初二数学-尺规作图总结
初二数学
尺规作图
一、理解“尺规作图”的含义
1?在几何中，我们把只限定用直尺（无刻度）和圆规来画图的方法，称为尺规作图?其中直尺只能用来作直线、线段、射线或延长线段；圆规用来作圆和圆弧?由此可知，尺规作图与一般的画图不同，一般画图可以动用一切画图工具，包括三角尺、量角器等，在操作过程中可以度量，但尺规作图在操作过程中是不允许度量成分的.
2?基本作图：（1）用尺规作一条线段等于已知线段；（2）用尺规作一个角等于已知角.利
用这两个基本作图，可以作两条线段或两个角的和或差
二、熟练掌握尺规作图题的规范语言
1?用直尺作图的几何语言：
①过点X、点X作直线XX;或作直线XX;或作射线XX；
②连结两点XX；或连结XX;
③延长XX到点X;或延长（反向延长）XX到点X,使XX = XX ;或延长XX交X X于点X;
2?用圆规作图的几何语言：
①在XX上截取XX = XX;
②以点X为圆心，XX的长为半径作圆（或弧）；
③以点X为圆心，XX的长为半径作弧，交XX于点X;
④分别以点X、点X为圆心，以XX、XX的长为半径作弧，两弧相交于点X、X
三、了解尺规作图题的一般步骤
尺规作图题的步骤:
1?已知：当作图是文字语言叙述时，要学会根据文字语言用数学语言写出题目中的条件；
2?求作：能根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件；
3?作法：能根据作图的过程写出每一步的操作过程?当不要求写作法时，一般要保留作图
痕迹?对于较复杂的作图，可先画出草图，使它同所要作的图大致相同，然后借助草图寻找作法?
在目前，我们只要能够写出已知，求作，作法三步（另外还有第四步证明）就可以了，而且在许多中考作图题中，又往往只要求保留作图痕迹，不需要写出作法，可见在解作图题
时，保留作图痕迹很重要?
尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。最基本，最常用的尺规作图通常称基本作图。一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。
五种基本作图：
1、作一条线段等于已知线段；
2、 作一个角等于已知角；
3、 作已知线段的垂直平分线;
4、 作已知角的角平分线；
5、 过一点作已知直线的垂线;
题目一：作一条线段等于已知线段。 已知 求作 作法 （1） （2） 如图，线段a . 线段AB,
使AB = a . 作射线AP; 在射线AP 上截取AB=a . 则线段AB 就是所求作的图形。 题目二：作已知线段的中点。 已知： 求作： 作法： （1） 如图，线段MN. 点0,使M0=NQ 即0是MN 的中点）. 分别以M N 为圆心，大于划二 的相同线段为半径画弧， 两弧相交于P ，Q; 连接PQ 交MN 于O. （2） 则点0就是所求作的MN 的中点 （试问：PQ 与MN 有何关系？） a.
(己知)
B P
〔作线段尊于已知线段）
、P
1 --- M
C
N
（作线段的中点）
题目三：作已知角的角平分线。 已知 求作 作法 （1）
如图，/ A0B 射线 0P,使/A0圧/ B0P （即0P 平分/ A0B 。
以0为圆心，任意长度为半径画弧， 分别交0A 0B 于 M N; 分别以M N 为圆心，大于 的相同线段为半径画弧，两弧交/ A0B 内于P; (2) （3）作射线0P 则射线0P 就是/ A0B 的角平分线。 题目四：作一个角等于已知角。 （请自己写出“已知” “求作”并作出图形，不写作法） （作角平分
统）
题目五：已知三边作三角形。 已知：如图，线段a ，b ，c. 求作：△ ABC 使 AB = c ，AC = b ，BC = a. 作法： （1）作线段AB = c ; （已知）
（已知三边作三角形）
(2)以A为圆心b为半径作弧，以B为圆心a为半径作弧与前弧相交于C;
(3)连接AC, BC。
则厶ABC就是所求作的三角形。
题目六：已知两边及夹角作三角形。已知：如
图，线段m n, / .
求作：△ ABC 使/ A=z , AB=m 作法：
(1)作/ A=Z ;
(2)在AB上截取AB=m ,AC=n
(3)连接BC
则厶ABC就是所求作的三角形。
:已
知两边及夹角作三角形)
题目七：已知两角及夹边作三角形。
已知：如图，/ ，/ ,线段m .
求作：△ ABC 使/ A=Z ，/ B=Z ,AB=m \ ?1 m
作法：
r(已知)1
(1)作线段AB=m
(2) 在AB的同旁
作/ A=Z ，作/ B=Z ，
/ A与/ B的另一边相交于Co A m B 则厶ABC就是所求作的图形(三角形)。(已知两角及夹边作三角形)
初中尺规作图典型例题归纳
典型例题一
例已知线段a、b,画一条线段，使其等于a 2b .
a b
分析所要画的线段等于a 2b ,实质上就是abb.
