正态分布习题与详解(非常有用,必考点)
1. 若x ～N (0,1),求(l)P (-
2.32 =Φ(1.2)-[1-Φ(2.32)]=0.8849-(1-0.9898)=0.8747. (2)P (x >2)=1-P (x <2)=1-Φ(2)=l-0.9772=0.0228. 2利用标准正态分布表，求标准正态总体 (1)在N(1,4)下，求)3(F （2）在N （μ，σ2 ）下，求Ｆ（μ－σ，μ＋σ）； 解：（１）)3(F ＝)2 1 3( -Φ＝Φ（1）＝0.8413 （２）Ｆ（μ＋σ）＝)(σ μ σμ-+Φ＝Φ（1）＝0.8413 Ｆ（μ－σ）＝)( σ μ σμ--Φ＝Φ（－1）＝１－Φ（1）＝１－0.8413＝0.1587 Ｆ（μ－σ，μ＋σ）＝Ｆ（μ＋σ）－Ｆ（μ－σ）＝0.8413－0.1587＝0.6826 3某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为π 21，求总体落入区 间（－1.2，0.2）之间的概率 [Φ（0.2）=0.5793, Φ（1.2）=0.8848] 解：正态分布的概率密度函数是),(,21)(2 22)(+∞-∞∈= -- x e x f x σμσ π，它是偶函数， 说明μ＝0，)(x f 的最大值为)(μf ＝σ π21，所以σ＝1，这个正态分布就是标准正态分 布 ( 1.20.2)(0.2)( 1.2)(0.2)[1(1.2)](0.2)(1.2)1 P x -<<=Φ-Φ-=Φ--Φ=Φ+Φ- 0.57930.884810.4642=+-= 4.某县农民年平均收入服从μ=500元，σ=200元的正态分布（1）求此县农民年平均收入 在500 520元间人数的百分比；（2）如果要使此县农民年平均收入在（a a +-μμ,）内 的概率不少于0.95，则a 至少有多大？[Φ（0.1）=0.5398, Φ（1.96）=0.975] 解：设ξ表示此县农民年平均收入，则)200,500(~2 N ξ 520500500500 (500520)( )()(0.1)(0)0.53980.50.0398200200 P ξ--<<=Φ-Φ=Φ-Φ=-=（2）∵()()()2()10.95200200200 a a a P a a μξμ-<<+=Φ-Φ-=Φ-≥， ()0.975200a ∴Φ≥ 查表知： 1.96392200 a a ≥?≥ 1设随机变量~X N (3,1),若(4)P X p >=,,则P(2 ( A) 1 2 p + ( B)l —p C ．l-2p D ． 1 2 p - 【答案】 C 因为 (4)(2)P X P X p >=<=,所以 P(2 1(4)(2)12P X P X p ->-<=-,选 C ． 2．(2010·新课标全国理)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( ) A ．100 B ．200 C ．300 D ．400[答案] B [解析] 记“不发芽的种子数为ξ”，则ξ～B (1 000，0.1)，所以E (ξ)＝1 000×0.1＝100，而X ＝2ξ，故E (X )＝E (2ξ)＝2E (ξ)＝200，故选B. 3．设随机变量ξ的分布列如下： 其中a ，b ，c 成等差数列，若E (ξ)＝3，则D (ξ)＝( ) A.49 B ．－19 C.23 D.59 [答案] D [解析] 由条件a ，b ，c 成等差数列知，2b ＝a ＋c ，由分布列的性质知a ＋b ＋c ＝1，又E (ξ)＝－a ＋c ＝13，解得a ＝16，b ＝13，c ＝12，∴D (ξ)＝16×? ? ???－1－132＋13? ????0－132＋12? ????1－132＝59. 4．(2010·上海松江区模考)设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为6 7 ，则口袋中白球的个数为( )A ．3 B ．4 C ．5 D ．2 [答案] A [解析] 设白球x 个，则黑球7－x 个，取出的2个球中所含白球个数为ξ，则ξ取值0,1,2， P (ξ＝0)＝C 7－x 2 C 72＝(7－x )(6－x )42 ， P (ξ＝1)＝x ·(7－x )C 7 2 ＝x (7－x ) 21 ， P (ξ＝2)＝C x 2 C 72＝x (x －1)42 ， ∴0×(7－x )(6－x )42＋1×x (7－x )21＋2×x (x －1)42＝6 7， ∴x ＝3. 5．小明每次射击的命中率都为p ，他连续射击n 次，各次是否命中相互独立，已知命中次数ξ的期望值为4，方差为2，则p (ξ>1)＝( ) A.255256 B.9256 C.247256 D.764 [答案] C [解析] 由条件知ξ～B (n ，P )， ∵??? E (ξ)＝4，D (ξ)＝2，∴??? np ＝4np (1－p )＝2 ， 解之得，p ＝1 2 ，n ＝8， ∴P (ξ＝0)＝C 80×? ????120×? ????128 ＝? ?? ??128， P (ξ＝1)＝C 81×? ????121×? ????127＝? ?? ??125， ∴P (ξ>1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1) ＝1－? ????128－? ????125＝247256 . 5已知三个正态分布密度函数φi (x )＝1 2πσi e －(x －μi ) 2 2σi 2 (x ∈R ，i ＝1,2,3)的图象如图所示，则( ) A ．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3 B ．μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3 C ．μ1＝μ2<μ3，σ1<σ2＝σ3 D ．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3 [答案] D [解析] 正态分布密度函数φ2(x )和φ3(x )的图象都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故μ2＝μ3，又φ2(x )的对称轴的横坐标值比φ1(x )的对称轴的横坐标值大，故有μ1<μ2＝μ3.又σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，由图象可知，正态分布密度函数φ1(x )和φ2(x )的图象一样“瘦高”，φ3(x )明显“矮胖”，从而可知σ1＝σ2<σ3. 6①命题“0x R,cos x ?∈>”的否定是:“0x R,cos x ?∈≤”; ②若lg a lg b lg(a b )+=+,则a b +的最大值为4; ③定义在R 上的奇函数f (x )满足2f (x )f (x )+=-,则6f ()的值为0; ④已知随机变量ζ服从正态分布2 15081N(,),P().σζ≤=,则3019P().ζ≤-=;其 中真命题的序号是________(请把所有真命题的序号都填上). 【答案】①③④ ①命题“0x R,cos x ?∈>”的否定是:“0x R,cos x ?∈≤”;所以① 正确. ②若lg a lg b lg(a b )+=+,则lg ab lg(a b )=+,即,0,0ab a b a b =+>>.所以 2 ( )2 a b ab a b +=+≤,即2()4()a b a b +≥+,解得4a b +≥,则a b +的最小值为4;所以②错误.③定义在R 上的奇函数f (x )满足2f (x )f (x )+=-,则(4)()f x f x +=,且 (0)0f =,即函数的周期是4.所以(6)(2)(0)0f f f ==-=;所以③正确. ④已知随机变量ζ 服从正态分布2 15081N(,),P().σζ≤=,则 (5)1(5)10.810.19P P ζζ>=-≤=-=,所以35019P()P().ζζ≤-=>=;所以④ 正确,所以真命题的序号是①③④. 7、在区间[1,1]-上任取两数m 和n ,则关于x 的方程220x mx n ++=有两不相等实根的概 率为___________. 【答案】 1 4 由题意知11,1 1.m n -≤≤-≤≤要使方程220x mx n ++=有两不相等实根,则22=40m n ?->,即(2)(2)0m n m n -+>.作出对应的可行域,如图直线 20 m n -=, 20 m n +=,当 1 m =时, 11,22 C B n n ==- ,所以 1111 1[()]2222 OBC S ?=??--=,所以方程220x mx n ++=有两不相等实根的概率为 122122244 OBC S ?? ==?. 8、下列命题: ` (1) 2 2 1 21 11 34 dx x x =-= ? ; (2)不等式|1||3|x x a ++-≥恒成立,则4a ≤; (3)随机变量X 服从正态分布N(1,2),则(0)(2);P X P X <=> (4)已知,,21,a b R a b + ∈+=则 21 8a b +≥.其中正确命题的序号为____________. 【答案】(2)(3) (1) 2 21 1 1 ln ln 2dx x x ==? ,所以(1)错误.(2)不等式|1||3|x x ++-的最 小值为4,所以要使不等式|1||3|x x a ++-≥成立,则4a ≤,所以(2)正确.(3)正 确.(4) 21212222()(2)41529b a b a a b a b a b a b a b +=++=+++≥+?=,所以(4)错误,所以正确的为(2)(3). 2已知某篮球运动员2012年度参加了40场比赛,现从中抽取5场,用茎叶图统计该运动员5 场中的得分如图所示,则该样本的方差为 （ ） A ．26 B ．25 C ．23 D ．18 【答案】D 样本的平均数为23,所以样本方差为 222221 [(1923)(2023)(2223)(2323)(3123)]185 -+-+-+-+-=,选 D ． 3有一个容量为200的样本,其频率分布直方图如图所示,据图估计,样本数据在[)8,10内的频 数为 （ ） A ．38 B ．57 C ．76 D ．95 【答案】C 样本数据在 [)8,10之外的频率为(0.020.050.090.15)20.62+++?=,所 以样本数据在[)8,10内的频率为10.620.38-=,所以样本数据在[)8,10的频数为 0.3820076?=,选 C ． 4．（2013年临沂市高三教学质量检测考试理科数学）如图所示,在边长为l 的正方形OABC 中任 取一点P,则点P 恰好取自阴影部分的概率为 （ ） A ． 1 3 B ． 14 C ． 15 D ． 16 【答案】 【答案】B 根据积分的应用可知所求阴影部分的面积为 1 3 2410 111 ()()24 4 x x dx x x -=-= ?,所以由几何概型公式可得点P 恰好取自阴影部分的概率为14 ,选 B ． 5从集合{}1,2,3,4,5中随机选取3个不同的数,这个数可以构成等差数列的概率为______. 【答案】 25 从集合{}1,2,3,4,5中随机选取3个不同的数有3 510C =种.则3个数能构成等差数列的 有,1,2,3;2,3,4;3,4,5;1,3,5;有4种,所以这个数可以构成等差数列的概率为42 105 =.