初中数学巧解分式方程学法指导

巧解分式方程

李建新

分式方程是初中数学学习的重点之一，分式方程是分母中含有未知数的方程，解分式方程的基本思想是把分式方程转化为整式方程，通常是把方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，对某些特殊的分式方程，还可以采用换元法求解，但对于某些较复杂的分式方程，用上面两种方法来解可能会十分烦琐，这时，若能够仔细观察其特点，使用灵活的解题技巧，则能简捷求解。

一、利用换元法

例1 解方程：()222x 6

5x 4x +=++。

分析：本题若直接去分母，必出现高次项，造成解题困难，注意观察，可发现方程两边均含()2

2x +，可引入辅助未知数，采用换元法解题。 解：设()22x y +=，则原方程可以化为y

61y =+，去分母，得06y y 2=-+，方程左边分解因式，有()()03y 2y =+-。

解得2y 1=，3y 2-=。

当2y 1=时，则()22x 2

=+，22x ±=+，22x ±-=。 当3y 2-=时，则()32x 2

-=+，无解。 经检验，22x ±-=是原方程的解。

例2 解方程：061x x 51x x 2=+??

? ??--??? ??-。 解：设1

x x y -=，则原方程可以化为06y 5y 2=+-。 方程左边分解因式，有()()03y 2y =--，故2y 1=，3y 2=。

当2y 1=时，

21x x =-，解得2x 1=，当3y 2=时，31x x =-，解得2

3x 2=。 经检验，2x 1=，23x 2=均是原方程的解。

二、利用拆分子法

例3 解方程：7

x 9x 5x 7x 3x 5x 1x 3x ++-++=++-++。

分析：若直接去分母，将得到一个高次方程，解起来比较困难，若分式中分子次数大于或等于分母次数，可先把分式化成分子次数小于分母次数的“真分式”，然后去分母求解。 解：原方程化为7

x 215x 213x 211x 21+--++=+--++

。 ∴()()()()7x 5x 43x 1x 4++=++。 ∴()()()()7x 5x 3x 1x ++=++，35x 123x 4+=+。

∴4x -=。

经检验，4x -=是原方程的解。

例4 解方程：

6

x 5x 3x 2x 7x 6x 2x 1x +++++=+++++。 解：原方程化为6

x 16x 3x 13x 7x 17x 2x 12x +-+++-+=+-+++-+， ∴6

x 13x 17x 12x 1+++=+++。 ∴()()()()

6x 3x 9x 27x 2x 9x 2+++=+++。 ∴09x 2=+，或()()()()6x 3x 17x 2x 1++=++ ∴2

9x -

=，或18x 9x 14x 9x 22++=++（无解）。 经检验，29x -=是原方程的解。

三、利用比例性质

例5 解方程：1

x 3x 1x 3x 3x x 3x x 2222--++=--++ 解：根据比例性质?=d c b a d c d c b a b a -+=-+，原方程可化为()()()()3x x 3x x 3x x 3x x 2222---++--+++ ()()()()

1x 3x 1x 3x 1x 3x 1x 3x 2222---++--+++=。 ∴1

x 3x 3x x 2

2+=+。 所以0x 2=，或1

x 313x 1+=+，解得0x 1=，1x 2=。 经检验，0x 1=，1x 2=是原方程的解。

四、利用拆分母法

例6 解方程：

20

x 9x 112x 7x 16x 5x 1222++=+++++。 解：原方程化为()()()()()()5x 4x 14x 3x 13x 2x 1++=+++++。 ∴

5

x 14x 14x 13x 13x 12x 1+-+=+-+++-+。 ∴4

x 25x 12x 1+=+++。 化为整式方程，解得8x -=。

经检验，8x -=是原方程的解。

五、利用两边分别通分相加减

例7 解方程：

8

x 415x 37x 56x 2-++=-++。 解：原方程化为7

x 58x 415x 36x 2---=+-+。 ∴()()()()7x 8x 12x 15x 6x 12x --+-=+++-。 显然，当012x =+-时，有12x 1=。

当12x ≠时，则有()()()()

7x 8x 115x 6x 1--=++，可化为 ()()()()7x 8x 15x 6x --=++。 解得18

17x 2-=。 经检验，12x 1=，1817x 2-

=均是原方程的解。