

1x ?101x

],且x 3=0

(1)求x 的值；

(2)若矩阵x 满足x ?xx x ?xx +xxx x =x ,其中x 为三阶单位矩

阵，求x 【解析】

(1) 由于x 3=0，所以

|x |=|

x 10

1x ?101x

|=x 3=0 于是x =0

(2) 由于x ?xx x

?xx +xxx x =x

所以 (x ?x )x (x ?x x )=x 由(1)知

x ?x =[1?10?1110?11],x ?x x =[001

010?102

]

因为x ?x ,x ?x x 均可逆，所以

x =(x ?x )?1(x ?x x )?1

=[2

1?111?11

10][20?101010

0]=[31

?211?12

1

?1

] 【考点】线性代数—矩阵—矩阵方程

(23)设矩阵x =[02?3?13?31?2x ]相似与矩阵x =[1?20

0x 0031

]

(1)求x ,x 的值；

(2)求可逆矩阵x ,使xxx ?x 为对角矩阵。 【解析】

(1) 由于矩阵x 与矩阵x 相似，所以

tr x =xx x ,|x |=|x |

于是 3+x =2+x ,2x ?3=x , 解得 x =4,x =5

(2) 由(1)知矩阵x =[02?3?13?31?24],x =[1?20

050031

]

由于矩阵x 与矩阵x 相似,所以

|λx ?x |=|λx ?x |=(λ?1)

2

(λ?5)

故x 的特征值为λ1=λ2=1，λ3=5.

当λ1=λ2=1,解方程组(x ?x )x =0,得线性无关的特征向量

ξ1=[210]，ξ2=[?3

01

]

当λ3=5，解方程组5(x ?x )x =0,得特征向量

ξ3=[?1?11

]

令x =(x 1,x 2,x 3)=[1

00

1

0?10

1

1

],则 xxx ?x

=[100010005

]， 故x 为所求可逆矩阵。

【考点】线性代数—矩阵的特征值与特征向量—矩阵的相似对角化