初一数学竞赛系列训练(5)

初一数学竞赛系列训练

(5)

初一数学竞赛系列训练(5)

一、选择题

1、方程20012002

20013221=?++?+?x

x x 的解是( )

A 、2000

B 、2001

C 、2002

D 、2003

2、关于x 的方程()1533

2

+-=-k x k x 的解是负数，则k 的值为( )

A 、k>21

B 、k<21

C 、k=2

1

D 、以上解答都不是

3、已知xyz ≠0，且???=++=++032053z y x z y x ，则2

222

22232z y x z y x ++-+的值为( ) A 、

2367 B 、6723 C 、-67

23

D 、以上答案都不对 4、方程组

1987

1

11=+y x 的整数解的个数是( ) A 、0 B 、3 C 、5 D 、以上结论都不对。

5、如果关于x 的不等式

51232<->-a

x

a a x 与同解，则a ( ) A 、不存在 B 、等于-3 C 、等于52- D 、大于5

2

-

6、若正数x 、y 、z 满足不等式组

????????

?<+<<+<<+

5352

3

2611

则x 、y 、z 的大小关系是( ) A 、x

??

?

??≠++=--+--+--01113c b a c b a x b a c x a c b x 其中的解为 8、关于x 的方程2a (x+5)=3x+1无解，则a=

9、关于x 、y 的两个方程组???=-=-7222y x by ax 和???=-=-1139

53y x by ax 有相同的解，则

a= ，b=

10、不定方程4x+7y=20的整数解是 11、不等式235

15124++->-+

-x x x x 的解集为 12、已知有理数x 满足：3

2537213x

x x +-

≥--，若23+--x x 的最小值为a ，最大值为b ，则ab= 三、解答题

13、解方程 2

371022331-1x

x x x x --

-=+-

14、解关于x 的方程：)0(≠=---mn n

m

n m x m n x

15、解方程组：17

211201y

x y x +=

+=+ 16、解方程组：??

?

??=+-=+-=+-c y x z b x z y a z y x 353535

17、某宾馆有大小两种客房，大房间每间能住7人，小房间每间能住4人，现有41人住店，问需大小房间各多少间，刚好使床位数不多也不少？

18、求方程组???=++=++3675352

975z y x z y x 的正整数解。

19、解不等式：(1) ???-≤-+≥+b x x a

x x 674854

(2) 2235≤--+x x

20、k 为什么数时，方程组???=+=+6238

4y x y kx 的解为正数？

初一数学竞赛系列训练(8)答案

1、C

,2002200120022001200220012002112002120011

3121211200220011321211故选，所以，故方程化为===-=??? ??-+??? ??-+??? ??-=?++?+?x x

2、将原方程整理得，)21(613-=k x ，可见，要使x 为负数，应有k<2

1

故选B

3、视x 、y 为未知数，z 为常数，可解得x=4z ，y= -3z

则原式=2

22222232z y x z y x ++-+=67

23

，故选B 4、原方程可化为(x-1987) (y-1987)=19872，因1987是质数，则

①???=-=-21987198711987y x ②???=-=-11987198719872y x ③???-=--=-2

198719871

1987y x ④???-=--=-1

1987198719872y x ⑤???=-=-1987198719871987y x ⑥???-=--=-198719871987

1987y x

考察上述6个方程组的解，⑥的解x=0，y=0应舍去，所以原方程的整数解有5个。 5、取a=52-

，则42 12

32->->-x a

a x 即为

2 5->

x

即为 显然2x>-4与x>-2是同解的，故选C 6、由题设知???

??????<++<<++<<++<(3) 41527(2) 3825

(1)

3617

y z y x y x z y x x z z y x z

由(1)、(2)得x z x z x z <∴<∴<,4851

,38617

由(1)、(3)得z y z y z y <∴<∴<，，6

7

327

因此，y

7、原方程变形为()c b a c b a c b a x ++??

?

??++=??? ??++111111，从而得：x=a+b+c

8、原方程整理成：(2a-3) x=1-10a. 由于方程无解，故有2a-3=0且1-10a ≠0，∴a=3/2

9、由题设知方程??????=-=-=-=-9

532

211372by ax by ax y x y x 与具有相同的解，

?

?