ABC
画法：1?画线段AB a ? 2?在AB的延长线上截取BC 2b ?线段AC就是所画的线段.
说明
1.尺规作图要保留画图痕迹，画图时画出的所有点和线不可随意擦去.
2 ?其它作图都可以通过画基本作图来完成，写画法时，只需用一句话来概括叙述基本作图.
典型例题二
例如下图，已知线段a和b,求作一条线段AD使它的长度等于2a — b ?
错解如图(1),
(1)作射线AM; (2)在射线AM上截取AB=BC=a, CD=b，则线段AD即为所求. 错解分析主要是作图语言不严密，当在射线上两次截取时，要写清是否顺次，而在求线段差时，要交待截取的方向.
,°, 吐 . h a M—a ---------- 1■■■■I I I N R° M 幷R 0 b C M
图(1) 图(2)
正解如图(2),
(1)作射线AM ; ( 2)在射线AM上，顺次截取AB=BC=a;
(3)在线段CA上截取CD=b，则线段AD就是所求作的线段.
典型例题三
例求作一个角等于已知角/ MON (如图1) ?
错解如图(2),
(1)作射线O1M1; (2)在图(1),以0为圆心作弧，交0M于点A,交ON于点B;
(3)以01为圆心作弧，交O1M1于C; ( 4)以C为圆心作弧，交于点D; (5)作射线O1D
?
则/ CO1D即为所求的角.
错解分析作图过程中出现了不准确的作图语言，在作出一条弧时，应表达为：以某点为圆心，以其长为半径作弧.
正解如图（2），
（1）作射线O1M1；（2）在图（1）上，以0为圆心，任意长为半径作弧，交0M于点A，交ON于点B；（3）以为圆心，0A的长为半径作弧，交O i M 1于点C；
（4）以C为圆心，以AB的长为半径作弧，交前弧于点D；（5）过点D作射线0,D .
则/ CO,D就是所要求作的角.
典型例题四
例如下图，已知/a及线段a,求作等腰三角形，使它的底角为a,底边为a.
分析先假设等腰三角形已经作好，根据等腰三角形的性质，知两底角/ B=/ C= /a,
底边BC=a，故可以先作/ B=/a，或先作底边BC=a.
作法如下图
（1）/ MBN = /a；（2）在射线BM上截取BC=a；（3）以C为顶点作/ PCB= /a,射线CP交BN 于点A.A ABC就是所要求作的等腰三角形.
说明画复杂的图形时，如一时找不到作法，一般是先画出一个符合条件的草图，再根据这个草图进行分析，逐步寻找画图步骤.
典型例题五
例如图（1）,已知直线AB及直线AB外一点C,过点C作CD // AB （写出作法，画出图形）.
分析根据两直线平行的性质，同位角相等或内错角相等，故作一个角/ ECD = / EFB 即可.
作法如图（2）.
典型例题六
例如下图，△ ABC 中，a=5cm, b=3cm, c=3.5cm,/ B= 36，/ C= 44，请你从中选择适当的数据，画出与厶ABC全等的三角形（把你能画的三角形全部画出来，不写画法但要在所画的三角形中标出用到的数据）
分析本题实质上是利用原题中的5个数据，列出所有与△ ABC全等的各种情况，依
据是SSS、SAS、AAS、ASA .
解与厶ABC全等的三角形如下图所示.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
说明
过点
以点
以点
以点
过点
图（1）
EF，交AB于点F;
以任意长为半径作弧，交
C作直线
F为圆心，
C为圆心，以FP为半径作弧，交
M为圆心，以PQ为半径作弧，交前弧于点
D作直线CD，CD就是所求的直线.
FB于点P,交EF于点Q;
CE于M点；
D ；
作图题都应给出证明，但按照教科书的要求，一般不用写出，但要知道作图的原由
.
(4) ⑸
典型例题七
例 正在修建的中山北路有一形状如下图所示的三角形空地需要绿化.拟从点 A 出发,
将厶ABC 分成面积相等的三个三角形， 以便种上三种不同的花草，请你帮助规划出图案（保 留作图
痕迹，不写作法）.
（2003年，桂林）
分析 这是尺规作图在生活中的具体应用?要把△ ABC 分成面积相等的三个三角形，
且都是从 A 点出发，说明这三个三角形的高是相等的，因而只需这三个三角形的底边也相 等，所以
只要作出 BC 边的三等分点即可.
作法如下图，
找三等分点的依据是平行线等分线段定理.
典型例题八
例 已知/ AOB ，求作/ AOB 的平分线 OC . 错解如图（1）
作法 （1 ）以O 为圆心，任意长为半径作弧，分别交
OA 、OB 于D 、E 两点；
1
（2） 分别以D 、E 为圆心，以大于
DE 的长为半径作弧，两弧相交于 C 点；
2
（3） 连结OC ,则OC 就是/ AOB 的平分线.
错解分析 对角平分线的概念理解不够准确而致误.作法（ 3）中连结 OC ,则OC 是
一条线段，而角平分线应是一条射线
.