????===-=-14

11372y x y x y x 的解为代入???=-=-??????=-=-951222495322b a b a by ax by ax 得 解之得a=2，b=3

10、由4x+7y=20整理得：4

75y x -

= ∵x 、y 都是整数，又4与7互质，∴y 为4的倍数，取y=4，有x= -2

∴原不定方程有特解?

??=-=42

y x

∴原不定方程的所有整数解为???-=+-=)(k 4472为任意整数k y k

x

11、两边消去

5

1

-x 得：4x-2>3x+2，所以x>4，但注意到x ≠5，所以原不等式的解集为 x>4且x ≠5

12、不等式的解为x ≥1，

当x ≥3时，23+--x x =x-3-x-2= -5 当1≤x<3时，23+--x x =3-x-x-2=1-2x

从上知：当x ≥3时，a=-5；当x=1时，b=-1，所以ab=5

13、化简得：6710629131x x x x x +--=---

，即6

10

1329121--

=--x x x 去分母得：18-4x+2=9x-39x+30，∴26x=10，∴x=13

5

14、方程变形为(n-m) x=n 2

，当n ≠m 时，方程有唯一解m

n n x -=2

；当n=m 时，方程无解。

15、设

17

211201y

x y x +=

+=+=k ，则x+1=20k ，y+1=21k ，x+y=17k 由此得：???

??=+-=-=(3) 17(2) 121(1)

120k y x k y k x 将(1)、(2)代入(3)得 41k-2=17k ，∴121=k

将121=

k 代入(1)、(2)得：4

3

32==y x ， ∴原方程组的解为??

??

?=

=4332y x 16、由(1)?2+(2) - (3)得：14x=2a+b-c ，∴x=

142c

b a -+ 由(2)?2+(3) - (1)得：14y=2b+c-a ，∴y=142a

c b -+

由(3)?2+(1) - (2)得：14z=2c+a-b ，∴z=14

2b

a c -+

17、设需小房间x 间，大房间y 间，则4x+7y=41

∴4

12104741y

y y x ++

-=-=

∵x 、y 均为整数，∴可取y=3得x=5

∴4x+7y=41的所有整数解为)(4375为整数k k y k

x ???-=+=

又∵x 、y 均为正整数，∴???<<-∴>->+43

75 0

43075k k k

∴k=0，∴4x+7y=41的正整数解为???==35

y x

答：需小房间5间，大房间3间。

18、消去z 得：2x+y=10，显然x=4,y=2是它的一组整数解

所以2x+y=10的所有整数解为???-=+=)(224为整数k k

y k

x

代入原方程组，得原方程组的所有整数解是)(2224为整数k k z k y k x ??

?

??+=-=+=

由x>0，y>0，z>0得-2

??

???===?????===224 143z y x z y x

19、(1) 原不等式组的解为??

??

?-≥

-≤2745b x a x 当a+2b<19，即45274527a

x b a b -≤

≤--<-时，原不等式组解为 当a+2b=19，即454527a

x a b -=

-=-时，原不等式组解为 当a+2b>19，即时，原不等式组无解4

527a

b ->-

(2) 令x+5=0或3x-2=0得x= -5或x=2/3

当x ≤-5时，原不等式可化为 –x-5+3x-2≤2，解得x ≤2

9 所以，原不等式的解为x ≤-5

当325≤

<-x 时，原不等式可化为x+5+3x-2≤2，解得x ≤4

1- 所以，原不等式的解为4

1

-5-≤

当x>32时，原不等式可化为x+5-3x+2≤2，解得x ≥2

5

所以，原不等式的解为x ≥2

5

综上所述，原不等式的解集为41

25-≤≥x x 或

20、k ≠6时，方程组有唯一解()??

??

?--=

--=64364k k y k x 要使此方程组有正数解，则应满足x>0，y>0，即()?????>-->--06

430

64k k k ，解得k<4

k=6时，原方程组化为???=+=+6238

46y x y x ，此方程组无解

因此，当k<4时，原方程组的解为正数解

17、某宾馆有大小两种客房，大房间每间能住7人，小房间每间能住4人，现有41人住店，问需大小房间各多少间，刚好使床位数不多也不少？

18、求方程组???=++=++3675352

975z y x z y x 的正整数解。

19、解不等式：(1) ???-≤-+≥+b x x a

x x 674854

(2) 2235≤--+x x